高頻考點題型歸納12函數(shù)與方程【教師版】

高中數(shù)學(xué)精編資源專題12函數(shù)與方程一、關(guān)鍵能力學(xué)生應(yīng)掌握函數(shù)的零點、方程的解、圖象交點（橫坐標(biāo)）三者之間的靈活轉(zhuǎn)化，以實現(xiàn)快速解決問題．二、教學(xué)建議從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點，尤其是函數(shù)零點(方程的根)個數(shù)的判斷及由零點存在性定理判斷零點是否存。常常以基本初等函數(shù)為載體，結(jié)合函數(shù)的圖象，判斷方程根的存在性及根的個數(shù)，或利用函數(shù)零點確定參數(shù)的取值范圍等．也可與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查.題目的難度起伏較大.三、自主梳理1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)幾個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系（☆☆☆）Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)210四、高頻考點+重點題型考點一、求解函數(shù)零點例1-1（直接求解函數(shù)零點）(2019·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]所有零點之和為【答案】3π【解析】由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx·(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零點有3個.例1-2（二分法求零點）用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1.6000)≈0.200

f(1.5875)≈0.133

f(1.5750)≈0.067

f(1.5625)≈0.003

f(1.5562)≈－0.029

f(1.5500)≈－0.060

據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解為________(精確到0.01)【答案】1.56【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，顯然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故區(qū)間的端點四舍五入可得1.56.對點訓(xùn)練1.（天津高考真題）已知函數(shù),函數(shù),則函數(shù)的所有零點之和為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】當(dāng)x<0時2-x>2,所以f(x)=2-|x|=2+x,f(2-x)=x2,此時函數(shù)f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-3=x2+x-1的小于零的零點為x=-1+52;當(dāng)0≤x≤2時f(x)=2-|x|=2-x,f(2-x)=2-|2-x|=x,函數(shù)f(x)-g(x)=2-x+x-3=-1無零點;當(dāng)x>2時,f(x)=(x-2)2,f(2-x)=2-|2-x|=4-x,函數(shù)對點訓(xùn)練2.（2020·鄲城縣實驗高中高一月考）如圖是函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有4個不同的公共點.給出的下列四個區(qū)間之中，存在不能用二分法求出的零點，該零點所在的區(qū)間是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]【答案】C【解析】結(jié)合圖象可得：ABD選項每個區(qū)間的兩個端點函數(shù)值異號，可以用二分法求出零點，C選項區(qū)間兩個端點函數(shù)值同號，不能用二分法求零點.故選：C對點訓(xùn)練3．用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的近似解，驗證，給定精度為0.1，需將區(qū)間等分__________次.【答案】5【解析】因為區(qū)間的長度為2，所以第一次等分后區(qū)間長度為1，第二次等分后區(qū)間長度為0.5，……第四次等分后區(qū)間長度為0.125<0.2，第五次等分區(qū)間后區(qū)間長度為0.0625<0.1，所以需要將區(qū)間等分5次.故答案為5.考點二、判斷函數(shù)零點個數(shù)例2-1（直接求解零點）（2020·江蘇省高三其他）設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)(如，)，則函數(shù)的零點個數(shù)為_______.【答案】2【解析】函數(shù)的零點即方程的根，函數(shù)的零點個數(shù)，即方程的根的個數(shù)..當(dāng)時，.當(dāng)時，或或（舍）.當(dāng)時，，方程無解.綜上，方程的根為，1.所以方程有2個根，即函數(shù)有2個零點.故答案為：2.例2-2（零點存在定理+單調(diào)性）（2021·北京清華附中高三其他模擬）函數(shù)的零點一定位于區(qū)間（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)零點存在性定理，若在區(qū)間有零點，則，逐一檢驗選項，即可得答案.【詳解】由題意得為連續(xù)函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，，，根據(jù)零點存在性定理，，所以零點一定位于區(qū)間.故選：C例2-3（2021·山東煙臺市·高三二模）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則方程根的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】將問題轉(zhuǎn)化為與的交點個數(shù)，由解析式畫出在上的圖象，再結(jié)合偶函數(shù)的對稱性即可知定義域上的交點個數(shù).【詳解】要求方程根的個數(shù)，即為求與的交點個數(shù)，由題設(shè)知，在上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個交點，又由在上是偶函數(shù)，∴在上也有3個交點，故一共有6個交點.故選：D.對點訓(xùn)練1.（2020·開原市第二高級中學(xué)高三）函數(shù)，的零點個數(shù)是（）.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)定義域，結(jié)合零點定義，即可容易判斷和求解.【詳解】由于，，因此不存在使得，因此函數(shù)沒有零點.故選：.對點訓(xùn)練2-1.（2020·海豐縣彭湃中學(xué)高一期末）函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減,,,所以零點所在的大致區(qū)間為故選:D對點訓(xùn)練2-2【多選題】（2021·湖北荊州市·荊州中學(xué)高三其他模擬）在下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】本題首先可通過求導(dǎo)得出函數(shù)在上是增函數(shù)、在上是減函數(shù)以及，然后通過函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理對四個選項依次進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】，，當(dāng)時，，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)在上是減函數(shù)，，A項：，，因為，所以函數(shù)在內(nèi)存在零點，A正確；B項：，，因為，，所以函數(shù)在內(nèi)存在零點，B正確；C項：，，，因為，所以函數(shù)在內(nèi)不存在零點，C錯誤；D項：，，，則函數(shù)在內(nèi)存在零點，D正確，故選：ABD.對點訓(xùn)練3.(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h(x)＝－x－a，則g(x)＝f(x)－h(huán)(x)．在同一坐標(biāo)系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)的示意圖，如圖所示．若g(x)存在2個零點，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個交點，平移y＝h(x)的圖象，可知當(dāng)直線y＝－x－a過點(0,1)時，有2個交點，此時1＝－0－a，a＝－1.當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1時，僅有1個交點，不符合題意．當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1時，有2個交點，符合題意．綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞)．故選C.考點三、已知零點求參例3-1（已知零點個數(shù)求參）（2021·廣東茂名市·高三二模）已知函數(shù)若函數(shù)有且只有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，根據(jù)圖示可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，即，所以要使函數(shù)有且只有兩個不同的零點，則需函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，根據(jù)圖示可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B.例3-2（已知零點所在區(qū)間求參）函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)【答案】C【解析】因為f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則由題意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故選C。對點訓(xùn)練1.已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)【答案】C【解析】因為函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一個實數(shù)根，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0?f(2x2＋1)＝－f(λ－x)?f(2x2＋1)＝f(x－λ)?2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一個實數(shù)根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).故選C.考點五、二次函數(shù)零點分布例4．（2021·湖北黃岡市·黃岡中學(xué)高三其他模擬）若函數(shù)在區(qū)間（－1，1）上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）【答案】B【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】因為為開口向上的拋物線，且對稱軸為，在區(qū)間（－1，1）上有兩個不同的零點，所以，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B對點訓(xùn)練1.（2021·全國高三其他模擬）已知，有下列四個命題：：是的零點；：是的零點；：的兩個零點之和為1：有兩個異號零點若只有一個假命題，則該命題是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先假設(shè)，是真命題，則，均為假命題，不合題意，故，中必有一個假命題.然后分情況討論是假命題和是假命題的兩種情況，推出合理或者矛盾.【詳解】由題意，若，是真命題，則，均為假命題，不合題意，故，中必有一個假命題.若是假命題，，是真命題，則的另一個零點為，此時為真命題，符合題意；若是假命題，，是真命題，則的另一個零點為，此時為假命題，不符合題意.故選:A.對點訓(xùn)練2.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－2))【解析】設(shè)f(x)＝x2＋ax＋1，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f1<0，,f2>0，))解得－eq\f(5,2)<a<－2.對點訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))【解析】由題意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解．設(shè)t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，則t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).考點五、零點應(yīng)用例5-1（探究零點的性質(zhì)）設(shè)方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則()A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1【答案】D【解析】作出y＝10x與y＝|lg(－x)|的大致圖象，如圖．顯然x1<0，x2<0.不妨設(shè)x1<x2，則x1<－1，－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此時10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1.對點訓(xùn)練1.（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理））已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，，，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè)<<<，由，，則問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)，求得范圍即可.【詳解】設(shè)<<<，則，由圖知，，當(dāng)時，或4，則故，易知其在單減，故故答案為：對點訓(xùn)練2.（2020·上海高三三模）函數(shù)，如果方程有四個不同的實數(shù)解、、、，則．【答案】4【解析】作出函數(shù)的圖象，方程有四個不同的實數(shù)解，等價為和的圖象有4個交點，不妨設(shè)它們交點的橫坐標(biāo)為、、、，且，由、關(guān)于原點對稱，、關(guān)于對稱，可得，，則．故答案為：4．鞏固訓(xùn)練一、單項選擇題1．若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點為（）A.0或－eq\f(1,2)B.0C.－eq\f(1,2)D.0或eq\f(1,2)答案：A解析：由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－eq\f(1,2)．2．函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)的零點個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4答案：A解析：因為函數(shù)y＝2x，y＝x3在R上均為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在R上為增函數(shù)，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)只有一個零點．3．（2021·全國高三其他模擬）設(shè)，定義符號函數(shù)，則方程的解是（）A．1 B．C．1或 D．1或或【答案】C【解析】根據(jù)符號函數(shù)的定義，分三種情況討論化簡方程，然后解方程即可.【詳解】解：當(dāng)時，方程可化為，化簡得，解得；當(dāng)時，方程可化為，無解；當(dāng)時，方程可化為，化簡得，解得（舍去）或；綜上，方程的解是1或.故選：C.4．已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－eq\r(x)－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A.x1＜x3＜x2B.x2＜x3＜x1C.x2＜x1＜x3D.x1＜x2＜x3答案：D解析：依據(jù)零點的意義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝x分別和y＝－2x，y＝－lnx，y＝eq\r(x)＋1的交點的橫坐標(biāo)大小問題，作出草圖(圖略)，易得x1＜0＜x2＜1＜x3．5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：C解析：畫出f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0))的圖象，如圖．由函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，結(jié)合圖象得：0＜m＜1，即m∈(0，1)．6.（2021·福建高三二模）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點之和為___________.【答案】【解析】利用分段函數(shù)，分類討論，即可求出函數(shù)的所有零點，從而得解．【詳解】解：時，，，由，可得或，或；時，，，由，可得或，或；函數(shù)的所有零點為，，，，所以所有零點的和為故答案為：．二、多項選擇題7．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結(jié)論正確的是()A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1答案：BCD解析：由函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))作出其函數(shù)圖象：由圖可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1；當(dāng)y＝1時，|log2x|＝1，有x＝eq\f(1,2)，2，所以eq\f(1,2)＜x3＜1＜x4＜2；由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，則x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0,1)；故選BCD.8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則實數(shù)m可能的值有()A．2B．3C．4D．5答案：CD解析：在同一坐標(biāo)系中，作y＝f(x)與y＝b的圖象．當(dāng)x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f(x)＝b有三個不同的根，則有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.三、填空題9．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數(shù)a的取值為________．答案：0或－eq\f(1,4)解析：當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，則－1是函數(shù)的零點，即函數(shù)僅有一個零點；當(dāng)a≠0時，函數(shù)f(x)＝ax2－x－1為二次函數(shù)，并且僅有一個零點，則一元二次方程ax2－x－1＝0有兩個相等實根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq\f(1,4)．綜上，當(dāng)a＝0或a＝－eq\f(1,4)時，函數(shù)僅有一個零點．10．（2019·四川高考模擬（理）改編）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，fx=xx-4，則函數(shù)y= 【答案】3【解析】∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)∴當(dāng)x＜0時，則f（即f（則f(x)=x(x-4),作出f（∵y=f（2-x）的圖象與y=f∴作出y=f（2-x）的圖象，由圖象知y=f即f（x）=f（2-