廣東省六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2026屆高二年級上學(xué)期六校聯(lián)考數(shù)學(xué)命題人：廣州市第二中學(xué)審題人：廣州市第二中學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.并用2B鉛筆將對應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑，不按要求填涂的，答卷無效.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的離心率求出的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】由題意可得，可得，因此，雙曲線的漸近線方程為.故選：D.2.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則△ABC歐拉線的方程為（）A.x+y4=0 B.xy+4=0C.x+y+4=0 D.xy4=0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，判斷三角形形狀并求出垂心及外心，進(jìn)而求出歐拉線的方程.【詳解】由，得，則的垂心為，外心為，所以歐拉線的方程為，即.故選：A3.已知拋物線的準(zhǔn)線為，則與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的方程，再將直線的方程與直線的方程聯(lián)立，可得出交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】對于拋物線，，可得，所以，其準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立，解得，因此，與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.4.如圖，在平行六面體中，底面和側(cè)面都是正方形，，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，則（）A. B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，取空間的基底，求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律計算即得.【詳解】在平行六面體中，，由點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，得，而，因此.故選：B5.在三棱錐PABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐PABC的外接球，則球O的表面積為（）A.96π B.84π C.72π D.48π【答案】B【解析】【分析】令的外心為，取中點(diǎn)，由已知可得四邊形是矩形，利用球的截面性質(zhì)求出球半徑即可得解.【詳解】在中，，則，中點(diǎn)為的外心，于是平面，取中點(diǎn)，連接，則，而平面PAB⊥平面ABC，平面平面，平面，則平面，，令正的外心為，則為的3等分點(diǎn)，，又平面，則，而，則四邊形是矩形，，因此球O的半徑，所以球O的表面積為.故選：B6.已知點(diǎn)和圓，圓M上兩點(diǎn)A，B滿足，O是坐標(biāo)原點(diǎn).動點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動，則點(diǎn)P到直線AB的最大距離為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出滿足的動點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而求出直線方程，再借助點(diǎn)到直線距離公式求得答案.【詳解】設(shè)滿足的動點(diǎn)，則，整理得，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，依題意，點(diǎn)在圓上，圓的圓心，半徑為2，因?yàn)椋詢蓤A相交，則直線方程為，點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)P到直線AB的最大距離為.故選：C7.已知是橢圓上的動點(diǎn)，若動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為1，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，整理可得，根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)分析可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題意可設(shè)：，則，令，則，注意到，則，可知的圖象開口向上，對稱軸為，當(dāng)，即時，可知在內(nèi)的最小值為，則，整理得，解得，不合題意；當(dāng)，即時，可知在內(nèi)的最小值為，符合題意；綜上所述：.可得橢圓的離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，整理得，換元，分類討論對稱軸的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)最值求的取值范圍.8.已知矩形ABCD，，，M為邊DC上一點(diǎn)且，AM與BD交于點(diǎn)Q，將沿著AM折起，使得點(diǎn)D折到點(diǎn)P的位置，則的最大值是（）A. B. C.23 D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，結(jié)合垂直關(guān)系可知平面，結(jié)合長度關(guān)系可知點(diǎn)P在以點(diǎn)Q為圓心，半徑為的圓上，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】在矩形，，，，由可得由可得，則，即，可知折起后，必有，，平面，故平面，因?yàn)槭谴_定的直線，故對任意點(diǎn)P，都在同一個確定的平面內(nèi)，因?yàn)椋芍c(diǎn)P在以點(diǎn)Q為圓心，半徑為的圓上（如圖），由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)PB與該圓相切時，取到最大值，則也取到最大值，此時,，則的最大值為故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于在證明平面后，要考慮動點(diǎn)的軌跡，同時將理解為點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的連線，結(jié)合圖形，得出當(dāng)且僅當(dāng)PB與該圓相切時，取到最大值的結(jié)論.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PA，PB分別與圓C相切于點(diǎn)A，B，則（）A.圓C上恰有1個點(diǎn)到直線l的距離為B.|PA|的最小值是C.|AB|存在最大值D.|AB|的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】求出圓心到直線的距離判斷A；利用切線長定理計算判斷B；利用四邊形面積求得，借助的范圍求解判斷CD.【詳解】圓的圓心，半徑，對于A，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，因此圓C上恰有1個點(diǎn)到直線l的距離為，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；對于CD，由垂直平分得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確，C錯誤.故選：ABD10.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，拋物線Γ頂點(diǎn)在原點(diǎn)并以F為焦點(diǎn)，過F的直線l交拋物線Γ于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.若，則B.當(dāng)時，直線l的傾斜角為或C.若，P為拋物線Γ上一點(diǎn)，則的最小值為D.的最小值為9【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的方程，再結(jié)合拋物線的定義及韋達(dá)定理逐項(xiàng)計算判斷得解.【詳解】橢圓的右焦點(diǎn)，則拋物線的方程為，其準(zhǔn)線為，對于A，，A正確；對于B，直線不垂直于軸，設(shè)直線，由消去，得，則，由，得，聯(lián)立解得，因此直線的斜率為，傾斜角不為，B錯誤；對于C，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于，過作垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線定義得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與拋物線的交點(diǎn)時取等號，C錯誤；對于D，，由選項(xiàng)B知，，則，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.故選：AD11.如圖，三棱臺中，M是AC上一點(diǎn)，平面ABC，∠ABC=90°，，則（）A.平面B.平面平面C.三棱臺的體積為D.若點(diǎn)P在側(cè)面上運(yùn)動（含邊界），且CP與平面所成角的正切值為4，則BP長度的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】令，利用線面平行判定推理判斷A；求出點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)位置判斷B；求出棱臺體積判斷C；求出點(diǎn)的軌跡判斷D.【詳解】對于A，令，連接，由，，得，由，得，則，而平面，平面，則平面，A正確；對于B，由平面，平面，得，而，平面，則平面，在上取點(diǎn)，使得，則，，因此平面，即點(diǎn)在平面上的投影為線段BC上靠近點(diǎn)較近的3等分點(diǎn)，又點(diǎn)不在直線，則過點(diǎn)與平面垂直的直線不在平面內(nèi)，因此平面與平面不垂直，B錯誤；對于C，依題意，，，三棱臺體積，C正確；對于D，由選項(xiàng)B知，平面，而平面，則平面平面，過作于，平面平面，則平面，在直角梯形中，，在直角中，，，由與平面所成角的正切值為4，得，，因此點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)圓弧，的最小值為，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，若，則實(shí)數(shù)a的值為_______【答案】0或1【解析】【分析】利用兩條直線垂直的充要條件，列式求出值.【詳解】直線，由，得，解得或，所以實(shí)數(shù)a的值為0或1.故答案為：0或113.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，連接并延長交橢圓C于點(diǎn)P，若為等腰三角形，則橢圓C的離心率為_________.【答案】##【解析】【分析】若，根據(jù)橢圓的定義有、，應(yīng)用余弦定理及得到橢圓參數(shù)的齊次方程，即可求離心率.【詳解】由為等腰三角形，，則有，而，，若，則，，由，得，則，在中，，在中，，，即，整理得，則.故答案為：14.已知實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】化簡曲線方程，作出圖形，令，求出當(dāng)直線與曲線相切時，以及直線與直線重合時對應(yīng)的的值，數(shù)形結(jié)合可得出的范圍，由此可得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)，時，曲線方程可化為；當(dāng)，時，曲線方程可化為；當(dāng)，時，曲線方程可化為，即曲線不出現(xiàn)在第三象限；當(dāng)，時，曲線方程可化為，作出曲線的圖形如下圖所示：設(shè)，即，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)在第一象限時，則，且，解得，由因?yàn)殡p曲線、的漸近線方程均為，當(dāng)直線與直線重合時，，所以，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.（1）求四面體ABCD的體積;（2）求平面ABC與平面ABD所成角的正切值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）作于并求出，證得平面，再利用錐體的體積公式計算得角.（2）過作交于，利用幾何法求出面面角的正切.【小問1詳解】在四面體ABCD中，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于，由平面ABC⊥平面ACD，平面平面，得平面，在中，，則，于是，在中，，，則，，所以四面體ABCD的體積.【小問2詳解】由（1）知，平面，平面，則，過作交于，連接，由，得，而平面，則平面，又平面，因此，是平面ABC與平面ABD所成的角，由（1）知，，由，得，所以平面ABC與平面ABD所成角的正切值.16.已知點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且，其中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).試判斷點(diǎn)到直線的距離是否為定值.若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）定值，且定值為【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，利用斜率公式結(jié)合化簡可得出點(diǎn)的軌跡方程；（2）分析可知，直線、的斜率存在且都不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出，同理可得出，再利用等面積法可求得點(diǎn)到直線的距離.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，由題意可得，整理可得.所以，點(diǎn)的軌跡方程為.【小問2詳解】由題意可知，直線、的斜率存在且都不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，同理可得，則原點(diǎn)到直線的距離為.因此，點(diǎn)到直線的距離為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．17.如圖，在斜三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為菱形，.（1）求證：；（2）若為側(cè)棱上（包含端點(diǎn)）一動點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合圖形中的幾何關(guān)系取BC的中點(diǎn)O，先證明平面，再由證得平面，從而證出.（2）根據(jù)圖形中幾何關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求出線面角正弦值的表達(dá)式，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出正弦值的取值范圍.【小問1詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)為為菱形，且，所以為等邊三角形，，又為等邊三角形，則，所以平面，又平面平面，所以.【小問2詳解】如圖所示，在中，，由余弦定理可得，所以，由（1）得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以在平面?nèi)作，則平面，以所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，設(shè)是平面的一個法向量，，，則，即，取得，設(shè)，，設(shè)直線與平面所成角為，則，令，則在單調(diào)遞增，所以，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.18.已知雙曲線的漸近線方程為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于、兩點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn).（1）求雙曲線的方程：（2）求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時，求面積的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為（3）【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知，，設(shè)，可得出直線的方程為，點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，則點(diǎn)，分析可知，直線過軸上的定點(diǎn)，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）利用三角形的面積結(jié)合韋達(dá)定理可得出，其中，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出面積的最大值.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，故雙曲線方程為.【小問2詳解】當(dāng)時，此時，點(diǎn)、為雙曲線的頂點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1由對稱性可知，直線過軸上的定點(diǎn)，聯(lián)立可得，由題意可得，解得，由韋達(dá)定理可得，，則的斜率為，直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，可得，此時，直線過定點(diǎn).綜上所述，直線過定點(diǎn).【小問3詳解】因?yàn)?，則，且，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值，且最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．19.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角至點(diǎn)．（1）試證明點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式：（2）設(shè)，點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角至點(diǎn)，點(diǎn)再繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角至點(diǎn)，且直線的斜率，求角