角與角度計(jì)算重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（15大題型）（原卷版）

專(zhuān)題20角與角的計(jì)算重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)(15大題型)

旨【題型目錄】

題型一角的概念理解

題型二角的表示方法

題型三角的分類(lèi)

題型四鐘面角

題型五方向角的表示

題型六與方向角有關(guān)的計(jì)算

題型七角的單位與角度制

題型八角的度數(shù)大小比較

題型九角的比較

題型十三角板中角度計(jì)算問(wèn)題

題型十一幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題

題型十二角度的四則運(yùn)算

題型十三實(shí)際問(wèn)題中角度計(jì)算問(wèn)題

題型十四角平分線的有關(guān)計(jì)算

題型十五角n等分線的有關(guān)計(jì)算

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)：角的表示

(1)用三個(gè)字母表示角時(shí)，表示頂點(diǎn)的字母必須寫(xiě)在另兩個(gè)字母的中間.如NAOB；

(2)在不引起混淆的情況下，角還可以用它的頂點(diǎn)字母來(lái)表示.如NA；

(3)角可以用希臘字母來(lái)表示，一般地，用希臘字母表示一個(gè)角時(shí)，需在角內(nèi)靠近頂點(diǎn)處畫(huà)上弧線.如

za；

(4)角可以用一個(gè)數(shù)字來(lái)表示，一般地，用一個(gè)數(shù)字表示一個(gè)角時(shí)，需在角內(nèi)靠近頂點(diǎn)處畫(huà)上弧線.如

zl.

角也可以看成是一條射線繞著它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

1.角的度量

(1)角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的

兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.

(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫(xiě)

英文字母表示，三是用一個(gè)小寫(xiě)希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義;

②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示.

（3）角度制及角度的換算

1周角=360°,1平角=180°,1°=60，，J=60〃，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同.

②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式（即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化）時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由

度分秒的形式化成度（即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化）時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行.

③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一

成60.

（4）角的分類(lèi)

NB銳角直角鈍角平角周角

范圍0VNB<90°ZB=90°90°<Z3<180°N8=180°NB=360°

（5）畫(huà)一個(gè)角等于已知角

（1）借助三角尺能畫(huà)出15。的倍數(shù)的角，在0?180°之間共能畫(huà)出11個(gè)角.

（2）借助量角器能畫(huà)出給定度數(shù)的角.

（3）用尺規(guī)作圖法.

2.角的比較與運(yùn)算

（1）角的比較方法：①度量法；②疊合法.

（2）角的平分線：

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因

為OC是/AOB的平分線，所以/l=/2=^/A0B,或/A0B=2/l=2/2.

2

類(lèi)似地，還有角的三等分線等.

一｝【經(jīng)典題型一角的概念理解】

1.（2023?湖北恩施??？寄M預(yù)測(cè)）用一個(gè)10倍的放大鏡看一個(gè)15。的角，看到的角的度數(shù)為（）

A.150°B.105°C.30°D.15°

2.（2021?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè)）下列關(guān)于角的說(shuō)法正確的是（）

A.角是由兩條射線組成的圖形B.在角一邊延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)

C.角的邊越長(zhǎng)，角越大D.角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形

3.（2022上?福建寧德?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，從點(diǎn)。出發(fā)的五條射線，可以組成個(gè)角.

4.（2022下?上海,七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）同一平面內(nèi)有"條不重合直線，其中任何兩條都不平行，則它們相交所

成的角中最小角的度數(shù)不超過(guò).

5.（2021上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下面各個(gè)圖形中，分別有多少個(gè)小于平角的角，請(qǐng)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@些

角.

圖（1）圖（2）圖（3）

（1）圖（1）中共有個(gè)小于平角的角，這些角分別是:

（2）圖（2）中共有個(gè)小于平角的角，這些角分別是，

（3）圖（3）中共有個(gè)小于平角的角，這些角分別是

A【經(jīng)典題型二角的表示方法】

1.（2021上?北京房山?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四個(gè)圖中，能用4、NO、NMON三種方法表示同一個(gè)角的

是（）

A.

2.（2020上?重慶合川?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中，能用ZB,/a表示同一個(gè)角的是（）

AADA

D

D/BC

3.(2022?七年級(jí)單元測(cè)試)按照?qǐng)D填空：

(1)可用一個(gè)大寫(xiě)字母表示的角有.

(2)必須用三個(gè)大寫(xiě)字母表示的角有.

(3)以B為頂點(diǎn)的角共有個(gè)，分別表示為.

4.(2022下?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))下列語(yǔ)句表示的圖形是(只填序號(hào))

①過(guò)點(diǎn)。的三條直線與另?xiàng)l一直線分別相交于點(diǎn)8、C、D三點(diǎn)、:—.

②以直線43上一點(diǎn)。為頂點(diǎn)，在直線的同側(cè)畫(huà)ZJOC和乙BOD：.

③過(guò)。點(diǎn)的一條直線和以。為端點(diǎn)兩條射線與另一條直線分別相交于點(diǎn)8、C、。三點(diǎn)：.

(1)/1表示成/N,這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？

(2)圖中哪個(gè)角可以用一個(gè)字母來(lái)表示？

(3)以A為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？請(qǐng)表示出來(lái).

(4)/ADC與是同一個(gè)角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(5)圖中共有幾個(gè)小于平角的角？

A【經(jīng)典題型三角的分類(lèi)】

1.（2020下?六年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若一/為鈍角，-5為銳角，則a4-48是（）

A.鈍角B.銳角

C.直角D.都有可能

2.（2020下?六年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列語(yǔ)句中，正確的是（）

A.小于90。的角是銳角

B.大于90。的角是鈍角

C.鈍角與銳角的和為平角

D.角的大小與角的邊的長(zhǎng)短有關(guān)，邊越長(zhǎng)角越大

3.（2022上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，NBOD=45。，那么不大于90。的角有一個(gè)，它們的度數(shù)之和

4.（2022上?七年級(jí)單元測(cè)試）在里約奧運(yùn)會(huì)跳水比賽時(shí)，跳水運(yùn)動(dòng)員在10米臺(tái)跳水比賽時(shí)，在空中翻轉(zhuǎn)3

周半，3周半相當(dāng)于個(gè)平角.

5.（2022上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀理解：

我們知道:一條線段有兩個(gè)端點(diǎn)，線段N8和線段A4表示同一條線段.若在直線/上取了三個(gè)不同的點(diǎn)，則

以它們?yōu)槎它c(diǎn)的線段共有一條;若取了四個(gè)不同的點(diǎn)，則共有線段一條;…;依此類(lèi)推，取了“個(gè)不同的點(diǎn)，共有

線段條.（用含〃的代數(shù)式表示）

類(lèi)比探究：

以一個(gè)銳角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)向這個(gè)角的內(nèi)部引射線.

（1）若引出兩條射線，則所得圖形中共有一個(gè)銳角；

（2）若引出n條射線，則所得圖形中共有一個(gè)銳角.（用含〃的代數(shù)式表示）

拓展應(yīng)用：

一條鐵路上共有8個(gè)火車(chē)站，若一列火車(chē)往返過(guò)程中必須?？棵總€(gè)車(chē)站，則鐵路局需為這條線路準(zhǔn)備多少

種車(chē)票？

41經(jīng)典題型四鐘面角】

1.（2023下?山東東營(yíng)?六年級(jí)東營(yíng)市東營(yíng)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.8時(shí)45分，時(shí)針與分針的夾角是30。B.6時(shí)30分，時(shí)針與分針重合

C.3時(shí)30分，時(shí)針與分針的夾角是90°D.9時(shí)整，時(shí)針與分針的夾角是90°

2.（2022上?重慶?七年級(jí)重慶一中校考階段練習(xí)）圖①鐘面的角與圖②鐘面的角分別是（）度

A.20；15B.30；25C.30；22.5D.22.5；15

3.（2023上?山西晉城?七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明利用星期天搞社會(huì)調(diào)查活動(dòng)，早晨8：00出發(fā)，中午12：30

到家，小明到家時(shí)時(shí)針和分針夾角的度數(shù)是.

4.（2023上?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀╃娒娼鞘侵笗r(shí)鐘的時(shí)針和分針?biāo)傻?/p>

角.例如：六點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?80。；七點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?/p>

150°.那么從六點(diǎn)鐘到七點(diǎn)鐘這一個(gè)小時(shí)內(nèi)，哪些時(shí)刻時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?00。？請(qǐng)寫(xiě)出具體時(shí)

刻：.（結(jié)果形如6點(diǎn)三23分）

5.（2023上?浙江寧波?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示是某款手表實(shí)物圖，其示意圖如圖2所示，已知表盤(pán)是

以。為圓心，以1.2厘米為半徑的圓，3c為圓的直徑，其中時(shí)針為線段OE,分針為線段。尸，且點(diǎn)/、B、

。、C、。都在同一條直線上.

（1）若點(diǎn)3,C是線段4D的三等分點(diǎn)，求表長(zhǎng)4D.

（2）若手表顯示是9點(diǎn)30分.

①求此時(shí)時(shí)針與分針的夾角AEOF的大??；

②此時(shí)，作射線OG,使/￡OG=30。，求/FOG的大?。?/p>

（3）自9點(diǎn)30分起，至10點(diǎn)30分止，在這一小時(shí)期間,時(shí)針OE和分針OF在不停地旋轉(zhuǎn).若射線OH是NEOF

的平分線，它也隨之運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多少分鐘后，恰好能使/反用=30。？

,51經(jīng)典題型五方向角的表示】

1.（2020?河北保定?統(tǒng)考一模）如圖,OA是表示北偏東55。方向的一條射線，則OA的反向延長(zhǎng)線OB表示

的是（）

A.北偏西55。方向上的一條射線B.北偏西35。方向上的一條射線

C.南偏西35。方向上的一條射線D.南偏西55。方向上的一條射線

2.（2022上,福建福州?七年級(jí)期末）如圖,按照上北下南，左西右東的規(guī)定畫(huà)出方向十字線，U0E=m。,

AEOF=90°,OM,ON分別平分^OE和乙BOR下面說(shuō)法：①點(diǎn)E位于點(diǎn)。北偏西加。的方向上；②點(diǎn)尸

位于點(diǎn)。北偏東加。的方向上；③乙MON=135°,其中正確的有（）

北

南

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

3.（2022上?四川成都?七年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谀┮凰衣糜未瑥腁點(diǎn)出發(fā)沿北偏東55。方

向航行，到達(dá)3景點(diǎn)后，進(jìn)行了90°的轉(zhuǎn)彎，然后沿著方向航行，則8C為方向.

4.（2022上?河北滄州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在燈塔O處觀測(cè)到輪船/位于北偏西54°24的方向，同時(shí)

輪船3在南偏東15°廿’的方向，那么乙408=.

5.（2023上?河北廊坊?七年級(jí)統(tǒng)考期末）按要求作圖，并回答問(wèn)題.

如圖，已知點(diǎn)A,B,C.

A

（1）作直線48、射線BC、線段/C；

（2）在點(diǎn)C的東北方向有一點(diǎn)。，且點(diǎn)。在直線48上，畫(huà)出點(diǎn)。；

（3）點(diǎn)尸，。以同樣的速度同時(shí)從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸沿直線/C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。沿折線/-2-C的路線運(yùn)動(dòng),

請(qǐng)你判斷誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)C：（填“點(diǎn)尸”或“點(diǎn)?！保?，理由是；

（4）已知線段/8=120mm,若點(diǎn)尸以6mm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿射線48方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。以4mm/s的速

度從點(diǎn)8出發(fā)向A運(yùn)動(dòng)，M,N分別是NP與20的中點(diǎn)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明“，N兩點(diǎn)是否可以重合？若

能重合，請(qǐng)求出所需要的時(shí)間和重合時(shí)線段8P的長(zhǎng)；若不能重合，請(qǐng)說(shuō)明理由.

31經(jīng)典題型六與方向角有關(guān)的計(jì)算】

1.（2023下?山東青島?六年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)校/在小明家3北偏東48。的方向上，點(diǎn)C表示超市所在

的位置，NABC=90°,則超市C在小明家2的（）

C.南偏西48。的方向上D.南偏東40。的方向上

2.（2022下?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，甲從A處出發(fā)沿北偏西20。方向行走至B處，又沿南偏西60。方向行走

至C處，此時(shí)再沿與出發(fā)時(shí)一致的方向行走至。處，則乙BCD的度數(shù)為（）

3.（2022上?北京朝陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，貨輪。在航行過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的北偏西30。方向上,

同時(shí)，海島3在它的東南方向上，則4408=。.

4.（2022上?福建南平?八年級(jí)福建省南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是A,B,C三島的平面圖，C島在

A島的北偏東50。方向，8島在A島的北偏東80。方向，C島在8島的北偏西40。方向，那么，從8島看A,

5.（2023上?全國(guó)?七年級(jí)課堂例題）小麗、小影、小華三人每天相約在如圖所示的早餐店。碰面，小麗家A

在早餐店南偏西20。方向上，小影家在點(diǎn)。處，小華家C在早餐店?yáng)|南方向上，ACOS=77°,且早餐店到

小華家與小麗家的距離相等.

北

（1）在圖中畫(huà)出小華家的位置C；

⑵求40s的度數(shù)；

⑶若ADOS=85。，請(qǐng)說(shuō)出小影家D相對(duì)于早餐店的位置.

劣【經(jīng)典題型七角的單位與角度制】

1.（2022上?陜西渭南?七年級(jí)統(tǒng)考期末）用度、分、秒表示31.21。為（）

A.31。12'36"B.31。21'C.31。12'23〃D.31。20T

2.（2020上?四川眉山?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面等式成立的是（）

A.83.5°=83°501B.90°-57°23'27'=32°37,33'

C.15°48,36"+37°27,59*=52016*35*D.41.25°=4fl5/

3.(2023上?河南平頂山?七年級(jí)統(tǒng)考期末)計(jì)算：32。45'48"+21。25'14"=；

27。14,24"=。；當(dāng)時(shí)鐘指向時(shí)間為15:30時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角為度.

4.(2021上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))1°=1'=",1'=。，1"='；8.42°=°

17。2「36"=°.

5.(2022上?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))計(jì)算下列各題：

(1)131°28'-32'15〃

(2)58°38'27"+47°42'40"

(3)25°38'45"x3

(4)109°15'24"+4

-31經(jīng)典題型八角的度數(shù)大小比較】

1.（2023下?山西太原?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.比較角的大小就是比較角的度數(shù)大小

B.從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線

C.若=則OC是乙405的平分線

D.用一個(gè)放大鏡能夠把一個(gè)圖形放大，也能夠把一個(gè)角的度數(shù)放大

2.（2022上?陜西漢中?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知NA=25.12°,ZB=25°12,,ZC=1528,,那么它們的大小關(guān)系為

)

A.NC>/B>ZAB.AA>Z.B>AC

C.ZB>ZA>ZCD.ZC>ZA>ZB

3.（2022上?遼寧大連?七年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大?。?0。25'60.25°(填“>"，或“=

4.（2022上?江蘇南京?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知“25。15',乙6=25.15。,則々（填“〉”,“V”或

5.（2021上?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示表示兩塊三角板.

（1）用疊合法比較Nl,La,N2的大?。?/p>

（2）量出圖中各角的度數(shù)，并把圖中的6個(gè)角從小到大排列，然后用“V”或“=”連接.

/31經(jīng)典題型九角的比較】

1.如圖所示，點(diǎn)4、。、E在一條直線上，ABOD=AAOC=90°,那么下列各式中錯(cuò)誤的是（）

A.ZAOB=ZCODB.ZBOC=NDOE

C.NAOB=NBOCD.ZCOE=ZBOD

2.如圖，乙402=90。，N/OC為外的一個(gè)銳角，且N/OC=40。，射線O拉平分N30C,ON平

分//OC,則乙WON的度數(shù)為（）.

A.45°B.65°C.50°D.25°

3.計(jì)算：70。3夕=°；比較大小:52。52;52.52。，選填“>"、或"="）

4.比較大?。?/p>

-（-3.5）--I-4.5I,38.15°38°15'（填或“="）.

5.已知：如圖，NCOB=2NAOC,OD平分且NCOD=19。.

B

D

(1)ZAOB=/AOC；

(2)ZCOD=ZAOC；

(3)求/4O3的度數(shù).

【經(jīng)典題型十三角板中角度計(jì)算問(wèn)題】

1.如圖，三角尺①固定不動(dòng)，將三角尺②的直角頂點(diǎn)。與三角尺①的頂點(diǎn)A重合.若三角尺②的一條直

角邊與4。邊的夾角為40。，則三角尺②的另一條直角邊與邊的夾角不可能是（）

D.150°

2.如圖，將三角板繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，過(guò)點(diǎn)。在三角板M9N的內(nèi)部作射線。。，使得OC恰好是

/MOB的角平分線，此時(shí)與NNOC滿足的數(shù)量關(guān)系是（）

B.ZAOM=2ZNOC

C.ZAOM=3Z7VOCD.ZAOM=4ZNOC

3.將三角板C。。的直角頂點(diǎn)。放置在直線上（如圖），若N/OC=64。，射線O8平分ZBOC,則

的大小為

E

c

AOB

4.一副三角板408與CO。如圖擺放，且//=/C=90。，ZAOB=60°,/COD=45。，ON平分NCOB,

OM平分440D.當(dāng)三角板C。。繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(從圖1到圖2).設(shè)圖1、圖2中的NNW的度數(shù)分別為

a，/3,a+/3=度.

C

\。匕_____「

5.如圖03是//OC內(nèi)部的一條射線，把三角板60。角的頂點(diǎn)放到。處，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，當(dāng)三角板的。。邊

平分/Z08時(shí)，三角板的另一邊OE也恰好平分/80C：

C\E

0

(1)求//0C的度數(shù).

⑵射線0B一定平分NEOD嗎？若。B平分ZEOD,求ZCOB和ZAOB度數(shù)

1經(jīng)典題型十一幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題】

1.如圖，OE平分//0C,平分N30C,4403=80。，Zl=15°,Z2=()

A

E

小

oB

A.25°B.30°C.40°D.50°

2.已知403=120。，0c為N/O8的角平分線，過(guò)點(diǎn)。作射線。。，若4AOD=34BOD,貝iJZCOD的角

度是()

A.30°B.120°C.30?；?20。D.60°或90°

3.如圖，一束光沿。方向，先后經(jīng)過(guò)平面鏡OB、OA反射后，沿E方向射出，己知/40B=120°,XCDB=35°,

4.如圖，將三個(gè)同樣的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，如果Nl=28。，Z2=36°,那么23的度數(shù)

5.己知//08=90。，過(guò)頂點(diǎn)。作射線。C,且。。平分/BOC,OE平分/NOC.

(1)如圖，若0c在/Z08內(nèi).

①當(dāng)OC平分ZAOB時(shí)，ZEOC的度數(shù)為一

②當(dāng)NBOC=|ZAOB時(shí)，求ZEOC的度數(shù).

(2)嘉嘉說(shuō)，若OC在/NOB內(nèi)旋轉(zhuǎn)，因?yàn)?/OC和/80C的度數(shù)不能確定，所以/EOD的度數(shù)不能計(jì)

算.，，琪琪說(shuō):“你說(shuō)的不對(duì)，的度數(shù)能算到，且NE。。的度數(shù)不變.”請(qǐng)你判斷嘉嘉和琪琪誰(shuí)的說(shuō)法

正確，并說(shuō)明理由

(3)若射線OC從05出發(fā)繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于180。)，請(qǐng)直接寫(xiě)出NEQD的度數(shù).

41經(jīng)典題型十二角度的四則運(yùn)算】

1.己知N/O8=58°32',以。為端點(diǎn)作射線OC,使44OC=42°41',則/80C的度數(shù)為().

A.15°51'B.101°13,

C.15°51'或D.16°51'或101T3’

2.下列度分秒的換算中，正確的是()

A.23°12'36〃=23.48°B.47.11。=47°7'36"

C.18°18'30"=18.183°D.22.25°=22°15'

3.計(jì)算：15°26c4°1“=.

4.72°38'+=180°；45.6°+68°49'='；52°42'-23°50'24"=°'"；

32°16'x5-15°20'-6=0'

5.計(jì)算：

(1)47°17'34"-29°38'53?

(2)23°35,x3-107043,<6

二31經(jīng)典題型十三實(shí)際問(wèn)題中角度計(jì)算問(wèn)題】

1.如圖，小明從/處沿南偏西65。30'方向行走至點(diǎn)3處，又從點(diǎn)8處沿北偏西72030,方向行走至點(diǎn)￡處,

貝必3￡=()

北

A.114030,B.108°C.137°D.138°

2.已知如圖1,點(diǎn)/,O,8依次在直線MV上，現(xiàn)將射線。/繞點(diǎn)。沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?。的速度旋轉(zhuǎn);

同時(shí)射線繞點(diǎn)。沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?。的速度旋轉(zhuǎn).如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（0W90）.下列說(shuō)

法正確的是（）

A.整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不存在乙408=90。的情況

B.當(dāng)//。8=60。時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間t一定為20秒

C.當(dāng)M直為36秒時(shí)，射線03恰好平分/欣以

D.當(dāng)4408=60。時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間,一定為40秒

3雙減政策實(shí)施后，我校調(diào)查到學(xué)生上床休息的時(shí)間一般在晚上9點(diǎn)50分，該時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角是—

度.

4.在9點(diǎn)至10點(diǎn)之間的某時(shí)刻，鐘表的時(shí)針與分針構(gòu)成的夾角是110。，則這時(shí)刻是9點(diǎn)分.

5.如圖1,大課間的廣播操展讓我們充分體會(huì)到了一種整體的圖形之美，歡歡和樂(lè)樂(lè)想從數(shù)學(xué)角度分析下

如何能讓班級(jí)同學(xué)們的廣播操做得更好，他們搜集了標(biāo)準(zhǔn)廣播操圖片進(jìn)行討論，如圖2,為了方便研究，定

義兩手手心位置分別為A,8兩點(diǎn)，兩腳腳跟位置分別為C,。兩點(diǎn)，定義A,B,C,。平面內(nèi)。為定

點(diǎn)，將手腳運(yùn)動(dòng)看作繞點(diǎn)。進(jìn)行旋轉(zhuǎn)：

圖1

(2)第三節(jié)腿部運(yùn)動(dòng)中，如圖3,歡歡發(fā)現(xiàn)，雖然A,0,3三點(diǎn)共線，卻不在水平方向上，且

/of)0

ZAOD.ZBOC=6-.5.她經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，二二：:'的值為定值,請(qǐng)判斷歡歡的發(fā)現(xiàn)是否正確，如果正確

4+12

請(qǐng)求出這個(gè)定值，如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)第四節(jié)體側(cè)運(yùn)動(dòng)中，樂(lè)樂(lè)發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開(kāi)且/CW=30。，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)前A、0、3三點(diǎn)在同一水

平線上，04、03繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，04旋轉(zhuǎn)速度為50。/$,03旋轉(zhuǎn)速度為25。/5,當(dāng)OS旋轉(zhuǎn)到與

重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，如圖4

①運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，直接寫(xiě)出乙48=；

②請(qǐng)幫助樂(lè)樂(lè)求解運(yùn)動(dòng)過(guò)程中//0C與NB0E的數(shù)量關(guān)系.

一31經(jīng)典題型十四角平分線的有關(guān)計(jì)算】

1.如圖是一個(gè)長(zhǎng)方形紙片/BCD,將紙片沿EF,EG折疊，點(diǎn)/對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)點(diǎn)。燈并且點(diǎn)。，在

線段HE上，若乙4E尸=15。，則NDEG的大小為()

A.75°B.70°C.65°D.45°

2.如圖，點(diǎn)。為線段2。外一點(diǎn)，點(diǎn)M,C,凡N為4D上任意四點(diǎn)，連接(W,OC,OB,ON,則下列結(jié)論:

①以。為頂點(diǎn)的角共有15個(gè)；②若MC=CB,MN=ND,則CD=2CN；③若M為N8中點(diǎn)，N為CD中

點(diǎn),則MV=；(4D-C8)；④若平分//OC,ON平分/BOD,NAOD=5NCOB,則

AMON=-(ZMOC+ZBON)；正確的有()

A.①③B.②④C.①③④D.①②③④

3.如圖，0c是2408的平分線，0。平分2/0C,且/。。。=18。，則4402=

4.如圖，已知//08=a,Z5OC=p,OM平分//OC,ON平分■/BOC,則NMON的度數(shù)

5.問(wèn)題提出

如圖(1),已知線段N8=12cm,點(diǎn)C為線段48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是/C和3C的中點(diǎn).

圖①圖②

（1）若/C=4cm,求DE的長(zhǎng);

(2)若把“點(diǎn)C為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”改為“點(diǎn)C為直線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)“，當(dāng)/C=4cm時(shí)，求DE的長(zhǎng);

知識(shí)遷移

(3)如圖(2),過(guò)N/O8的內(nèi)部任一點(diǎn)C畫(huà)射線OC,其中0AOE分別平分//0C和/80C；試猜想

//03與4＞?！甑拇笮￡P(guān)系，并說(shuō)明理由.

J【經(jīng)典題型十五角n等分線的有關(guān)計(jì)算】

1.定義：從的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線。。，把分成1:2的兩部分，射線OC叫做

的三等分線.若在/MON中，射線OP是/MON的三等分線，射線。。是/MOP的三等分線，設(shè)

NMOQ=x，則ZMON用含x的代數(shù)式表示為()

9、、999、9、、9、

A.—x或3%或一xB.—x或3x或9xC.—x或一x或9%D.3x或一x或9x

424422

2.在/Z05的內(nèi)部作射線。。，射線。。把/403分成兩個(gè)角，分別為/49C和/30C,若

N4OC=；/4OB或NBOC=；N4OB,則稱(chēng)射線OC為的三等分線.若//。8=60。，射線。。為

的三等分線，則//OC的度數(shù)為（）

A.20°B.40°C.20°或40°D.20°或30°

3已知射線。C是//08的三等分線，射線。。為的平分線，若N40c=40°,貝U

ZCOD=.

4.定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成1:2兩個(gè)部分的射線，叫做這個(gè)角的三分線，一個(gè)角的三分

線有兩條.如圖1，NAOB=2NBOC,則。2是//0C的一條三分線.

（2）如圖2,若N/O3=120。，0C,0。是//08的兩條三分線，S.ZBOC<ZAOC.

①則/COD_；

②若以點(diǎn)。為中心，將48順時(shí)針旋轉(zhuǎn)"。（0<〃<90）得到NC'O。'，當(dāng)。4恰好是NC'O。'的三分線時(shí),

n的值為.

5.解答下列問(wèn)題

如圖1,射線OC在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：NAOB,N/OC和N80C,若其中有一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱(chēng)射線OC是的“巧分線”.

圖1

⑴一個(gè)角的平分線_這個(gè)角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）.

（2）如圖2,若NMPN=60。,且射線尸。是NMPN的“巧分線”，則/品尸。=_（表示出所有可能的結(jié)果探索

新知）.

（3）如圖3,若NMPN=a,且射線尸。是/MPN的“巧分線”，則乙波。=_（用含a的代數(shù)式表示出所有可

|/【重難點(diǎn)訓(xùn)練】

1.（2022上?湖北宜昌?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，40、B在一條直線上，OD、OE分別是乙4OC、NBOC

的角平分線，則的度數(shù)是（）

A.80°B.90°C.100°D.不確定

2.（2023下?山東煙臺(tái)?六年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)驗(yàn)中學(xué)上午10:10時(shí)通常準(zhǔn)時(shí)上第三節(jié)課，此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A

的角是（）

A.105°B.110°C.115°D.120°

3.（2023下?河北滄州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線CO相交于點(diǎn)O.已知/反龍=15。,

ZAOD=2ZDOE,則〃05的度數(shù)為（）

D

A.50°B.56°C.60°D.65°

4.（2023下?黑龍江哈爾濱?六年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，射線OG是//OC的角

平分線，射線?！笔?/08的角半分線，射線ON是280C的角平分線，則下列結(jié)論成立的有（）個(gè).

M

①2MoN=2COG；@AMOG=\^AAOG-ZBOG）；@AGON=1（ZCOG+ZBOG）；④

/MON=g（//OC+ZBOG）；

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

5.（2023下?重慶渝中?七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）己知N/O8=120。，OC為的角平分線，

過(guò)點(diǎn)。作射線。。，若NAOD=3NBOD,則NCOD的角度是（）

A.30°B.120°C.30°或120°D.60°或90°

6.（2022上?福建福州?七年級(jí)校考期末）將一副三角板如圖1放置于桌面，其中30。、45。角共頂點(diǎn)，CM

平分NBCE,CN平分Z8CA.當(dāng)三角板。EC從圖1中位置繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí)，ZMCN

是（）

7.（2023上?廣東深圳?七年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，N/00=150o,N20C=30o,N80C繞點(diǎn)。逆

時(shí)針在a4OD的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，其中■平分//OC,ON平分/80D,在N80C從。8與。/重合時(shí)開(kāi)始到OC

與。。重合為止，以每秒2。的速度旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，下列結(jié)論：

（1）射線的旋轉(zhuǎn)速度為每秒2。；（2）當(dāng)//ON=90。時(shí)間為15秒；（3）的大小為60。；（4）在

整個(gè)過(guò)程中/30C在NMON內(nèi)部持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為45秒.

其中正確的有（）個(gè).

BM

8.（2022上?北京?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，/80C在440。的內(nèi)部，且乙8。。=20。，若N4OD的度數(shù)

是一個(gè)正整數(shù)，則圖中所有角的度數(shù)之和可能是（）

A.330°B.340°C.350°D.360°

9.（2023上?江蘇南通?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線48,CD交于點(diǎn)O.射線平分/40C,若

ZBOD=48°,則ZBOM等于__________.

D

10.（2023上?廣西防城港?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)

并能繞。點(diǎn)自由旋轉(zhuǎn)，若440c=115。，則_°,

11.Q023下?黑龍江哈爾濱?六年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)。

重合在一起.若NCQ8與4OD的比是7:11,OE平分乙40。，則NEOC=度.

C

12.（2023下?山東煙臺(tái)?六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一束光沿方向，先后經(jīng)過(guò)平面鏡08、