3 一元二次方程-壓軸題

一元二次方程--壓軸題一、解答題（本大題共12道小題）1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)x12＋x22＝6x1x2時(shí)，求m的值．2.先化簡再求值：÷（x－），其中x是x2－２x－２＝０的正數(shù)根。（9分）3.秋?太原期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0時(shí)，我們將x2﹣1作為一個(gè)整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程化為y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．當(dāng)y＝3時(shí)，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解為x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．4.已知是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，且，求的值是多少？5.（12分）將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形．（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由．6.(8分)已知一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4，這個(gè)兩位數(shù)十位和個(gè)位交換位置后，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積為1612，求這個(gè)兩位數(shù)．7.秋?無錫期中）某景區(qū)商店以2元的批發(fā)價(jià)進(jìn)了一批紀(jì)念品．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個(gè)定價(jià)3元，每天可以能賣出500件，而且定價(jià)每上漲0.1元，其銷售量將減少10件．根據(jù)規(guī)定：紀(jì)念品售價(jià)不能超過批發(fā)價(jià)的2.5倍．（1）當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品定價(jià)為3.6元時(shí)，商店每天能賣出件；（2）如果商店要實(shí)現(xiàn)每天800元的銷售利潤，那該如何定價(jià)？8.水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價(jià)格出售，每天可售出100斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價(jià)銷售．（1）若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷售量是斤（用含x的代數(shù)式表示）；（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元？9.秋?武侯區(qū)校級(jí)期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且滿足數(shù)軸上x1，x2所表示的點(diǎn)到2所表示的點(diǎn)的距離相等，則稱這樣的方程為“關(guān)于2的等距方程”以下“關(guān)于2的等距方程”的說法，正確的有．（填序號(hào)）①方程x2﹣4x＝0是關(guān)于2的等距方程；②當(dāng)5m＝﹣n時(shí)，關(guān)于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是關(guān)于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是關(guān)于2的等距方程，則必有b＝﹣4a（a≠0）；④當(dāng)兩根滿足x1＝3x2，關(guān)于x的方程px2﹣x0是關(guān)于2的等距方程．10.秋?市中區(qū)期中）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來就叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)一般表示為a+bi（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加法，減法，乘法運(yùn)算與整式的加法，減法，乘法運(yùn)算類似．例如：解方程x2＝﹣1，解得：x1＝i，x2＝﹣i．同樣我們也可以化簡2i；讀完這段文字，請(qǐng)你解答以下問題：（1）填空：i3＝，i4＝，i6＝，i2020＝；（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：（x﹣1）2＝﹣1．（3）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：x2﹣4x+8＝0．11.（春?成都期末）由于醫(yī)療物資極度匱乏，許多工廠都積極宣布生產(chǎn)醫(yī)療物資以應(yīng)對(duì)疫情．某工廠及時(shí)引進(jìn)了1條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)300萬個(gè)，第三天生產(chǎn)432萬個(gè)，若每天生產(chǎn)口罩的個(gè)數(shù)增長的百分率相同，請(qǐng)解答下列問題：（1）每天增長的百分率是多少？（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900萬個(gè)/天，如果每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30萬個(gè)/天．①現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩3900萬個(gè)，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？②是否能通過增加生產(chǎn)線，使得該廠每天生產(chǎn)口罩9000萬個(gè)？若能，應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？若不能，請(qǐng)說明理由．12.某商場將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件．后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低1元，其銷量可增加10件．（1）求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元？（2）設(shè)后來該商品每件降價(jià)x元，商場一天可獲利潤y元．①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并通過畫該函數(shù)圖像的草圖，觀察其圖像的變化趨勢，結(jié)合題意寫出當(dāng)x取何值時(shí)，商場獲利潤不少于2160元？答案一、解答題（本大題共12道小題）1.【答案】解：(1)∵原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4(m－1)≥0，整理，得4－4m＋4≥0，解得m≤2.(2)∵x1＋x2＝2，x1x2＝m－1，x12＋x22＝6x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝6x1x2，即4＝8(m－1)，解得m＝eq\f(3,2).∵m＝eq\f(3,2)＜2，∴符合條件的m的值為eq\f(3,2).2.【答案】化簡結(jié)果=，方程x2－２x－２＝０的正根是x=1+，代入原式==。3.【答案】解：設(shè)x2+2x＝m，則m2﹣2m﹣3＝0，∴（m﹣3）（m+1）＝0，∴m﹣3＝0或m+1＝0，解得m＝3或m＝﹣1，當(dāng)m＝3時(shí)，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，∴（x+3）（x﹣1）＝0，則x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；當(dāng)m＝﹣1時(shí)，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x3＝x4＝﹣1；綜上，原方程的解為x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．4.【答案】解：為原方程的根又又；故：的值為－4。5.【答案】解：設(shè)這段鐵絲被分成兩段后，圍成正方形，其中一個(gè)正方形的邊長為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長為=（5-x）cm．依題意列方程得x2+（5-x）2=17，解方程得：x1=1，x2=4．因此這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm，16cm．（2）由（1）可知：x2+（5-x）2=12，化簡后得：2x2-10x+13=0，∵△=（-10）2-4×2×13=-4<0，∴方程無實(shí)數(shù)解．所以兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于12cm2．6.【答案】解：設(shè)原數(shù)十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為(x－4)，則原數(shù)為10x＋(x－4)；交換位置后新數(shù)為10(x－4)＋x.由題意得[10x＋(x－4)]×[10(x－4)＋x]＝1612，整理得x2－4x－12＝0，解得x1＝6，x2＝－2.數(shù)字－2不合題意，應(yīng)舍去，∴x＝6，x－4＝2，∴原來這個(gè)兩位數(shù)是627.【答案】解：（1）∵每個(gè)定價(jià)3元，每天可以能賣出500件，而且定價(jià)每上漲0.1元，其銷售量將減少10件，∴當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品定價(jià)為3.6元時(shí)，商店每天能賣出：500﹣10440（件）；故答案為：440；（2）設(shè)定價(jià)x元，由題意得：（x﹣2）（500）＝800，解得：x1＝4x2＝6，∵售價(jià)不能超過批發(fā)價(jià)的2.5倍，∴x＝4，答：定價(jià)為4元．8.【答案】解：（1）將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷售量是100+×20=100+200x（斤）；（2）根據(jù)題意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，當(dāng)x=時(shí)，銷售量是100+200×=200＜260；當(dāng)x=1時(shí)，銷售量是100+200=300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：張阿姨需將每斤的售價(jià)降低1元．9.【答案】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，則|x2﹣2＝|x2﹣2|，①正確；②當(dāng)m≠0，n≠0時(shí)，（x+1）（mx+n）＝0，則x1＝﹣1，x2，∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，滿足2的等距方程；當(dāng)m＝n＝0時(shí)，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②錯(cuò)誤；③對(duì)于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韋達(dá)定理得：x1+x2，∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，則x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，當(dāng)x1＝x2時(shí)，x1＝x2，不能判斷a與b之間的關(guān)系，當(dāng)x1+x2＝4時(shí)，即4，∴b＝﹣4a，故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程時(shí)，b不一定等于﹣4a，故③錯(cuò)誤；④對(duì)于方程px2﹣x0有兩根滿足x1＝3x2，由韋達(dá)定理得：x1x2，x1+x2，∴x1x2（x1+x2），∴3x22（3x2+x2）＝3x2，∴x2＝1或x2＝0（舍去），∴x1＝3x2＝3，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，即px2﹣x0是關(guān)于2的等距方程，故④正確，故正確的有①④，故答案為①④．10.【答案】解：（1）i3＝i2×i＝﹣i；i4＝i2×i2＝1．i6＝（i2）3＝﹣1；i2020＝（i2）1010＝1；故答案為﹣i，1，﹣1，1；（2）∵（x﹣1）2＝﹣1，∴（x﹣1）2＝i2，∴x﹣1＝±i，∴x1＝1+i，x2＝1﹣i．（3）x2﹣4x+8＝0，x2﹣4x＝﹣8，（x﹣2）2＝4i2，∴x﹣2＝±2i解得：x1＝2+2i，x2＝2﹣2i．11.【答案】解：（1）設(shè)每天增長的百分率為x，依題意，得：300（1+x）2＝432，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：每天增長的百分率為20%；（2）①設(shè)應(yīng)該增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（900﹣30m）萬個(gè)/天，依題意，得：（1+m）（900﹣30m）＝3900，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入，∴m＝4．答：應(yīng)該增加4條生產(chǎn)線；②設(shè)增加a條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（900﹣30a）萬個(gè)/天，依題意，得：（1+a）（900﹣30a）＝9000，化簡得：a2﹣29a+270＝0，∵△＝（﹣29）2﹣4×1×270＝﹣239＜0，方程無解．∴不能增加生產(chǎn)線，使得每天生產(chǎn)口罩9000萬個(gè)．12.【答案】⑴若商店經(jīng)營該商品不降價(jià)，則一天可獲利潤100×（100－80）＝2000（元）⑵①依題意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x－10x+16=0解得：x=2,x=8