江蘇省徐州市2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

江蘇省徐州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級、考生號填寫在

答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改

液.不按要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,圓C：x2+/-4x+4y+4=°的圓心坐標(biāo)與半徑分別為()

A.(2,-2),4B.(-2,2),4C.(-2,2),2D.(2,-2),2

【答案】D

【解析】

【分析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑.

【詳解】由圓。工+/一以+4丁+4=0,可得圓C:(x—2月+(了+2)2=4,

所以圓心坐標(biāo)為C(2,-2),半徑為2.

故選：D.

2.已知直線/上的一點(diǎn)向右平移4個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度后，仍在該直線上，則直線/的斜

率為()

11

A,-B.——C.2D.-2

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸伍))是直線/上的一點(diǎn),

將點(diǎn)P（a,b）右平移4個(gè)單位長度,

再向下平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)P\a+4,6-2）仍在該直線上,

(6_2)-6J

則直線/的斜率左=

(6Z+4)—Q2

故選：B.

3.雙曲線8日2—@2=8的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,_3）,則實(shí)數(shù)左的值為（）

A.1B.-1C.D.

33

【答案】B

【解析】

【分析】由該雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)在歹軸上可得左＜0,再利用焦點(diǎn)坐標(biāo)與方程的關(guān)系計(jì)算即可得解.

【詳解】由該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—3）,則左＜0,

22

2__工=i

由8Ax*—?jiǎng)?=8可得&1,

kk

即有-?+（-9]=32,解得左=一1.

k\k）

故選：B.

4.若圓G：（x—。）2+/=1與圓G：x2+/=25有且只有三條公切線，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.6B.4C.6或—6D.4或一4

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得兩圓外切，即可得八+&=|GG|，計(jì)算即可得.

【詳解】由圓G與圓Q有且只有三條公切線，故兩圓外切，

故「+々=|。。2|，即1+5=7^"，解得a=±6.

故選：C.

22

5.以橢圓土+匕=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的方程為（）

259

222222X2V2

A,土―JB,土-JC,匕-匕=1D.^—=1

2591625169916

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓方程寫出長軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得雙曲線的實(shí)半軸長和半焦距，再代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)

方程即可.

22

【詳解】橢圓+=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(5,0),(-5,0),焦點(diǎn)為(4,0),(-4,0),

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),(—5,0),頂點(diǎn)為(4,0),(-4,0),

則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且c=5,a=4,所以從=°2—片=9,

22

所以雙曲線的方程為土-工=1.

169

故選：C.

6.拋物線/=16x的焦點(diǎn)到圓C：x2+(y_3)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)后，計(jì)算焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值，需要求出焦點(diǎn)到圓心的距離，再減去

圓的半徑就是最小值.

【詳解】對于拋物線/=16x,則2=8,根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).

則焦點(diǎn)到圓心的距離d=J(4-0)2+(0—3)2=J16+9=V25=5.

因?yàn)閳A的半徑r=l,焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為焦點(diǎn)到圓心的距離減去圓的半徑，即5-1=4.

故選：B.

22

7.已知橢圓C：0+%=1(口〉6〉0)上有一點(diǎn)/,它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為2,點(diǎn)尸為橢圓的右焦點(diǎn),

71

且NABF=—，則橢圓的離心率為()

12

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸'，則由已知條件結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得四邊形4尸5尸為矩形，得

\AB\=\FF'\=2c,然后在Rt"8E中，表示出忸目,卜耳，再利用橢圓的定義列方程化簡可求出離心率.

【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸

因?yàn)镹8尸，所以根據(jù)橢圓的對稱性可知：四邊形/尸5尸為矩形,

所以|幺a=|"[=2',

在RG4BF中,AF\=2csin—,\BF\=2ccos-AF

1121112=\V

根據(jù)橢圓定義可知：\AF\+\AF'\=2a,

所以2csin2+2ccosM=2a,

1212

廠「兀小廠￡—1—=逅

所以，2csin|=+:|=(7,J2csin—7c=a,所以。=3，

U24J3V2x—

2

所以離心率為e=

故選：B.

8.已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)廠在x軸上，過點(diǎn)（2,0）的直線交。于尸，。兩點(diǎn)，且

OPLOQ,線段P。的中點(diǎn)為則直線板的斜率的最大值為（）

A.—B.-C.—D.1

622

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出拋物線C及直線尸。的方程，借助垂直關(guān)系求出拋物線方程及點(diǎn)M的坐標(biāo),

再用斜率坐標(biāo)公式建立函數(shù)，利用均值不等式求解作答.

【詳解】依題意，拋物線C的焦點(diǎn)在X軸的正半軸上，設(shè)C的方程為：y2=2px,p>0,

顯然直線尸。不垂直于y軸，設(shè)直線尸。的方程為：x=ty+2,點(diǎn)尸（里,%）,。（",人）,

2p2p

x=ty-\-2,

由《2c消去工得：y2-2pty-4p=0,則有%為二一42，

。=2px

22

由OPJ_OQ得：而.麗=/-.&_+%%=4—42=0,解得夕=1,

2p2p

于是拋物線C：V=2x的焦點(diǎn)廠（；,0）,弦PQ的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為考=乙則點(diǎn)M（/+2J）,

*t_2<2

顯然直線MF的斜率最大，必有/>0,則直線MF的斜率23c3-I―J6，

t+—2/+—921?一

2tt

當(dāng)且僅當(dāng)27=3,即1=逅時(shí)取等號，

t2

所以直線九牛的斜率的最大值為巫.

6

故選：A

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線4:（a+2）x+y+。+1=0與乙：3%+"-2a=0,則下列說法正確的是（）

A.直線4恒過第二象限B.坐標(biāo)原點(diǎn)到直線4的最大距離為

c.若則。=3D.若“〃2,則4與4之間的距離為獨(dú)e

25

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用分離參數(shù)法判斷A,利用點(diǎn)到直線距離和兩點(diǎn)距離知識判斷B,利用兩直線垂直充要條件判斷

C,利用兩直線平行的充要條件及兩平行直線間距離公式判斷D.

【詳解】對于A選項(xiàng)，將直線A:(a+2)x+y+a+l=0變形為a(x+l)+(2x+y+l)=0.

x+1=0x=-1

令<⑵+尹1=0'解得I,,即直線4恒過定點(diǎn)（T/），該點(diǎn)在第二象限，所以直線4恒過第二象

3=1

限，A選項(xiàng)正確.

對于B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€4恒過定點(diǎn)4-1,1),坐標(biāo)原點(diǎn)。。0)到直線4的最大距離就是原點(diǎn)。到定點(diǎn)A的

距離.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，則。4=J(_i-oy+(i-o)2=6,B選項(xiàng)正確.

對于C選項(xiàng)，若4-L乙，對于直線4：(a+2)x+y+a+l=0和:31+即一2〃=0.

3

根據(jù)兩直線垂直的條件，可得3(。+2)+。=0,解得。=—-,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2

對于D選項(xiàng)，若〃/(，則g+2=j_.a+l.

3a-2a

由二^二J_,可得〃2+2〃-3=0，解得。=1或Q=—3.

3a

1+211+1eLQ+21tz+1.

當(dāng)。=1時(shí)t，----=一，------=-1,滿足-----=一。-----.當(dāng)。二一3兩直線重合，

31-2x13a-2a

兩平行直線/i：3x+y+2=0,/2：3x+y-2=0,根據(jù)兩平行直線間的距離公式，

,,|2-(-2)|4253H十“

則d=-/=I————~一，D選項(xiàng)正確.

V32+l2V105

故選：ABD.

10.拋物線C:/=4x的準(zhǔn)線為/,尸為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓幺：/+3—4)2=1的一條切線，切點(diǎn)為

。，過尸作/的垂線，垂足為2,則下列結(jié)論正確的是()

A./與圓A相切B.當(dāng)歸刈=2時(shí)，|尸q=2

C.|尸山+1尸理的最小值為V15D.滿足PA=PB的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)

【答案】AD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為x=-1,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，根據(jù)|尸刈=2先算出產(chǎn)

的坐標(biāo)，再借助切線的性質(zhì)計(jì)算|尸@即可得；C選項(xiàng)，結(jié)合拋物線定義可得尸,4尸三點(diǎn)共線時(shí)，

歸W+|尸同最小，計(jì)算以目即可得；D選項(xiàng)，直接設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解即可得.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線/=4x的準(zhǔn)線為x=—1,

圓A的圓心(0,4)到直線x=-1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和圓A相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)|尸8|=2時(shí)，%=1,此時(shí)巾=4丹=4,故尸(1,2)或P(l,-2),

當(dāng)尸(1,2)時(shí)，四=J>+22=6,則|p0=逐『―f=2；

當(dāng)尸(1,—2)時(shí)，|P^|=712+62=V37,\PQ\=^(V37)2-l2=6；

故|尸0|=2或|P3=6,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，|尸聞+\PB\=\PA\+\PF\>\AF\=#+42=V17,

當(dāng)且僅當(dāng)尸,4E三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，故|/川+|尸目的最小值為a7,c選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，設(shè)尸—,t,由尸8，/可得8(—1,。，又4(0,4),又歸旬=|尸同，

14)

2

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，J—+(r-4)=-+b整理得6+30=0，

V164

△=16?—4x30=136〉0，則關(guān)于t的方程有兩個(gè)解，

即存在兩個(gè)這樣的尸點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

11.造型為“8”的曲線稱為雙紐線，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與定點(diǎn)片(一d0),居伍,0)距離之積等于

/伍〉0)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙紐線.記a=2時(shí)的雙紐線為曲線C,點(diǎn)尸是曲線。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是()

A.尸片+尸鳥的最小值為4B.點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-2,2]

C.△/當(dāng)月面積的最大值為2D.若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(玉),％),則為《同

【答案】ACD

【解析】

【分析】對A：借助基本不等式計(jì)算即可得；對B：整理可得不+―+4=Ji6+16x2,即有

/=V16+16x2-X2-4>0>即可得/一8/40,解出即可得；對C：借助換元法可得產(chǎn)的最大值,

即可得面積最大值；對D：借助反證法，假設(shè)為>ko|后代入原式計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)P(xj)是曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)雙紐線的定義可得：正+4+外7(x-ay+y2=/,

當(dāng)q=2時(shí)，曲線的方程為J(x+2)2+y2.J(x_2)2+y2=4,

對于A：&+2)2+/+_2)2+VJ2+2)2+y2.近―2,+/=2萬=4，

當(dāng)且僅當(dāng)J(x+2)2+J?=,(x—2)2+J?,即x=0/=0時(shí)取等號，

所以尸大+”的最小值為4,故A正確；

22

對于B：整理可得：X+/+4=716+16X-則/=，16+16/-1420,

可得力—8/40，解得—2后<x<2夜，故B錯(cuò)誤；

對于C：/=716+16X2-X2-4>0)令/=J16+16/e[4,12]，則/=」/一匕

10

所以/=/_工/2_3=_L?2_16/)_3=_工(/_8)2+1,

161616

所以當(dāng)/=8時(shí)，(/)max=L所以△0￡月面積的最大值為:義4義1=2,故C正確；

對于D：若先>闖,

貝uJ(X。+2)2+??；?d(/—2)2+y；>J(Xo+2)2+x；?J(%—2了+x；

=J(2x；+4+4X()).(2X；+4—4X())=J(2X；+4)-16x；

=J(4x：+16x；+16)—16x；=J4x：+16>4,

2

其與小(4+2)2+y；-yj(x0-2)+Jo=4矛盾，

故外>聞不成立，故為〈聞，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)中關(guān)鍵點(diǎn)在于使用反證法，假設(shè)比>|x°|,代入原方程中得到與題設(shè)矛盾的

2

J(%+2)2+y；?^(%0-2)>4.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線/分別交x軸和歹軸于/、8兩點(diǎn),若〃(2,1)是線段48的中點(diǎn)，則直線/的方程為.

【答案】x+2y-4=0

【解析】

【分析】由四（2,1）是線段48的中點(diǎn)，可得/、8兩點(diǎn)坐標(biāo)，后可得直線方程.

【詳解】因48兩點(diǎn)在％軸和歹軸上，設(shè)Z（x,0）,8（0,同，

因“（2,1）是線段46的中點(diǎn)，則幺（4,0）,8（0,2）,

故直線4B的截距式方程為：|+|=l^x+2j-4=0.

故答案為：x+2y-4=0.

13.直線/：y=履+3與圓C：（x—2『+（y—3『=4相交于48兩點(diǎn)，若|幺卻=2百，則上=

【答案】土且

3

【解析】

【分析】先求圓心到直線的距離，進(jìn)而利用圓的幾何性質(zhì)，即用d=即可求解.

【詳解】圓C:（x—2『+（y—3）2=4的圓心C（2,3）,r=2,

/、,\2k\

圓心C（2,3）到直線kx-y+3=0的距離d=J-±-,

由圓的幾何性質(zhì)可得d=//網(wǎng)[，即乎±=g,

1[2）J1+左2

16

整理得比2=一，即左=±更.

33

故答案為：士立

3

14.已知雙曲線9=1上存在兩點(diǎn)N關(guān)于直線y=r+6對稱，且的中點(diǎn)在拋物線/=4》

上，則實(shí)數(shù)b的值為

【答案】0或3

【解析】

【分析】我們先求出MN中點(diǎn)的坐標(biāo)(設(shè)為(%,%)),因?yàn)镹關(guān)于直線y=-x+6對稱，所以與

直線了=-彳+6垂直，可得到的斜率，再結(jié)合雙曲線方程求出中點(diǎn)坐標(biāo)，最后將中點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線

方程求出b的值.

【詳解】因?yàn)轷臢關(guān)于直線＞=-x+6對稱，直線了=r+6的斜率為一1,

兩條垂直直線的斜率乘積為-1,所以直線的斜率左=1.

設(shè)直線的方程為y=x+m,將其代入雙曲線/一片=1可得f—(x+mY=1.

22

展開得到2/-(X?+2mx+m2)=2,即f一2mx-m2-2=0.

設(shè)必)，N(x,y),根據(jù)韋達(dá)定理X]+》2=，所以司+工2=2用，

22a'

則中點(diǎn)橫坐標(biāo)x0="+"=m.

2

因?yàn)橹悬c(diǎn)(%,%)在直線＞=》+，〃上，所以％=%+機(jī)=2機(jī).

因?yàn)榈闹悬c(diǎn)(機(jī),2機(jī))在拋物線「=4》上，所以(2機(jī)了=4加，解得機(jī)=0或機(jī)=1.

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，中點(diǎn)為(0,0),因?yàn)橹悬c(diǎn)(0,0)在直線了=-尤+6上，所以6=0；

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，中點(diǎn)為(1,2),在直線y=-x+6上，所以2=—1+6,解得6=3.

故實(shí)數(shù)b的值為0或3.

故答案為：0或3.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.

①與直線3x+4y+2=0平行；②過點(diǎn)(5,-5)；③點(diǎn)(4,2)到/的距離為5.

問題：已知直線/過點(diǎn)?(1,-2),且.

(1)求直線/的一般式方程；

(2)求圓M:(x+2)2+⑶+6)2=4關(guān)于直線/對稱的圓河’的方程.

【答案】(1)3x+4v+5=0

(2)(X-4)2+(J-2)2=4

【解析】

【分析】(1)若選①，法一：利用兩直線平行關(guān)系求得斜率，利用點(diǎn)斜式可求直線方程；法二：利用平行

直線系方程的方法可求解；若選②，法一：利用兩點(diǎn)式可求直線方程；法二，先求得直線的斜率，再用點(diǎn)

斜式求得直線的方程；若選③，法一：設(shè)直線方程為y+2=k(x-1),利用點(diǎn)到直線的距離公可求左；法

二：由于(4,2)與。2)之間距離恰為5,進(jìn)而可利用兩直線的垂直關(guān)系求得斜率，利用點(diǎn)斜式可求直線

方程；

(2)求得圓M的圓心關(guān)于直線的稱點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求圓的方程.

【小問1詳解】

若選①，

3

法一：因?yàn)橹本€3x+4y+2=0的斜率為-一,直線/與直線3x+4y+2=0平行，

4

3

所以直線/的斜率為左=一一，

4

3

直線/的方程為＞+2=-^0—1)，

即3x+4y+5=0.

法二：因?yàn)橹本€/與直線3x+4y+2=0平行，

故/的方程可設(shè)為3x+4y+C=0.

又直線/過點(diǎn)。，―2),則3xl+4x(—2)+C=0,即：C=5.

所以/的方程3x+4.v+5=0.

若選②,

法一：因?yàn)橹本€/過點(diǎn)(5,—5)及(1,—2),

所以直線/的方程為V

1-5-2+5

即3x+4y+5=0；

法二：因?yàn)橹本€/過點(diǎn)(5,-5)及(1,-2),

-2一(一5)3

所以直線/的斜率左=———=——.

1-54

3

直線/的方程為y+2=—：(x—1),

4

即3x+4y+5=0.

若選③，

法一：若直線/斜率不存在，點(diǎn)(4,2)到/的距離為3,不合題意，斜率存在.

設(shè)斜率為左，其方程為y+2=A;(x_1),即獨(dú)一》_先_2=0,

|3左一4|二3

由I=5得：k=——

7^2+14

3

直線方程為y+2=—w(x—l).

即：3x+4y+5=0.

法二：由于(4,2)與(1,-2)之間距離恰為5,兩點(diǎn)連線的斜率為竺巨=3

4-13

3

故直線/的斜率左=——,

4

3

直線方程為y+2=—w(x—1)，

即：3x+4y+5=0；

【小問2詳解】

圓心為川(—2,—6),半徑為2；

只要求圓心(-2,-6)關(guān)于直線I的對稱圓心M'(a,b),

b+64

—―--

〃+23

則

。a—2b—6八

3x------i-4x--------1-5=0

22

Q=4

解得《b=2'即"A

所以圓的方程為：(x—4)2+(y—2)2=4.

16.己知YABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為幺(2,0),8(2,4),C(4,2).

(1)求V45C的外接圓新的方程；

(2)設(shè)。(-4,2),若點(diǎn)尸是圓M上任意一點(diǎn)，試問：在平面上是否存在點(diǎn)E,使得PO=3P￡.若存

在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(X-2)2+(J-2)2=4

(2)存在；—,2j

【解析】

【分析】(1)法一：設(shè)圓M的方程為/+/+9+4+/=0,代入點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解方程組可求圓

的方程；法二：求得3c=1，須c=—1，可得。M的圓心是AB的中點(diǎn)，可求圓的方程;

(2)假設(shè)存在￡(%〃)，對任意的P(x,y)都有PQ=3P￡,計(jì)算利用恒成立可得

18m+8=32

<18〃-4=32,求解即可.

9-+9/-20=32

【小問1詳解】

法一：設(shè)圓M的方程為一+/+￡)x+或+/=。，貝u

‘4+2。+尸=0

<4+16+2Q+4E+尸=0,

16+4+4D+2E+F=0

D=-4

解得：卜=—4,,

F=4

所以圓M的方程為J+j?—4x—4y+4=0,即(x—2y+(y—2)2=4,

法二：因?yàn)?(2,0),3(2,4),C(4,2),

所以用ic=1，左BC=一1，所以￡州,%〃"=-1，所以

又因?yàn)镃4=C3=2g，所以V48C是等腰直角三角形，

所以。M的圓心是48的中點(diǎn)，即圓心M(2,2),半徑廠=1曹=2,

所以。M的方程為(x—2)2+(了-2)2=4；

【小問2詳解】

假設(shè)存在E(m,〃)，對任意的P(x,y)都有PD=3PE,

即：J(x+4)2+(了—2)2=3j(x-加)2+(y—ip,

化簡得：8x~+8y~—(18m+8)x—(18zz—4)y+(9掰~+9/z~—20)=0,

又P(x,y)滿足(x—2)2+(y—2)2=4,即Y+_)?一4工一4^+4=。，

即：8X2+8V2-32X-32J+32=0,

18m+8=32

所以<18〃一4=32,

9加2+9〃2—20=32

,4

m--

解得：］3,

n=2

即存在滿足條件.

17.已知點(diǎn)尸是拋物線/=16x上的動(dòng)點(diǎn)，過P向x軸作垂線段，垂足為記垂線段尸M的中點(diǎn)為

Q.

(1)求點(diǎn)。的軌跡方程；

(2)過點(diǎn)/(1,0)作直線/與點(diǎn)0的軌跡交于4,2兩點(diǎn)，且VN08的面積為g(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直

線/的方程.

【答案】(1)/=4x

4,,、

⑵V=±y(X-l)

【解析】

【分析】(1)設(shè)。的坐標(biāo)為(XJ),則P的坐標(biāo)為(x,2y),代入拋物線方程計(jì)算即可；(2)直曲聯(lián)立，借

助韋達(dá)定理和面積公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

設(shè)0的坐標(biāo)為(xj),則尸的坐標(biāo)為(x,2y)

又P點(diǎn)在拋物線/=16x上，故(2y)2=16x即/=4x

【小問2詳解】

設(shè)直線/的方程為》=叩+1,2(下,%),8(%2，%)，

y2-Amy-4=0,WA=16m2+16>0>

則為+%=4”也=一4,

F2

SAAOB=2l°l\yi-y2\=1v(yi+y2)-4ny2

=-716m2+16=-

22

3

解得：m=±-

4

34

所以直線/的方程為x=±W》+l，即：J=+j(x-l)

18.已知圓C:(x—2)2+j?=4和定點(diǎn)幺(-2,0),尸為圓C上的任意一點(diǎn)，線段尸/的垂直平分線與直線

PC交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線

(1)求曲線〃的方程；

(2)若N是曲線H上的一點(diǎn)，過N的直線/與直線y=土底分別交于S,T兩點(diǎn)，且N為線段S7的中

點(diǎn).

①求證：直線/與曲線〃有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

21

②求網(wǎng)+西的最小值(。為坐標(biāo)原點(diǎn))?

【答案】(1)H:X2-^=1

3

(2)①證明見解析；②J5

【解析】

【分析】⑴根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到=,即可得至！阿。|=2＜以。=4,結(jié)合雙曲

線的定義計(jì)算可得;

⑵⑴設(shè)V（Xo，%））,S（X],必）,7（》2/2），不妨令,即可得到左sr=一從

y2=-V3X2

而表示出直線ST的方程，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、由A=0,即可證明；（ii）由（i）求出占,

%,再計(jì)算|。5卜|。7|可得刀為定值，即可結(jié)合基本不等式求解.

【小問1詳解】

M為PA的垂直平分線上一點(diǎn)，則||。|=|M4|,

則||M4|-|MC||=||w|-|MC||=2<|^c|=4,

???點(diǎn)/的軌跡為以/,C為焦點(diǎn)的雙曲線，且2a=2,c=2,

故點(diǎn)"的軌跡方程為〃：——片=1；

【小問2詳解】

⑴設(shè)/（%,%）,S（x/J,7（%,%），直線y=±瓜是雙曲線的漸近線，如圖所示:

則：=V3X[①.

yly2=-V3X2②,

①+②得，V3(Xj-x),①-②得，

yl+y2=2yl-y2=A/3(XJ+X2),

由題可知|VS|=\MT\,則再+》2=2x0,yl+y2=2yo,

得比:3?一凡）,即跖=

%%—%y。

???直線ST的方程為y-%=X-%),gp3xox-yoy=3xo~yo,

又：點(diǎn)M在曲線〃上，則3x；-y；=3,^3xox-yoy=3,

x2_/=1,,,,

將方程聯(lián)立3，得(y；-3焉產(chǎn)+6x()x—3-口=0,

3xox-yoy=3

得—3x~+6XQX—3XQ=0,

由△=（6/丫一4x（-3）x（-）=0,可知方程有且僅有一個(gè)解,

故直線/與曲線〃有且僅有一個(gè)交點(diǎn);

y=后f曰_6

（ii）由（i）聯(lián)立《，可得再=—j=------

、3x()x—JV=3V3x0-y0

2忖|，同理|。刀=2民|，

同理可得，X2=-^-——?貝U|os|=X；+

V3X0+70

3

所以|。5卜|。7|=4上叼=4*五匚產(chǎn)=4,

212

故>2

10sl\OT\\OS\4網(wǎng)，

2苧，即|。5|=2四時(shí)取等號,

當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)

21「

故網(wǎng)+15q的最小值為I,

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

⑴設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（久1，月）、Cx2,y2）；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或N）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算A；

(3)列出韋達(dá)定理;

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為芯+x2、/馬的形式;

(5)代入韋達(dá)定理求解.

22

19.定義：一般地，當(dāng)4〉0且2*1時(shí)，我們把方程5+二=/1伍〉6〉0）表示的橢圓G稱為橢圓

ab

22

C:二+與=1（?！礲〉0）的相似橢圓.

a'b

（1）求證：相似橢圓的離心率相等;

,2,2

（2）已知橢圓c：亍+/=1的相似橢圓為g：?+「=N（N〉O且彳/1）.

①直線4,與橢圓c均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且44的斜率之積為-；，求證：4,4的交點(diǎn)在橢圓c的相

似橢圓a上;

②若P為橢圓6上異于左右頂點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，直線尸河與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)，直線尸N與

4

橢圓C交于0,E兩點(diǎn)，求|48|+|?！陓的值.

【答案】（1）證明見解析

（2）①證明見解析；②5

【解析】

【分析】（1）求得相似橢圓的離心率可得結(jié)論；

（2）①設(shè)直線4的斜率為左，則直線4的斜率為一：，。（/，%），聯(lián)立方程組，利用A=0,化簡可得

結(jié)論;

②由已知勺儲(chǔ)加=—；，設(shè)PM為y=k（x+也）,聯(lián)立方程組求得|