廣東省部分名校2025屆高三上學(xué)期階段調(diào)研數(shù)學(xué)試卷三（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分名校2025屆高三上學(xué)期階段調(diào)研數(shù)學(xué)試卷三一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為（）A.8 B.7 C.16 D.15【答案】B【解析】因?yàn)椋?，將中元素代入，?yàn)證可得，所以的真子集的個(gè)數(shù)為.故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)椋栽搹?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3.設(shè)，都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，可得，則，所以，即等價(jià)于；若，等價(jià)于，顯然可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.4.已知，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，即，所以，所以，所以．故選：D．5.已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.在方向上投影向量為C.若，則D.若，則【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，是單位向量，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，是單位向量，所以在方向上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，故D錯(cuò)誤；故選：B．6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以．故選：C.7.函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)圖象向右移個(gè)單位后，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為D.若，則函數(shù)的最大值為【答案】D【解析】.因?yàn)?，的最小正周期為，所以，解得，故A選項(xiàng)正確；所以，，因?yàn)?，所以，函?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)正確；將函數(shù)圖象向右移個(gè)單位后可得函數(shù)的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對(duì)稱，所以,即，又，所以的最小值為，C選項(xiàng)正確；若，則，所以，故，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為，D錯(cuò)誤.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，C.的解集是D.都有【答案】C【解析】設(shè)，則，所以，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以f-x=-fx所以，即，所以函數(shù)的解析式為，故不正確；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故不正確；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以的解集為，故正確；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，f'x<0，函數(shù)當(dāng)時(shí)，f'x>0，函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，函數(shù)當(dāng)時(shí)，f'x<0，函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，當(dāng)時(shí)，，所以，都有，所以不正確.故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，，則（）A.與的值域相同B.與的最小正周期相同C.曲線與有相同的對(duì)稱軸D.曲線與有相同的對(duì)稱中心【答案】ABC【解析】對(duì)于A，，，則與的值域相同，故A正確．對(duì)于B，與的最小正周期均為，故B正確．對(duì)于C，曲線與的對(duì)稱軸方程均為，C正確．對(duì)于D，曲線沒有對(duì)稱中心，曲線有對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是等差數(shù)列，且，則B.若是等比數(shù)列，且，則C.若，則是等差數(shù)列D.若是公比大于1的等比數(shù)列，則【答案】AB【解析】對(duì)于A，若是等差數(shù)列，則，且，則，A正確；對(duì)于B，若是等比數(shù)列，顯然時(shí)，否則，不成立，，且，則，B正確；對(duì)于C，若，則，，，，數(shù)列不是等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，，不滿足，D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是偶函數(shù)，且，令，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.【答案】BCD【解析】對(duì)A，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，所以，即，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋?，得，所以，又，所以，，…，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是________．【答案】8【解析】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以，函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)椋?，則，令，則所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，因，，所以，的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：13.已知的外心為，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.若，則__________.【答案】解析】由題意，不妨設(shè)，所以，解得k=1，則，又因?yàn)槭堑耐庑?，過點(diǎn)作又因?yàn)?所以則，故填：14.若存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時(shí)，__________．【答案】【解析】因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，若存在?shí)數(shù)，使得上式成立，則，則，可得，可得，解得，由，則取得最大值時(shí)，此時(shí).故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．（1）求；（2）若，則面積為，求、的值．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，則，所以，，即，即，因?yàn)椋瑒t，所以，，解得.（2）因?yàn)椋?，①，由余弦定理可得②，?lián)立①②可得或.16.已知數(shù)列中，，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)椋?，即，為常?shù)，故數(shù)列是等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以，故，所以，兩式相減得，，所以．17.已知直三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成的角的余弦值為?（1）證明：由于在直三棱柱中，有平面，而在平面內(nèi)，故.同時(shí)有，且，故.由于，，且和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面.由于在平面內(nèi)，故.取的中點(diǎn)，由于分別是和的中點(diǎn)，故，而，故，即.由于分別是和的中點(diǎn)，可以得到，所以有平行四邊形，故.設(shè)和交于點(diǎn)，由于，，，從而得到全等于，故.這就得到，從而，即.而，故.由于，即，而，和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面.由于平面，在平面內(nèi)，故平面平面.（2）解：有，又因?yàn)槠矫?，和在平面?nèi)，故，.由于兩兩垂直，故我們能夠以為原點(diǎn)，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由于題設(shè)條件和需要求證的結(jié)論均只依賴于線段間的比值，不妨設(shè)，這就得到A0,0,0，，，，，，，.據(jù)題設(shè)有，顯然，此時(shí).從而有，，，.設(shè)和分別是平面和平面的法向量，則，.即，，從而可取，.此時(shí)平面與平面所成的角的余弦值為，故條件等價(jià)于，即，解得，所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為.18.如圖，廣東省某機(jī)器人比賽設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形場(chǎng)地ABCD（含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放一只電子狗，在距A點(diǎn)2米的E處放一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為2v，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫“成功點(diǎn)”．（1）求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)“成功點(diǎn)”M的軌跡方程；（2）若P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一點(diǎn)，電子狗在線段FP上總能逃脫，求|AP|的取值范圍．解：（1）分別以AD，AB為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)成功點(diǎn)，依題意，，即，則，化簡(jiǎn)得，所以這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程是.（2）由（1）知，點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，為半徑的右半圓，由電子狗在線段FP上總能逃脫，得直線與點(diǎn)M軌跡在軸右側(cè)且相離，此時(shí)直線的斜率，方程為，即，由，得，則有，即，此時(shí)，而，所以的取值范圍是.19.已知函數(shù)，且在上的最小值為0.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)；（ii）記，其中，求證：.（1）解：，，，，，令，等號(hào)不同時(shí)取，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，①若，即，，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，符合題意.②若，即，此時(shí)，，又函數(shù)在的圖象不間斷，據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，與題意矛盾，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：（i）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，.要證函數(shù)在上具有性質(zhì).即證：當(dāng)時(shí)，.即證：當(dāng)時(shí)，.令，，則，即，，，所以在上單調(diào)遞增，.即當(dāng)時(shí)，，得證.（ii）法一：由（i）得，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.下面先證明兩個(gè)不等式：①，其中；②，其中