立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案（含答案）

微專題02立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題

立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題是指空間圖形中的某些點(diǎn)、線、面的位置是不確定的，

是一類可變的開放性問題.由于位置的不確定性，學(xué)生在解題時(shí)容易遇到困難，常

規(guī)的思考方式和解題方法可能不太適用.這類問題要求學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象

能力和靈活的思維轉(zhuǎn)換能力，能夠多角度分析問題.

考向1J最值（范圍）問題

典例精析

典例1如圖所示，在三棱錐尸-ABC中，BCL^PAC,PALAB,PA=AB=4,且

E為尸3的中點(diǎn)，AfUPC于點(diǎn)當(dāng)AC變化時(shí)，三棱錐P-AER體積的最大值

是（）.

A.2B.V2C.延D笆

333

方法總結(jié)：

將待解決的立體幾何中的最值問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量或多個(gè)變量的函數(shù)問題，借助

函數(shù)求最值的方法來解決立體幾何中的最值問題.此外，用變量表示出立體幾何

中待求的問題后，也常利用基本不等式的方法加以解決.

培優(yōu)精練

已知正方體A5CD-4BCD1的棱長為2,P為線段GDi上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-

BCD的外接球半徑的取值范圍為（）.

A.呼,2]B.[等,V3]

C?呼，V3]唔,V3]

考向2J翻折問題

典例精析

典例2如圖，在平面四邊形A3CD中，AB=8,CD=3,AD=5y[3,ZADC=9Q°,

NR4D=30。，點(diǎn)E,R滿足荏乏而，AF^AB，將△AER沿ER翻折至△PER

使得PC=4V3.

(1)證明：EFLPD.

(2)求平面PCD與平面P3R所成的二面角的正弦值.

培優(yōu)精練

如圖1,在矩形A3CD中，AB=2,AD=2y/3,將△A3。沿3。折起，得到三棱錐

M-BCD,如圖2,其中△M3。是折疊前的△A3D,過點(diǎn)”作3。的垂線，垂足

為H,MC=V10.

(1)證明：MHLCD.

(2)過點(diǎn)”作M3的垂線，垂足為N,求點(diǎn)N到平面的距離.

考向3J動(dòng)點(diǎn)軌跡問題

典例精析

典例3多選題在正三棱柱A3C-A向。中,A3=A4=1,點(diǎn)P滿足品=汨？+〃西,

其中7G[0,1],4G[0,1],則().

A.當(dāng)7=0,〃=1時(shí)，AP與平面A3C所成的角為一

q

B.當(dāng)4三時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AiPLBP

C.當(dāng)丸=1,〃三時(shí)，平面AB1P，平面A1A3

D.若AP=1,則點(diǎn)尸的軌跡長度為］

方法總結(jié)：

方法總結(jié)：

(1)幾何法：根據(jù)平面圖形的性質(zhì)判定.

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法計(jì)算.

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段的長度關(guān)系取特殊值或特殊位置排除.

培優(yōu)精練

已知P是邊長為1的正方體ABCD-AiBrCiDx表面上的動(dòng)點(diǎn)，若直線AP與平面

A3CD所成角的大小為9則點(diǎn)P的軌跡長度為().

A.3V2

B.2\^2+TI

c.爭4+兀)

D.2V2+^

參考答案

微專題02立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題

考向1最值（范圍）問題

典例1c

【解析】在三棱錐P-ABC中，由平面PAC,得BCLAC.

又A3=4,AC1+BC2=AB2=16.

、，[]BC

由題意可知V三棱鏈P-AEF=V三棱鏈E-R1F=§，SA戶5

因?yàn)槠矫鍼AC,R1U平面PAC,所以BCLPA.XPA±AB,ABHBC=B,AB,

3Cu平面ABC,所以平面ABC,所以出，AC.

XAFXPC,所以△必Rs^pc4,

所以沁二駕=手工

SZ

LPCAPCP/'+AC*

又SAPCA=9AC必，必=4,

所以s*『昔,

所以v=w考*?

設(shè)AC=〃，0<a<4,貝!JBC='\6—十,

所以V三棱錐E-fii尸二學(xué)，a116；.

316+a2

令"2二層+16,易知16＜相＜32,貝!JV二棱錐及公尸二16（32-6）二學(xué).

3m3

令X」'則X*限H

m

所以V三棱錐E-E4/二可-'.5]2K2+48x—!_，

令於）=-512^+48左-1忌＜%臉）,

由二次函數(shù)於）=-512x2+48x-l的性質(zhì)知，當(dāng)產(chǎn)斗寸，段）有最大值，最大值為1

o4o

所以V二棱錐及出尸的最大值為學(xué)X《=苧，故三棱錐PAER體積的最大值是苧.故

選C.

培優(yōu)精練C

【解析】

如圖，連接AC,3D,且AC交3。于點(diǎn)E,易得E為△BCD的外心，連接AiG,

B1D1,且4G交及Di于點(diǎn)孔連接ER易知EfU平面BCD,.：三棱錐P-3CD

的外接球的球心。在EF上.

設(shè)△PCD的外接圓的圓心為O,連接C。，，CO,00',則。平面PCD由正

方體ABCD-ALBIGDI中的棱3C,平面CC—,得。?！?c

又E,R分別是3D,BA的中點(diǎn)，/.OO'=1.

設(shè)^PCD的外接圓半徑為r,三棱錐P-BCD的外接球半徑為R,則R2=l+^.

設(shè)PG=x,x￡[0,2],則SAPCD=2=^PCPDsinNCPD,

.：---=&+4](24)2+4.

sinzCPD4------~1——

4

又r=CD=1,

2sinzCPDsinzCPD

?3_024[+4y2+4)

16

設(shè)兀0=(5-4*+8)(/+4),[0,2],

則人為=4。3-3爐+6.4).

設(shè)g(,x)=f(x),則gf(x)=12(x2-2x+2)>0,

.](x)在[0,2]上單調(diào)遞增，又八1)=0,

.憂x)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增.

又火1)=25,汽0)=/(2)=32,

.：?e[25,32],2]

.：R=VI不/?[手，遮].故選c.

考向2翻折問題

典例2

【解析】(1)由A3=8,AD=5y[3,AE=^AD,AF^AB,得AE=2E，AF=4.

因?yàn)閆BAD=30°,所以在△AEF中，由余弦定理，得EF^=A^+AF^-

2AE-AFCOSZBAD=12+16-2X2V3X4X^=4,所以踞+￡尸=4產(chǎn)，所以AELER,

即EfUAD,所以EfUPE,EFLDE.

又PECDE=E,且PE,DEu平面PDE,所以ER,平面PDE.又PDu平面PDE,

所以EF±PD.

⑵連接CE,由NADC=90°,ED=343,CD=3,得C^=ED2+CD2=36,所以CE=6.

在△PEC中，PC=4V3,PE=2y[3,EC=6,^Ef^+P^PC2,所以PELEC

由(1)知PELER又ECCEF=E,EC,Eft平面A3CD,所以PE,平面A3CD

又EDu平面ABC。，所以PELED,貝ljPE,EF,ED兩兩垂直，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,0),P(0,0,2百)，D(0,3V3,0),C(3,3舊，0),F(2,0,0),A(0,

-2y/3,0).由R是A3的中點(diǎn)，得3(4,2V3,0),所以而=(3,38，-28)，麗=(0,

3V3,-2V3),PB=(4,2y/3,-2^3),PF=(2,0,-2^3).

設(shè)平面PCD和平面P3R的法向量分別為〃=(為，"，zi),〃z=(X2,加Z2),

則jn.PC=3%1+2bzi=0,

\nPD=3V3y1_2V3z1=0,

z

(mPB—4久2+2y/3y2,2^2=°，

Z

1m.PF—2X2-2^32=0，

令y=2,%2=V3；得XI=0,ZI=3,竺=-1,Z2=l,所以“=(0,2,3)是平面PCD的

一個(gè)法向量，m=(V3,-1,1)是平面P3R的一個(gè)法向量，

所以|cos<m,n>\=lm,nl=r-1

嚴(yán)|嚴(yán)|V5xV1365

設(shè)平面PCD和平面P3R所成的二面角的平面角為仇則sinH—cos?〕里!!,

65

即平面PCD與平面P3R所成的二面角的正弦值為電fl

65

培優(yōu)精練

【解析】

⑴如圖，連接CH.由MB=CD=2,MD=BC=2W，NBMD=NBCD=90。,得3。=4,

ZMDB=ZDBC=3Q°,MH=43,BH=1.

在中，由余弦定理，22=

MCH=VBH+BC.2BH.BCCOS30OV7.

因?yàn)橄螱,所以

又MHLBD,CHCBD=H,CH,BDu平面BCD,所以MH,平面BCD

又CDu平面BCD,所以MHLCD

(2)在4MBD中，由NH±MB,MD±MB,得NH〃MD.因?yàn)锳ffi>u平面MCD,

NWC平面MCD,所以NH〃平面MCD,所以點(diǎn)N到平面MCD的距離等于點(diǎn)H

到平面MCD的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面MCD的距離為力，點(diǎn)H到平面MCD的距離

為d.

因?yàn)樾?需=3'所以。=制

又cosNMDC=：+：2謂=組,所以sinNMDC=逗，S^MCD=^2X243^—=—,

2x2x2V344242

$△BCD=.

1

得-x解得

由V三棱錐B-MCD=V三棱錐M-BCD,35MCD-h=^S^BCD-MH,BP-^/i=2V3V3,

A32

狂警.

所以點(diǎn)N到平面MCD的距離4=扣=誓.

考向3動(dòng)點(diǎn)軌跡問題

典例3ACD

【解析】

0：

B

圖1

如圖1,當(dāng)2=0,〃=1時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)31重合，由已知得313,平面A3C,所以

N31A3就是AP與平面ABC所成的角，因?yàn)锳3=AAi=1,所以tanZBiAB=^=1,

又/即鉆G(0,5),所以NBA34即AP與平面ABC所成的角為3，故A正

確.

\/

獷C

B

圖2

當(dāng)24時(shí)，取線段BC,51G的中點(diǎn)分別為M,Mi,連接MMi,如圖2,因?yàn)?/p>

麗=2阮+〃西，即痛=〃函，所以加〃西,則點(diǎn)P在線段MMi上，設(shè)

MP=x(0<x<l),則PM=l-x,

則3P2=5肝+”產(chǎn)=(；)2+%2,AiP-=AiM^+PMl=^+(l-x)2,AiB2=2,

若AxPLBP,則AXB2=BP2+AP2,則2=丹/+升(1-鏟，整理得(x-l)=0,解得

X44x

x=l或x=0,則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M或跖重合時(shí)，AxPLBP,即當(dāng)7弓時(shí)，存在兩個(gè)

點(diǎn)P,使得AiP上BP,故B錯(cuò)誤.

當(dāng)i=1,時(shí)，BP=BC+^BBI，則標(biāo)仁兩，所以P是"1的中點(diǎn)，取3c的

中點(diǎn)為。，5cl的中點(diǎn)為以。為原點(diǎn)，QA,QB,QH所在直線分別為x軸、

y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3,則A(噂，0,0),B(0,0),5,(

0,(1)，尸(0,》

所以同=卜槳I，0),初=西=(0,0,1),麗=卜噂，>1)，AP=(-^V

N乙Z乙/乙

!)?

設(shè)平面AiAB和平面ABiP的法向量分別為機(jī)=(xi,yi,zi),n=(xi,yi,zi),

則產(chǎn)初=一苧%1+/i=0,

'-V31

%z

AB1,n——2-2+2y2+2—0>

[一V311

(ZP.Ti——2-^2.2y2