函數(shù)與導數(shù)壓軸小題歸類（學生版）

函數(shù)導數(shù)壓軸小題歸類題型01整數(shù)解型 1題型02函數(shù)零點構(gòu)造型 2題型03同構(gòu):方程零點型同構(gòu) 4題型04同構(gòu):不等式型同構(gòu)求參 5題型05恒成立求參：移項討論型 6題型06恒成立求參：虛設(shè)零點型 7題型07“倍縮”型函數(shù)求參數(shù) 8題型08恒成立求參：“等式”型 9題型09雙變量型不等式范圍最值 題型10雙變量型：凸凹反轉(zhuǎn)型 題型11多參型：代換型 題型12多參型：二次構(gòu)造放縮型 題型13多參型：韋達定理求參型 題型14多參型：單峰函數(shù)絕對值型 題型15導數(shù)與三角函數(shù) 高考練場 題型01整數(shù)解型 解題的思路.【典例1-1】已知函數(shù)若對任意的c>1，存在實數(shù)a,b滿足0<a<b<c，使得g(a)=f(b)=g(c)，則k的最大值是【典例1-2】已知函數(shù)f(x)=ex—ax—1在區(qū)間(—1,1)內(nèi)存在極值點，且f(x)<0恰好有唯一整數(shù)解，則a的【變式1-1】在關(guān)于x的不等式e2x2—(aex+4e2)x+aex+4e2>0（其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()【變式1-2】已知偶函數(shù)f(x)滿足f(3+x)=f(3—x)，且當x∈[0,3]時，f(x)=xe—，若關(guān)于x的不等式f2(x)—tf(x)>0在[150,150]上有且只有150個整數(shù)解，則實數(shù)t的取值【變式1-3】（四川省成都石室中學高三下學期考試數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)若關(guān)于x的不等式f2(x)+af(x)>0恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是題型02函數(shù)零點構(gòu)造型 函數(shù)零點構(gòu)造型，涉及到函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用：與對稱有關(guān)的常用結(jié)論：①若點A(x1,y1)，B(x2,y2)關(guān)于直線x=a對稱，則x1+x2=2a；②若f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)=f(2a-x)；③若f(a+x)=f(b—x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線對稱；④若f(2a—x)+f(x)=2b，則f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱.數(shù)形結(jié)合法解決零點問題：①零點個數(shù)：幾個零點②幾個零點的和③幾個零點的積.的取值范圍為.【典例1-2】.已知函數(shù)若實數(shù)x1,x2滿足x1≠x2，f(x1)+f(x2)=4，則x1+x2的取值范【變式1-1】（2022·云南省玉溪第一中學高三）已知函數(shù)f(x)=xex，g(x)=xlnx，若f(x1)=g(x2)=t，其中t>0，則的取值范圍是【變式1-2】2022·浙江·高三專題練習）設(shè)函數(shù),已知x1<x2，且f(x1)=f(x2)，若x2—x11的最小值為，則a的值為.e【變式1-3】已知函數(shù)=x2—2x—a，若方程f(x)=g(x)有4個不同的實根x1，x2，x3，x4題型03同構(gòu):方程零點型同構(gòu) 對于既含有指數(shù)式又含有對數(shù)式的等式或不等式，直接求導會出現(xiàn)越求導式子越復雜的情況，此時可通過同構(gòu)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的函數(shù)的導數(shù)問題.導函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當函數(shù)中同時出現(xiàn)ex與lnx，通常使用同構(gòu)來進行求解，難點是尋找構(gòu)造突破口。如xeex—2+(e—1)lnx=2變形得到eelnx+x—2+elnx+x—2=elnx+lnx，從而構(gòu)造f(t)=et+t進行求解.常見同構(gòu)：①ax>logax→exlna>→xlna.exlna>→>lnx→>xlnx→>lnx.elnx→>lnx→λ>;;【典例1-2】（2023·全國·模擬預測）若方程2aln在上有實根，則a的取值范圍是()【變式1-1】（2023·全國·模擬預測）已知x0是方程ex—ln3x—2x=0的一個根，則）【變式1-2】（2023上·四川綿陽·高三四川省綿陽實驗高級中學?？茧A段練習）已知a>0,b>1,且e2a+2lnb+1=b2+2a,則一定有()A．b>ea【變式1-3】（2023上·山東日照·高三統(tǒng)考開學考試）已知正實數(shù)x，y滿足ex=ylnx+ylny，則—lny題型04同構(gòu):不等式型同構(gòu)求參 【典例1-1】（2023·全國·安陽市第二中學校聯(lián)考模擬預測）已知關(guān)于x的不等式xm—1+1≤在上恒成立，則正數(shù)m的最大值為()成立，則實數(shù)a的取值范圍為()【變式1-2】（2022上·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式aex+xlna≥2xlnx恒成立，其中e為A．a(chǎn)既有最小值，也有最大值B．a(chǎn)有最小值，沒有最大值C．a(chǎn)有最大值，沒有最小值D．a(chǎn)既沒有最小值，也沒有最大值【變式1-3】（2022上·安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）已知a<0，若x>1時，e-x-lne-x≥xa-lnxa恒成立，則aA．-1B．-2C．-eD．-2e題型05恒成立求參：移項討論型 （1）若x12∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x1)max<g(x2)min；（2）若x12∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x1)max<g(x2)max；（3）若3x12∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x1)min<g(x2)max；（4）若3x1∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x1)min<g(x2)min；【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=x2-ln(1+x)-ln(a-x)有唯一零點，則a=()【典例1-2】.（2022·全國·高三專題練習）若對任意x∈(0,+∞)，不等式2e2x-alna-alnx≥0恒成立，則實 2恒成立，則a的最小值是()A．-1B．ln2-2C．1-eD．ln3-3【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)=xex-ax3-ax2+1，x∈(0,+∞)，若f(x)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是【變式1-3】（2022上·江蘇揚州·高三統(tǒng)考階段練習）當x>0時，不等式x2ex≤mx+2lnx+1有解，則實數(shù)題型06恒成立求參：虛設(shè)零點型 涉及到導函數(shù)有零點但是求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形時，可以將這個零點只設(shè)出來而不必整體的轉(zhuǎn)換和過度，再結(jié)合其他條件，進行代換變形，從而（1）、整體代換：把超越式子（多為指數(shù)和對數(shù)式子）轉(zhuǎn)化為普通的（如二次函數(shù)一次哈數(shù)等）可解式子，如比值代換等等。（2）、反代消參：反解參數(shù)代入，構(gòu)造單一變量的函數(shù)。如果要求解（或者要證明）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，則可以通過反解參數(shù)，用變量（零點）表示參數(shù)，然后把函數(shù)變成關(guān)于零點的單一函數(shù)，再對單一變量求導就可以解決相應(yīng)的問題。（3）留參降次（留參、消去指對等超越項）：如果要求解的與參數(shù)有關(guān)，則可以通過消去超越項，建立含參數(shù)的方程或者不等式。恒等變形或者化簡方向時保留參數(shù)，通過“降次”變換，一直降到不可再降為止，再結(jié)合條件，求解方程或者不等式，解的相應(yīng)的參數(shù)值或者參數(shù)范圍【典例1-1】（四川省內(nèi)江市威遠中學校2022-2023學年高三上學期第三次月考數(shù)學（理）試題）已知不等【典例1-2】（黑龍江省哈爾濱市第六中學校2022-2023學年高三上學期10月月考數(shù)學試題）若關(guān)于x的不+a對一切正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()【變式1-1】設(shè)實數(shù)λ>0，若對任意x∈(0,+∞)，不等式—ln(λx)≥0恒成立，則λ的取值范圍是()A．0<λ≤B．0<λ≤e1C．0<λ≤ 2題型07“倍縮”型函數(shù)求參數(shù) 如果函數(shù)f(x)在定義域的某個區(qū)間[m,n]（m<n）上的值域恰為[km,kn]（k>0則稱函數(shù)f(x)為[m,n]上的k倍域函數(shù)，[m,n]稱為函數(shù)f(x)的一個k倍域區(qū)間.把函數(shù)h(x)存在區(qū)間[m,n]，使得函數(shù)h(x)為[m,n]上的k倍域函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵.【典例1-1】（陜西省漢中中學2019屆高三上學期第二次月考數(shù)學（理）試卷）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在[a,b]≤D，使f(x)在[a,b]上的值域為，則稱f為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=ex+t為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是【典例1-2】（浙江省杭州學軍中學西溪校區(qū)2020-2021學年高三3月數(shù)學試題）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若函數(shù)f(x)滿足條件：存在[a,b]≤D，使f(x)在[a,b]上的值域是稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f(x)=log2(2x+t)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是.【變式1-1】（2020年浙江省新高考考前原創(chuàng)沖刺卷（二設(shè)函數(shù)h(x)的定義域為D，若滿足條件：存在[a,b]≤D，使h(x)在[a,b]上的值域為[2a,2b]，則稱h(x)為“倍脹函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=lnx+t為“倍脹函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是.【變式1-2】（河北省邢臺一中2021-2022學年高三下學期模擬數(shù)學（理)試題）.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，若存在[a,b]≤I，使得f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域為[ka,kb](k∈N*)，則稱f(x)為“k倍函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=log3(3xm)為“3倍函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍為()【變式1-3】（2022吉林吉林·高三階段練習（理設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足條件：存在[m,n]≤D，使f(x)在[m，n]上的值域為[km，kn]（k∈R且k>0則稱f(x)為“k倍函數(shù)”，若函數(shù)f(x)=ax(a>1)為“3倍函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是()3e,e3)題型08恒成立求參：“等式”型 2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)，則f(x)的值域是g(x)值域的子集.【典例1-1】（2021·四川·綿陽中學模擬預測（文））已知函數(shù)f(x)=x.e—x，g(x)=x2—lnx+a，若,x2(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是【典例1-2】2022·福建·泉州市城東中學高三）已知x1，x2是函數(shù)f(x)=x2—2ax+2lnx的兩個極值點，且x1<x2，當a≥時，不等式f(x1)≥mx2恒成立，則實數(shù)m的取值范圍()「8)「8)對任意的正實數(shù)x1，x2，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，則a的最小值為()1e2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是()(ln2)(ln27(1)(ln27(ln2)(ln27(1)(ln27【變式1-3】（江蘇省南京航空航天大學附屬高級中學2020-2021學年高三數(shù)學試題）已知函數(shù)f(x)=(x—2)ex+e+1，g(x)=+xlnx，對任意的m∈|,3，總存在n∈|,3使得g(m)≥f(n)成立，則a的范圍為.題型09雙變量型不等式范圍最值 不等關(guān)系(1)若x122)成立，故f(x)max<g(x)min；(2)若x122)成立，故f(x)max<g(x)max；(3)若3x12)成立，故f(x)min<g(x)min；(4)若3x122)成立，故f(x)min<g(x)max.【典例1-1】（2023下·四川眉山·高三眉山市彭山區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)f(x)=ex+ax有兩個零點x1,x2，且x1>x2，則下列說法不正確的是()x2C．x1x2>1D．f(x)有極小值點【典例1-2】（2023下·福建福州·高三福建省福州第一中學?？迹┮阎瘮?shù)f(x)=(x—且x1≠x2，x1.x2>【變式1-1】（2019下·河南鶴壁·高三鶴壁高曲線y=f(x)上總存在兩點M(x1,y1)，N(x2,y2)，使曲線y=f(x)在M,N兩點處的切線互相平行，則x1+x2【變式1-2】（2019下·山西長治·高三統(tǒng)考階段練習）若方程x﹣2lnx+a＝0存在兩個不相等的實數(shù)根x1和A.x1x2x1x2x1x2【變式1-3】（2021上·高三單元測試）已知直線y=—x+2分別與函數(shù)y=ex和y=lnx的圖象交于點A(x1,y1)，B(x2,y2)，則下列結(jié)論錯誤的是()題型10雙變量型：凸凹反轉(zhuǎn)型 凸凹翻轉(zhuǎn)型常見思路，如下圖轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題是關(guān)鍵?！镜淅?-1】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)大于1的兩個實數(shù)a，b滿足則正整數(shù)n的最大【典例1-2】（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習）已知正數(shù)a,b滿足+2b≤a+lnb+1，則ea+b=()【變式1-2】（安徽省六安市第一中學、合肥八中、阜陽一中三校2021-2022學年高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題）已知函數(shù)f(x)=ex(|lnx|—m)—x有兩個零點，則m的取值范圍為()題型11多參型：代換型 不等式中，可以借助對數(shù)均值不等式解決，完整的對數(shù)均值不等式為x1x2<兩邊同除x2，令整體換元的思想來構(gòu)造函數(shù)，證明不等式成立求解參數(shù)【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)對于正實數(shù)a，若關(guān)于t的方程恰有三個不同的正實數(shù)根，則a的取值范圍是()e2,8e2,)【典例1-2】（2020·江蘇·高三專題練習）若對任意正實數(shù)a,b,a2+(lnb—lna)b2+ab≥mab恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是【變式1-1】（2020·全國·高三專題練習（文設(shè)三次函數(shù)ax3+bx2+cxa,b,c為實數(shù)且a≠0）的導數(shù)為f’(x)，記g(x)=f’’(x)，若對任意x∈R，不等式f’(x)≥g(x)恒成立，則的最大值為數(shù)λ的可能的取值是()2eee【變式1-3】（江蘇省揚州中學2022-2023學年高三考試數(shù)學）若正實數(shù)a,b滿足a+b=1，則函數(shù)2+的零點的最大值為.題型12多參型：二次構(gòu)造放縮型 【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知關(guān)于x的不等式(a+1)x≥lnx+b恒成立，則aeb—1的最小值為恒成立.則當取最大值時，【變式1-1】（2021·四川成都·統(tǒng)考模擬預測）設(shè)k，b∈R，若關(guān)于x的不等式ln(x-1)+x≤kx+b在(1,+∞)上恒成立，則的最小值是()A．-e2B．C．D．-e-1【變式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高級中學校考）已知函數(shù)=ex-x2+x3，若x∈R時，恒有f'(x)≥3x2+ax+b，則ab+b的最大值為【變式1-3】（2023·浙江·高三路橋中學校聯(lián)考）已知a>0，b>0，關(guān)于x的不等式xa-lnx<1無實數(shù)解，則b-a的最小值為()442題型13多參型：韋達定理求參型【典例1-1】（2023上·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學?？迹┤艉瘮?shù)=alnx+既有極大值也有極小值，則錯誤的是()【典例1-2】（2023上·江蘇蘇州·高三蘇州中學?？奸_學考試）若函數(shù)=alnx+既有極大值也有極小值，則a∈()【變式1-3】（2023·河南開封·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)f(x)=x2-ax+alnx的兩個極值點分別是x1,x2，則下列結(jié)論正確的是()C．存在實數(shù)a，使得f(x1)+f(x2)>0D．f(x1)+f(x2)<題型14多參型：單峰函數(shù)絕對值型【典例1-1】（安徽省阜陽市太和第一中學2019-2020學年高三數(shù)學試題）若存在實數(shù)a、b，對任意實數(shù)【典例1-2】（中學生標準學術(shù)能力診斷性測試2019-2020學年高三1月（一卷）數(shù)學（理）試題）設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x2+ax+b，若對任意的實數(shù)a和b，總存在x0∈[0,3]，使得f(x0)≥m，則實數(shù)m的最大值為.【變式1-1】設(shè)函數(shù)+ax+b若對任意的實數(shù)a,b，總存在使得f≥m成立，則實數(shù)m的取值范圍是.x2f(x1)=g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍.【變式1-3】（浙江省溫州市2021-2022學年高三適應(yīng)性測試一模數(shù)學試題）設(shè)函數(shù)f(x)=.若f(x)在[-1,1]上的最大值為2，則實數(shù)a所有可能的取值組成的集合是.題型15導數(shù)與三角函數(shù)【典例1-1】函數(shù)f(x)=sin2x-4cosx的最大值為() |f(x1)-f(x2)|<a|ex-ex|成立，則實數(shù)a的最小值為2函數(shù)y=5sin的圖象與函數(shù)圖象的所有交點的橫坐標之和【變式1-2】已知0<x<y<π,且eysinx=exsiny，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的【變式1-3】已知函數(shù)ax3-xsinx-2cosx若f(x)在R上單調(diào)，則a的取值范圍是()1.（黑龍江省實驗校2020屆高三第三次模擬考試數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)存在極值點，且f(x)<0恰好有唯一整數(shù)解，則a的取值范圍是()2.（2021·江蘇·高三開學考試）已知函數(shù)f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f(x1)=1+2lnt，g(x2)=t2，則(x1x2-x2)lnt的最小值為.3.（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)x1，x2滿足ex1=，lnx2=，則x1x()4.（2021·廣東深圳·高三練習）設(shè)k>0，若存在正實數(shù)x，使得不等式log27x-k.3kx-1≥0成立，則k的最大eln3e