高中數(shù)學(xué)《兩條直線的交點坐標(biāo)》+教案

2.3.1兩條直線的交點坐標(biāo)教學(xué)設(shè)計課題兩條直線的交點坐標(biāo)單元第二單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二教材分析在平面幾何中，我們對直線作了定性研究，引入平面直角坐標(biāo)系后，我們用二元一次方程表示直線，直線的方程就是相應(yīng)直線上每一點的坐標(biāo)所滿足的一個關(guān)系式.這樣我們可以通過方程把握直線上的點，進(jìn)而用代數(shù)的方法對直線進(jìn)行定量研究，例如求兩條直線的交點坐標(biāo)，平面內(nèi)與點、直線相關(guān)的距離問題等。在學(xué)生認(rèn)識直線方程的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生理解兩直線交點與二元一次方程組的解的相互關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生將兩直線交點的求解問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的直線方程構(gòu)成的二元一次方程組解的問題。由此體會“形”的問題由“數(shù)”的運算來解決。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1數(shù)學(xué)抽象：根據(jù)方程組的解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系；2邏輯推理：解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo)；3數(shù)學(xué)運算：求兩條直線的交點坐標(biāo)、判斷兩直線的位置關(guān)系；4數(shù)學(xué)建模：用坐標(biāo)法解決平面幾何問題；5直觀想象：二元一次方程組的解與兩條直線的位置的對應(yīng)關(guān)系；6數(shù)據(jù)分析：利用兩條直線方程的對應(yīng)系數(shù)來判斷兩直線的位置關(guān)系.重點能利用二元一次方程組的解的個數(shù)來判斷兩條直線的位置關(guān)系，會求兩條直線的交點坐標(biāo).難點能利用兩條直線方程的對應(yīng)系數(shù)來判斷兩直線的位置關(guān)系.教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課問題1直線的一般式方程與二元一次方程之間有什么關(guān)系？問題2如何求二元一次方程組的解？二元一次方程組的解有幾種情況？問題3平面直角坐標(biāo)系中兩條直線的位置關(guān)系有幾種？提示：1每一個關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線；2二元一次方程組的解有三種情況3平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線的位置關(guān)系也有三種問題導(dǎo)入復(fù)習(xí)鞏固，以舊帶新，為學(xué)生自主探究鋪平道路，引發(fā)學(xué)生探究新知識的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，并自然導(dǎo)入新課.講授新課思考已知兩條直線ll相交，它們的交點坐標(biāo)與直線l1設(shè)這兩條直線的交點為P，則點P既在直線l1上，也在直線l2上.所以點P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x+B1的解.解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標(biāo).例1求下列兩條直線的交點坐標(biāo)，并畫出圖形：ll解：解方程組得x所以，直線l1與l2的交點是M（-2，2如圖例2判斷下列各對直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點的坐標(biāo)：（1）l1:（2）l1:（3）l1:分析：解直線l1，l2的方程組成的方程組，若方程組有唯一解，則l1與l2相交，此解就是交點的坐標(biāo)；若方程組無解，則l1//l解：（1）解方程組x得x所以，l1與l2相交，交點是M(（2）解方程組3=1\*GB3①×2-=2\*GB3②得9=0，矛盾，所以這個方程無解，所以，（3）解方程組3=1\*GB3①×2=1\*GB3①和=2\*GB3②思考你能用直線的斜率判斷上述各對直線的位置關(guān)系嗎？比較用斜率判斷和解方程組這兩種方法，你有什么體會？幾何法（用斜率判斷）設(shè)直線l1:y則（1）l1與l2（2）l（3）l1與代數(shù)法（解方程組法）兩條直線l1：l2：的位置關(guān)系，可以用方程組A1x+方程組的解位置關(guān)系交點個數(shù)代數(shù)條件無解平行無交點=1\*GB3①有唯一解相交有一個交點=2\*GB3②有無數(shù)解重合無數(shù)個交點=3\*GB3③注：=1\*GB3①A1A2=2\*GB3②A1A2≠=3\*GB3③A1A2=特別地l課堂練習(xí)：1直線l：(a+2)x+(1-a)y-3=0.當(dāng)a變動時，所有直線都通過定點（）A．(0，0)B.(0,1)C.(-2,1)D.(1,1)答案：D解：直線l：(a+2)x+(1-a)y-3=0即a(x-y)+2x+y-3=0當(dāng)a變動時，所有直線都通過x-y=0與2x+y-3=0的交點(1,1)，故選D2已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－eq\f(1,2)x＋2的交點位于第一象限，求實數(shù)k的取值范圍．解：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))(若2k＋1＝0即k＝－eq\f(1,2)，兩直線平行)．∴交點坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交點位于第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).3求過直線x+y+1=0與解：設(shè)過直線x+y+x即它的斜率為-1+2解得λ所以，所求直線方程為2拓展：經(jīng)過兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2:A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程是(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，（λ但此時不含l2,在解題時要注意驗證l2是否符合題意，否則會出現(xiàn)漏解的情況.問題：上述共點直線系方程中為什么不包括l2？提示：由于共點直線系方程為（A1x＋B1y＋C1）＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，則當(dāng)λ=0時，說明此時隨λ取值變化的直線系中剛好刻畫的是直線當(dāng)λ≠0時，要使得刻畫的是直線l2，則需要A1x＋B1y＋C1＝0，而它前邊的系數(shù)是1，不是0A2x＋B2y＋C2＝0故共點直線系方程中不包括l2.同理，如果我們將共點直線系方程寫為λ(A1x＋B1y＋C1)＋(A2x＋B2y＋C2)＝0則此時共點直線系方程中就不包含直線l1.4求證：不論m為何實數(shù)，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都過某一定點．證明：法一：取m＝1時，直線方程為y＝－4；取m＝eq\f(1,2)時，直線方程為x＝9.兩直線的交點為P(9，－4)，將點P的坐標(biāo)代入原方程左邊＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.故不論m取何實數(shù)，點P(9，－4)總在直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直線恒過點P(9，－4)．法二：原方程化為(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.若對任意m都成立，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,x＋y－5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4.))所以不論m為何實數(shù)，所給直線都過定點P(9，-4)．5已知兩條直線l2m為何值時，l1與l2（1）相交；（2提示：（1）m（2）m=（3）m=學(xué)生交流、討論學(xué)生自主練習(xí)，動手操作設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生探究新知識體會兩條直線的交點與對應(yīng)二元一次方程組的解的關(guān)系.通過動手操作，直觀感知，深入理解方程組的解與直線的位置之間的關(guān)系.在平面幾何中，我們研究兩直線的位置關(guān)系時，不考慮兩條直線重合的情況，而在解析幾何中，由于兩個不同的方程可以表示同一條直線，我們把重合也作為兩直線的一種位置關(guān)系來研究。拓展直線系方程概念具有某種共同性質(zhì)(過某點、共斜率等)的直線的集合，叫做直線系。它的方程叫做直線系方程，直線系方程的特征是含參數(shù)的二元一次方程.法一課堂小結(jié)1兩條直線位置關(guān)系與二