三角形模型應(yīng)用、構(gòu)造與綜合（考題猜想6種熱考模型）原卷版

專(zhuān)題01三角形模型應(yīng)用、構(gòu)造與綜合（考題猜想，6種熱考模型）

型大裳合

.

題型一：雙內(nèi)角平分線（共7題）

題型二：雙外角平分線（共6題）

題型三：內(nèi)外角平分線（共13題）

三角形模型應(yīng)用、

題型四：A字解（共5題）

題近：蝌（存）觸（鼎題）

--遜A：航模型（共11題）

題型一：雙內(nèi)角平分線（共7題）

1.（2023秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）如圖，AABC中，NABC與ZACB的平分線相交于Z）,若/4=50。，則ZBDC=

2.（2022春?歷下區(qū)期末）在AABC中，8。和CE分別是NABC和NACB的角平分線，BD,CE相交于點(diǎn)

O.

（1）如圖1,若/4BC=5O。，ZACB=76,求NBOC的度數(shù)；

（2）借助圖1,若ZABC=c,NACB=萬(wàn)，求NBOC與的關(guān)系；

（3）如圖2,若AB=AC,求證：OE=OD.

3.（2023秋?臨江市期末）（1）已知：如圖①，在AADC中，DP、CP分別平分NADC和NACD,直接寫(xiě)

出NP與Z4的數(shù)量關(guān)系為.

（2）已知：如圖②，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分NADC和/BCD,試探究NP與NA+NS的數(shù)

量關(guān)系.

圖①圖②

4.（2023秋?巨野縣期末）如圖，在AABC中，NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)O,若/4=42。.

（1）求NBOC的度數(shù)；

（2）把（1）中/4=42。這個(gè)條件去掉，試探索NBOC和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

5.（2023春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）（1）如圖1,四邊形ABCD中，NABC和N3CD的平分線交于點(diǎn)P,已知

ZA+ZD=140°,求NP的度數(shù);

（2）如圖2,在四邊形A8CD中，NABC和NADC外角的三等分線交于點(diǎn)P,已知NABC=3NABP,

ZADE=3ZADP,請(qǐng)寫(xiě)出NA、/C與NP的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（3）如圖3,E在CD邊的延長(zhǎng)線上，尸在仞邊的延長(zhǎng)線上，NR4Z）和NDEF的平分線交于點(diǎn)尸，請(qǐng)直

接寫(xiě)出NB、NC、ZF、NP的數(shù)量關(guān)系:

B

B

圖1圖2圖3

6.（2022秋?余慶縣期中）動(dòng)手操作，探究：

探究一：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？

已知：如圖（1）,在AADC中，DP、CP分別平分NADC和NACD,試探究”與44的數(shù)量關(guān)系.

探究二：若將AADC改為任意四邊形ABCD呢？

已知：如圖（2）,在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分NADC和N3CD,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究”與

/4+NB的數(shù)量關(guān)系.（寫(xiě)出說(shuō)理過(guò)程）

探究三：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF（圖（3））呢？請(qǐng)直接寫(xiě)出NP與

ZA+ZB+ZE+ZF的數(shù)量關(guān)系：.

7.(2021春?青山湖區(qū)校級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)3為x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，

連接。4,OB,AB.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)3在y軸上，且滿(mǎn)足NO4B的角平分線與NQR4的角平分線交于點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫(xiě)出NP

的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)3在y軸上，NQ4B的角平分線與NOA4的角平分線交于點(diǎn)尸，點(diǎn)C在3尸的延長(zhǎng)線上，

且滿(mǎn)足NAOC=45。，求；

ZOCB

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)3在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P是AAC?內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)N分別是線段。I,OB上一點(diǎn),滿(mǎn)足:

ZAPB=90°+-ZAOB,PM=PN,ZONP+ZOMP^180°.

以下結(jié)論：①OM=ON;②AP平分NQ4B;③3P平分NOR4；?AM+BN=AB.

正確的是：.(請(qǐng)?zhí)顚?xiě)正確結(jié)論序號(hào)，并選擇一個(gè)正確的結(jié)論證明，簡(jiǎn)寫(xiě)證明過(guò)程).

23A45

題型二：雙外角平分線(共6題)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)3為y軸上的一點(diǎn)，AC平分3c平分ZABy,

求NC的度數(shù).

2.(2022秋?即墨區(qū)期末)三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形二個(gè)內(nèi)角的和等于180。如何證明這個(gè)定理

呢？我們知道，平角是180。，要證明這個(gè)定理就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個(gè)平角中去，請(qǐng)根據(jù)如下

條件，證明定理.

【定理證明】

已知：AABC如圖①，求證：ZA+ZB+ZC=180°.

【定理推論】如圖②，在AABC中，有/4+"+/4@=180。，點(diǎn)。是3(7延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，由平角的定義

可得NACD+NACB=180。，所以NACD=，從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角

形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【初步運(yùn)用】如圖③，點(diǎn)。、E分別是AABC的邊AB、AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

(1)若NA=80°,ZDBC=150°,則NACB=.

(2)若NA=80。，則ZDBC+N￡CB=.

【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)。、E分別是四邊形ABPC的邊項(xiàng)、AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

(1)若ZA=80。，ZP=150°,則ZD3P+NECP=.

(2)分別作NDBP和NECP的平分線8"、CN,如圖⑤，若BMUCN,則NA和NP的關(guān)系為.

(3)分別作NOBP和NECP的平分線，交于點(diǎn)O,如圖⑥，求出NA,NO和NP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

A

AA

圖①圖②圖③

圖⑥

3.(2023秋?重慶期末)如圖，在AABC中，分別延長(zhǎng)AABC的邊AB,AC到點(diǎn)。，E,ZCBD與ZBCE

的平分線相交于點(diǎn)尸，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在寫(xiě)作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

40°

a.若ZA=40。，貝!]/尸=70。=90。----；

2

90。

b.若ZA=90。，貝UN尸=45。=90。----；

2

110。

c.若ZA=110。，貝!!/「=35。=90。-----；

2

(1)根據(jù)上述規(guī)律，若24=160。，則NP=.

(2)ZP=.(用含NA的式子表示)

(3)請(qǐng)證明(2)中的結(jié)論.

/D

B/

F

A

C

4.（2022春?南陽(yáng)期末）⑴溫故知新

如圖1,已知NACD是AABC的一個(gè)外角，則Z4CD=NA+；

（2）嘗試探究

如圖2,ZDBC與NECB分別為AABC的兩個(gè)外角，則ZDBC+ZECBNA+180。（橫線上填“>”、“<”

或“=”）;

（3）初步應(yīng)用

如圖3,在AABC紙片中剪去ACED,得到四邊形ABDE,Zl=135%貝l]/2-NC=；

（4）解決問(wèn)題

如圖4,在AABC中，BP,CP分別平分外角NDBC,Z.ECB,NP與NA有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（5）拓展提升

如圖5,在四邊形ABCD中，BP,CP分別平分外角NEBC,ZFCB,請(qǐng)借鑒上面的思路直接寫(xiě)出NP與

的數(shù)量關(guān)系.

圖4圖5

5.（2023春?襄汾縣期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

已知“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和“，那么五邊形的外角與內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢？

如圖1,在五邊形TWCDE中，Zl,N2是它的兩個(gè)外角,Zl+Z2=ZA+ZB+ZC-180°.下面是該結(jié)論的

證明過(guò)程（部分）：

???五邊形的內(nèi)角和為540。,

.".ZA+ZB+ZC+Z3+Z4=54O°.

（1）按照上面的證明思路，完成證明的剩余部分.

（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖2,在五邊形ABCDE中，EF,DF分別是NDEH和NEDG的平分線，若

NA+NB+NC=320。，求NF的度數(shù)；

2?

(3)拓展提升：如圖3,NC=NE=90。,ZABH=—ZABF,NGFH=—NBFG,ZH=140。，貝(JND=

33-----------

6.(2021春?豐縣校級(jí)期末)［問(wèn)題情境］蘇科版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七下第42頁(yè)有這樣的一個(gè)問(wèn)題：如圖

1,在AABC中，ZA=n0,設(shè)AABC的外角NCBD、NBCE的平分線交于點(diǎn)O,求NBOC的度數(shù).

(1)請(qǐng)你先完成這個(gè)問(wèn)題的解答.

［變式探究］小明在完成以上問(wèn)題解答后，作如下變式探究：

(2)如圖2,在AABC中，ZA=8O°,若NBCN=—NBCE,ZCBM=-ZCBD,且射線3AZ與射線CV相

88

交于點(diǎn)O,則々OC=°；

33

(3)如圖3,在AABC中，ZA=n°.若/BCN=—NBCE,ZCBM=-ZCBD,且與OV相交于點(diǎn)O,

44

若要使射線比W、CN能相交，貝州的取值范圍是什么？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)如圖3,在AABC中，NA=〃。.若NBCN=^4BCE,NCBM=^NCBD,請(qǐng)直接寫(xiě)出使射線BM、

PP

CN能相交的”的取值范圍是—(其中請(qǐng)用含p、4的代數(shù)式表示).

題型三：內(nèi)外角平分線（共13題）

1.（2023秋?莘縣期末）如圖，和CA分別是AABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，％是幺的角平分

線，品是幺CD的角平分線，％是的角平分線，（為是的角平分線，依此下去，若NA=。,

則/4必為（）

De1\2046-

■(-)a

2.（2024春?綠園區(qū)期末）如圖，5尸是△ABC中NABC的平分線，CP是NACB的外角的平分線，如果

ZABP=20°,ZACP=5O。，貝UZP=

3.（2023秋?江漢區(qū)期中）如圖，DF為四邊形ACDB外角NBDE的平分線，CF平分NACD,若NA=14O。,

NB=110。，則Z.CFD的度數(shù)是.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)3為y軸上的一點(diǎn)，4）平分BP平分NOBA,

加P與ZM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,求NP的度數(shù).

5.(2023春?南京期末)【初步認(rèn)識(shí)】

(1)如圖①，在AABC中，BP,CP分別平分NABC,ZACB.求證：ZBPC=90°+-ZA；

2

【繼續(xù)探索】

(2)如圖②，在AABC中，3M平分NABC,CM平分AABC外角NACD.求證：ZM=-ZA；

2

(3)如圖③，BN、QV分別平分AABC外角NEBC,NFCB.則NN與NA的數(shù)量關(guān)系

是___________________

(4)如圖④，AABC中的兩內(nèi)角平分線交于P點(diǎn)，兩外角平分線交于N點(diǎn)，一內(nèi)角平分線與一外角平分線

交于M點(diǎn).設(shè)NBPC=a°,ZM=b。，ZN=c°,則a,b,c之間的關(guān)系是

6.(2022秋?新鄉(xiāng)期末)如圖1,在AABC中，NABC和NACB的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作EF//BC,交

回于E,交AC于尸.

(1)當(dāng)BE=5,CF=3,則EF=；

(2)當(dāng)BEACF時(shí)，若CO是NACB的外角平分線，如圖2,它仍然和NABC的角平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)

。作EF/ABC,交互于E,交AC于P,試判斷歷，BE,CF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

7.(2023春?商水縣期末)【基本模型】

(1)如圖1,在AA5c中，3P平分NABC,CP平分外角NACD,試說(shuō)明NP=，NA.

2

【變式應(yīng)用】

(2)如圖2,ZMON=90°,A,3分別是射線ON,OM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，NABO與ZBAN的平分線的

交點(diǎn)為P,則點(diǎn)A,3的運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，”的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若

發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,ZMON=90°,作NMON的平分線OD,A是射線OD上的一定點(diǎn)，5是直線ON上的任

意一點(diǎn)(不與點(diǎn)O重合)，連接至，設(shè)NABO的平分線與440的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)為尸，請(qǐng)直接

寫(xiě)出NP的度數(shù).

圖1圖2圖3

8.（2023秋?鄭州期末）綜合與實(shí)踐：如圖1,在AABC中，N54c=66。，三個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)O,AABC

的外角NACE的角平分線交30的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

【問(wèn)題初探】：（1）NOCF的度數(shù)為,NF的度數(shù)為；

【問(wèn)題再探】：（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)。作NODB=/4OB.（可直接使用問(wèn)題（1）中的結(jié)論）

①求NBOD的度數(shù)；

②試判斷線段OD和CF之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展探究】：（3）若=將AOCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度"0。<￡<360。）后得到△<7CD，,

當(dāng)CO所在直線與所平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角度分與。之間的關(guān)系.

9.（2023秋?涇陽(yáng)縣期末）如圖，在AABC中，BD,CD分別是NABC,NACB的平分線，BP,CP分別

是NEBC,NFCB的平分線.

（1）當(dāng)ZABC=60°,ZACB=70°時(shí)，ZD=°,ZP=°；

（2）請(qǐng)你猜想，當(dāng)?shù)拇笮∽兓瘯r(shí)，"+NP的值是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

E

F

P

10.（2024春?農(nóng)安縣期末）（問(wèn)題背景）

NMON=90。，點(diǎn)A、3分別在OM、QV上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)。重合）.

圖①圖②圖③

（問(wèn)題思考）

（1）如圖①，AE、3E分別是440和NABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)3的運(yùn)動(dòng)，ZAEB=.

（2）如圖②，若BC是NABN的平分線，5c的反向延長(zhǎng)線與NO4B的平分線交于點(diǎn)D.

①若ZBAO=70。，則ZD=°.

②隨著點(diǎn)A、3的運(yùn)動(dòng)，/D的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求乙0的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（問(wèn)題拓展）

（3）在圖②的基礎(chǔ)上，如果NMON=（z,其余條件不變，隨著點(diǎn)A、5的運(yùn)動(dòng)（如圖③），ND=.（用

含。的代數(shù)式表示）

11.(2024春?單縣期末)某同學(xué)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)教材的一個(gè)習(xí)題做如下探究:

【習(xí)題回顧】

已知：如圖1,在AABC中，角平分線皮)、CE交于點(diǎn)O.求NBOC的度數(shù).

(1)若NA=4O。，請(qǐng)直接寫(xiě)出NBOC=.；

【變式思考】

(2)若NA=&,請(qǐng)猜想NBOC與。的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展延伸】

(3)已知：如圖2,在AABC中，角平分線3D、CE交于點(diǎn)O,點(diǎn)尸在3c的延長(zhǎng)線上，作/4CF的平分

線交30的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若NG=月，猜想44c與6的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

12.已知。、E分別為AABC中AB、5c上的動(dòng)點(diǎn)，直線DE與直線AC相交于尸，/4DE1的平分線與N3

的平分線相交于P,ZACB的平分線與ZF的平分線相交于

(1)如圖1,當(dāng)/在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求“與/。之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,當(dāng)/在AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求4與NQ之間的數(shù)量關(guān)系(用等式表示).

13.(2023春?二道區(qū)期末)【探索發(fā)現(xiàn)】在一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，劉華遇到了下面的這個(gè)問(wèn)題：

如圖①，在AABC中，BP平分NABC,CP平分NACB,請(qǐng)你判斷NA和NP間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

劉華對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了判斷并給出了證明過(guò)程，下面是部分證明過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程.

解:結(jié)論：NF=.

理由：?.?3P平分NABC,CP平分NACB,

ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB.

22

NP=180°-ZPBC-ZPCB.

=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°-1(180°-ZA)

【模型發(fā)展】如圖②，點(diǎn)P是AABC的外角平分線3P與CP的交點(diǎn)，請(qǐng)你判斷和4間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)

明理由.

【解決問(wèn)題】如圖③，在AABC中，B尸平分NABC,CP平分NACB,點(diǎn)。是APBC的外角平分線3。與CQ

的交點(diǎn).若NA=68。，則NQ=度.

圖①圖②圖③

題型四：A字模型（共5題）

1.（2023秋?德宏州期末）如圖，將一個(gè)三角形剪去一個(gè)角后，Zl+Z2=230°,則等于（）

A.35°B.50°C.65°D.70°

2.（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖，AABC中，Zfi=80°,ZC=70°,將4山。沿?zé)粽郫B，A點(diǎn)落在形內(nèi)的A,

則N1+N2的度數(shù)為.

3.(2022秋?平橋區(qū)期末)探索歸納:

(1)如圖1,己知AA5c為直角三角形，NA=90。，若沿圖中虛線剪去NA,貝U/l+/2=

(2)如圖2,已知AABC中，ZA=40°,剪去NA后成四邊形，貝1]/1+/2=

(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過(guò)程，你歸納猜想4+N2與44的關(guān)系是

(4)如圖3,若沒(méi)有剪掉而是把它折成如圖3形狀，試探究N1+N2與的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

4.(2022秋?運(yùn)城期末)一個(gè)三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A，處.(點(diǎn)A在AABC的內(nèi)部)

(1)如圖1,若NA=45。，貝i]Nl+N2=°.

(2)利用圖1,探索/I,N2與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖2,把AABC折疊后，9平分NABC,QT平分NACB,若Nl+N2=108。，利用⑵中得出的

結(jié)論求NBAC的度數(shù).

5.（2022秋?香坊區(qū)期末）已知：四邊形ABCD,連接AC,AD=CD,ZDAC^ZABC,ZDCA=ZBAC,

AD/IBC

BM

（1）如圖1,求證：AABC是等邊二角形；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AM_L3C于點(diǎn)點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），ZFNG=120。,NFNG的邊NF交

84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，另一邊NG交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖2,點(diǎn)N與點(diǎn)〃重合時(shí)，求證：NF=NG；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)N不與點(diǎn)M重合，過(guò)點(diǎn)N作,交AC于點(diǎn)E,EN:CM=3:4,

AF=3,CG=4,點(diǎn)H為4）上一點(diǎn)，連接E"、GH,GH交CD于點(diǎn)、R,EH=EG,求的長(zhǎng).

題型五：蝴蝶（8字）模型（共6題）

1.（2023春?武岡市期末）如圖，NA+NB+NC+ND+NZ+ZF的度數(shù)為

A

E

D

2.（2022秋?安定區(qū)校級(jí)期末）如圖，Z4+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=

3.（2023秋?大洼區(qū)期末）（1）蕭縣某中學(xué)計(jì)劃為學(xué)生暑期軍訓(xùn)配備如圖（1）所示的折疊凳，這樣設(shè)計(jì)的

折疊凳坐著舒適、穩(wěn)定.這種設(shè)計(jì)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是；

（2）圖（2）是折疊凳撐開(kāi)后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計(jì)），其中凳腿筋和CD的長(zhǎng)度相等,

交點(diǎn)。是它們的中點(diǎn)，為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開(kāi)后的折疊凳寬度仞設(shè)計(jì)為38cm,則由以上信

息可推得CB的長(zhǎng)度是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由.#ZZ04

4.（2023秋?昆明期末）如圖，在AABC中，。是邊AB上一點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，作CF//AB交DE的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）證明：MDEMACFE；

（2）^AB=AC,CE=6,CF=8,求DB的長(zhǎng).

BC

5.(2021秋?正陽(yáng)縣期末)圖1,線段回、8相交于點(diǎn)O,連接?ID、CB,我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之

為“8”字型.如圖2,在圖1的條件下，NEWS和N3CD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,并且與CD、AB

分別相交于加、N.試解答下列問(wèn)題：

(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出/4、ZB、NC、/D之間的數(shù)量關(guān)系：；

(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：一個(gè)；

(3)圖2中，當(dāng)ND=50度，NB=4O度時(shí)，求NP的度數(shù).

(4)圖2中/。和NB為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)NP與/0、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直

接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明).

【材料提出】

“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成.

【探索研究】

探索一：如圖1,在八字型中，探索/4、ZB、NC、之間的數(shù)量關(guān)系為;

探索二：如圖2,若NB=36。，ZD=14°,求NP的度數(shù)為；

探索三：如圖3,CP、AG分別平分NBCE、ZFAD,AG反向延長(zhǎng)線交CP于點(diǎn)尸，則“、ZB、ND之

間的數(shù)量關(guān)系為一.

【模型應(yīng)用】

應(yīng)用一：如圖4,延長(zhǎng)8M、CN,交于點(diǎn)A,在四邊形MNCB中，設(shè)=/N=￡,a+￡>180。，

四邊形的內(nèi)角NMBC與外角NNCD的角平分線BP,CP相交于點(diǎn)P,貝（用含有e和/?的代數(shù)

式表示），ZP=—.（用含有￡和〃的代數(shù)式表示）

應(yīng)用二：如圖5,在四邊形MNCB中，設(shè)NM=a,2N=0,&+￡<180。，四邊形的內(nèi)角NMBC與外角

NNCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P,ZP=—.（用含有a和6的代數(shù)式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如圖6,若設(shè)NC=x,ZB=y,ZCAP=-ZCAB,NCDP,NCDB,試問(wèn)NP與NC、NB之間

33

的數(shù)量關(guān)系為—.（用x、y表示NP）

拓展二：如圖7,"平分NSW,CP平分N3CD的鄰補(bǔ)角4CE,猜想“與4、的關(guān)系，直接寫(xiě)

出結(jié)論.

題型六：燕尾模型（共11題）

1.（2024春?四川期末）如圖，點(diǎn)A,點(diǎn)3,點(diǎn)C,點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)P是平面上的點(diǎn)，順次連結(jié)得到不規(guī)

則的圖形，則NA+NB+NC+NO+NE+NF的度數(shù)為（）

B.270°C.360°D.450°

2.（2022春?玄武區(qū)期末）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=

3.（2022秋?南平期中）如圖，若NEOC=115。，則NA+N3+NC+NO+/￡+//=

4.（2022春?北倍區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知Nl=135°,貝1」/4+/3+/。+"+/￡+/產(chǎn)=.度?

5.（2023春?松江區(qū)期末）如圖，已知在AABC中，NA=4O。，將一塊直角三角板放在AABC上使三角板的

兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)3、C,直角頂點(diǎn)。落在AABC的內(nèi)部，那么N鉆￡>+/4CD=度.

D

6.己知NABC與NADC的平分線交于點(diǎn)E.

①如圖1,試探究NE,NA與NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

②如圖2,試探究NE,Z4與NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

圖1圖2圖3

7.（2024春?衡陽(yáng)期末）（概念學(xué)習(xí)）

在平面中，我們把大于180。且小于360。的角稱(chēng)為優(yōu)角，如果兩個(gè)角相加等于360。，那么稱(chēng)這兩個(gè)角互為組

角，簡(jiǎn)稱(chēng)互組.

（1）若Nl、N2互為組角，且4=135。，則/2=°；

（理解運(yùn)用）

習(xí)慣上，我們把有一個(gè)內(nèi)角大于180。的四邊形俗稱(chēng)為鏢形.

（2）如圖①，在鏢形ABCD中，優(yōu)角NBCD與鈍角N3CD互為組角，試探索內(nèi)角NA、ZB./￡）與鈍角

NBCD之間的數(shù)量關(guān)系，

（拓展延伸）

（3）如圖②，NA+N3+NC+"+NE+NF=；（用含e的代數(shù)式表示）

（4）如圖③，已知四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)AB、DC交于P,ZAPD,NAQB的

平分線交于點(diǎn)M,ZA+ZQCP=180°；

直接運(yùn)用（2）中的結(jié)論，試說(shuō)明：PMLQM.

8.（2023秋?寬甸縣期末）【數(shù)學(xué)模型】

“8字型”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成.如圖1,

AD,3C交于。點(diǎn)，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180。，”不難得出兩個(gè)三角形中的角存在以下關(guān)系：①

ZDOC=ZAOB(對(duì)頂角相等)；②ZD+NC=ZA+ZB.

【提出問(wèn)題】分別作出44。和N8CD的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)E,如圖2,/E與ND,NB之間

是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？

【