高中數(shù)學《等差數(shù)列的性質及應用》第2課時教案

等差數(shù)列的性質及應用教學設計課題等差數(shù)列的性質及應用單元第一單元學科數(shù)學年級高二教材分析本節(jié)課是2019版高中數(shù)學(人教版)選擇性必修第二冊，第四章《數(shù)列》第二節(jié)課4.2.1等差數(shù)列的概念。等差數(shù)列是一種最基本的數(shù)列，研究它的性質，需要通過觀察、分析、歸納、猜想等方法，是在學習了等差數(shù)列的概念、通項公式的基礎上進行的。在探究等差數(shù)列性質的過程中使學生學會研究數(shù)列的方法，提高數(shù)學學習的能力，掌握研究數(shù)列的基本方法對于學好《數(shù)列》整章內容起著重要的作用教學目標與核心素養(yǎng)1數(shù)學抽象：等差數(shù)列的性質2邏輯推理：等差數(shù)列性質的推導3數(shù)學運算：等差數(shù)列性質的運用4數(shù)學建模：應用等差數(shù)列解決實際問題5直觀想象：等差數(shù)列的性質及其與一次函數(shù)的關系6數(shù)據(jù)分析：等差數(shù)列的性質及其推導、運用，提高學生參與數(shù)學活動的能力重點等差數(shù)列的性質及應用難點等差數(shù)列性質的推導教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課復習1等差數(shù)列的概念文字語言如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.符號語言a提示：2等差中項提示：（1）條件：如果a，A，b成等差數(shù)列（2）結論：A叫做a與b的等差中項（3）滿足的關系式是2A=a+b3等差數(shù)列的通項公式和遞推公式已知等差數(shù)列{an}的首項為a1遞推公式通項公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)復習導入通過回顧等差數(shù)列的概念、等差中項、通項公式，發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)講授新課例3某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少.經驗表明，每經過一年其價值就會減少d（d為正常數(shù)）萬元.已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢.請確定d的取值范圍.分析：這臺設備使用n年后的價值構成一個數(shù)列{an}.由題意可知，10年之內（含10年），這臺設備的價值應不小于（220×5%=）11萬元；而10年后，這臺設備的價值應小于11萬元.可以利用{an}解：設使用n年后，這臺設備的價值為an萬元，則可得數(shù)列{anan由于d是與n無關的常數(shù)，所以數(shù)列{an}是一個公差為-d的等差數(shù)列.因為購進設備的價值為220萬元，所以aan=根據(jù)題意，得a即220-10d≥11解這個不等式組，得19<d≤20.9.所以，d的取值范圍為19<d≤20.9.例4已知等差數(shù)列{an}的首項a1=2，公差d=8，在{an}中每組相鄰兩項之間都插入3（1）求數(shù)列{bn}的通項公式（2）b29是不是數(shù)列{an}的項？若是，它是{an分析：（1）{an}是一個確定的數(shù)列，只要把a1，a2表示為{bn}中的項，就可以利用等差數(shù)列的定義得出（2）設{an}中的第n項是{bn}中的第cn項，根據(jù)條件可以求出n與cn的關系式，由此即可判斷b29是否為解：（1）設數(shù)列{bn}的公差為d'由題意可知，b1=ab5-因為b5-b1=4d'所以bn=2+所以，數(shù)列{bn}的通項公式是bn（2）數(shù)列{an}的各項依次是數(shù)列{bn}的第1，5，9，13，…項，這些下標構成一個首項為1，公差為4的等差數(shù)列{cn}，則令4n-3=29，解得n=8所以，b29是數(shù)列{an}的第8思考：如果插入的是k(k∈N提示：設數(shù)列{bn}的公差為d'由題意可知，b1=abk+2-因為bk+2-b1=(k+1)d'例5已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t.求證ap分析：只要根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出ap，證明：設數(shù)列{an}的公差為dapaqasat所以aa因為p+q=s+t，所以ap+拓展等差數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：an=am+n-m(2)若{an}是等差數(shù)列，p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t.①特別地，當p+q=2k(p,q,k∈N*)②對有窮等差數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即a1+a(3)若{a①{c+an}(c為任意常數(shù)②{can}(c為任意常數(shù))③ak，ak+m(4)若an,{bn}分別則數(shù)列{pan+qbn課堂練習：1已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1-a5解：∵等差數(shù)列{an}中，若p+q=s+t.∴a1由條件等式得a∴a2(多選題)下列命題正確的是（）A給出數(shù)列的有限項就可以唯一確定這個數(shù)列的通項公式B若等差數(shù)列{an}的過程d>0C若a，b，c成等差數(shù)列，則1aD若數(shù)列{an}答案:BC3靈活設元求解等差數(shù)列(1)三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩數(shù)之積比中間數(shù)的平方小16，則公差是多少？(2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數(shù)．解：（1）設這三個數(shù)依次為a－d，a，a＋d，又“首末兩數(shù)之積比中間數(shù)的平方小16”∴解得

d=±4故公差是±4(2)法一：設這四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2-9∴d2∴d＝1或d＝－1.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四個數(shù)為－2,0,2,4.法二：若設這四個數(shù)為a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差為d)，依題意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a=1-32d代入a(a＋3d得1-即1-9化簡得d2=4，所以d＝2或又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四個數(shù)為－2,0,2,4.常見設元技巧(1)某兩個數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個數(shù)且知其和，可設這兩個數(shù)為：a－d，a＋d，公差為2d；(2)三個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設此三數(shù)為：a－d，a，a＋d，公差為d；(3)四個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差為2d.4在等差數(shù)列{an}中，若a1a6+a7解：法一由等差數(shù)列的性質得a1+a11=2a6∴a1∴a11法二∵數(shù)列{an∴a1+a2+?+a即30,80，a11+a∴30+∴a115在等差數(shù)列{an}中，a3,a10解：由已知得a3又數(shù)列{a∴a5+答案：3學生獨立思考、互相討論根據(jù)前面的例題，學生討論、合作、探討推導等差數(shù)列的常用性質通過實際問題，讓學生體會等差數(shù)列的應用課堂小結等差數(shù)列的常用性質1若{an}是等差數(shù)列，p,q,s,t∈N2通項公式的推廣：an=am+n3若an,{bn}分別則數(shù)列{pan+q常見設元技巧(1)某兩個數(shù)