解直角三角形（過關(guān)檢測）-2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國解析版）

專題18解直角三角形

一、單選題

1.（2021?浙江九年級月考）如圖，48是河堤橫斷面的迎水坡，坡高4C=1,水平距離3c=6,則斜坡48

的坡度為（）

A.立B.V3C.30°D.60°

3

【答案】A

【分析】

根據(jù)坡度的定義直接求解即可.

【詳解】

解：???坡高/C=l,水平距離8C=石，

???斜坡AB的坡度為tanB=*===立,

BC63

故選：A.

2.（2021?杭州市采荷中學(xué)九年級二模）如圖，在“8C中，NC=90。，設(shè)N/,BB,NC所對的邊分別為

4,3,5,則（）

A.5=3sin5B.3=5sin5C.4=3tanBD.3=5tanB

【答案】B

【分析】

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：在A48C中，ZC=9O°,設(shè)NA、4B,NC所對的邊分別為4,3,5,

1Q

所以sin5=—==，即3=5sin5,因此選項4不符合題意，選項5符合題意,

c5

72

tan5=—=-,即3=4tan5,因此選項C不符合題意，選項。不符合題意，

a4

故選：B.

3.（2021?全國九年級課時練習(xí)）如圖，在中，ZC=90°,AC=4,BC=8,貝"tan2的值是（）

【答案】B

【分析】

直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出tanfi的值即可.

【詳解】

-.■ZC=90°,AC=4,BC=8,

￡

BC2

故選：B.

4.（2021?哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校九年級二模）一輛汽車沿傾斜角為40。的斜坡行駛，它上升的垂直高度

為7米，則小汽車行駛的路程是（）

A7「77

-前C.7cos40°D.——-T

tan40cos40

【答案】A

【分析】

在三角函數(shù)中，根據(jù)坡度角的正弦值=垂直高度：坡面距離即可解答.

【詳解】

解：如圖，乙4=40。，NC=90。，CB=1米,

則小汽車行駛的路程是：sin40°=—

_7

故（米）.

sin40

故選：A.

B

5.(2021?蘭州市外國語學(xué)校九年級期末)計算2cos30。的值為()

A.1B.>/3C.V2D.1

【答案】B

【分析】

直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算即可得出答案.

【詳解】

解:2cos30。，

=2x也，

2

故選B.

6.(2021?浙江九年級月考)在A48C中，4=45。，zC=75°,AC=6,則45的長是()

A.2(73+1)B.3(V3+1)C.4(6+1)D.5(73+1)

【答案】B

【分析】

作CDM8于，則△8CD是等腰直角三角形，得AD=CD,LBCD=45°,求出力CD=30。，由直角三角形的

性質(zhì)得NO=；/C=3,BD=CD=y[3AD=3yl3,即可得出答案.

【詳解】

解：作CDL1B于。，如圖所示：

則乙BZO￡>C=90°,

?4=45°,

??.△BCD是等腰直角三角形,

：.BD=CD,Z5CD=45°,

■：/-ACB=15°,

??.UCD=UCB-乙BCD=3Q。,

22

.?./D=g/C=gx6=3,CD=^AC-AD=3>/3，

：.BD=CD=3V3,

：.AB=BD+AD=3若+3=3(G+1)；

故選：B.

7.(2021?全國九年級課時練習(xí))如圖,在四邊形488中，E,尸分別是48,4D的中點(diǎn)，若

EF=2,BC=5,CD=3,貝ijsinC等于)

【答案】C

【分析】

連接8D根據(jù)三角形中位線定理求出EF,根據(jù)勾股定理的逆定理得到N8OC=90。，根據(jù)正弦的定義計算即

可.

【詳解】

連接8。，

???￡，尸分別是幺氏4。的中點(diǎn),

.-.EF=-BD,

2

VEF=2,

BD=2EF=4,

又一：BC=5,CD=3,

■■BD2+CD2=BC2,

.△BCD是直角三角形，NBDC=90°,

.cBD4

sinC==—.

BC5

故選：C.

8.（2021?山東濟(jì)南?中考真題）無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測.如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范

基地用無人機(jī)對一塊試驗田進(jìn)行監(jiān)測作業(yè)時，在距地面高度為135m的A處測得試驗田右側(cè)出界N處俯角為

43。，無人機(jī)垂直下降40m至8處，又測得試驗田左側(cè)邊界河處俯角為35。，則N之間的距離為（參

考數(shù)據(jù)：tan43°?0.9,sin43°a0.7,cos35°?0.8,tan35°?0.7,結(jié)果保留整數(shù)）（）

MON

A.188mB.269m

C.286mD.312m

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意易得跖V,"=43。，入睡=35。，CM=135m,AB=40m,然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由題意得：OALMN,"=43。，zAf=35。，O/=135m,/2=40m,

OB=OA-AB=95m,

AOB95?

ON=°=—=150m,OM=---------=——?136m,

tan/N0.9tanZ.M0.7

■.MN=OM+ON=286m:

故選C.

9.（2021?全國九年級課時練習(xí)）如圖，的半徑8,弦于點(diǎn)C,連接/。并延長交。。于點(diǎn)E,連

接EC.若AB=8,CD=2,則tan/EC8為（）

E

A.|R3后2

D.--------------C.一D

133-1

【答案】D

【分析】

根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=^AB=4,

設(shè)/0=x,貝lJOC=QD-CD=x-2,在心&4C。中根據(jù)勾股定理

得到X?=42+（x-2）2,解得x=5,則OC=3,再由4E是直徑，根據(jù)圓周角定理得到乙45￡=90。，利用0c

是△//BE的中位線得到8E=2OC=6,然后在用△C8E中，由三角函數(shù)的定義求出tan/EC3即可.

【詳解】

連接BE,如圖:

■.■ODLAB,.-.AC=BC=-AB=4,設(shè)/O=x,則OC=。。一C￡>=無一2,在Rt^/CO中,

2

■-AO1=AC2+OC2,

x2=42+(x—2)2,解得x=5,

；.OC=3,是直徑，.?.N/BE=90。，

???OC是△48E的中位線，.-.BE=2OC=6,

RF63

/.tmZECB=——

BC42

故選：D.

10.（2021?全國九年級課時練習(xí)）已知，如圖，梯形48CD中，AD//BC,ZB=45°,ZC=120°,AB=8,則CD

的長為（

AD

BC

「班

A,巫B.4^/6D.472

33

【答案】A

【分析】

如圖，分別作于點(diǎn)E,DFLBC于點(diǎn)、F,則有4E=Dgsing=sin45。=理=也45,進(jìn)而求得

AB2

DF

DF、/￡的長，再根據(jù)sinNOCF=sin60。=無■求解即可.

【詳解】

解：如圖，分別作AELBC于點(diǎn)E,DFLBC于點(diǎn)、F.

則有AE=DF,sinB=sin45°=——=—,

AB2

DF=AE=—AB=4V2.

2

又ZDCF=1800-ZDCB=60°,

?-?sinNDCF=sin60°=—,

CD2

八八DF4728娓

~2~2

故選A.

二、填空題

11.（2021?江蘇泰州市?高港實驗學(xué)校九年級二模）某人沿著坡度i=l：右的山坡走到離地面25米高的地

方，則他走的路程為一米.

【答案】50

【分析】

根據(jù)題意，作出圖形，再根據(jù)坡度可以求得此為30。的直角三角形，根據(jù)性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)題意，如下圖:

由題意可知：AB=25m,ZACB=90°

坡度/=1：-\/3可知，tan5=-----

BC3

NB=30°

?-.AB=2AC=50m

故答案為50

12.（2021?佛山市華英學(xué)校九年級一模）如圖，直立于地面上的電線桿N8,在陽光下落在水平地面和坡面

上的影子分別是2C,CD.測得3c=9m,CD=6m,斜坡CD的坡度，=1：也,在D處測得電線桿頂端/

的仰角為30。，則電線桿48的高度為.

【答案】（6+3⑹m

【分析】

延長/D交8C的延長線于尸，作DG1AF于G,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出。C、CG的長，根

據(jù)正切的定義解答即可.

【詳解】

解：如圖，延長4。交5C的延長線于凡作。G1即于G,

-/LADE=30°,

山FB=30。,

???CD=6m,斜坡CD的坡度=1：G，

DG1J3

???tanzZ)CG=-----=-j==——

CG△3

?"CG=30。,

??.￡)G=3m,CG=3gm,

：.ADFC=^DCF=30°f

??.DF=DC,

-DGLBF,

.MG=CG=3JJm,

???/。=6JJm,

：.FB=FC+BC=(673+9)m,

；.AB=BFxtanUFB=(673+9)x@=(6+373)

m.

3

故答案為：（6+3百）m.

13.（2021?湖南師大附中博才實驗中學(xué)九年級二模）有一斜坡45,坡頂8離地面的高度3C為30m,斜坡

的傾斜角是NR4C,若坡比為2:5,則此斜坡的水平距離/C為

B

【答案】75m

【分析】

根據(jù)坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度/的比計算即可.

【詳解】

解：,??坡比為2：5,BC=30m,

二二，即迎上

AC5AC5

解得：AC=75,

故答案為：75m.

14.（2021?重慶實驗外國語學(xué)校九年級開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)、P、A、B、C在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、B、C在

同一直線上，且尸C1/C,在點(diǎn)A處測得點(diǎn)尸在北偏東60。方向上，在點(diǎn)3處測得點(diǎn)尸在北偏東30。方向上,

若4P=12千米，則A,&兩點(diǎn)的距離為一千米.

【答案】46

【分析】

由尸C1/C,在點(diǎn)/處測得點(diǎn)P在北偏東60。方向上，可得/尸C4=90。，ZPAC=30°,

PCL

利用銳角三角函數(shù)可求PC=6千米，NC=66千米，在Rtz^BCP中8C=—k=2,千米即可.

tan60

【詳解】

解：?.?PCL/C,在點(diǎn)/處測得點(diǎn)P在北偏東60。方向上，

ZPCA=90°,APAC=30°,

?.?4P=12千米，

1c

.-.PC=^P-sin300=12x-=6^,NC=/尸.cos30°=12x立=66千米,

22

???在點(diǎn)B處測得點(diǎn)P在北偏東30。方向上，/PCB=90°,PC=6千米，

在RtABCP中,

ZPBC=60°,

8c=—^=*=2若千米,

tan60°y/3

AB=AC-BC=6y/3-2y/3=4^/3（千米）,

故答案為：46千米.

15.（2021?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級月考）如圖，矩形48co中，48=8,BC=12,以。

為圓心，4為半徑作￡為。。上一動點(diǎn)，連接NE,以/￡為直角邊作R/A4E尸，使乙&4歹=90。，tan乙4￡尸=

則點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)C的最小距離為

【答案】4V10--1

【分析】

如圖，取的中點(diǎn)G,連接FG,FC,GC,由△￡4Gs△￡/￡>,推出尸G：?！?/尸：/￡=1：3,因為

44

4,可得尸G=§,推出點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡是以G為圓心§為半徑的圓，再利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問

題.

【詳解】

解：如圖，取N8的中點(diǎn)G,連接/G.FC.GC.

B

,-Z-EAF—90°,tanZ-AEF=—，

3

AF

AE3

???/B=8,AG=GB,

:?AG=GB=4,

???/D=12,

AG41

,?IFF-］，

AFAG

,?瓦-IF'

???四邊形45C7）是矩形，

??/BAD=（B=乙EAF=90°,

.ZFAG—EAD,

??△FAGsAEAD,

:?FG：DE=AF：AE=1：3,

,；DE=4,

:.FG=-,

3

4

.??點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是以G為圓心§為半徑的圓，

<GC=^GB1+BC1=V42+122=4布-

：.FC>GC-FG,

.?.F（>4Vio

??.c/的最小值為49-1.

4

故答案為：4^/10.

三、解答題

16.（2021?陜西西安?交大附中分校九年級模擬預(yù)測）西安進(jìn)行老舊小區(qū)改造，為方便老年人通行，計劃將

某小區(qū)一段斜坡進(jìn)行改造，如圖所示，斜坡2C長為10米，坡角NC20=25。，改造后坡角NC4D降為

12°.求斜坡新起點(diǎn)/與原起點(diǎn)3的距離48.參考數(shù)據(jù)（sinl2°?0.21,cosl2°?0.98,tanl2°?0.21,

sin25°=0.42,cos25°=0.91,tan25°=0.47)

【答案】10.8米.

【分析】

根據(jù)余弦的定義求出8。，根據(jù)正弦的定義求出C。，根據(jù)正切的定義求出計算即可.

【詳解】

解：由題意得CDL/8,

BDCD

在RSCAD中，coszCSD=——,sinzC5Z）=—,乙CBD=25°,8c=10米，

BCBC

.■-5Z）=JBC?coszCBD=10x0.91=9.1（米），CZ）=SC?sinzCS￡）=：10x0.42=4.2（米），

_.CD

在此△中，tanzC4￡>=—,4G4。=12。，

AD

：.AB=AD-BD^20-9.2=10.8（米），

答：斜坡新起點(diǎn)/與原起點(diǎn)3的距離AS約為10.8米.

17.（2021?沐陽縣懷文中學(xué)九年級月考）是長為10m,傾斜角為37。的自動扶梯，平臺5。與大樓CE垂

直，且2O=10m,在8處測得大樓頂部C的仰角為65。，求大樓CE的高度（結(jié)果保留整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：

sin37°?—,tan37°?—,sin65°?—,tan65°?——）

54107

/）

晨65?！?/p>

AE

【答案】CE=27m

【分析】

作BFLAE于點(diǎn)F.則BF=DE,在直角A48尸中利用三角函數(shù)求得BF的長,在直角△CD8中利用三角函數(shù)

求得CD的長，則CE即可求得.

【詳解】

解：作BFL4E于點(diǎn)F.則5/=Z）E.

BF3

在直角中，sinZ-BAF=---，貝|58=45?57%/_BZQlOx-=6(m).

AB5

在直角△0)8中，tan乙CBD=%~,貝lj8=3?！盡65。=10*身:=21(%).

BD7

則CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27(m).

答：大樓CE的高度是27m.

18.（2021?紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)九年級二模）如圖，某商場從一層到二層的樓梯由臺階CD和

一段水平平臺2C構(gòu)成，48與CD互相平行并且與地面成31。角.已知臺階48=5.2米，CD=2.8米，平臺

8c=2.5米.求商場一層的高度（結(jié)果精確到0.1米）.參考數(shù)據(jù)：sin31tM）.515,cos31%0.857,

tan31°~0.601.

【答案】4.1米

【分析】

延長2C與DE交于G,過點(diǎn)8作3F1/E于尸，先證明四邊形AFEG是矩形，得到AF=GE,zCGD=90°,

再解直角三角形即可.

【詳解】

解：如圖所示延長3C與。E交于G,過點(diǎn)8作于尸，

■■BFLAE,DELAE,BC\\EF,

.?.四邊形物'EG是矩形,

：.BF=GE,Z.CGD=90°,

■■BFABg,m3]°,GO=COgin31°,

DE=DG+GE=DG+BF=(AB+CD)印in31°?9x0,515~4.1^,

二商場一層的高度為4.1米.

3

19.（2021?浙江九年級月考）如圖，在及A/BC中,ZC=90°,BC=4,tanB=~.求sin2的值.

4

【答案］sinA=—.

【分析】

根據(jù)3/5和5c的值可以求出直角邊4C的值，再由勾股定理即可求得45的值，再根據(jù)正弦函數(shù)即可求得

sinA的值.

【詳解】

解：在REA4BC中,

vzC=90°,BC=4,

ACAC3

：4anB=-----

BC丁4

.SC=3,

2

〈ABZuAC+BC,

???AB=5,

,BC4

?'?sinA=----=—

AB5

20.(2021?全國九年級課時練習(xí))如圖，定義：在比中，銳角a的鄰邊與對邊的比叫做/a的余切,

記作cota,即C2碧|嚏.根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題:

(1)cot30°=；

3

(2)如上圖，已知tan/=：,其中NZ為銳角，貝!Jcot/的值為

4------------

【答案】(1)V3；(2)|

【分析】

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用8c表示出N8及NC的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可;

(2)由tan/=>=],所以設(shè)8C=3x,/C=4x,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】

(1)如圖,

Rt^ABC,Na=30°,

,-.BC=-AB,

2

AC-YIAB2-BC2=JAB2--AB2=—AB,

y42

ATt-

/.cot30°=—=V3；

BC

故答案為：VJ.

/、,BC3

(2),/tanA=---=—,

AC4

???設(shè)5c=3x,4C=4x,

,AC4x4

cotA==——=—.

BC3x3

4

故答案為：—

21.(2021?全國九年級課時練習(xí))如圖，在凡△4BC中，//。3=90。,8，4方于點(diǎn)刀.

(1)若4c=3,4B=5,求tan/BCD的值；

(2)若AD=1,40=3,求tan/5CD的值.

【答案】(1)7；(2)顯

【分析】

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到以。=乙4,根據(jù)正切的定義解答；

(2)根據(jù)相似三角形的判定定理證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD,根據(jù)正切的定義解

答.

【詳解】

(1)-：ZACB=90°,CDLAB,

vZBCD+/B=/A+/B=90°,

,?"BCD=/A,在比△/5C中，

BC=4AB1-AC1=,52—32=4，

,BC4

tanA=-----=—,

AC3

4

tan/BCD=tan4=一；

3

(2)-ZACB=90°,C