銳角三角函數(shù)（題型歸納）（解析版）

專題18銳角三角函數(shù)

題型一正余弦、正切函數(shù)的概念

1.如圖：在RtAEFG中，/尸=90°,EG=13,GF=5,貝！Jtan￡=()

51212

A.——B.—CD.

125-1113

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理求出￡尸，再根據(jù)正切的定義得出答案即可.

【詳解】解：勾股定理，得下=J存_/=［儼-52=12.

的E旦二

EF12

故選：A.

2.如圖，在。BC中，ZC=90°,AC=3fBC=4,貝！JcosB的值是（）

A

34-34

A.—B.一C.-D.一

4355

【答案】D

【分析】先根據(jù)勾股定理求出然后根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】解：在。8C中，ZC=90°,AC=3fBC=4,

AB=y）AC2+BC2=V32+42=5，

nBC4

cosB=----=—,

AB5

故選:D

12

3.如圖，在AABC中，AC=2#,tan,tan=y,則。的面積為（）

C

AB

A.7B.575C.7+2V5+V13D.25

【答案】A

【分析】過點(diǎn)C作。48于點(diǎn)。,根據(jù)正切函數(shù)的定義和勾股定理求出/。=4,5=2,根據(jù)正切函數(shù)

值求出5。=3,得出“5。的面積即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作C0L45于點(diǎn)如圖所示:

C

ADB

ZADC=ZBDC=90°,

,1

tanZ=一,

2

CD_1

??一，

AD2

???設(shè)CZ)=x,則4O=2x,

??,AD2+CD2=AC2,

.?.（2x）2+12=（2石/，

解得：％=2或%二一2（舍去）,

/.AD=4,CD=2,

CD2

tanB=---二—,

BD3

.，.BD=3,

AB=AD+BD=7,

故正確.

S△/AtoRvC=—2ABxCD=2—x7x2=7,A

故選：A.

4.如圖，在網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則NC/B的正弦值是（）

rill

\\A\\

4c..

H:M

A.—B.|C.—D.2

525

【答案】A

【分析】取格點(diǎn)。，連接CD,證明A/C。是直角三角形,且乙4。。=90。，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：如圖所示，取格點(diǎn)。，連接C。，

r?????

\\A\\\\

■：AC2=I2+32=10,CD?=12+12=2,AD2=2?+2?=8

AD2+CD2=AC2,

.?.△/CD是直角三角形，且NADC=90。

???CD=V2,AC=A,

??.sinHU0=里=好

Vio5

故選：A.

5.如圖，在Rta/BC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,則cosB的值為（）

4

AB.一D

-15-1-i

【答案】B

【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC,再根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可得解.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得BC=JAB?-Ac：VF萬=4，

BC4

則COSB=2^=2

AB5

故選：B.

題型二特殊角的三角函數(shù)值

1.tan45°的值是（）

A.V2B.V3C.1D.V5

【答案】C

【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

【詳解】解：tan45。的值是1,

故選：C.

7.sin30。的相反數(shù)是（）

A.-1B.-2c-4D--T

【答案】C

【分析】先求出30度角的正弦值，再根據(jù)相反數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】vsinSO^I，

；.sin30。的相反數(shù)是-g,

故選C.

8.計(jì)算tan45。+tan30。cos30。的值為（）

13

A.vB.1C.-D.2

22

【答案】C

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可.

【詳解】解：tan45°+tan30°cos30°

,V36

=1+——x——

32

=1+-

2

_3

一5，

故選c.

9.若。8C的內(nèi)角滿足cos/-；+tan3-1=0,則AA8C的形狀是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.三角不全相等的銳角三角形

【答案】A

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出2/和28的度數(shù)，然后可判定的形狀.

【詳解】解：由題意得：cos/-2=0,tanB-@=0,

23

即cos/=1,tan5=—,

23

ZJ=60°,4=30°,

.-.ZC=90°,

即^ABC的形狀是直角三角形.

故選：A.

10.在。5C中，ZC=90°,tan^=—,貝UcosB=()

3

A.yB.-C.—D.V3

223

【答案】A

A

【分析】根據(jù)/C=90。，tan^=—,可得N/=30。，進(jìn)而得出48=90°-30°=60°,即可求解.

3

【詳解】解：在“8C中，

??*ZC=90°,tan^^—,

3

.?.N4=30°,

???/5=90?！?0。=60。，

cosB=cos60°=—

2

故選：A.

題型三由銳角三角函數(shù)值求銳角

I_______________________:

1.關(guān)于X的一元二次方程+sina=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則銳角口的余角等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】D

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于sina的一元一次方程，解之即可得出sina的值，再

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出銳角?的度數(shù)，繼而得出答案.

【詳解】解：；關(guān)于x的一元二次方程/一J%+sina=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，

A=-4xlxsina=0,

解得:sina=；,

二銳角c等于30。，

,銳角a的余角等于60。，

故選：D.

15

2.在。8C中，乙4,4B都是銳角，cosA=~,sin5-—,則。8C的形狀是：（）

22

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)求出N448的度數(shù)，即可判斷三角形的形狀.

1向

【詳解】解：?.,cos/nu，sin5=——，

22

.-,ZA=60°,ZB=60°,

:"C=60°,

??.A48c是等邊三角形，

故選：B.

3.在“8C中，若cos/=W,tan8=",則這個三角形一定是（）

23

A.直角三角形B.等腰三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出的度數(shù)和N8的值，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出/C的值,

即可判斷出三角形的形狀.

【詳解】???cos/=",

2

???/4=30。.

tanB=,

3

Z5=30°.

ZA=ZB,

???A/BC為等腰三角形，

故選：B.

4.周末，劉老師讀到《行路難》中“閑來垂釣碧溪上，忽復(fù)乘舟夢日邊.”邀約好友一起去江邊垂釣.如

圖.釣魚竿/C的長為4m.露在水面上的魚線BC的長為2&m,劉老師想看看魚鉤上的情況.把魚竿NC

逆時(shí)針轉(zhuǎn)動15。到/C'的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B'C的長度是（）

A.3mB.2V2mC.2&mD.3Gm

【答案】C

【分析】先求出NC/8,在求出NC'/B',最后利用特殊角的三角函數(shù)值直接求解.

【詳解】解：???sin/C43=^^=----,

42

.-.ZCAB=45°,

??.。35'=45。+15。=60。，

.B'C_?，_V3

??------=sin60no=—,

AC2

:.B'C'=4乂*=26(m),

故選：C.

5.在中，ZA為銳角,滿足taiiS—+(2siih4—=0,則/C等于()

A.105°B.75°C.60°D.45°

【答案】A

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得tan5-母=0,2si由-亞=0,再由特殊角銳角三角函數(shù)值，可得

48=30。,44=45。，然后三角形內(nèi)角和定理，即可求解.

［詳解】解：???tan5_g+（2siib4-也『=o,

tanB———=0,2siib4-V2=0,

??taiW=——,S1IL4=，

32

/5=30。,/4=45。，

.-.ZC=180°-Z5-Z^=105°.

故選：A

題型四銳角三角函數(shù)的增減性

I________________________:

1.如果0。<乙4<45。，那么sin4與cosN的差（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

【答案】B

【分析】cos^=sin（90°-Z^）,再根據(jù)正弦函數(shù)隨著角的增大而增大進(jìn)行分析即可.

【詳解】???cos/=sin（90。-//）,正弦函數(shù)隨著角的增大而增大，

.?.當(dāng)0。<//<45。時(shí)，45°<90°-//<90°,

sinN<cosN=sin（90°-N/）,即sinN-cosN<0,

故選B.

2.已知//為銳角，且tan4=3,則的取值范圍是（）

A.0°<ZA<30°B.30?！匆?<45。C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

【答案】D

【分析】判斷出所給的正切值在最接近的哪兩個銳角的正切值之間，即可得到正確選項(xiàng).

【詳解】解：:tan60。=g,g<3，

60°<ZA<90°.

故選：D

3.如果銳角/的度數(shù)是25。，那么下列結(jié)論中正確的是（）

1、萬

A.0<sin^<-B.0<cos^<—

2?

C.<tan^4<1D.1<cot24<A/3

3

【答案】A

【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可.

【詳解】解：???0。<25。<30。

0<sin25°<—

2

/.0八<sm.X，<—1.

2

故選A.

4.若taib4=2,則乙4的度數(shù)估計(jì)在（）

A.在0。和30。之間B.在30。和45。之間

C.在45。和60。之間D.在60。和90。之間

【答案】D

【分析】由題意直接結(jié)合特殊銳角三角函數(shù)值進(jìn)行分析即可得出答案.

【詳解】解：:tan60°=V3<tanA-2，

???//>60°,

.??60°<Z^<90°.

故選：D.

5.比較sin20。、sin55°>tan70。和cos80。的大小，并由小到大排列：.

【答案】cos80°<sin20°<sin550<tan70°

【分析】把余弦化成正弦，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律，正弦值隨著角度的增大而增大，相同角

的正切值大于正弦值即可解答

【詳解】???cos80。=sin10。，正弦值隨著角度的增大而增大

cos800<sin200<sin55°

vtan70°>sin70°

cos800<sin200<sin550<tan70°

故答案為：cos800<sin200<sin550<tan70°

題型五同角三角函數(shù)的關(guān)系

I_______________________________-

4

1.在。5C中，ZC=90°,sin5=-,則tanB值為（）

【答案】A

【分析】先利用同角三角恒等式計(jì)算出cos8=?然后根據(jù)tanB=*求解.

5cos5

【詳解】解：?.,NC=90。，

,?sin2B+cos2B=1,

43

故選：A.

2.已知tana=，，。是銳角，貝!Jsina的值是（）

1312512

A.—B.—C.—D.—

513135

【答案】c

【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，求出各條邊的長，再求出答案.

【詳解】解：如圖，在上入12。中，ZC=9O°,乙4=a,

Be5

由于tana=-----=一,因此設(shè)BC=5左，貝ij4C=12左，

AC12

由勾股定理得，AB=y]AC2+BC2=\（12左）2+（5左）2=131,

,BC5k5

sina=----=---=一,

AB13左13

故選C.

2

3.在RtA45C中，Z.C=90°,若sin4=§,則cos/=（）

叵

【答案】c

【分析】根據(jù)sin2/+cos2Z=l,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：由題意得：sin2/+cos2/=1,

故選c.

4.若々為銳角，Msin2a+cos226°=1,則"=°.

【答案】26

【分析】根據(jù)同一個角的正弦和余弦的平方和等于1,即可解答.

【詳解】?/sin2a+cos226°=1,

sin2a-\-cos226°,

/.sin2a=sin226°,

a為銳角，

<7=26,

故答案為：26.

3sinacosa

5.已知tana=5,則

2sina+cosa

【答案】、

【分析】由于tana='吧=5,貝|sina=5cosa,然后把sina=5cosa代入.'："一，中利用分式的性質(zhì)

cosa2sina+cosa

計(jì)算即可.

【詳解】解：；tanar=空q=5,

cosa

sina=5cosa,

3sinacosa15cosa15cosa

2sin2cr+cos2a50cos26if+cos2a51cos2a17

故答案是：m

.I■Ml■IIII

題型六解直角三角形及其應(yīng)用

I.____________________________-

1.常州天寧寺始建于唐貞觀年間，是佛教音樂梵唄的發(fā)源地之一，也是常州最大的寺廟.某校數(shù)學(xué)興趣小

組的同學(xué)利用卷尺和自制的測角儀嘗試求解天寧寺寶塔的高度.如圖所示，平地上一幢建筑物與寶塔

CD相距56m,在建筑物的頂部分別觀測寶塔底部的俯角為45。、寶塔頂部的仰角為60。.求天寧寺寶塔的

高度（結(jié)果保留根號）.

【答案】天寧寺寶塔的高度為56+56百米

【分析】過點(diǎn)A作/ELCD于點(diǎn)E,進(jìn)而得出N￡=56,解RtA/CD,根據(jù)CD=Z）￡+￡C,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作“E1CD于點(diǎn)E,則四邊形/即8是矩形，

依題意8。=56,NEAD=45。,NCAE=60。,

???V/DE是等腰直角三角形，

AE=ED，

則四邊形是正方形，

/.AE=BD=56,

在RtA/CE中，CE=AExtanZCAE=5673,

■■CD=DE+CE=56+5643,

答：天寧寺寶塔的高度為56+56如米.

2.小明同學(xué)想利用剛學(xué)的三角函數(shù)知識測量一棟教學(xué)樓的高度，如圖，他在/處測得教學(xué)樓頂2點(diǎn)的仰角

為45。，走7m到C處測得2的仰角為55。，己知。、/、C在同一條直線上.求教學(xué)樓08的高度.（參考

數(shù)據(jù)：sin55°~0.82,cos55°~0.57,tan55°~1.43,結(jié)果精確到0.1m）

□B

□

□

OCA

【答案】23.3m

從而得至—在RtZXCOB中，根據(jù)tanZ8co=等

【分析】在RtZ\/03中，可得04=08,

即可求解.

【詳解】解：在RtA40B中，N/=45。，

/.OA=OB,

vAC=7m,

OC=OB-1,

在RtZXCOB中，NBCO=55。,

=1.43,

OCOB—7

解得：03B23.3m,

答：教學(xué)樓08的高度約為23.3m.

3.我國海域遼闊，漁業(yè)資源豐富.如圖,現(xiàn)有漁船在海島C附近捕魚作業(yè)，正以30海里/時(shí)的速度向正北

方向航行，漁船在/處時(shí)，測得海島C在該船的北偏東30。方向上，航行半小時(shí)后，該船到達(dá)點(diǎn)5處，發(fā)

現(xiàn)此時(shí)海島C與該船距離最短.求海島C到2處的距離.（結(jié)果保留根號）

【答案】海島。到2處距離為海里

【分析】過C作C8L/3于2,根據(jù)題意，利用正切函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：過C作于8,

由題意，^=30x0.5=15（海里），

在放A/BC中，tan30。=---=---,

AB15

BC=15x—=5y/3（海里）.

3

答：海島C到8處距離為5月海里.

4.南安北站設(shè)計(jì)理念的核心源自南安當(dāng)?shù)毓咆让窬樱w現(xiàn)了南安古厝“紅磚白石雙坡曲，出磚入石燕尾脊,

雕梁畫棟皇宮式”的精美與韻味.如圖，數(shù)學(xué)興趣小組為測量南安北站屋頂BE的高度，在離底部3點(diǎn)26.6

米的點(diǎn)A處，用高1.50米的測角儀/。測得頂端E的仰角a=40。.求南安北站屋頂BE的高度（精確到0.1

米）.[參考數(shù)據(jù)：sin40°?0.643,cos40°~0.766,tan40°?0.839]

【答案】南安北站屋頂BE的高度約為23.8米.

EC

【分析】根據(jù)示意圖得出2C=/Z）=1.50,DC=AB=26.6,在Rtz\DEC中，根據(jù)tana=而，得出EC,

進(jìn)而根據(jù)8E=BC+CE,即可求解.

【詳解】解：依題意，2C=/D=1.50,DC=AB=26.6,

EC

在RtdDEC中，tana------,

DC

/.EC=DC-tana=26.6xtan40°?26.6x0.839?22.3,

.'.BE=BC+CE=1.5+223=23.8（米），

答：南安北站屋頂BE的高度約為23.8米.

5.如圖，為樓梯的傾斜角，樓梯底部到墻根垂直距離5。為4m,為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)

備重新建造樓梯，使其傾斜角為//CQ,已知tan/45O=百，sin/ACD上,求調(diào)整后的樓梯力。的

2

長.

A

【答案】4&m

【分析】先解RtA45O求出4D=46m,再解RS/CD求出/C的長即可.

【詳解】解：???在RtAABD中，tanNABD=6,BD=4m,

AD=BD-tanZABD=46m.

?.?在Rt^/CD中，smZACD=—

2

AC=———=4V6m.

sinZACD

6.為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校門口安裝一款紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體

紅外輻射的能量對