山東省泰安市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高二年級(jí)考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.直線%+者＞+2=°的傾斜角為（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】A

【解析】

【分析】有直線傾斜角和斜率的關(guān)鍵即可得解.

（詳解】由題意直線x+gy+2=0的斜率為k=—」=,

所以直線x+^y+2=0的傾斜角為

V33

150°.

故選：A.

2.在等比數(shù)列｛%,｝中，若%07a9ali=36,則4%4=（）

A.6B.9C.±6D.±9

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)直接求解即可.

【詳解】因?yàn)椤?4：=36,所以d=6（負(fù)值舍去）,

所以=4=6

故選：A

3.點(diǎn)P（2,3）關(guān)于直線％+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-3,-2）B.（-2,-3）C.（-5,-4）D.（-4,-5）

【答案】c

【解析】

【分析】求出垂直于直線x+y+2=o且過點(diǎn)尸的表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).

【詳解】由題意，

在直線x+y+2=0中，斜率為-1,

垂直于直線x+y+2=0且過點(diǎn)P(2,3)的直線方程為y—3=lx(x—2),即y=x+l,

設(shè)兩直線交點(diǎn)為A,

.?.點(diǎn)P(2,3)關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_x2—2,--x2—3|,

22

即P'(-5,-4),

故選：C.

3

O2x

/P|\

4.已知直線/的方向向量為〃=(1,—2,2),則向量〃二(—1,1,2)在直線/上的投影向量坐標(biāo)為()

￡_22]_]_2j_j_2J__22

二，二，二，

3333339'9'99-959

【答案】D

【解析】

r「臼u-au

【分析】根據(jù)題意，求得MS=1，W=3,結(jié)合丁丁，n，代入即可求解.

【詳解】直線/的方向向量為“=(1,一2,2)和a=(-1,1,2),

可得M?a=1,M=J12+(—2)2+2?=3,

則向量。=(一1,1,2)直線/上的投影向量的坐標(biāo)為

_2)=(1--2)

W=33(L2,2)-&9，/

故選：D.

5.已知兩個(gè)等差數(shù)列{%},{2}的前〃項(xiàng)和分別為S”和7“，且j=而[5,則言的值為()

340112

A.-B.—C.—D.一

553143

【答案】B

【解析】

%"SuS“3n+l

【分析】由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式及等差數(shù)列性質(zhì)得,=芳，再由已知U=―7，令

413%Tn5n-2

Sn=(3n+l)nk,Tn=(5n-2)nk,k/0,代入求值即可.

【詳解】由{4},{4}都是等差數(shù)列，設(shè)公差分別為4,出，

n

貝|]S"=nax+—&=g+(%一~)，

T

n=鶴+“(7)三吟〃2+(%-爭〃，

Sd,n+(2q—4)3〃+1(3n+1)〃

則-----------------=------=---------,

Tnd2n+(20i一心)5〃一2(5n-2)n

故不妨令S"=（3n+l）nk,Tn=（5n-2）nk,左w0,

.Su_13（3x13+1*13x40

所以4—11（5x11-2）^-11x53'

13（q+43）

%_2%_q+%3_112115_40

===X=X13=

"~b；2^bl+bn13ll（^+-y137；53

2

故選：B.

6.已知圓。：爐+產(chǎn)=4,直線/：丁=丘+加，若當(dāng)上的值發(fā)生變化時(shí)，直線/被圓C所截得的弦長的最小

值為26，則實(shí)數(shù)，〃的取值為（）

A.+^/2B.+-^3C.±1D.+

【答案】C

【解析】

【分析】求出圓心到直線/距離的最大值，結(jié)合勾股定理可求得加的值.

【詳解】由題意可知，圓C的圓心為原點(diǎn)。，半徑為2,

直線/交y軸于點(diǎn)/（0,加），當(dāng)直線/與aw垂直時(shí)，

此時(shí)，攵=0,原點(diǎn)到直線/的距離d取最大值，即％,=|。叫=|和|,

因?yàn)橹本€/被圓。所截得的弦長的最小值為2百，即2后二版=24，解得〃7=±1.

故選：C.

22

7.已知AF分別為橢圓工+與=1（?！?〉0）的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，氏C是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，若

ab

直線。廠交線段A3于則橢圓的離心率為（）

2

A.立B.1C.D.

3245

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)C（石，X）,6（—七,—%）,由AM=3MB可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由C,RM三點(diǎn)共線得心C=4FM建

立a,c關(guān)系即得.

由題意得4-a,。）,尸（一c,0）,設(shè)XAM=^MB>

XM+。=5(_%

--1--

所以AM=—VB,即《解得j；

2

%=5(-必一加)%=一§M

即M—!西一g,一gx,又由C,RM三點(diǎn)共線得即0=原”.

24cc1

整理得一。=，,所以e=*=—

33a2

故選：B.

8.已知直線/:、=-]+機(jī)與曲線=1恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-72,0)O(0,V2)B.[1,A/2)C.(0,72)D.(1,72)

【答案】D

【解析】

【分析】先運(yùn)算轉(zhuǎn)化曲線C的方程形式，再作出圖形，數(shù)形結(jié)合，隨著直線平行移動(dòng)，與曲線有三個(gè)不同交

點(diǎn)，求出直線/截距范圍即可.

【詳解】曲線C:y=gj|4—x2|可化為4y2=|4—N，

當(dāng)xe[-2,2]時(shí)，4y2=4—必，則、+y?=l(yN0),

故此時(shí)曲線為橢圓三+y2=l的上半部分;

4

當(dāng)xe（-8,_2）u（2,+8）時(shí)，4y2=/—4,則工—9=1（,\0）,

21

故此時(shí)曲線為雙曲線'r-9二i的上半部分，且漸近線方程為y=±5%；

X1

直線/：y=—±+加，表示一組斜率為--的平行直線，

-22

x2

如圖，當(dāng)直線/:y=—萬+加過點(diǎn)（2,0）時(shí)，0=—^+加，解得m=1；

Y

當(dāng)直線/:y=-彳+m與橢圓上半部分相切時(shí)，

2

X2+4/=4（y>0）

由<1,消y化簡得x?-2,nx+2〃『-2=。，

y=——x+m

I2

由A=4根2—4x2（7〃2—1）=—4/〃2+8=0,解得加2=2，

又直線與橢圓上半部分相切，則爪>0,故mf，

要使直線/:丁=-鼻+根與曲線C:y=g正可恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，

結(jié)合圖形可得，實(shí)數(shù)加的取值范圍為

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線/:（4+2。+2）尤—y+2=0,aeR,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若直線/與直線15a無—3y+2=0平行，則。=2

71兀、

B.直線/傾斜角的范圍為

[42）

C.當(dāng)。=一1時(shí)，直線/與直線x+y=0垂直

D.直線/過定點(diǎn)（0,—2）

【答案】BC

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,由兩直線斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；選項(xiàng)B,由斜率與傾斜角關(guān)系,

先求斜率范圍再得傾斜角范圍；選項(xiàng)C,利用斜率關(guān)系可得；選項(xiàng)D,令x=0求解可得.

【詳解】選項(xiàng)A,/:（/+2a+2）x-y+2=0,aeR存在斜率，

直線/方程可化為：y=（/+2a+2）x+2,

2

直線15ax-3y+2=0也存在斜率，方程可化為y=5ax+-,

2

由則兩直線平行的充要條件為4+24+2=54，

即3a+2=0解得。=1或2,故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,由直線/的斜率左=4+24+2=（。+1）2+121,

71兀、

則傾斜角的范圍為-故B正確；

[42）

選項(xiàng)C,當(dāng)。=一1時(shí)，直線/:x—y+2=0,斜率為1，

又直線x+y=O的斜率為-1,則兩直線斜率之積為-1,故兩直線垂直，C正確;

選項(xiàng)D,/:（礦+2a+2）x—y+2=0,aeR,令尤=0,得y=2w—2,

故直線過定點(diǎn)（0,2）,不過（0,-2）,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

22

10.已知曲線上+工=1（/為實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

4-rt-1

A.若fe（4,+8）,則該曲線為雙曲線

B.若該曲線是橢圓，則1＜『＜4

c.若該曲線離心率為:，貝卜="

D.若該曲線為焦點(diǎn)在＞軸上的雙曲線，則離心率ee（l,拒）

【答案】AD

【解析】

【分析】利用橢圓以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征可逐一判斷各選項(xiàng).

/、14T＜0

【詳解】A選項(xiàng)，若fe（4,+”），貝

則曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故A正確；

，4-7〉0

B選項(xiàng)，曲線C是橢圓等價(jià)于%一1〉0,解得1<『<4且，工二,

2

4—7H7—1

故B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，若該曲線離心率為則曲線為橢圓，由B可知1</<4且

當(dāng)一</<4時(shí)，焦點(diǎn)在V軸，〃=1—]/=4—/■=2/—5,

2

當(dāng)1<%<一時(shí)，焦點(diǎn)在X軸，=4—%—1,=5—2%,

2

解得苫,

故c錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，若曲線。是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則八，解得/〉4,

4T<0

止匕時(shí)cr=t—1,b?=/—4,c*2=2t—5f

e=￡=d=當(dāng)/>4時(shí)，函數(shù)》=右/1單調(diào)遞增，

所以ee(l,J5),故D正確.

故選：AD.

11.如圖，在正四棱柱ABC。-A4GR中，A&=2AB,點(diǎn)尸在線段用。上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是

()

A.三棱錐A-的體積為定值

B.若E為。2的中點(diǎn)，則直線2，，平面ACE

3

C.異面直線AP與4。所成角的正弦值的范圍是-,1

D.直線GP與平面4G。所成角的正弦的最大值為更

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】證明出4c〃平面AG。，可知點(diǎn)尸到平面AG。的距離等于點(diǎn)見到平面AG。的距離，利用錐體

的體積公式可判斷A選項(xiàng)；以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，設(shè)A5=l,利用空間向量法可判斷BCD選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在正四棱柱ABC。—中，ABJ/CD,且4M=CD,

所以，四邊形A4CD為平行四邊形，所以，B.C//A.D,

因?yàn)?Ca平面AC。，ADu平面Ac/,所以，片?！ㄆ矫鎍q。，

因?yàn)镻eBC，所以，點(diǎn)P到平面4Go的距離等于點(diǎn)耳到平面4G。的距離，

11191a

所以，=523

9-PG。=%-AG。=%一4￡。=^-AAc,2MAC,DD1=-X-XABXAA1=-ABA

對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。，所在直線分別為x、＞、z軸建立如下圖所示的空間

設(shè)AB=1,則5(1,1,0)、2(0,0,2)、A(LQ2)、C(0,l,0),A(l,0,0),男(1,1,2),

因?yàn)镋為。2的中點(diǎn)，則石(001),則叫=(_1,_1,2),嗎=(1,0,1),

所以，?嗎=—1+2=1。0,所以，3。與AE不垂直，

故當(dāng)E為。2的中點(diǎn)時(shí)，直線3R與平面ACE不垂直，B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，=%=(1,0,2),設(shè)CP=/LC4=(40,2/1),

則AP=AC+CP=(-1,1,0)+(^,0,22)=(2-1,1,22),

APDA

|CQSAPDA|-I-I--二7.I254102+1

1，制M-|DA|[."1)2：1+4%V2522-102+10,

2

.“八，L-------2八人1~252-102+13

所以

所sinAP,DA=7J1-cosAP,DA=JVl---2--5-%--------1-0--2--+---1-0-=J,(5f2+9，

因?yàn)?W4W1,則一1W5X—1W4,所以，9<(52-1)2+9<25,

3「3一

所以‘,針隊(duì)=卮不丁[則，

-3-

因此，異面直線AP與4。所成角的正弦值的范圍是-,1,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面46。的法向量為加=(羽y,z),D\=(1,0,2),￡>G=(0,1,2),

IY1?0/4二丫?7—C

則,取z=—l，可得x=y=2,此時(shí)，機(jī)=(2,2,—1),

m,DC1=y+22=0

GP=G。+CP=(0,0,-2)+(40,22)=(2,0,22-2),

I…IGP,叫22

所以,cosGP,m=||=,—>—

GP,帆3J22+(22-2)3V52--82+4

當(dāng)且僅當(dāng)九=4時(shí)，等號(hào)成立，故直線G2與平面46。所成角的正弦的最大值為亞，D對(duì).

53

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可

確定線面角；

（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度心從而不必作出線面角，則線面

h

角。滿足sin。=7（/為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)q為直線/的方向向量，〃為平面的法向量，則線面角夕的

正弦值為sin0=|cos（?,砌.

a

na為偶數(shù)

12.己知數(shù)列｛%｝滿足％=相（加為正整數(shù)），4+1=2'",則下列結(jié)論正確的是（）

+1,可為奇數(shù)

A.若m=20,則。9=1

B.若“6=1，則加所有可能取值的集合為｛4,5,32｝

C.右YYI-3,則。101=出024

D.若加=2；左為正整數(shù)，則｛4｝的前左項(xiàng)和為2-1—2

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)于A,由遞推關(guān)系直接驗(yàn)算即可；對(duì)于B,結(jié)合凡是正整數(shù)分類討論反推即可；對(duì)于C,寫出

前面幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)周期規(guī)律，由此即可驗(yàn)算；對(duì)于D,由等比數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】對(duì)于A,%=m=20,%=1。,%=5,%=16,%—8,<26=4,a7=2,a8=1,a9=4,,故A錯(cuò)

誤；

對(duì)于B,若4=1，則只能%=2（否則。5=。，于。5是奇數(shù)矛盾），從而。4=4（否則%=；，于〃4是

奇數(shù)矛盾），

〃3=1,〃2==4

進(jìn)而由遞推關(guān)系。4=4n<%=8,2=16,q=5,故B正確；

a3=8,6/2=16嗎=32

對(duì)于C,%=m=3,。2=1。,生=5,。4=16,生=8,%=4,%=2,/=L〃9=4,,

所以從。6開始數(shù)列呈現(xiàn)周期為3,101—5=96,2024—5=2019均能被3整除，所以。⑼二生。?“故C正

確；

kkll

對(duì)于D,a1=m=2,a2=2~,-,ak=2,則｛2｝的前女項(xiàng)和為

v=2+4++2k=—-------=一2，故D正確.

k1-2

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：B選項(xiàng)的關(guān)鍵是結(jié)合凡是正整數(shù)進(jìn)行反推，由此即可順利得解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知S"為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且滿足%+%+Io=6,則S13=.

【答案】26

【解析】

【分析】求出％的值，即可得出的值.

【詳解】在等差數(shù)列｛4｝中，%+%0=2。7，

/+%+〃io=3%=6,解得：%=2.

13（a+k）

...S13=二'=13%=13x2=26

故答案為：26.

14.已知空間向量PAPBPC的模長分別為1,2,3,且兩兩夾角均為W，點(diǎn)6為_46。的重心，則=

【答案】-

3

【解析】

【分析】利用重心的幾何性質(zhì)結(jié)合空間向量的減法可得出3PG=PA+PB+PC，再利用空間向量數(shù)量積

的運(yùn)算性質(zhì)可求得|尸@的值.

7T

【詳解】空間向量的模長分別為1,2,3,且兩兩夾角均為一，如圖，

3

由G為,?ABC的重心，得G4+GB+GC=0,

于是PA—PG+P3—PG+PC—PG=O，即3PG=PA+P3+PC，

所以|PG|=；?PA+PB+PCy=；4P/+PB°+PC~+2(PAPB+PBPC+PC-PA)

=—Jl+4+9+2x(lx2cos—+2x3cos—+1x3cos-)=—.

3V3333

故答案為：-

3

15.已知拋物線C:y2=2Px(p>0),過其焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線/與拋物線交于A3兩點(diǎn)(A在第一

象限)，若|A刊=6,則拋物線。的方程為.

【答案】/=6x

【解析】

【分析】利用拋物線定義化斜為直，轉(zhuǎn)化已知條件到Rt^AEH中，建立關(guān)于〃的方程求解即可.

拋物線C：V=2px(0>0),則焦點(diǎn)準(zhǔn)線/:X=/.

過點(diǎn)A作準(zhǔn)線/,垂足為A，作軸，垂足為“，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為T.

由拋物線定義可知==7H=6,又TF=p,

TT

在Rt^A陽中，AF=6,FH=TH-TF=6-p/AFH=3,

則有AF=2用，得6=2(6—〃)，解得p=3,

故所求拋物線C的方程為V=6%.

故答案為：y2=6x.

16.已知圓C:(x—l)2+(y—1)2=4,過點(diǎn)M(2,2)的直線/與圓C交于一(七,％),5(4,%)兩點(diǎn),則

X+X-6|+民+%—6|的最小值為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)N+X—6代尾+%—6|=&]忖上獰@+邑華二表示A,8兩點(diǎn)到直線

I,272)

x+y—6=0的距離之和的④倍，結(jié)合A,3兩點(diǎn)到直線x+y—6=0的距離之和等于線段A5的中點(diǎn)。

到直線x+y—6=0距離的2倍，根據(jù)題意分析可得中點(diǎn)。的軌跡是以皿為直徑的圓，從而求出。到直

線x+y_6=0距離的最小值的2亞倍即可得到答案.

【詳解】由題可得：,+x—6|+上+上—6|=、歷]匠畢二@+邑隼二

所以|玉+M-6|+1%2+%—6表示A，B兩點(diǎn)到直線x+y-6=0距離之和的夜倍,

根據(jù)題意作出圖形如下：

如圖，設(shè)A,8的中點(diǎn)為。，

且A,B,。在直線x+y—6=0的投影分別為G,H,E，

=與/=2忘〉2,

圓心C(l,l)到直線x+y—6=0的距離d

所以直線x+y—6=0與圓。相離，易得CD_LA5,即CDLZW,

所以點(diǎn)。在以CM為直徑的圓上，其圓心為半徑為也，

(22；2

由圖可得：,+%—6|+民+%—6|=&]&+民+”|]=72(|AG|+|BF|)=2四口目

IA/2。2)

由于N到直線x+y—6=0的距離/_萬+耳一6_30叵,

所以|DE|mm=4—交=逆—也=后，

11mn1222

即歸+%—6|+四+%—&的最小值為242\DE\.=4.

故答案為：4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知遞增等差數(shù)列｛%,｝滿足％=1,且%，。5一1，%+1成等比數(shù)列，包=-------

anan+2

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和5“.

【答案】(1)an=n

_32〃+3

⑵〃一廠2(〃+1)5+2)

【解析】

【分析】(1)利用等比數(shù)列性質(zhì)，設(shè)出等差數(shù)列基本量列方程求解即可；

(2)利用裂項(xiàng)相消法數(shù)列求和.

【小問1詳解】

設(shè)｛%｝公差為d,

。2，。5一1，。7+1成等比數(shù)列，4=1，

\(%-I)2=%(。7+1)

即(4d)2=(l+d)(2+6d),.?.5儲(chǔ)-4"1=0,

d=1或d=——，

5

,｛%｝單調(diào)遞增，；.d=l，二。=="

【小問2詳解】

由⑴可知，an=n,則。“?！?2="(〃+2),

z1If111

則”=(「「不-----77，

+2\nn+2)

當(dāng)"一」---q

2(2n+\n+2J

_32n+3

42(〃+l)(〃+2)，

18.如圖,在三棱柱ABC-431cl中，CG_L平面ABC,AC，CB,O為AB的中點(diǎn)，AC=虛=C￡=2.

(1)求證：ACJ/平面片CD；

(2)求點(diǎn)A到平面B}CD的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)

3

【解析】

【分析】(1)連接BG交8c于E，連接OE，可證。E//AG，從而AC"/平面片。。；

(2)利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式求解.

【小問1詳解】

連接BG交與。于E，連接OE,

側(cè)面3CG及為平行四邊形，

為BG的中點(diǎn)，

又D為AB的中點(diǎn)，

:.DEHAC[,

QAC；<Z平面B[CD,DEu平面BXCD,

所以AC"/平面用。。；

【小問2詳解】

以c為原點(diǎn)，C4,CB,CG所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

0（1,1,0）,4（022）,4（2,0,2）,

=（0,2,2）,M=（2,0,2）,

/、fn-CD-0[x+y=0

設(shè)平面gCD的法向量為“二（x,y,z）,貝叫即.二八

'7[n-CB^O[2y+2z=0

取x=l,則y=-l,z=l,

n=(1,-1,1),

??.A到平面BXCD的距離d=|CAIJcosCA,n\=烏』=3=生叵.

\n\J33

19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x,y）到直線/：y=-2的距離比到點(diǎn)/（0,1）的距離大i,點(diǎn)尸的軌跡為曲線C1,曲線G是

中心在原點(diǎn)，以/（0,1）為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長為4.

（1）求曲線G、。2的方程;

（2）經(jīng)過點(diǎn)歹的直線4與曲線C1相交于A、8兩點(diǎn)，與曲線。2相交于M、N兩點(diǎn)，^\AB\=3\MN\,

求直線4的方程.

22

2

【答案】(1)C1:x=4y,Q:^+—=l

243

正川

(2)y=x+1或y=一

3

【解析】

【分析】（I）分析可知，曲線C1為拋物線，確定該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，可得出曲線的方程,

求出。、b的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可得出橢圓G的方程;

（2）分析可知，直線4的斜率存在，設(shè)直線乙的方程為丁=履+1,將該直線的方程分別與曲線C1、的

方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長公式可得出關(guān)于左的方程，解出左的值，即可得出直線

L的方程.

【小問1詳解】

解：由題意知，點(diǎn)P到直線y=-l的距離等于歸尸|,

所以，點(diǎn)p的軌跡是以b（0,1）為焦點(diǎn)，y=-l為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為必=4〉.

因?yàn)闄E圓的長軸長2。=4,尸（0,1）為橢圓。2的一個(gè)焦點(diǎn)，則a=2,c=l,

22

所以，b=yJa2-c2=A/22-12=V3>所以，曲線02方程為?+?=1.

【小問2詳解】

解：若直線乙的斜率不存在，則直線式與拋物線爐=4》只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，

所以，直線4的斜率必存在，則直線乙的方程為丁=辰+1

y=kx+l

由〈,,，整理得％2_4而_4=0,則A=16492+16〉0,

設(shè)4（七,%）、B（x2,y2）,則%+%2=4左，西工2=-4,

所以，%+%=左（玉+9）+2=4左2+2,貝（11AB|=%+%+2=44~+4,

y=kx+1

由vy2冗2,整理得（3左2+4）尤2+6A%—9=0,

143

則A=36左2+36（3/+4）=144（左②+1）＞0,

設(shè)以（￡,%）、N（X4，%），則"+"-誓，為"-Q,

342+4

因?yàn)閨的=3|上W|,即4（左2+1）=3義1；,2：），可得儲(chǔ)J，解得左=±半,

所以，直線乙的方程為y=土邊5》+1.

3

20.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎?/p>

數(shù)分成許多類，把按照下圖排列規(guī)律的數(shù)1,5,12,22,....稱為五邊形數(shù)，記五邊形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為｛4｝,

數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為S,,滿足Sn=2-bn.

（1）求數(shù)列｛q｝,｛2｝的通項(xiàng)公式;

（2）若c“=處,求數(shù)列｛c,｝的前九項(xiàng)和北.

n

、3〃2—n

【答案】⑴'Vr

⑵3—警

【解析】

【分析】（1）由圖列得到數(shù)列｛4｝的遞推關(guān)系，由累加法求通項(xiàng)可得乙；由已知S,=2-2結(jié)合前幾項(xiàng)和

與通項(xiàng)關(guān)系，構(gòu)造作差證明數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，再得通項(xiàng)；

（2）由錯(cuò)位相減法數(shù)列求和.

【小問1詳解】

1,n=l

由題意可知

an_x+3n-2.n>2

???當(dāng)〃22時(shí)，an-%-=3〃-2

累加得為="1+（電—%）+（%—%）++（。八—Q〃_I）=%+3（2+3+4++〃）—2（〃—1）

=1+3（H-l）（n+2）_（H-1）（3H+2）=W-H

222v7

當(dāng)〃=1時(shí)，卬=1滿足上式.

?-S.=2-

，當(dāng)時(shí)，S“T=2-Z?,i，且偽=1/0,

兩式相減得〃=~bn+%，

b1

二22=%,即廣=w（〃22）

b,i2

,數(shù)列也,｝是首項(xiàng)為1，公比為g的等比數(shù)列

?口=2x]￡|+5x]￡|++（3〃-l）x（￡|①

9=2又0+5義］￡|++(314②

_53〃+5

―22向

.?工=5-"

"2"

21.如圖1,在直角梯形ABCD中，AB//DC,AB±BC,ABAD=45°,AB=6,CD=2,E,F分別為

AD,5c的中點(diǎn)，沿石廠將平面EFCD折起，使二面角C—跖—5的大小為60°,如圖2所示，設(shè)

M,N分別為A53歹的中點(diǎn)，P為線段A。上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).

(1)求證：CN1AE；

3AP

(2)若直線與平面ADE所成角的正弦值是三，求——.

5AD

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由已知可證得EF/平面BCF,進(jìn)而可證得五產(chǎn)，C7V,通過證出。V，皮，證得CNJ_

平面ABES,即可證得結(jié)果；

(2)以N為原點(diǎn)，NQ,N&NC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出ADE平

面的一個(gè)法向量，以及MP，即可利用線面角的向量公式解出.

【小問1詳解】

E,尸分別為AD,5c的中點(diǎn)，，跖〃A3.

:.EF±FB,EF±FC

FBFC=F,FB,FCu平面BCF

平面8CT,，；CNu平面BCF,:.EF：LCN,

?NCEB是二面角C—?dú)v—5的平面角，NCEB=60°.

FC=FB,;._BCF為等邊三角形,

:.CN±BF.

EFBF=F,EF,BFu平面ABFE，

W平面

又?4￡（=平面人5巫，.?.0，4￡.

【小問2詳解】

設(shè)AE中點(diǎn)為Q，由(1)知NQ,N&NC兩兩垂直，以N為原點(diǎn)，NQ,A?,NC所在直線分別為x軸,

y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

AB=6,CD=2,ABAD=45°,CF=BF=2,

.?.C（0,0,A/3）,A（6,1,0）,E（4,-1,0）,D（2,0,X/3）,M（3,1,0）,

AD=（-4,-1,^,AE=（-2,-2,0）,=（3,0,0）,

設(shè)平面ADE的法向量為〃=(%,%z),則

TI-AE=02x+2y=0

即＜

n-AD-0—4x—y+yfiz=0

取X=],則y=—1,z=

設(shè)AP=AAD=卜4丸,—4