人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股定理（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）

第十七章勾股定理（知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法;

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；

3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)一、勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b,斜邊長(zhǎng)為c,那

2

么片+/=C.

特別說(shuō)明：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就

將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：a2=c2-b2,護(hù)—a1,c2=（a+b^-2ab.

知識(shí)點(diǎn)二、勾股定理的證明

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1）中$靈士一.4=（4+5了=1+4x—at>,所以

2

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖⑵中&方“?Mc'S-ay+dx/b,所以戶

2

方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.

邑3=2x；必+9,所以『+從=―

知識(shí)點(diǎn)三、勾股數(shù)

滿足不定方程好+寸=Z?的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以X、外Z為

三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果。、b、C是勾股數(shù)，當(dāng)f為正整數(shù)時(shí)，以g、初、a為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.

特別說(shuō)明：（1）附2—1,2n,n2+l是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；

（2）2n2+2n,2n+l,2n2+2n+l（〃是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；

（3）m2-n2,m2+n2,2mn（m>n,m、〃是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；

知識(shí)點(diǎn)四、勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b,c,滿足〃+匕2=,2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

特別說(shuō)明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.

知識(shí)點(diǎn)五、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如c）.

（2）驗(yàn)證與/+〃是否具有相等關(guān)系.若02=4+。2,則4ABC是/C=90°的直角三角形；若

則aABC不是直角三角形.

特別說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)。2+匕2>。2時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中c

為三角形的最大邊.

知識(shí)點(diǎn)六、互逆命題

如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱(chēng)它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的

逆命題.

特別說(shuō)明：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱(chēng)為

真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱(chēng)它為假命題.

重要題型

【考點(diǎn)一勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題】

例題：下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.5,12,13D.-

345

【答案】C

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊

的平方.

【詳解】解：A、22+32^42,不能構(gòu)成直角三角形，不合題意；

B、52+42^62,不能構(gòu)成直角三角形，不合題意；

C、52+122=132,能構(gòu)成直角三角形，符合題意；

。、三邊長(zhǎng);，；，:都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知ABC的三邊滿足

a2+b2=c2,則ABC是直角三角形.

【變式訓(xùn)練】

1.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組

數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

【答案】D

【分析】根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【詳解】解：A、22+32^42,不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、42+52^62,不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、72+82^92,不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、62+82=102,是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若。涉，。滿足/+廿=。2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為

勾股數(shù).

2.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.a=0.3,b=0.4,c=0.5B.a=2,b=2,c=2-\/2

C.a=4,b—5,c=6D.a=5,6=12,c—13

【答案】D

【詳解】解：A、0.3,0.4,0.5都不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、2&不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、52+42^62,不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、52+122=13\能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)的定義：滿足〃+廿=。2且a、b、。為整數(shù)，則縱6、c為勾股數(shù).

【考點(diǎn)二用勾股定理解三角形】

例題：（2023上?河南南陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在ABC中，ZC=90°,AD是,BAC的平分線,

DE上AB于點(diǎn)、E,CD=4,BD=8,求BE的長(zhǎng).

【答案】4/

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等以及勾股定理.

根據(jù)角平分線的性質(zhì)可先求出DE的長(zhǎng)，8。的長(zhǎng)已知，根據(jù)勾股定理可求出解.

【詳解】解:AD是的平分線，DE_LAB于E,ZC=90°,

:.DE=CD=4.

5D=8,

BE=y/BD2-DE2=V82-42=4百?

【變式訓(xùn)練】

1.直角三角形的兩直角邊分別為6cm和8cm,則斜邊上的高為cm.

74

【答案】4.8##y

【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊.然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答.

【詳解】解：直角三角形的兩條直角邊分別為6由,82m,

，斜邊為癡苒=10(?

設(shè)斜邊上的高為心

則直角三角形的面積為gx6x8=gxio/z,

解得：h=4rfi?,

這個(gè)直角三角形斜邊上的高為4山？.

故答案為:4.8：.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及直角三角形的面積的求法，正確利用三角形面積得出其高的長(zhǎng)是

解題關(guān)鍵.

2.長(zhǎng)方形ABCD中，長(zhǎng)AB=12,寬4?=5,點(diǎn)尸為直線。上一點(diǎn)，當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，AP=.

【答案】13或后或5屈

【分析】分三種情況畫(huà)圖，①當(dāng)AP=AC時(shí)，②當(dāng)CP=C4=13時(shí)，③當(dāng)CP"=C4=13時(shí)，利用勾股定理即可

解決問(wèn)題.

【詳解】解：分三種情況畫(huà)圖，如圖，

AB=n,BC=AD=5,ZABC=90°,

:.AC=y/AB2+BC2=13-

①當(dāng)AP=AC時(shí)，

AP=13；

②當(dāng)C產(chǎn)=G4=13時(shí)，

/CD=12,

：.DP=I,

AP'=VAC2+DP'2=V52+l2=726;

③當(dāng)CP"=C4=13時(shí)，

DP"=DC+CP"=12+13=25,

AP"=4DP"2+AD2=A/252+52=5A/26.

綜上所述：當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，”=13或或5岳.

故答案為：13或屈或5國(guó).

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是利用分類(lèi)討論思想.

3.(2023上?浙江金華?八年級(jí)校考階段練習(xí))如圖，在一ABC中，NC=9O。，CO=3.6,BD=6.

(2)若N1=N2,求AC的長(zhǎng).

【答案】(1)AC=4.8

(2)AC=7.2

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)，熟練掌

握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)由等角對(duì)等邊可得陋=①)=6,再由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)由角平分線的性質(zhì)可得CD=DE=3.6,證明RtACD也RtAED(HL)得到AC=CE,再由勾股定理進(jìn)

行計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：Z2=ZB,

AD=BD=6,

,ZC=90°,8=3.6,

AC=-]AD2-CD2=招-36=4.8；

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DEIAB于點(diǎn)E,

CD=DE=3.6,

在RtAACD和RtAAED中，

[CD^DE

\AD=AD'

.'.RtACD^RtAED（HL）,

:.AC=CE,

在中，BE=\lBD2-DE2=y162-3.62=4.8-

在RtZ^ACB中，AC2=AB2-BC2,即AC?=（AE+EB）?-（CD+DB?,

AC2=（AC+4.8）2-（3.6+6）2,

解得：AC=1.2.

【考點(diǎn)三以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】

例題：如圖，以Rt^ABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若AB=幣,則圖中陰影部分的面積

為.

【答案】7

【分析】先用直角三角形的邊長(zhǎng)表示出陰影部分的面積，再根據(jù)勾股定理可得：AB2=AC2+BC2,進(jìn)而可將

陰影部分的面積求出.

222222

【詳解】解：Saai=^AC+|fiC+|AB=|（AC+BC+AB）,

AB2=AC2+BC2=7,

:.AB2+AC2+BC2=14,

S陰影=—xl4=7,

故答案是：7.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識(shí)，要求能夠運(yùn)用勾股定理證明三個(gè)等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知直角三角形ABC的周長(zhǎng)為24,且陰影部分的面積為24,則斜邊A3的長(zhǎng)為

【答案】10

【分析】根據(jù)陰影部分面積等于以AC，為直徑的半圓面積之和加上ABC的面積減去以為直徑的半

圓面積進(jìn)行求解即可.

【詳解】解；,??直角三角形ABC的周長(zhǎng)為24,

AB+AC+BC=24,AC2+BC2=AB2,

/?AC2+BC2-AB2=0,

???陰影部分的面積為24,

!(AC2+BC2-AB2)+1AC-BC=24

ACBC=48

.(AC+BC}2-AC2-BC2(24-AB)2-AB2

--ACBC=i-------------------------------=----------------------=48，

22

AB=10,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，二ABC中，ZACB=9Q°,以它的各邊為邊向外作三個(gè)正方形，面積分別為耳，邑，53,已知耳=6,

【答案】8

【分析】由勾股定理得出4。2+8。2=回2,得出SI+S?=S3,得出S2=S3-S],即可得出結(jié)果.

【詳解】解：：NACB=90。，

/?AC2+BC2=AB2,

/.Sl+S2=S3,

：.S2=S3-SX=14-6=8；

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形面積的計(jì)算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面積關(guān)

系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四勾股定理的證明方法】

例題:如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形按照如下的位置擺放，使點(diǎn)A,E，D在同一條直線上，ZA=ZD=90°,

AE-CD-a,AB=ED=b,BE=CE=c.

B

(1)填空：NBEC=。，根據(jù)三角形面積公式，可得BEC的面積=；根據(jù)割補(bǔ)法，由梯形的面

積減去陰影部分的面積，可得3EC的面積=.

(2)求證：a2+b2=c2.

【答案】(1)90,1c2,1c2

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

(2)用兩種不同的方法表示梯形ABCD的面積，計(jì)算化簡(jiǎn)后，即可得出片+/=°2.

【詳解】(1)解：AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c,

BAE沿EDC(SSS),

:.ZABE=ZDEC,

.■ZABE+ZAEB^90°,

/.Zz4￡B+ZDEC=90°,

/.ZBEC=90°,

.?一BEC的面積=；3E-CE=gc2

由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得..班。的面積

*22

——(Q+Z?)(Q+b)—2x—cib——(Q2+2ab+/??)—ah——(a2+Z7+ab—ab=-c,

故答案為：90,

(2)證明：Rt_ABE咨RtADEC,

:.ZAEB=ZDCE,BE=EC=c,

Z￡>=90°,

ZDCE+ZDEC=90°f

ZAEB+ZDEC=90°f

ZBEC=90°f

班e是等腰直角三角形,

+

S梯形ABC。=S氐A(chǔ)BE+S&CDERt.BEC，

(AB+CD)A。A/.ABEDDCBEEC

2——2—十—2—十―2—

(a+b)(a+b)_"baca

2222

片+2ab+b2_c2+2ab

—,

22

a2+b2=c2.

【點(diǎn)睛】本題考查了梯形，勾股定理的證明，用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個(gè)小正方形拼成

一個(gè)大正方形（如圖2）.

圖1圖3

（1）利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：:

（2）用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE=3C=,DE=AC=b,AD=AB=c,

ZAED=ZACB9Q0,求證（1）中的定理結(jié)論；

（3）如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE=/n,HG=，求正方形3。心的面積.（用機(jī)，n

表示）

【答案】⑴。2=片+〃

（2）見(jiàn)解析

m2+n"2

（）~2~

【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；

（2）由四邊形ABCD的面積兩種計(jì)算方式列出等式，即可求解；

（3）分別求出a,b,由勾股定理可求解.

【詳解】（1）解：???大正方形的面積=02,大正方形的面積=4x；xb+^b-af,

C2=4X—x6txZ7+（Z?-af,

??.c2=a2+b2,

故答案為：c2=a2+b2;

（2）證明：如圖：連接BD,

圖3

■:RtAABCgRtAZME,

ZADE=ZBAC,

：.ZDAE+ZADE=90°=ZDAE+ZBAC,

：.ZDAB=90°,

S四邊形ABCD=：/+；〃(/?一〃),S四邊形Ass=2x^Z?+^-Z?(Z?-a),

=

~+5Q(b-a)2x—cib+-Z?(b-a),

々2+〃.

(3)解：由題意可得：CE=CD+DE,GH=AG-AH,

:?m=a+b,n=b-a,

.m—n7m+n

??(X—,b

22

."B…=2'

正方形如&的面積為十

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是

解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】

例題：如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端A距地面的垂直高度為8米，梯子的頂端下滑2

米后到達(dá)E點(diǎn)，底端也水平滑動(dòng)2米嗎？試說(shuō)明理由.

【答案】梯子的頂端下滑2米后，底端將水平滑動(dòng)2米，理由見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)題意兩次運(yùn)用勾股定理即可解答.

【詳解】解：由題意可知，AB=10m,AC=8m,AE=2m,

在RtAASC中，由勾股定理得：

BC=VAB2-AC2=V102-82=6m，

當(dāng)B滑到D時(shí)，DE=AB=Wm,

CE=AC-AE=8-2=6m；

在RtACOE中，

CD=y/DE2-CE2=A/102-62=8>

BD=CD-BC=8-6=2m.

答：梯子的頂端下滑2米后，底端將水平滑動(dòng)2米.

【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.學(xué)過(guò)《勾股定理》后，李老師和“幾何小分隊(duì)”的隊(duì)員們到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿AB高度，得到如下信息：①

測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)2米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測(cè)得此時(shí)拉繩子

的手到地面的距離。為1米，到旗桿的距離CE為9米（如圖2）.根據(jù)以上信息，求旗桿的高度.

【答案】旗桿AB的高度為13米.

【分析】設(shè)回=無(wú)，在Rt.ACE中根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)=根據(jù)題意得：

在Rt_ACE中，AC2=AE2+CE2,

即：（了+2）2=（尤一1）2+92,

解得：x=13.

答：旗桿的高度為13米.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的相關(guān)知識(shí)并在直角三角形中正確運(yùn)用是解題的

關(guān)鍵.

2.如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動(dòng)到E,

同時(shí)小船從A移動(dòng)到B,且繩長(zhǎng)始終保持不變.回答下列問(wèn)題：

⑴根據(jù)題意可知：ACBC+CE.（填“<”或“=”）

⑵若CF=8米，AF=15米，AB=9米，求小男孩需向右移動(dòng)的距離.

【答案】（1）=

（2）小男孩需向右移動(dòng)的距離為7米

【分析】（1）根據(jù)繩長(zhǎng)始終保持不變即可解答；

（2）首先理解題意，明確小男孩需向右移動(dòng)的距離是哪條線段的長(zhǎng)，然后利用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）；AC的長(zhǎng)度是男孩未拽之前的繩子長(zhǎng)，（BC+CE）的長(zhǎng)度是男孩拽之后的繩子長(zhǎng)，繩長(zhǎng)始終

保持不變，

AC=BC+CE,

故答案為：=;

（2）：CF=8米，AF=15米，

...在Rt^CM中，由勾股定理得：AC=>JAF2+CF2=A/152+82=17（米），

VBF=AF-AB=15-9=6（米），

...在Rt^CFB中，由勾股定理得：BC=\JCF2+BF2=V82+62=10（米），

由（1）得：AC=BC+CE,

，CE=AC—BC=17—10=7（米），

.??小男孩需向右移動(dòng)的距離為7米.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它在以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，一定長(zhǎng)度為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的

破壞力.如圖，監(jiān)測(cè)中心監(jiān)測(cè)到一臺(tái)風(fēng)中心沿監(jiān)測(cè)點(diǎn)2與監(jiān)測(cè)點(diǎn)A所在的直線由東向西移動(dòng)，已知點(diǎn)C為

一海港，且點(diǎn)C與A,B兩點(diǎn)的距離分別為3006"、400km,且/ACB=90。，過(guò)點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,以

臺(tái)風(fēng)中心為圓心，半徑為260歷"的圓形區(qū)域內(nèi)為受影響區(qū)域，臺(tái)風(fēng)的速度為25h〃//i.

（1）求監(jiān)測(cè)點(diǎn)A與監(jiān)測(cè)點(diǎn)B之間的距離；

⑵請(qǐng)判斷海港C是否會(huì)受此次臺(tái)風(fēng)的影響，若受影響，則臺(tái)風(fēng)影響該海港多長(zhǎng)時(shí)間？若不受影響，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】⑴500粒

（2）受影響，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為8小時(shí)

【分析】（1）利用勾股定理求出A3即可；

（2）利用三角形面積得出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；若受影響，利用勾股定理得出小以

及DF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間.

(1)

解：在RtAABC中，AC=300癡，BC=400km,

AB=yJAC2+BC2=V3002+4002=500（km），

答：監(jiān)測(cè)點(diǎn)A與監(jiān)測(cè)點(diǎn)B之間的距離為500初i；

（2）

解：海港C受臺(tái)風(fēng)影響，

理由：ZACB=90°,CEYAB,

S.z.wRdr=-2AC-BC=2-CEAB,

/.300?400=500CE,

.：CE=240kmf

以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?60km以內(nèi)為受影響區(qū)域，

???海港C會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的影響，

以。為圓心，260切?長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于￡）,F,

則DE=EF=26Qkm時(shí)，正好影響。港口，

在RtACDE中，

ED=7CD2-CE2=72602-2402=100（^），

二DF=2QObn,

.,臺(tái)風(fēng)的速度為25千米/小時(shí)，

.-.200?25=8（小時(shí)）.

答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為8小時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用

勾股定理解答.

4.如圖，是一塊長(zhǎng)、寬、高分別是6cm,4cm和3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A

處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)8處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑是多少？

B

【答案】V85cm

【分析】將長(zhǎng)方體展開(kāi)成平面圖形，分三種情況，利用勾股定理進(jìn)行求解，確定最短路徑即可.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)爬的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是(4+6)=10,寬是3時(shí)，AB=7102+32=^/^b9(azz).

如圖2,當(dāng)爬的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是(3+6)=9,寬是4時(shí)，AB=y/^耨=回(cm).

4

63

圖2

如圖3,爬的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是(3+4)=7,寬是6時(shí)，AB=y/l2+62=^5(cm).

6

43

圖3

7109>^>^5,

它需要爬行的最短路徑是屈c(diǎn)m.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體展開(kāi)成平面圖形，利用勾股定理求出最短路徑.

【考點(diǎn)六用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題】

例題：木工師傅為了讓直尺經(jīng)久耐用，常常在直尺的直角頂點(diǎn)與斜邊之間加一根小木條，如左圖所示，右

圖為其示意圖.若N54C=90。，線段AB的長(zhǎng)為15。小線段AC的長(zhǎng)為205?，試求出小木條AD的最短長(zhǎng)

度.

直角頂點(diǎn)直角邊AC

【答案】12cm

【分析】根據(jù)垂線段最短，所以當(dāng)AD/3C時(shí)，AD最短，利用勾股定理和等積法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：4c=90。，

二ABC是直角三角形，

???BC2=AC2+AB2,

AB=15cm,AC=20cm,

/.BC=25cm,

要使得小木條A。最短，則此時(shí)AD上3C,

SZMVIlDic=2-ADBC=2-ABAC,

即gADx25=；xl5x20,

AD=12cm.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理.熟練掌握垂線段最短，是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車(chē)上的云梯救人，已知消防車(chē)高3m,云梯最多只能伸長(zhǎng)到10m,

救人時(shí)云梯伸至最長(zhǎng)如圖，云梯先在A處完成從9m高處救人后，然后前進(jìn)到8處從12m高處救人.

（2）①求消防車(chē)在A處離樓房的距離（AD的長(zhǎng)度）;

②求消防車(chē)兩次救援移動(dòng)的距離（A3的長(zhǎng)度）.（精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)石。1.73,Vi0?3.16,V19?4.36）

【答案】（l）DAf=3米，3笈=10米

（2）①消防車(chē)在A處離樓房的距離為8m；②消防車(chē)兩次救援移動(dòng)的距離約為3.6m

【分析】（1）根據(jù)題意，可得消防車(chē)的高為DM的長(zhǎng)，再根據(jù)題中圖形，可得云梯的長(zhǎng)為88,的長(zhǎng).

（2）①根據(jù)題意，可得AO的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理，即可得到消防車(chē)在A處離樓房的距離.②根據(jù)題意，

可得的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理，可得到的長(zhǎng)，然后根據(jù)=即可算出消防車(chē)兩次救援移動(dòng)

的距離.

【詳解】（1）根據(jù)題意，可得消防車(chē)的高為的長(zhǎng)，

DM=3m；

根據(jù)題中圖形，可得云梯的長(zhǎng)為的長(zhǎng)，

二BB'=10m.

故答案為：3；10.

（2）①由題意得DM=3m,A4'=10m,AM=9m,

：.A'D=AM-DM=9-3=6（m）,

在Rt/\AA!D中，AD=Y/AA'2-A'D2=A/102-62=8（m）,

即消防車(chē)在A處離樓房的距離為8m；

②由題意得DM—3m,BB'=10m,BM=12m,

B'D=B'M-DM=12-3=9（m）

在RfBZD中,

BD=^BB'--B'D-=V102-92=y/19~4.36（m）,

/.AB=AD-BD=8-4.36~3.6（m）.

即消防車(chē)兩次救援移動(dòng)的距離約為3.6m.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解本題的關(guān)鍵.

2.如圖，城心公園的著名景點(diǎn)8在大門(mén)A的正北方向，游客可以從大門(mén)A沿正西方向行至景點(diǎn)C,然后

沿筆直的賞花步道到達(dá)景點(diǎn)&也可以從大門(mén)A沿正東方向行至景點(diǎn)D,然后沿筆直的臨湖步道到達(dá)大門(mén)A

的正北方的景點(diǎn)￡,繼續(xù)沿正北方向行至景點(diǎn)3（點(diǎn)A,2,C,E在同一平面內(nèi)），其中AC=500米，BC=1300

米，AD=600米，3E=400米.

(1)求A,2兩點(diǎn)的距離；

(2)為增強(qiáng)游客的瀏覽體驗(yàn)，提升公園品質(zhì)，將從大門(mén)A修建一條筆直的玻璃廊橋AF與臨湖步道。E交匯于

點(diǎn)R且玻璃廊橋AF垂直于臨湖步道DE,求玻璃廊橋AF的長(zhǎng).

【答案】(1)A8兩點(diǎn)的距離為1200米

(2)玻璃廊橋AF的長(zhǎng)為480米

【分析】(1)在RdABC中，利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)；

(2)在MAAZJE中，首先利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，再根據(jù)面積法求出的長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)解：由題意，BA1CD,

...在Rt—ABC中，AB=ylBC2-AC2-

?.?3C=1300米，AC=500米，

AB=V13002-5002=1200(米)?

答：A,8兩點(diǎn)的距離為1200米.

(2)?.?3E=400米，

:.AE=AB—3E=1200—400=800(米).

.?.在近△ADE中，DE=>jAE2+AD2-

AD=600米,

'DE=A/8002+6002=1000（米）.

AFLDE,

SL.AA.LnfFc,^-2AFDE=-2ADAE.

.yADAE600x800

..Ar—-----------=-------------=480（米）.

DE1000

答：玻璃廊橋AF的長(zhǎng)為480米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，面積法求垂線段的長(zhǎng)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】

例題：如圖所示，已知ABC中，于。，AC=2,3C=1.5,DB=0.9.

(1)求CO的長(zhǎng)；

(2)判斷.ABC的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴1.2

(2)直角三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)垂直定義可得/64=/83=90。，然后在RtBCD中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解

答；

(2)先在中，利用勾股定理可求出AD的長(zhǎng)，從而求出54的長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理證

明，ABC是直角三角形，即可解答.

【詳解】(1)解：CDLAB,

ZCDA=ZCDB=90°,

8c=1.5,￡>3=0.9,

:.CD=y]BC2-DB2=V1.52-0.92=1.2,

，CD的長(zhǎng)為1.2；

(2)AA5c是直角三角形，

理由：在Rt^CZM中，AC=2,CD=1.2,

AD=VAC2-co2=M-i爰=i.6>

AB=AD+BD=2.5,

AC2+BC2=4+2.25=6.25,AB2=625,

AC2+BC2=AB2,

：.ABC是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，ADJ.BC,垂足為。，且AD=4,3D=8.點(diǎn)E從B點(diǎn)沿射線8C向右以2個(gè)單位/秒的速度勻

⑵當(dāng)t=5時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴當(dāng)f=g時(shí)，AE=AF；

(2)_ABE是直角三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意可得：砥=2人再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得=M==從而可得上=8-f,

DE=27,由等腰三角形的性質(zhì)得=則建立方程即可解答；

(2)當(dāng)7=5時(shí)，BE=2f=l。,DE=2,然后分別在放和?ADE中，利用勾股定理求出AB?和鉆2,

最后利用勾股定理的逆定理證明.43E是直角三角形，即可解答.

【詳解】(1)解：由題意得：BE=2t,

為BE的中點(diǎn)，

BF=EF=-BE=t,

2

VAD=4,BD=8,

：.DF=BD-BF=8-t,DE=BE-BD=2t-8,

VADIBC,AE=AF,

:.DE=DF,

即2t-8=8-tf

解得：f若,

,當(dāng)仁與時(shí)，AE=AF;

(2)解：―ABE是直角三角形，

理由：當(dāng)7=5時(shí)，BE=2t=10,

：.DE=BE—BD=10—8=2,

在RtAD3中，AB2=AD2+BD2=42+82=80,

在RjADE中，AE2=AD2+DE2=42+22=20,

AB2+AE2=100,BE2=102=100,

-■?AB2+AE2^BE2,

???,ABE是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，以及勾股定

理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

2.已知°,6,(:滿足卜一詢+揚(yáng)一105+25+卜-如『=0.

⑴求。，瓦C的值;

(2)試問(wèn)以6,c為邊能否構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴a=2夜，b=5,c=3y[2

(2)不能構(gòu)成直角三角形，見(jiàn)解析

【分析】(1)利用幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零，確定a,b,c的值即可；

(2)根據(jù)勾股定理得逆定理直接判斷即可得解；

【詳解】(1)vL-Vs|+yjb2-l0b+25+(c-V18)2=0,

a—y/s=0,(。-5)~=0,c—A/TS=0,

*'?a=2A/2>b=5,c=3A/2;

(2)：(2忘了+(30y?52,

不能構(gòu)成直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)及勾股定理逆定理，熟練掌握非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形】

例題：如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1,ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.

B

(1)直接寫(xiě)出AB=,BC=,AC=:

(2)判斷..ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)直接寫(xiě)出AC邊上的高=.

【答案】(1)如，2y/13,病

(2)ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析

⑶,朝

OJ

【分析】(1)利用勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答;

(3)利用面積法，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】(1)解：由題意得：

AB=A/22+32=V13>

BC=A/42+62=2713，

AC=V82+12=A/65>

故答案為：y/13,2而，?。?/p>

(2)解：ABC是直角三角形，

理由："：AB2+BC2=65,AC?=65,

/.AB2+BC2=AC2,

.ABC是直角三角形；

(3)設(shè)AC邊上的高為兒

Me的面積=LAC-/7='AB-BC,

22

???AC/i=ABBC,

A765/2=713x2^/13,

??.〃二竺病，

65

故答案為：^A/65.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)A8,C,。均在格點(diǎn)上.

(1)求四邊形A3CD的面積,

(2)/BCD是直角嗎？為什么？

【答案】⑴言29

(2)是直角，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格中圖形，用大正方形面積減去四個(gè)頂點(diǎn)處的直角三角形面積和一個(gè)正方形面積即可

得到答案；

(2)由圖，連接3D,分別在網(wǎng)格中利用勾股定理計(jì)算出三條線段長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理驗(yàn)證即可得

到答案.

【詳解】(1)解：由網(wǎng)格圖可知，四邊形ABCD的面積為5x5-；xlx5-|xlx4xlx2-；x2x4-l

29

=T;

(2)解：/BCD是直角，

理由如下：連接8。，如圖所示:

/.BD2=32+42=25,BC2=22+42=20,CO2=l2+22=5,

BC2+CD2=BD-,

△BCD是直角三角形，N3CD是直角.

【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中求四邊形面積及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握網(wǎng)格中求圖形面積的方

法及網(wǎng)格中利用勾股定理求線段長(zhǎng)的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.如圖，在7x7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)4L3),C(2,l).

(1)建立平面直角坐標(biāo)系；

(2)判斷-ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)在x軸上找一點(diǎn)P,當(dāng)PA+PC最小時(shí)，此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析

(2)八4。3是直角三角形，詳見(jiàn)解析

7

(3)(-,0)

【分析】(1)根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)確定平面直角坐標(biāo)系即可；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；

(3)作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C',連接AC'交x軸于點(diǎn)尸，直線AC的解析式，可得點(diǎn)尸坐標(biāo).

【詳解】(1)如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：

⑵"AC=A/12+22=V5>BC=BC=A/22+42=2A/5>AB=A/32+42=5>

/.AC2+BC2=AB2,

：.ZAC3=90°,

〃酸是直角三角形;

（3）如圖，點(diǎn)尸即為所求,

,/C(2,l),A(l,3),C'(2,-l),

k+b=3八,k=-4

設(shè)直線AC'的解析式為、=履+萬(wàn)，則有2-'解得:

。=7

直線AC'的解析式為y=Yx+7,

7

令尸。，可得X=“

7

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對(duì)稱(chēng)路徑最短問(wèn)題，勾股定理以及逆定理等知識(shí)，明確A、P、C'在一條直

線上時(shí)，私+PC有最小值是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)九利用勾股定理的逆定理求解】

例題：如圖，在四邊形A3CD中，AB^AD=5,ZA=60°,BC=13,CD=12.

(1)求/ADC的度數(shù)；

(2)四邊形ABCD的面積為.

【答案】⑴150°

(2)”豆+30

4

【分析】(1)連接3D,根據(jù)已知先證明△ABD是等邊三角形，從而可得3D=AD=6,WB=60。，再利

用勾股定理的逆定理證明△3CD是直角三角形，從而可得/3DC=90。，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)過(guò)點(diǎn)8作垂足為E,利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求

出血的長(zhǎng)，然后根據(jù)四邊形ABCQ的面積=AWD的面積+4瓦)。的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

AB=AD=5,AA=60°,

???是等邊三角形，

.\BD=AD=AB=5,ZADB=60°,

BC=13fCD=12,

:.CD2+BD2=BC2,

???△以?是直角三角形，

.\ZBDC=90°,

/.ZADC=ZADB+ZBDC=150°,

「.NA。。的度數(shù)為150。；

ABD是等邊三角形,

:.AE=-AD=-,

22

BE=^AB2-AE2=->/3,

2

，四邊形ABC。的面積=Z\ABD的面積+43DC的面積

=-ADBE+-BDDC

22

15i-1

=—x5x—V3+—xl2x5

222

=生6+30,

4

四邊形ABC。的面積為學(xué)君+30.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及

等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在，ABC中，點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)，連接AD.若AB=10,AC=17,BD=6,A￡)=8求。C的

長(zhǎng).

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到為直角三角形，ZADB=ZADC=90°,再根據(jù)勾股定理求解即

可.

【詳解】解：VAB=10,BD=6,AD=8,

AD2+BD2=AB2,

△AB。為直角三角形，ZADB=90°

：.ZADB=ZADC=90°,

CD=VAC2-AD2=is.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是通過(guò)勾股定理的逆定理得到△鈿￡>為

直角三角形.

2.如圖，四邊形45CD中，已知AB=1,BC=2,D4=3,DC=2,且NABC=90。.求四邊形ABC。的

面積.

D

【答案】四邊形ABCD的面積為1+君.

【分析】先在Rt^ABC中，利用勾股定理求出AC=7L然后再利用勾股定理的逆定理證明一ACD是直角

三角形，從而可得NACD=90。，最后根據(jù)四邊形ABC。的面積=ABC的面積+4ACD的面積，進(jìn)行計(jì)算即

可解答.

【詳解】解：：ZABC=90。，AB=\,BC=2,

AC=yjAB2+BC2=+2?=75，

,**DA=3,DC=2,

/.AC2+C￡>2=（^）2+22=9,AD2=32=9,

：.AC~+CD-=AD-,

_ACD是直角三角形，且NACg。。，

.??四邊形ABC。的面積=.ABC的