相似綜合篇（解析版）

專題10相似綜合

知識(shí)回顧

1.比例的性質(zhì):

①基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于量外項(xiàng)之積。即若a:b=c:d,則be=ad。

人rrkH什。C?.Cl~\~bC+d

②合比性質(zhì)：若一二一,則----=-----O

bdbd

八rrktLH什。。—bC—d

③分比性質(zhì)：若一二一,則——二----O

bdbd

人八11ktnh_++.cicn.ci-\~bcd

④合分比性質(zhì)：若一二—,則----=-----o

bda-bc-d

【rktLH什。cTHE[Q+C+…+加ClCm

⑤等比性質(zhì)：若一=—=,則------------=-=-

bdnb+d+...+nbdn

2.平行線分線段成比例：

三條平行線被兩條直線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

,加+ABDE

即nrt如圖：有---=----

BCEF

AB_DE

就一而;

BC_EF

就一而°

推論:

①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

②如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行

于三角形的第三邊。

③平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三

邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。

3.相似三角形的性質(zhì)：

①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。

②相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中

線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比。

4.相似三角形的判定：

①平行線法判定：

平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相

似。

②對(duì)應(yīng)邊判定：

三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似。

③兩邊及其夾角判定法：

兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且這兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。

④兩角判定：

有兩組角（三組角）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。

專題練習(xí)

1.如圖，在Rt448C中，/ABC=9Q°,￡是邊NC上一點(diǎn)，且BE=BC,過點(diǎn)/作BE的垂線，交BE的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，求證：AADEsAABC.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/C=/CE8=/4ED,由可得/D=N/3C=90°,即可

得△/D￡S/\/BC.

【解答】證明：:BE=BC,

:.NC=NCEB,

:NCEB=/AED,

：.ZC=ZAED,

'JADLBE,

：.ZD=ZABC=90°,

AADEs^ABC.

2.如圖，在A4BC與△⑷B'C中，點(diǎn)。、D'分別在邊BC、B'C上，且C'D',

若,則B'D'.

請(qǐng)從①02=組；?—=4^7；?ZBAD=ZB'A'D'這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫

CDCDCDCD

序號(hào)），并加以證明.

【分析】利用相似三角形的判定：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可證明.

【解答】解：③.

理由如下：:△ACDs△⑷CD',

???ZADC=/ADC,

：.ZADB=/ADB，,

又?：/BAD=/B'A'D',

：./\ABD^/\A'B'D'.

同理，選①也可以.

故答案是：③（答案不唯一）.

3.如圖所示，在等腰三角形N3C中，AB=AC,點(diǎn)、E,尸在線段8C上，點(diǎn)0在線段N8上，且CF=BE,

AE2=AQ-AB.

求證：（1）ZCAE=ZBAF；//\\n

（2）CF-FQ=AF-BQ.//\/

CEFB

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/2=NC,利用S/S證明△4CEg根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)即可得解；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合題意證明△NC￡s//△CAFs^BFQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

可得解.

【解答】證明：（1）?：AB^AC,

：.ZB=ZC,

;CF=BE,

：.CF-EF^BE-EF,

即CE=BF,

在A4CE和中，

，AC=AB

<ZC=ZB，

￡E=BF

:AACE絲AABF(&4S),

：.ZCAE=ZBAF；

(2);AACE24ABF,

：.AE=AF,ZCAE=ZBAF,

\'AE2=AQ-AB,AC=AB,

.AE=AC

"AQAF'

：./\ACE^/\AFQ,

：.ZAEC=ZAQF,

：.ZAEF=ZBQF,

；AE=AF,

：.ZAEF=ZAFE,

：.ZBQF=ZAFE,

'：ZB=ZC,

:.△CAFS^BFQ,

?CF=AF

"BQ而，

即CF'FQ=AF'BQ.

4.如圖，在矩形/BCD中，AB=8,4D=4,點(diǎn)￡是。C邊上的任一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)。，C）,過點(diǎn)/作/尸

交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，設(shè)DE=a.州、-----|D

（1）求3尸的長(zhǎng)（用含。的代數(shù)式表示）；/

（2）連接￡一交N8于點(diǎn)G,連接GC,當(dāng)GC〃4E■時(shí)，求證：四邊形/

/GCE是菱形./

FBC

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得N4DE=/4B尸，NNDAE+NBAE=9Q°,結(jié)合題干/尸可得/

BAF+ZBAE=90°,進(jìn)而可得N￡ME=/8/R進(jìn)而可得凡利用相似三角形的性質(zhì)可得

AF的長(zhǎng)度；

（2）先根據(jù)NG〃CE,GC〃/E進(jìn)而可得四邊形/GCE是平行四邊形，通過勾股定理可得G^、E尸、

AE2,再過點(diǎn)G作尸于點(diǎn)易得△MGFsAAEF,進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)可得GM■的長(zhǎng),

即可得GM=GB,進(jìn)而可得G尸是N/FB的角平分線，最后利用角平分線得性質(zhì)可得及4=EC,即可得

平行四邊形NGCE是菱形.

【解答】（1）解：???四邊形/BCD是矩形，

ZADE=ZABF=ZBAD=90°,

Z.ZDAE+ZBAE=90°,

；AFLAE,

:./BAF+NB4E=90°,

NDAE=ZBAF,

:.LADEs"BF,

.AD_DERn4_a

?，=----,--二----，

ABBF8BF

:?BF=2a,

(2)證明：???四邊形4BCZ)是矩形,

：.AG//CE,

'：GC//AE,

???四邊形AGCE是平行四邊形.

:?AG=CE=8-a,

：?BG=AB-AG=8-(8-。)=a,

在RtZXBG/中，GF2^a2+(2a)2=5a2,

在RtZ\CEE中，EF2=(2a+4)2+(8-a)2=5a2+80,

在RtLADE中，AE2=42+a2=16+M,

如圖，過點(diǎn)G作GML4尸于點(diǎn)

J.GM//AE,

：.AMGFsAAEF,

?.?GM二GF，

AEEF

.GM2GF2

??---———，

AE2EF2

.GM2-5a2

16+a25a2+80

：.GM=a,

：.GM=BG,

5L'：GM.LAF,GB±FC,

:.GF是N4PB的角平分線，

:.EA=EC,

平行四邊形/GCE是菱形.

5.如圖，在△/5C中，點(diǎn)。，E,尸分別在邊48,AC,3C上，連接。￡,EF.已知四邊形5FED是平行

DE_1

四邊形,

5C-4

(1)若NB=8,求線段ND的長(zhǎng).

BF

(2)若△4DK的面積為1,求平行四邊形2血)的面積.

【分析】(1)證明△/DESZX/BC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列式，可解答；

(2)根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可得△NSC的面積是16,同理可得的面積=9,

根據(jù)面積差可得答案.

【解答】解：(1).??四邊形是平行四邊形，

J.DE//BF,

J.DE//BC,

:.△4DESA4BC,

?AD=DE

"ABBCT

VAB=8,

.,.AD=2；

(2)MADEsLABC,

.SAADE(嗎2=(1)2=工

,△ABCBC416

：△NOE的面積為1,

...△4BC的面積是16,

,/四邊形BFED是平行四邊形，

J.EF//AB,

:.△EFCs^ABC,

.SAEFC_(3)2=9

"WT4壽

...△EPC的面積=9,

平行四邊形8bED的面積=16-9-1=6.

6.如圖，四邊形N8C。為菱形，點(diǎn)￡在/C的延長(zhǎng)線上，ZACD=ZABE.

(1)求證：AABCsAAEB；

(2)當(dāng)/3=6,/C=4時(shí)，求4E的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)兩角相等可得兩三角形相似；

AB

(2)根據(jù)(1)中的相似列比例式可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形N5CD為菱形，

ZACD=ZBCA,

:ZACD=ZABE,

：.NBC4=/ABE,

,：NBAC=ZEAB,

.?.△ABCsAAEB；

(2)解：:AABCsAAEB,

.AB=AC

"AEAB"

?：AB=6,/C=4,

?.?-6-_4,

AE6

.Au36n

4

7.如圖，矩形/BCD中，點(diǎn)￡在。C上，DE=BE,NC與3。相交于點(diǎn)。，與NC相交于點(diǎn)?

(1)若BE平分/CBD,求證：BFLAC-,q4f

(2)找出圖中與△03尸相似的三角形，并說明理由；

(3)若。尸=3,EF=2,求DE的長(zhǎng)度.

AB

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義,求得N3=N6,從而求證57LLZC；

(2)根據(jù)相似三角形的判定進(jìn)行分析判斷；

(3)利用相似三角形的性質(zhì)分析求解.

【解答】(1)證明：如圖，

___________E________C

AB

在矩形A8CD中，OD=OC,AB//CD,NBCD=90°,

：.Z2=Z3=Z4,Z3+Z5=90°,

?：DE=BE,

.\Z1=Z2,

又；，BE平分NDBC,

AZ1=Z6,

Z3=Z6,

.?./6+/5=90°,

：.BF±AC；

(2)解：與AOB尸相似的三角形有△ECF,/理由如下:

VZ1=Z3,ZEFC=ZBFO,

：./XECF^/XOBF,

；DE=BE,

.\Z1=Z2,

又：/2=N4,

又：ZBFA=ZOFB,

:.ABAFsAOBF；

(3)解：在矩形/BCD中，Z4=Z3=Z2,

VZ1=Z2,；./l=/4.

又；/OFB=NBFA,

:.△OBFs^BFA.

VZ1=Z3,ZOFB=ZEFC,

:.△OBFsAECF.

.EFCF

,?證審

A2_=CF,即3CF=2BF,

3BF

A3(CF+OF)=3CF+9=2BF+9,

：.3OC=2BF+9

3。/=25尸+9①，

■:△ABFs^BOF,

.OFBF

,?薩R

:.BF2=OF-AF,

：.BF2=3(O/+3)②，

聯(lián)立①②，可得2尸=1土W3(負(fù)值舍去)，

：.DE=BE=2+l+y/~^=3+41^.

8.如圖，平行四邊形/BCD中，48=5,3c=10,3C邊上的高NM=4,點(diǎn)￡為3c邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與2、

C重合，過點(diǎn)￡作直線48的垂線，垂足為R連接。￡、DF.

(1)求證：△ABMs^EBF；

(2)當(dāng)點(diǎn)￡為8c的中點(diǎn)時(shí)，求。￡的長(zhǎng)；

(3)設(shè)BE=x,△。斯的面積為力求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)尤為何值時(shí)，y有最大值，最

【分析】(1)利用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形全等即可證明

(2)過點(diǎn)￡?作EN_L4D于點(diǎn)N,可得四邊形/MEN為矩形，從而得到NE=ZAf=4,AN=ME,再由勾

股定理求出2初=3,從而得到ME=ZN=2,進(jìn)而得到。N=8,再由勾股定理，即可求解；

(3)延長(zhǎng)尸E交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.根據(jù)sin/B=M=^E，可得EF』x，再證得△///-△氏七,

ABBE5

可得GC^(lO-x)，從而得到DG盤(10-x)+5,再根據(jù)三角形的面積公式，得到函數(shù)關(guān)系式，再根

55

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】(1)證明：尸，//是8C邊上的高，

:.NAMB=NEFB=90°,

又「ZB=ZB,

(2)解：過點(diǎn)E作邱U4D于點(diǎn)N,如圖：

在平行四邊形N8CZ)中，AD//BC,

又是5c邊上的高，

：.AM±AD,

：.ZAME=ZMAN=ZANE=90°,

，四邊形AMEN為矩形,

:?NE=AM=4,AN=ME,

在Rt/\ABM中，BM=7AB2-AM2=7B2-42=3，

又為的中點(diǎn)，

BE-|BC=5，

：.ME=AN=2,

:.DN=8,

在RtADNE中，DE=7DN2+NE2=^42+82=4V5；

?.?—4二EF,

5x

：.EF=&

5

■:ABUCD、

:./B=/ECG,NEGC=NBFE=9Q°,

又；/AMB=NEGC=90°,

:.△ABMs2ECG,

?.C?一GE=2-C-,

BMAB

?.C?-G-=--1-0----x--,

35

.?.GC=3（10-%）,

5

：.DG=DC+GC=5+^-(10-x),

5

匡?)-且(強(qiáng))

=G=[XX[5+S(10-X]=--§-X2+22_X=x-2+12L；

■22552552566

.?.當(dāng)》=延時(shí)，y有最大值為12L,

66

答：y=-Ax2+22_x)當(dāng)》=延時(shí)，》有最大值為至L.

25566

9.【問題呈現(xiàn)】

如圖1,△NBC和都是等邊三角形，連接AD,CE.求證：BD=CE.

【類比探究】

如圖2,△48C和△/￡>￡都是等腰直角三角形，/4BC=/4DE=90：連接BD,CE.請(qǐng)直接寫出空■

CE

的值.

【拓展提升】

ABAD3

如圖3,△48。和△4DE都是直角三角形，NABC=NADE=90°，且——=——二—.連接5。，

BCDE4

CE.

(1)求也的值；

CE

(2)延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G.求sinZBFC的值.

D

圖1圖2圖3

【分析】【問題呈現(xiàn)】證明△8/。名從而得出結(jié)論；

【類比探究】證明進(jìn)而得出結(jié)果；

【拓展提升】(1)先證明△NBCs△.￡)￡,再證得進(jìn)而得出結(jié)果；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上得出N/CE=N4AD,進(jìn)而N8PC=/A4C,進(jìn)一步得出結(jié)果.

【解答】【問題呈現(xiàn)】證明：和都是等邊三角形，

；.4D=AE,AB=AC,NDAE=NBAC=60

：.ZDAE-NBAE=ABAC-ABAE,

：.ZBAD=ZCAE,

:.△BADmLCAE(SAS),

:.BD=CE；

【類比探究】解：???△/3C和△/￡>￡都是等腰直角三角形,

AD=AB=1；ZDAE=ZBAC=45°,

AEACV2

\ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

：.ZBAD=ZCAE,

:.△BADs^CAE,

?BD^AB_1_V2.

"CE"ACVT~2~,

【拓展提升】解：(1)AB=ADZABC=ZADE^9Q°,

BCDE4

dABCs^ADE,

：.ZBAC=ZDAE,空盤，

ACAE5

：.ZCAE=ZBAD,

:.ACAEs^BAD,

?BD=AD=3_.

,'CEAE~5'

(2)由(1)得：△C4EsAB4D,

：.ZACE=AABD,

:/AGC=NBGF,

：.NBFC=ABAC,

sinZBFC=

AC5

10.如圖，在矩形48。中，AB=6,BC=4,點(diǎn)M、N分別在/8、AD±,且〃N_LMC,點(diǎn)￡為CD的

中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)?

(1)當(dāng)尸為加？的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM=CE；

EF、AN,,,士

(2)=2,求——的值;

5FND

AN

(3)若MN〃BE,求出的值.

ND

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用44s證明△血3型AEC凡得BM=CE,再利用點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，

即可證明結(jié)論；

利用SKEC凡得巫］，從而求出的長(zhǎng)，再利用SM得姻

(2)△BMF/=^12M△MW/\JSC,=^1,

EFCE2BMBC

求出NN的長(zhǎng)，可得答案；

(3)首先利用同角的余角相等得/C8/=NCW,貝ijtan/C5P=tan/CW,得里注，可得8河的

BCBM

長(zhǎng)，由(2)同理可得答案.

【解答】(1)證明：???尸為BE的中點(diǎn)，

：.BF=EF,

?.?四邊形/BCD是矩形，

：.AB//CD,AB=CD

：.ZBMF=ZECF,

'：ZBFM=ZEFC,

:.△BMF<XECF(AAS),

:.BM=CE,

:點(diǎn)￡為。。的中點(diǎn)，

：.CE=DE,

:.BM=CE=DE,

,:AB=CD，

:.AM=CE；

(2)解：?；ZBMF=ZECF,ZBFM=ZEFC,

：.ABMFsAECF,

?.?-B-F-二BMn-1,

EFCE2

,:CE=3,

:.BM=3,

2

2

■:CM1MN,

：.ZCMN=90

:.ZAMN+ZBMC=90

VZAMN+ZANM=90°,

ZANM=/BMC,

*：/A=/MBC,

：.AANMsABMC,

???AN-二AM，

BMBC

9_

.AN~2

??瓦R

~2

?-雨磊，

:.DN=AD-AN=4-2L=2Z

1616

27

.AN國(guó)=27

?而可守；

五

(3)解：,:MN〃BE,

：.NBFC=ZCMN,

：.ZFBC+ZBCM=90°,

VZBCM+ZBMC^90°,

：.ZCBF=ZCMB,

:.tanNCBF=tanNCMB,

?CEBC

BCBM

.34

??~~=----,

4BM

???AM=AB-BM=6號(hào)=今

oo

由(2)同理得，里

BMBC

2_

.AN一五

?,垣N

解得AN=—,

9

：.DN=AD-AN=4-芻=里，

99

_8

.AN_92

**DN=2T=7'

V

11.在四邊形48co中，N34D的平分線/尸交2c于尸，延長(zhǎng)48到￡使2￡=歹C,G是/尸的中點(diǎn)，GE

交BC于O,連接GD

(1)當(dāng)四邊形48co是矩形時(shí)，如圖1,求證：①GE=GZ＞；②B0,GD=G0,FC.

(2)當(dāng)四邊形/BCD是平行四邊形時(shí)，如圖2,(1)中的結(jié)論都成立.請(qǐng)給出結(jié)論②的證明.

圖1

【分析】(1)連接CG,過點(diǎn)G作GJ_LCD于點(diǎn)/證明△E/GgZX/MG(SAS),可得EG=DG,/AEG

=NADG,再證明△OBES/XOGC,推出巨殳=毀，可得結(jié)論；

GC0G

(2)過點(diǎn)。作。7J_8C于點(diǎn)7,連接GT.證明△E/G四△ZX4G(WS),推出EG=OG,ZAEG=Z

ADG,再證明△OBESAOGT,推出些=毀，可得結(jié)論.

GTOG

【解答】(1)證明：連接CG,過點(diǎn)G作GJLCO于點(diǎn)/

?..四邊形/BCD是矩形，

AZBAD=ZABC=90°,AD=BC,

；4F平分NB4D,

AZBAF=ZDAF=45°,

AZAFB=ZBAF=45°,

:?BA=BF,

■:BE=CF,

:?AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD,

'：AG=AG,

：.AEAG^ADAG(&4S),

：.EG=DG,/AEG=/ADG,

,:AD〃FC,AG=GF,

：.DJ=JC,

9：GJLCD,

:?GD=GC,

：.ZGDC=ZGCD.

VZADC=ZBCD=90°,

???NADG=NGCO,

：?/OEB=/OCG,

NBOE=/GOC,

:.△OBEs^OGC,

.BE=OB

**GC0G，

VGC=GD,BE=CF,

:.BO?GD=GO?FC；

(2)解：過點(diǎn)Z)作D7U5C于點(diǎn)T,連接GT.

圖2

???四邊形ABCD是平行四邊形,

:?AD=BC,AD//BC,

：.ZDAG=ZAFB,

?：AF平分/DAB,

：.ZDAG=ZBAFf

：.BAF=ZAFB,

，AB=BF,

：?AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD,

U：AG=AG,

???△E4Gg△D4G(SAS)f

/AEG=/ADG,

,:AD〃FT,AG=GF,

：.DJ=JT,

?:GJLDT,

：.GD=GT,

：.ZGDT=ZGTD,

VZADT=ZBTD=90°,

???ZADG=ZGTO,

：.ZOEB=ZOTG,

'：/BOE=/GOT,

:?△OBEsXOGT,

?BE=OB

**GT0G，

,:GT=GD,BE=CF,

:,BO，GD=GO，F(xiàn)C.

12.問題背景：

一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論.如圖1,已知/。是△

/8C的角平分線，可證必=些.小慧的證明思路是：如圖2,過點(diǎn)C作CE〃/8,交/。的延長(zhǎng)線

ACCD

于點(diǎn)￡,構(gòu)造相似三角形來證明出■=些.

ACCD

嘗試證明:

(1)請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明：—

ACCD

應(yīng)用拓展:

(2)如圖3,在RtZX/BC中，/A4c=90°，。是邊2c上一點(diǎn).連接4D,將△/CD沿/。所在直線

折疊，點(diǎn)C恰好落在邊N2上的E點(diǎn)處.

①若/C=l,AB=2,求。E的長(zhǎng);

②若BC=加，ZAED=a,求?！甑拈L(zhǎng)(用含a的式子表示).

圖2圖3

【分析】(1)證明△C￡￡?s△歷i。，由相似三角形的性質(zhì)得出出0,證出C￡=G4,則可得出結(jié)論；

ABBD

(2)①由折疊的性質(zhì)可得出NC4D=NA4D,CD=DE,由(1)可知，坐。2,由勾股定理求出2C

ACCD

二炳,則可求出答案;

②由折疊的性質(zhì)得出/C=//￡D=a,貝!Jtan/C=tana=^四,方法同①可求出CZ)=--------,則可

AC1+tanCl

得出答案.

【解答】(1)證明：：CE〃4B,

AZE=ZEAB,ZB=ZECB,

MCEDs^BAD,

?.?-C-E-=CD,,

ABBD

,:NE=NEAB,NEAB=NCAD,

：.ZE=ZCAD,

：.CE=CA,

>.?-A-B---B-D-.

ACCD

(2)解：①：將△/CD沿/。所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊48上的E點(diǎn)處,

；.NCAD=NBAD,CD=DE,

由(1)可知，幽理,

ACCD

又：/C=l,AB=2,

?.?~2—--B-D-:

1CD

：.BD=2CD,

VZBAC=90°,

BC=VAC2+AB2=Vl2+22=娓'

:.BD+CD=4S，

：.3CD=4^,

:.CD=?；

3

.,.￡)￡=?Z1_；

3

②：將△4CD沿NO所在直線折疊，點(diǎn)。恰好落在邊上的E點(diǎn)處,

：?NCAD=/BAD,CD=DE,ZC=ZAED=af

tanZC=tana=-^.

AC

由(1)可知，2殳*,

ACCD

毀,

CD

.9.BD=CD9tana,

又<BC=BD+CD=m,

CD?tana+CZ)=m,

:.CD=————，

1+tanQ

:.DE=——-——.

1+tanQ.

13.【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在△48C中，D,E,尸分別為48,AC,2C上的點(diǎn)，DE//BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)

G,求證：DG=EG.

【嘗試應(yīng)用】

DE

(2)如圖2,在(1)的條件下，連結(jié)CD,CG.CGLDE,CD=6,AE=3,求——的值.

BC

【拓展提iWi】

(3)如圖3,在口/BCD中，ZADC=45°,NC與2。交于點(diǎn)。，￡為NO上一點(diǎn)，EG〃8。交AD于

點(diǎn)G,E7LLEG交8c于點(diǎn)足若/EG尸=40°,FG平分NEFC,FG=10,求8尸的長(zhǎng).

圖I圖2圖3

【分析】（1）證明△ZGZ>S2\N尸8,"FCsAAGE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到理_=更，進(jìn)而證明

BFFC

結(jié)論；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出CE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；

（3）延長(zhǎng)GE交48于連接上爐，過點(diǎn)〃■作MNLBC于N,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NEFG,求

出N〃7W=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可.

【解答】（1）證明：-：DE//BC,

：./\AGD^/\AFB,△AFCs^AGE,

.DG=AGGE=AG

■，7BFAF'FCAF'

.DG=GE

"BF而’

,：BF=CF,

：.DG=EG；

(2)解：,:DG=EG,CGLDE,

:.CE=CD=6,

'：DE//BC,

：./\ADE^/\ABC,

.DE_AE_3_1.

,?而AC詢~3,

(3)解：延長(zhǎng)GE交48于M,連接MR過點(diǎn)M作MNLBC于N,

?/四邊形/BCD為平行四邊形，

：.OB=OD,ZABC^ZADC^45°,

,:MG〃BD,

：.ME=GE,

圖3

■:EFLEG,

：.FM=FG=W,

在RtaG所中，NEG尸=40°,

:.NEFG=90°-40°=50°,

；FG平分/EFC,

：.ZGFC=ZEFG=50°,

,:FM=FG,EFLGM,

:.NMFE=NEFG=50°,

:.NMFN=30°,

：.MN=^-MF=5,

2

22

NF=VMF-MN=5?，

VZABC=45°,

:.BN=MN=5,

：.BF=BN+NF=5+5V3.

14.如圖1,在矩形48。中，AB=4,BC=6.點(diǎn)E是線段ND上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)￡不與點(diǎn)/,。重合)，連接

CE,過點(diǎn)E作交48于點(diǎn)尸.

(1)求證：AAEFsADCE；

(2)如圖2,連接修，過點(diǎn)2作2GLCF,垂足為G,連接/G.點(diǎn)〃是線段3c的中點(diǎn)，連接

GM.

①求/G+GM的最小值；

②當(dāng)/G+GMr取最小值時(shí)，求線段DE的長(zhǎng).

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)證出根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)

論；

(2)①連接由直角三角形的性質(zhì)得出MB=CM=GM=/BC=3，則點(diǎn)G在以點(diǎn)〃■為圓心，3為

半徑的圓上，當(dāng)4G,〃r三點(diǎn)共線時(shí)，AG+GM=AM,此時(shí)，/G+GM取得最小值，由勾股定理求出

AM^5,則可得出答案；

②方法一:過點(diǎn)M作AW〃/8交尸。于點(diǎn)N,證明△CWsaCAF,由相似三角形的性質(zhì)得出典=^1=A,

BFCB2

設(shè)//=x,則8/=4-x,得出〃乂=工2斤=工（4+x）,證明△//GS/\MNG,得出比例線段更江

22MNGM

列出方程--——解得x=l,求出NF=1,由（1）得空典，設(shè)。E=y,則/￡=6-y,得出

f（4-x）3DEDC

方程工￡r,解得了=3+近或了=3-遙，則可得出答案.

y4

方法二：過點(diǎn)G作G"〃/8交8c于點(diǎn)“，證明由相似三角形的性質(zhì)得出

JIH,求出G〃=」2,MH=2,證明△C，GSZ\C3F得出生￡1,求出尸8=3,則可得出

AMABMB55FBCB

AF=1,后同方法一可求出DE的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：：四邊形/BCD是矩形，

：.ZA=ZD=90°,

：.ZCED+ZDCE=90°,

'：EF±CE,

：.ZCED+ZAEF=9Qa,

ZDCE=ZAEF,

：.△/￡尸SAQCE；

...△5GC是直角三角形，

:點(diǎn)M是8c的中點(diǎn)，

MB=CM=GM=—BC=3,

...點(diǎn)G在以點(diǎn)〃為圓心，3為半徑的圓上,

當(dāng)/,G,〃■三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形兩邊之和大于第三邊得：AG+GM>AM,

當(dāng)/,G,M三點(diǎn)共線時(shí)，AG+GM=AM,

此時(shí)，/G+GM取得最小值，

在RtZx/BM■中，AM=7AB2+BM2=V42+32=5，

'的最小值為5.

②

.MNCM1

??—3:----=，,

BFCB2

設(shè)/尸=x,貝U"=4-X,

:.MN=LBF=L(4-X),

22

'JMN//AB,

：.△AFGs^MNG,

.AFAG

"MN"GM'

由(2)可知/G+GM的最小值為5,

即AM=5,

又,：GM=3,

：.AG=2,

x_2

.￡(4-X)3，

解得x=l,

即AE