集合（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第1講集合

知識(shí)梳理

1、元素與集合

（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.

（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：e和巴

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（vem圖）.

（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)

數(shù)集自然數(shù)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)實(shí)數(shù)集

集集

符號(hào)NN*或ZQR

N.

說明：

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何

一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合/={1,2,3,4,5},可知在該集合中，

6￡/，不在該集合中；

②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出

現(xiàn)的.

集合A={a,b,c}應(yīng)滿足°豐b豐c-

③無(wú)序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合/={1,2,3,4,5}和2={1,3,5,2,4}是同

一個(gè)集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，

再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.

2、集合間的基本關(guān)系

（1）子集（SM6S〃）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合N、g,如果集合/中任意一個(gè)元素都

是集合8中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合力為集合8的子集，記作

A=B（或，讀作“N包含于（或‘2包含/”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合/=但存在元素尤^3，且我們稱

集合/是集合8的真子集，記作（或3復(fù)4）.讀作“/真包含于8”或“8真包含/

（3）相等：如果集合/是集合3的子集（/=8,且集合B是集合/的子集（B=A）,

此時(shí)，集合力與集合8中的元素是一樣的，因此，集合/與集合8相等，記作/=B.

（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0;0是任何集合的

子集，是任何非空集合的真子集.

3、集合的基本運(yùn)算

（1）交集：一般地，由屬于集合/且屬于集合8的所有元素組成的集合，稱為《與&

的交集,記作即znB={x|xe4且xe團(tuán).

（2）并集：一般地，由所有屬于集合/或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱為/與3

的并集,記作ZU8,即ZU3={xIX€4或/€3}.

（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合/,由全集0中不屬于集合/的所有元素組成的集合稱為集

合/相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合/的補(bǔ)集，記作Q/，即=且x￡/}.

4、集合的運(yùn)算性質(zhì)

⑴AoA=A'An0-0>AcB=BcA?

⑵A<JA=A>A<J0-A>ADB=BDA?

（3）/c（"）=0,/“"）=[/,Cv（C^^）=A.

【解題方法總結(jié)】

（1）若有限集/中有〃個(gè)元素，則/的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空子集有

2"_1個(gè)，非空真子集有2"_2個(gè).

（2）空集是任何集合/的子集，是任何非空集合8的真子集.

⑶4=B=ACB=AQAUB=B=CUBUCU4-

⑷J（/A8）=（CVA）U（C?,C0（/U8）=（CVA）nS）?

必考題型全歸納

題型一：集合的表示：列舉法、描述法

例1.（2024?廣東江門?統(tǒng)考一模）已知集合/=,5={m|m2-le4m-U^},則集

合8中所有元素之和為（）

A.0B.1C.-1D.72

例2.（2024?江蘇?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）對(duì)于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合/和B，我們把集合

{x\x=a+記作4*8.若集合/={0,1},3={0,-1},則/*臺(tái)中元素的個(gè)數(shù)為

()

例3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義集合/+B=卜+引尤?/且ye8}.已知集合

2={2,4,6},8={-1,1},則4+5中元素的個(gè)數(shù)為（）

【解題總結(jié)】

1、列舉法，注意元素互異性和無(wú)序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

題型二：集合元素的三大特征

例4.（2024?北京海淀??？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合M={2帆-1,"-3},若—3e",則實(shí)數(shù)

m=（）

A.0B.-iC.0或—iD.0或1

例5.（2024也:西金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知集合/={1,。,可，5={片M,而}，若/=5,

貝1/023+62022=（）

A.-1B.0C.1D.2

例6.（2024?北京東城?統(tǒng)考一模）已知集合/={4￡—2<0卜且aeZ,則a可以為（）

3廣

A.-2B.—1C.-D.42

2

【解題方法總結(jié)】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無(wú)序性。

2、研究?jī)蓚€(gè)或者多個(gè)集合的關(guān)系時(shí)，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。

題型三：元素與集合間的關(guān)系

例7.（2024?河南?開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知z=一狽+1<0卜若2G4且304

則。的取值范圍是（）

例8.（2024?吉林延邊?統(tǒng)考二模）已知集合/=冏蘇&+2=0}的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)

a的值為（）

99

A.-B.0C.-或0D.無(wú)解

88

例9.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4=<（x,j）|^-+y<l,xeZ,jeZ>,則/中

元素的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.10C.11D.12

【解題方法總結(jié)】

1、一定要牢記五個(gè)大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當(dāng)集合用描述法給出時(shí)，一定要注意描述的是點(diǎn)還是數(shù)，是還是.

題型四：集合與集合之間的關(guān)系

例10.（多選題）（2024?山東濰坊統(tǒng)考一模）若非空集合〃,N,P滿足：MCN=N,M2P=P,

則（）

A.PqMB.MIP=M

C.N5=P

例11.（2024?江蘇?統(tǒng)考一模）設(shè)/=,貝（]（

A.M<=NB.NuMMr>N=0

例12.（2024?遼寧沈陽(yáng)?東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）己知集合/=卜M-x-12<0},

B=[x\^-3mx+2n^+m-l<0},若“xeZ”是“xeB”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)用的

取值范圍為（）

A.[-3,2]B.[-1,3]C.-15-D.2,—

例13.（2024?廣東茂名?統(tǒng)考二模）已知集合/=，8={x|2x_a<0}，若/=

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（2,+co）B.[2,+oojC.(-co,2)D.(-co,2]

【解題方法總結(jié)】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：

（1）定義法進(jìn)行判斷

（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷

題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

例14.（2024?廣東廣州?統(tǒng)考二模）已知集合/=卜卜=3〃-2,〃€]>}*},B={6,7,10,11},

則集合的元素個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

例15.(2024?河北張家口?統(tǒng)考二模)已知集合幺=3|卜—2)(4—x)>0},3=卜|￡>0

則(瘠*)=()

A.(2,3)B.[3,4]C.(^?,2]u[3,-h?)D.(-oo,3]u[4,-H?)

例16.(2024?廣東?統(tǒng)考一模)已知集合M=3x(x-2)<0},N={x|x-l<0},則下列Venn

例17.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“

經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體

帶來(lái)

精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀

看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國(guó)大典》的有

26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開

國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了

的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.

【解題方法總結(jié)】

1、注意交集與并集之間的關(guān)系

2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個(gè)概念

題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合

例18.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)集合X={%,0-”N*,定義：集合

￥=,+%]%%集合8=花巾,昨匕x?},集合

T=^-\x,y￡Y,x^yy分別用|S|,3|表示集合S,7中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立

的是（）

A.|S|=6B.|S|=16C.|T|=9D.|T|=16

例19.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知集合力,2滿足/U8={1,2,3},若人鉆，且[/&刃,

[8&闋表示兩個(gè)不同的Z8互襯對(duì)”，則滿足題意的Z8互襯對(duì)“個(gè)數(shù)為（）

A.9B.4C.27D.8

例20.（2024?北京?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合A滿足：①

②必有卜-引22,③集合A中所有元素之和為1QQ,則集合A中元素個(gè)數(shù)最

多為（）

A.11B.10C.9D.8

【解題方法總結(jié)】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個(gè)數(shù)的問題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思

想方法

題型七：集合的創(chuàng)新定義

例21.（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合45,定義/-5={x|xe/,且會(huì)為.若

A={x\x=2k+\,k^},B={x\x=3k+\,k^},將集合/一5中的元素從小到大排列得

到數(shù)列{??},則%+%）=（）

A.55B.76C.110D.113

例22.（多選題）（2024?河南安陽(yáng)?安陽(yáng)一中?？寄M預(yù)測(cè)）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一

直延續(xù)到19世紀(jì)?直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分

害I?’來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理