遼寧省沈陽(yáng)市于洪區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

（本試卷共23小題滿分120分考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘）

考生注意：所有試題必須在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，在本試卷上作答無(wú)效

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1.如圖所示幾何體的俯視圖是（）

【解析】

【分析】本題主要考查了圓錐的俯視圖，根據(jù)從上面看到的圓錐是一個(gè)帶圓心的圓，進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：圓錐從上向下看是一個(gè)帶圓心的圓，故C正確.

故選：C.

2.用配方法解一元二次方程6、=1,則配方后所得的方程為（）

2232

A（A+3）=10B（.X+3）=8C（.X-3）=10D,（A-3）=8

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了配方法，方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊轉(zhuǎn)化為完全平方式即可求解,

掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊加9得，/-6x+9=1+9,

即（.3）2=10,

故選：C.

k

3.如果反比例函數(shù)y=x的圖象在二、四象限，那么k的取值范圍是（）

A.k>0B.k<0C.k>0D.k<0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：當(dāng)k<0時(shí)，反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限.

【詳解】解：..?圖象在二、四象限，

.?.k<0.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

4.如圖，四邊形四邊形43'CZ)',ZA=80°,4=70°,NC'=90。，則/。的度數(shù)為

()

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和，掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相

似多邊形的性質(zhì)可得NC=NC'=90°,再結(jié)合四邊形內(nèi)角和求解即可.

【詳解】解：???四邊形加四邊形43'C'Z)',ZC-PO,,

...NC=NC'=90。，

vZZ=80°,ZB=70。,

...ND=360°-Z^-Z5-ZC=360°-80°-70°-90°=120°；

故選：D

5.如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為28,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E為AD的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)等于

()

A.2B.3.5C.7D.14

【答案】B

【解析】

【分析】由菱形的周長(zhǎng)可求得A3的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理可求得答案0

【詳解】：四邊形ABC。為菱形，.MB428=7,且。為3。的中點(diǎn).

1

=—

???E為的中點(diǎn)，為△A8D的中位線，：.OE2AB=3.5.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，由條件確定出OE為△A3。的中位線是解題的關(guān)鍵.

_5

6.若點(diǎn)3（1，乃）,。（5心）都在反比例函數(shù)J一；的圖象上，則果，”，丁3的大小關(guān)系

是（）

C.J'2

【答案】D

【解析】

>=_5

【分析】把點(diǎn)A、8、「三點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)’-7,求出的值，比較得出答案.

本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解反比例函數(shù)的性質(zhì)是正確判斷的前提，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入是常用的

方法.

_5

【詳解】解：把點(diǎn)4一5）,8（14），C（5,3）代入反比例函數(shù)】‘一不得,

Ji=-5,"=5,巧=1,

<心<心，

故選：D.

7.如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”.數(shù)學(xué)小組為了探究隨機(jī)投放一個(gè)點(diǎn)恰

A.0.47B,0.50C,0.55D,061

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，利用大量重復(fù)試驗(yàn)下事件發(fā)生的頻率可以估計(jì)該事件發(fā)生的

概率直接回答即可.解題的關(guān)鍵是了解“大量重復(fù)試驗(yàn)下事件發(fā)生的頻率可以估計(jì)該事件發(fā)生的概率”.

【詳解】解：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)逐漸增大時(shí)，落在“心形線”內(nèi)部的頻率穩(wěn)定在S50附近，

，估計(jì)隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為0.50.

故選：B.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△HBC與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)。.若點(diǎn)月（-31）的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為/（—6二），則點(diǎn)3（-2,4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)*的坐標(biāo)為（）

(-8.4)D.?-8)

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點(diǎn)月、月'的坐標(biāo)可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似

變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???U3C與是位似圖形，點(diǎn)4T1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4（-6二），

AHB'C'與AHBC的位似比為？，

...點(diǎn)3（T4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9的坐標(biāo)為Hx2,4x2）即（f8）,

故選：A.

9.如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為32m,寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種

植草坪，使草坪的面積為57OH12.若設(shè)道路的寬為xm,則下面所列方程正確的是（）.

A.(32-2%)(20-x)=570B.32x+2x2Qx=32x20-570

C.(32-%)(20-%)=32x20-570D.32x+2x20x-2x2=570

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，觀察圖形，列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)道路的寬為xm,根據(jù)題意得：

（32-2x）（20-x）=570,

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)題意列方程.理解題意是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，正方形4ECO的對(duì)角線HC，3D相交于點(diǎn)O,點(diǎn)￡是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是。。的中點(diǎn)，連接

EF,則S_QB。的值為（）

A.FB.3C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，三角形中位線的定義和性質(zhì)，

EF

先根據(jù)題意可知防是上。4D的中位線，可知4D2,再根據(jù)正方形的性質(zhì)可知nD=3C，Q||BC,

進(jìn)而得出一。即J-03C,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出答案.

【詳解】???點(diǎn)E是Q4的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是8的中點(diǎn)，

EF是一0AD的中位線，

EF

:.EF//AD,AD~2.

?.?四邊形48CD是正方形，

...AD=BC,AD||BC,

EF

:.EF//BC,~BC~2,

：.-0EF'?-OBC,

Sw一1

/.S-oac4.

故答案為：D.

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）

v2x-v

11.若x3,貝I]V.

工

【答案】3

【解析】

匕二口=1上

【分析】本題考查的是比例的性質(zhì)，由x3,可得xx,再計(jì)算即可.

yJ

【詳解】解：：3,

1

故答案為：3

12.某蓄電池的電壓為4SV,使用此蓄電池時(shí)，電流7（單位：A）與電阻R（單位：Q）的函數(shù)表達(dá)式為

/=48

R,當(dāng)時(shí)，1的值為A.

【答案】4

【解析】

/=48

【分析】將R=12Q代入-R中計(jì)算即可；

【詳解】解：：R=12Q,

4848

I=---=---=4/A\

R12（A）

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查已知自變量的值求函數(shù)值，掌握代入求值的方法是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，己知直線a〃'6〃c,分別交直線辦”于點(diǎn)A,B,c和D,E,F,AB=4,50=6,

DE=3,那么。尸的長(zhǎng)為.

【解析】

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)a〃6〃c得到

AB_DE

AC~DF,代入數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】解：■.■a//b//c,

ABDE

.-.AC=DF,

■.■AB=4,BC=6,D￡-3,

4

.-.4+6=nF,

DF=—

???一o，

15

故答案為：

k

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)0的直線交反比例函數(shù).的圖像于A3兩點(diǎn)，EC1J軸于

點(diǎn)C,KHSC的面積為6,則無(wú)的值為.

【答案】-6

【解析】

【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖像特征，可知4B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得到

二℃的面積等于一“℃的面積，然后由反比例函數(shù)的比例系數(shù)上的幾何意義，即可求出片的值.

k

【詳解】解：???經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。二直線與反比例函數(shù).一.T相交于4B兩點(diǎn)，

.-.A3兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

:.OA=OB,

V-V

.?."-BOO-Q.ac',

?.?2月30的面積為6,

.S.BOO=彳=3

??—,,

k

又：盾是反比例函數(shù)?一》圖像上的點(diǎn)，且BCj軸于點(diǎn)0,

S"A9C=一|無(wú)1=3

/.2,解得上=±6,

..?該反比例函數(shù)圖像在二、四象限，

<0,

/.=-6.

故答案為：一6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例函數(shù)的比例系數(shù)上的幾何意義、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，明確反

比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

15.在口中，AB-3,BC=6,/4BC是銳角，將CD沿直線，翻折，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為。，D',

若CD落在直線力5上，且點(diǎn)°,落在線段用的三等分點(diǎn)處，則。幺8。0的面積為.

【答案】128或3盡

【解析】

【分析】本題考查翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，分情況準(zhǔn)確畫出圖形，并能靈活運(yùn)用相關(guān)性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

分一H和一司兩種情況討論，令直線2分別交4D,BC于點(diǎn)、E,F,過(guò)點(diǎn)尸作

FH上月B于點(diǎn)、H,可推出S“MCD=2S”皿，再在兩種情況下，分別求出尸H,從而求出S“皿進(jìn)而

解決問(wèn)題.

【詳解】解：點(diǎn)0’落在線段幺3的三等分點(diǎn)處，有兩種情況：

AC'=-AB=1—「C,C

如圖，3，此時(shí)3C=45-4?=1-1=~,

令直線2分別交功，3c于點(diǎn)石1，F(xiàn),過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)H,

由折疊性質(zhì)可知，ABEF且刃8與名尸，CD與HP之間的距離相等,

CF=C'F=BF=-BC=3

：,BH=CH=-0BC'=\

C_C-1c

ABTJ_2aBjr-/x^^ABCD

在Rt—BRH中,

由勾股定理可得尸H=JBF'-BH'=舟-1'=2'75,

S皿=ABxFH=3Kta=6a,

S「ABCD=2sABH=

BC'=-AB=\

如圖,3

令直線/分別交no,BC于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)尸作NH1,鉆于點(diǎn)H,

由折疊性質(zhì)可知，AB/EFCD,且與砂，CT）與防之間的距離相等,

CF=C'F=BF=-BC=3

7

BH=CH=-BC'=-

Sxirr=Zexr=彳$-心幻

在Rt-BFH中,

V35

由勾股定理可得

=Affx尸目=3＞更=碼至

SqAKD=2乂皿y=3\/35.

故答案為:1R5或3屈.

三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）

16.解下列方程:

2(x+3)'=x(x+3)

(1)

⑵2x3-3x-1=0.

【答案】（）』

1--3,.r3=-6

酒3-^7

⑵?4,'4

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵.

（1）先移項(xiàng)、然后運(yùn)用因式分解法求解即可;

（2）直接運(yùn)用公式法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：2(x+3)=x(x+3)

2(X+3)3-I(X+3)=0

(x+3)[2(x+3)-x]=0

(x+3)(x+6)=0

x+3=0或K+6=0,

所以x=-3或與=-6.

【小問(wèn)2詳解】

解:2?-3x-l=0,

△=(-3)2-4x(-l)x2=17>0

f

_-3+y/il

所以a&54—,

3+拒3-717

x.=--------x,=--------

所以4,4.

17.已知關(guān)于X的一元二次方程X'+ax+aT=0.

(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若此方程有一個(gè)根為2,求。的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)。=-1

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式、一元二次方程的解的含義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此

題的關(guān)鍵.

⑴先計(jì)算出根的判別式的值得到△=/一4X1X[(。-1)]“，然后根據(jù)根的判別式的意義即可得到

結(jié)論；

(2)把x=2代入/+ax+a-l=0,解方程即可得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：

△=<72-4xlx(a-l)

■a：-4a+4,

=(a-2)2>0

該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

【小問(wèn)2詳解】

解：v方程f+G+a-1=0有一個(gè)根為2,

/.4+2a+a-l=0,

解得：a=-l.

18.某校為了解九年級(jí)學(xué)生對(duì)消防安全知識(shí)掌握的情況，隨機(jī)抽取該校20名九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并將

名學(xué)生分成甲、乙兩組，每組各1。人.對(duì)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行收集、整理描述和分析(測(cè)試滿分為1。分)，

收集整理的數(shù)據(jù)制成了如下統(tǒng)計(jì)圖表：

甲組學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖乙組學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖

平均中位眾

數(shù)數(shù)數(shù)

甲

a

組88

乙

bC

組8.3

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題.

(1)填空：,b=,c=；

(2)該校九年級(jí)共有360名學(xué)生，若全年級(jí)學(xué)生都參加本次測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到9分及以上的人

數(shù)；

(3)現(xiàn)在準(zhǔn)備從甲、乙兩組滿分為1。分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生參加市級(jí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀

圖法求所抽取的兩名學(xué)生恰好一人來(lái)自甲組，另一人來(lái)自乙組的概率.

【答案】(1)8,3,8.5,7.

(2)估計(jì)競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到9分及以上的人數(shù)約為144人；

r

(3)3.

【解析】

【分析】門)從折線統(tǒng)計(jì)圖中可以看出，甲組中得7分的有1人，得8分的有6人，得9分的有21人，得

1。分的有1人，根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算可得甲組的平均數(shù)；從條形統(tǒng)計(jì)圖中可以看出，乙組中得7分的有

」人，得8分的有1人，得9分的有3人，得1。分的有2人；根據(jù)中位數(shù)的定義可以得到乙組的中位數(shù)為

8.5、眾數(shù)為7；

2JOUX—

J)計(jì)算出抽取的20人中得9分及以上的人的數(shù)量點(diǎn)總?cè)藬?shù)的比例為W,用九年級(jí)總?cè)藬?shù)3計(jì)算出

九年得9分及以上的人的數(shù)量；

(3)運(yùn)用列表法表示出隨機(jī)抽出::人總共有6種情況，其中抽取的兩名學(xué)生恰好一人來(lái)自甲組，另一人來(lái)

2

自乙組的有4種情況，從而得到抽取的兩名學(xué)生恰好一人來(lái)自甲組，另一人來(lái)自乙組的概率為二

【小問(wèn)1詳解】

解：從折線統(tǒng)計(jì)圖中可以看出，甲組中得7分的有1人，得8分的有6人，得9分的有2人，得io分的有

1人，

a=—x(lx7+6xS+2x9+lxl0)=8.3

/.甲組的平均數(shù)為10,

從條形統(tǒng)計(jì)圖中可以看出，乙組中得7分的有4人，得8分的有1人，得9分的有3人，得io分的有？

人，

b=—x(8+9)=8.5

..乙組的中位數(shù)為2,

乙組中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是7,

.乙組的眾數(shù)為c=7,

故答案為8.3,85.7.

【小問(wèn)2詳解】

_8__2

解：???共抽測(cè)了20人，得9分及以上的有8人，點(diǎn)總?cè)藬?shù)的20一

360x2=144

.九年級(jí)360人，成績(jī)達(dá)到9分及以上的有5人；

【小問(wèn)3詳解】

解：甲組得1。分的有1人，乙組得1。分的有2人，

列表如下，

甲乙1乙2

甲乙再乙2甲

乙1甲乙1乙2乙1

乙2甲乙2乙乙2

從表中可以看出任意抽取2名同學(xué)的情況共有6種，恰好一人來(lái)自甲組、一人來(lái)自乙組的有4種情況，

4_2

.抽取的兩名學(xué)生恰好一人來(lái)自甲組，另一人來(lái)自乙組的概率為不一3.

【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法求概率，條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖以及樣本估計(jì)總體，掌握中位數(shù)、

眾數(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法是正確解答的前提，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是計(jì)算概率的關(guān)鍵.

19.某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了如下兩個(gè)測(cè)量方案：

活動(dòng)

測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度

目的

活動(dòng)

方案一：利用陽(yáng)光下的影子方案二：利用鏡子的反射

方案

11

二

示意

D/D

圖

/zz/z/Z/Zz///////

FECEECB

①在與旗桿底部位于同一水平面的C點(diǎn)

①同學(xué)站在操場(chǎng)上E點(diǎn)處，測(cè)量同處，放置一面鏡子；

學(xué)的身高②測(cè)量鏡子到旗桿的距離CB；

實(shí)施

②測(cè)量同學(xué)在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)斯；③觀測(cè)者調(diào)整位置，直至通過(guò)鏡子剛好

過(guò)程

③在同一時(shí)刻，測(cè)量旗桿小，的影長(zhǎng)看到旗桿頂部A;

BC.④測(cè)量觀測(cè)者到鏡子的距離EC；

⑤測(cè)量觀測(cè)者眼睛距離地面的高度。匕

測(cè)量Z)￡=18m，EF=\5m，

DE=15m，EC=2m，CB=16m

數(shù)據(jù)5C=10m

請(qǐng)你從以上兩種方案中任選一種，計(jì)算操場(chǎng)上旗桿八日的高度.

【答案】操場(chǎng)上旗桿A8的高度約為12m

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用.熟練掌握相似三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

DE_EF_1_8=1_5

方案一：由題意知，AB~~BC,即君一記，計(jì)算求解即可；方案二：證明ADCE二則

DE_EC1,5_2

ABBC,即ZB16,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：方案一：

DE_EF竺=?

由題意知，AB8C,即4510,

解得，AB=}2,

的高度為12m；

方案二：

"DCE=乙4CB,ADEC=90。=&BC,

.-.^DCE^ACB,

DE_ECL5_2_

.-.AB3C,即AS16,

解得，AB=12,

./〃的高度為12m.

20.為鼓勵(lì)和推廣全民閱讀，某品牌圖書(shū)開(kāi)展了促銷活動(dòng).八月份售出圖書(shū)3000本，十月份售出圖書(shū)

4320本.

(1)求該品牌圖書(shū)銷量的月平均增長(zhǎng)率；

(2)該品牌圖書(shū)每本成本為20元，當(dāng)售價(jià)為40元/本時(shí)，平均每天的銷售量為100本.經(jīng)試銷統(tǒng)計(jì)發(fā)

現(xiàn)，如果該品牌圖書(shū)的售價(jià)每降價(jià)1元，那么平均每天可多售出1。本.若要使平均每天的利潤(rùn)保持不變，

并且讓消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠，那么該品牌圖書(shū)每本的售價(jià)應(yīng)為多少元？

【答案】(1)該品牌圖書(shū)銷量的月平均增長(zhǎng)率為20%

(2)該品牌圖書(shū)每本的定價(jià)應(yīng)為30元

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意列出方程求解.

2

(1)設(shè)該品牌圖書(shū)銷量的'月平均增長(zhǎng)率為X,根據(jù)題意得出八月份售出圖書(shū)XU+TI=十月份售出圖

書(shū)，列出方程求解即可；

(2)設(shè)該品牌圖書(shū)每本的售價(jià)應(yīng)為y元，根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)X數(shù)量，列出方程求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)該品牌圖書(shū)銷量的月平均增長(zhǎng)率為尤，

3000(1+1)2=4320

解得：』=0二=20%，5=一2二(舍去)，

答：該品牌圖書(shū)銷量的月平均增長(zhǎng)率為20%.

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)該品牌圖書(shū)每本的售價(jià)應(yīng)為y元，

(y-20)[100+10(40-^)]=(40-20)x100

解得：VI=30,V2=40(舍去)，

答：該品牌圖書(shū)每本的定價(jià)應(yīng)為30元.

21.如圖1,在中，乙4c3=90°,點(diǎn)尸為池邊上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)a,B重合)，過(guò)尸分別

作尸于點(diǎn)E,尸尸_LRC于點(diǎn)?

A

(1)求證：四邊形CEEF是矩形；

(2)如圖2,連接°尸，若。?是的角平分線，且A7=4,BC=3,求四邊形CEFW的面積.

144

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)49

【解析】

【分析】(1)由PE'BC,PFLAC,得到NPRC="8C=90。，結(jié)合乙408=90。，即可得

證，

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到尸尸=EE,根據(jù)正方形的判定得到CF=HP,由A"PSA203,得到

AC-CFCF

ACCB,代入求出C尸，應(yīng)用正方形面積公式，即可求解.

本題考查了矩形的判定，正方形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定

理.

【小問(wèn)1詳解】

解：?.?PE_LBC,PFLAC,

：.APFC=￡P(guān)EC=%°,

又?.?ZZC3=90°,

四邊形CE叩是矩形

【小問(wèn)2詳解】

解：尸是乙幺30的角平分線，PE上BC,PFVAC,

:.PF=PE,

矩形CEPH是正方形，

:.CF=FP,

■：PEJLBC,ZACB=90°,

,-PFffBC,

:DAFPSAACB,

AFFPAC-CFCF4-CFCFp

----=-=-=CF■—

ACCB,即：ACCB,即：43解得：7,

-CF，=1^1

四邊形C笠尸尸的面積49.

22.【問(wèn)題探究】

（1）如圖1,在正方形mCD中，點(diǎn)E,尸分別為3C和CD上的點(diǎn)，連接HE,B尸交于點(diǎn)0,若

AELBF.求證：AE=BF；

【類比遷移】

（2）如圖2,在矩形3。。中，2AD=3AB,點(diǎn)E為3c邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為對(duì)角線力。上一點(diǎn)，連接

CE

■AE,即交于點(diǎn)o,若?13_1_39，4F=2CF,求的值；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在矩形EBCD中，M=14瓦點(diǎn)E為9c邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為CD邊上一點(diǎn)，若本平分

NBHF,且BE=1）尸=2,求的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

CE_1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）BE2（3）2V2-2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)乙48=90°,利用同角的余角相等得出/2/43=/冗50,再根據(jù)ASA即可證出

^FBC^-EAB,

CF_CM_1

（2）作PA/_L3。于點(diǎn)AT,由尸Af〃4B,得到4FBM2,設(shè)CM=a,則

FMCF1、

-=FM=-

BC=3a,AB=2a,由AC尸MSAC班,得到45AC3,3

ABBO?回

BF==二Ma，=.OB="a

3由A430SA3FM,得到BFFM,求出5

~23MBEOB__2

OA.=JAB-OB=------a，=BE=—a

5,同理AHBESAHOB,ABOA,得到3,

）7

CE=3a—a=-a

33,即可求解，

GH_AH

（3）作EH14F于H,交功于G,則△月4GsDFAD2,結(jié)合（2）的結(jié)論得到

EG_AB

AFAD2,求出我長(zhǎng)，利用勾股定理解題即可.

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的

關(guān)鍵是：連接輔助線，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理.

【詳解】解：(I)?.?四邊形加CD是正方形,

AB~BC,

ZABE=ABCF=90°,

???4月1副即乙4。尸?90°,乙4。3=90°,

/班￡+N。班=90°,

又?.?ZraC+N。班=90。，

:"BAE—CBF,

在AASE和色3CV中

'乙BCF=ZABE

'AB=BC

ZBAE=&BC

..UBff^BCF(ASA)

BE=CF.

⑵作EW_LBC于點(diǎn)M,

CF_CM

...AF=1M=2,

在矩形QC。中，2AD=3AB,

AD=BC.AB=CD=-BC

3,

設(shè)CM=a,則BM=2a,BC=3a,AB=2

■：FMAB,

...△CFMSACAB,

FMCF1

...ABAC3,

FM、a

...3,

BF=^FM2+BM2=」Ma

?.?zABO+dBM=zABO+ZBAO=90°,

...ZFBM=NBA。,

?：ZABE=NBMF,BM=AB=2a

^ABE=ABMF,

BE=FM=二4a

c7

CE=BC-BE=3a--a=-a

33,

CE_1

...H￡平分Na4尸，且BE=。斤=2,

,EH=BE=2,沏=*［加

...&HQ=4D=90°,AHAG=ADAF,

."AHG^ADF,

GHAH1

=""

DFAD2

:.GH=1,EG=3

過(guò)點(diǎn)BM〃EG,交A￡＞于點(diǎn)M,

則四邊形38GM是平行四邊形，BM=EG,

??-ZABM=90,-ABAF=ZDAF,Z'BAM=ZADF=9Q°J

：.ABAMSAADF

EG_BM_AB

運(yùn)一行一瓦一5

..AF=6,加=，加-/=府-）2=40,8=AB=：ADf,

:.CF=CD-DF=2j2-2.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)矩形"CD對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)，則定義該函數(shù)為矩形

3°。的“友好函數(shù)”，例如：如圖1,矩形月3c0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)山一L1）和點(diǎn)°（3,3）的一次函數(shù)

（1）如圖2,矩形46CD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（2.1）,3（6,1）,0（6,3）,D（2,3）

反比例函數(shù)

1'=—（T>0）V=—（X>0）.,

.X經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,求反比例函數(shù)-X的函數(shù)表達(dá)式，并判斷該函數(shù)是否為矩形D即rn的

“友好函數(shù)”；

（2）矩形幺BCD在第一象限，而"'X軸，"D/'r軸，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為正比例函數(shù)】1=

Jr

v=—（x>0）

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且是矩形力BCD的“友好函數(shù)”，反比例函數(shù)…x經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,且是矩形力BCD的

“友好函數(shù)”.

①如圖3,當(dāng)。C>Q4時(shí)，將矩形&CD沿幺。折疊，點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,若點(diǎn)E落在y軸上，求左的

值；

②設(shè)矩形EECD的周長(zhǎng)為》求y關(guān)于左的函數(shù)表達(dá)式；

③在②的條件下，當(dāng)矩形力ECD的周長(zhǎng)丁=4時(shí)，設(shè)矩形幺80￡）的面積為51；當(dāng)矩形的周長(zhǎng)

『=8時(shí)，設(shè)矩形也。。的面積為S1請(qǐng)直接寫出用一國(guó)的值.

【答案】（1）是矩形即“友好函數(shù)”

161,」6-3上（0"<2）&

⑵①1"；②1%-6（左>；）；③與

【解析】

【分析】（1）求出反比例函數(shù)解析式，并判斷。在反比例函數(shù)圖像上，根據(jù)“友好函數(shù)”的概念即可得

出結(jié)論；

（2）①求出正比例函數(shù)）'=2K,設(shè)點(diǎn)。（力,2次），則3（加二,則

AB==2m-21根據(jù)折疊的性質(zhì)得48■加一1,C5-5C-2m-2,ZBCO-ZECO,

延長(zhǎng)瓦4交y軸與R根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和判定可得，AF=\,即?力1-4,根據(jù)勾

股定理列方程并求出根，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出公

;2：分兩種情況討論，當(dāng)℃＞。4時(shí)，即加＞1,當(dāng)時(shí)，即0〈發(fā)＜2,再根據(jù)矩形周長(zhǎng)公式求

解

即可；

'分四種情況討論，當(dāng)0〈左＜2,且J'=6-3無(wú)=4時(shí)，當(dāng)k＞2,且1r=3比一6=4時(shí)，當(dāng)。＜七＜2,

且j，=6-3k=S時(shí)，當(dāng)上＞?,且丁=3k-6=8時(shí)，根據(jù)矩形面積公式，求出身,國(guó),即可求出心一￡[

的值.

【小問(wèn)1詳解】