《對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)》知識要點整合

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)》知識要點整合知識要點整合一、對數(shù)的基本運算1.對數(shù)運用應(yīng)遵循的原則：對數(shù)式的運算要注意公式應(yīng)用過程中范圍的變化，前后要等價運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式、換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.2.對于底數(shù)相同的對數(shù)式的化簡，常用方法有：（1）“收”，將同底的兩個對數(shù)的和（差）收成積（商）的對數(shù)；（2）“拆”，將積（商）的對數(shù)拆成對數(shù)的和（差）.例1計算：.解析運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式、換底公式進行對數(shù)計算.答案原式.例2設(shè)，則的值為（）A.6B.3C.2D.1解析由得，答案D二、與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象1.對數(shù)型函數(shù)圖象過定點：求函數(shù)的圖象過定點，令，求出x，即得定點為.2.根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小：作直線y=1與所給圖象相交，交點的橫坐標即為各底數(shù)，依據(jù)在第一象限，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大.3.一般地，函數(shù)（a，b為實數(shù)）的圖象是由函數(shù)的圖象沿x軸向左或向右平移，再沿y軸向上或向下平移得到的；含有絕對值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對稱變換得到的.4.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱.例3若函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)正確的是（）A.B.C.D.解析由已知函數(shù)圖象可得，，所以.A項，函數(shù)解析式為，在R上單調(diào)遞減，與圖象不符；C項中函數(shù)的解析式為，當時，，這與圖象不符；D項中函數(shù)解析式為，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，與圖象不符；B項中對應(yīng)函數(shù)解析式為，與圖象相符.答案B例4函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點（）A.（1，1）B.（1，0）C.（2，1）D.（2，0）解析把的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，即可得到的圖象，故其經(jīng)過點（2，1）.答案C三、與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用1.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.（1）單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集，哪怕一個端點都不能超出定義域；（2）單調(diào)性相同，則為增函數(shù)，單調(diào)性相異，則為減函數(shù)，簡稱“同增異減”.2.比較對數(shù)值大小常用的四種方法：（1）同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（2）同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化；（3）底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量；（4）若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進行分類討論.3.對數(shù)不等式.（1）根據(jù)和去掉對數(shù)符號，注意不等號的方向；（2）加上使對數(shù)式有意義的約束條件.4.對數(shù)方程式.含有對數(shù)的方程式，一般把方程左右兩邊表示成同底的對數(shù)式，然后根據(jù)真數(shù)相等得出新的方程，即可求解，注意所求的未知數(shù)要保證對數(shù)式有意義.例5若，則（）A.B.C.D.解析因為，則對于A，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故，A錯誤，對于B，根據(jù)底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)的影響：當時，在上“底小圖高”，又因為，所以，B錯誤，對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，C正確，對于D，函數(shù)在R上單調(diào)減，故答案C例6已知函數(shù)，解關(guān)于x的不等式.解析將不等式左右兩邊化為同底對數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.答案因為，所以，所以，所以，所以不等式可化為.所以即所以，所以不等式的解集為.四、與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域與最值求函數(shù)值域或最值常用的方法：（1）直接法：根據(jù)函數(shù)解析式的特征，從函數(shù)自變量的變化范圍出發(fā)，通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合解析式，直接得出函數(shù)的值域.（2）配方法：當所給的函數(shù)是可化為二次函數(shù)形式的，求值域可用配方法.（3）單調(diào)性法：根據(jù)在定義域（或定義域的某個子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域.（4）換元法：求形如型函數(shù)的值域，①換元，令，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)求出u的范圍；②利用的單調(diào)性、圖象求出y的取值范圍.例7已知且，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1.（1）求a的值；（2）若，求函數(shù)的值域.解析（1）利用單調(diào)性求解；（2）利用配方法求值域.答案（1）因為，所以在上為增函數(shù).又在上的最大值與最小值之差為1，所以，即，所以.（2）函數(shù).令，因為所以，即.所以，所以所求函數(shù)的值域為.例8求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）.解析先求函數(shù)的定義域，再結(jié)合單調(diào)性求解.答案（1）函數(shù)的定義域為R.因為，所以，所以函數(shù)的值域為.（2）設(shè)，又，所以.因為在（0，+∞）上為減函數(shù)，所以，所以的值域為.五、對數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長差異1.線性函數(shù)模型的增長特點是直線上升，其增長速度不變.2.指數(shù)函數(shù)模型的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.3.對數(shù)函數(shù)模型的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩.例9聲強級Y（單位分貝）由公式給出，其中Ⅰ為聲強（單位：）.（1）平常人交談時的聲強約為，求其聲強級；（2）一般常人能聽到的最低聲強級是0分貝，求能聽到的最低聲強為多少；（3）比較理想的睡眠環(huán)境要求聲強級分貝，已知熄燈后兩位同學(xué)在宿舍說話的聲強為，問這兩位同學(xué)是否會影響其他同學(xué)休息？解析（1）把代入公式，即可求解；（2）把代入公式，即可求解；（3）把代入公式，求出Y，再與50比較，可得結(jié)論.答案（1）當聲強為時，由得（分貝）.（2）當時，由得.所以，即.則最低聲強為.（3）當聲強為時，，因為，所以這兩位同學(xué)會影響其他同學(xué)休息.例10某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預(yù)計年利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y（百萬元）與年投資成本x（百萬元）變化的一組數(shù)據(jù)：給出以下3個函數(shù)模型：①；②；③.（1）選擇一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系；（2）試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型.解析（1）利用待定系數(shù)法代入部分數(shù)值求出解析式，然后驗證是否符合題意，選出恰