黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

哈三中2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高二學(xué)年期中考試數(shù)學(xué)試卷考試說(shuō)明：（1）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷試題答案均答在答題卡上，交卷時(shí)只交答題卡.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題（共58分）（一）單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.圓的圓心和半徑分別是（）A.，2 B.，2C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由圓標(biāo)準(zhǔn)方程直接可得出圓的圓心和半徑.【詳解】圓的圓心為，半徑為.故選：C.2.下列命題是真命題的是（）A.經(jīng)驗(yàn)回歸方程至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，，…，中的一個(gè)B.可以用相關(guān)系數(shù)r來(lái)刻畫兩個(gè)變量x和y線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，r的絕對(duì)值越小，說(shuō)明兩個(gè)變量線性相關(guān)程度越強(qiáng)C.線性回歸分析中決定系數(shù)用來(lái)刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好D.殘差點(diǎn)分布在以橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域越窄，擬合效果越好【答案】D【解析】【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程、相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)、殘差等知識(shí)確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，經(jīng)驗(yàn)回歸方程是由最小二乘法計(jì)算出來(lái)的，它不一定經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，一定經(jīng)過(guò)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由相關(guān)系數(shù)的意義，當(dāng)越接近1時(shí)，表示變量y與x之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，用決定系數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，所以C是錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)樵跉埐畹纳Ⅻc(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，表明數(shù)據(jù)越集中，模型的擬合效果越好，故D正確.故選：D.3.某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，甲、乙、丙三所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)分別服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的曲線，利用正態(tài)分布的密度曲線的特征判斷即得.【詳解】觀察曲線知，.故選：D4.將1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)填入如圖所示的3行2列表格中，則表格內(nèi)每一行數(shù)字之和均相等的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，先將6個(gè)數(shù)字分為3組，再將三組全排列，安排在表格的三行中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算計(jì)算個(gè)數(shù)，即可由古典概型概率公式求解.【詳解】要使表格內(nèi)每一行數(shù)字之和均相等，根據(jù)，先將6個(gè)數(shù)字分為3組，分別為，，；將三組全排列，安排在表格的三行中，每一行有種順序，則可組成不同表格的個(gè)數(shù)為；將1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)填入表格中所有情況,故概率為故選：C．5.設(shè)a為實(shí)數(shù)，已知直線：，：，若，則（）A.6 B. C.6或 D.或3【答案】A【解析】【分析】由題可得，據(jù)此可得的可能值，驗(yàn)證后可得答案.【詳解】因，則.則或.當(dāng)，：，：，滿足；當(dāng)，：，：，兩直線重合，不合題意.則.故選：A6.已知直線l：，其中t為展開式中的常數(shù)項(xiàng)，則點(diǎn)到直線l的距離為（）A.1 B.2 C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征可得，即可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】展開式的常數(shù)項(xiàng)為,故，所以直線l：，故點(diǎn)到直線l的距離為，故選：B7.某學(xué)校為了解校慶期間不同時(shí)段的校門人流量，從上午8點(diǎn)開始第一次反饋校門人流量，以后每過(guò)2小時(shí)反饋一次，共統(tǒng)計(jì)了前3次的數(shù)據(jù)，其中，2，3，為第i次人流量數(shù)據(jù)（單位：千人），由此得到y(tǒng)關(guān)于i的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程，可預(yù)測(cè)下午2點(diǎn)時(shí)校門人流量為（）千人.參考數(shù)據(jù)：A.9.6 B.10.8 C.12 D.13.2【答案】B【解析】【分析】令，由，求出，得回歸方程，可求預(yù)測(cè)值.【詳解】令，則，，又，由，得，所以，則，下午2點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)，可得.故選：B.8.已知函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)，函數(shù)上一點(diǎn)與連線斜率的倍，求出的范圍，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，圖象如下圖，，，表示函數(shù)上一點(diǎn)與連線斜率的倍，，，由圖可知：或，所以或，則的取值范圍為.故選：D.（二）多項(xiàng)選擇題（共3小題，每小題6分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.關(guān)于函數(shù)，下列命題中正確的是（）A.是以為最小正周期的周期函數(shù)B.的最大值為C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，與已知函數(shù)的圖象重合D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式可得，即可根據(jù)周期以及最值求解AB，根據(jù)平移的性質(zhì)即可判斷C，代入驗(yàn)證即可求解D.【詳解】,對(duì)于A，最小正周期為，A正確，對(duì)于B，由于的最大值為1，故的最大值為，B正確，對(duì)于C，的圖象向左平移個(gè)單位后，得到，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D正確，故選：ABD10.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任意一點(diǎn)，稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作，則下列命題中正確的是（A.，，則B.為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡為圓C.對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有D.已知點(diǎn)和直線：，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)切比雪夫距離的定義直接運(yùn)算即可；對(duì)于B：設(shè)，分析可得，且等號(hào)至少有一個(gè)成立，即可得結(jié)果；對(duì)于C：根據(jù)題意結(jié)合絕對(duì)值不等式的分析判斷；對(duì)于D：設(shè)點(diǎn)可得，討論可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，求得最小值.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，則，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)，若，則，且等號(hào)至少有一個(gè)成立，可得的軌跡如圖所示，為正方形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，則，同理可得，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)為直線上一點(diǎn)，則，當(dāng)，即時(shí)，則，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)，即或，則，無(wú)最小值；綜上可得：，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.11.高考數(shù)學(xué)試題第二部分為多選題，共個(gè)小題，每小題有個(gè)選項(xiàng)，其中有個(gè)或個(gè)是正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得分.若正確答案是個(gè)選項(xiàng)，只選對(duì)個(gè)得分，有選錯(cuò)的得分；若正確答案是個(gè)選項(xiàng)，只選對(duì)個(gè)得分，只選對(duì)個(gè)得分，有選錯(cuò)的得分.小明對(duì)其中的一道題完全不會(huì)，該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)的概率是，記為小明隨機(jī)選擇個(gè)選項(xiàng)的得分，記為小明隨機(jī)選擇個(gè)選項(xiàng)的得分，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】分別計(jì)算出和的分布列，然后逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可求得.【詳解】由題意，，若該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇個(gè)；若該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；，該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)正確選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；，該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)正確選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；，若該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇個(gè)或選擇個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)；若該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇個(gè)，再?gòu)膫€(gè)正確選項(xiàng)中選一個(gè)，概率為：；，該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)正確選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；，該題有個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從個(gè)正確選項(xiàng)中選擇個(gè)，概率為：；對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，；；所以，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上）12.下列說(shuō)法中正確的有__________（填正確說(shuō)法的序號(hào)）①直線的傾斜角為②直線的斜率為③直線（）過(guò)定點(diǎn)④點(diǎn)到直線的距離為1【答案】①③【解析】【分析】對(duì)于①，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷，對(duì)于②，將直線化為一般式，即可判斷；對(duì)于③，將直線化為，故可判斷；對(duì)于④，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷.【詳解】對(duì)于①，直線的斜率為，根據(jù)傾斜角滿足，即，故①正確；對(duì)于②，將直線化為一般式為，所以斜率為，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，將直線化為，所以時(shí)，，不論取值，故直線過(guò)定點(diǎn)，故③正確；對(duì)于④，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③13.對(duì)于隨機(jī)事件，若，，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式及概率的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以，又，所以，解得.故答案為：.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F為空間內(nèi)兩點(diǎn)且，，.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到為中點(diǎn)，在平面內(nèi)，其中為定值，只需點(diǎn)到平面的距離最大，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，得到平面的法向量，利用點(diǎn)到平面距離的向量公式得到當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)與重合，求出⊥平面，設(shè)球心，由得到方程組，求出球心和半徑，求出表面積.【詳解】因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，又，，故在平面內(nèi)，其中為定值，只需點(diǎn)到平面的距離最大，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，正方體的棱長(zhǎng)為2，故，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，故，則到平面的距離，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)，即與重合，設(shè)球心，由得，解得，故外接球球心為，半徑為，故外接球表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：幾何體外接球問(wèn)題，通常要找到幾何體的一個(gè)特殊平面，利用正弦定理，幾何性質(zhì)找到其外心，求出外接圓的半徑，進(jìn)而找到球心的位置，進(jìn)而求出半徑，也可以利用空間向量的方放，設(shè)出球心坐標(biāo)，待定系數(shù)法進(jìn)行求解三、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）求銳角的大小；（2）在（1）的條件下，若，且的周長(zhǎng)為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解；（2）先求出，再根據(jù)正弦定理，令，求出，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，即，又，所以，又，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，則，由正弦定理，令，則，所以的周長(zhǎng)為，解得，所以，所以.16.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，（1）求邊AC的高BH所在直線方程；（2）已知M為AB中點(diǎn)，試在直線CM上求一點(diǎn)P，在x軸上求一點(diǎn)Q，使的周長(zhǎng)最小，并求最小值.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為.【解析】【分析】（1）求出邊AC的高BH的斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可得出答案.（2）先求出直線CM的方程，如圖，作出關(guān)于直線CM的對(duì)稱點(diǎn)，作出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則連結(jié)，交直線CM于，交軸于，則的周長(zhǎng)的最小值等于，最后求出直線的方程，即可求出點(diǎn)Q.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，所以邊AC的高BH的斜率為，又因?yàn)橹本€BH過(guò)點(diǎn)，所以BH所在直線方程為：，化簡(jiǎn)可得：.所以BH所在直線方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，所以，，直線CM的方程為：，化簡(jiǎn)可得：，如圖，作出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得：，所以，作出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)，交直線CM于，交軸于，，，三角形的周長(zhǎng)為線段的長(zhǎng)，由兩點(diǎn)間線段最短得此時(shí)的周長(zhǎng)最小，的周長(zhǎng)最小時(shí)，最小值為：，此時(shí)直線的斜率為，直線的方程為：，化簡(jiǎn)可得：，令，所以，所以，令，所以,所以,所以當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為.17.隨著冬天的臨近，哈爾濱這座冰雪之城，將再次成為旅游的熱門目的地.為更好地提升旅游品質(zhì)，我市文旅局隨機(jī)選擇名青年游客對(duì)哈爾濱出行體驗(yàn)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分分），分及以上為良好等級(jí)，根據(jù)評(píng)分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計(jì)該評(píng)分的上四分位數(shù)；（2）若采用按比例分層抽樣的方法從評(píng)分在，80,90的兩組中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行單獨(dú)交流，求選取的4人中評(píng)分等級(jí)為良好的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為進(jìn)一步了解不同年齡段游客對(duì)哈爾濱出行體驗(yàn)的反饋，我市文旅局再次隨機(jī)選擇100名中老年游客進(jìn)行滿意度評(píng)分，發(fā)現(xiàn)兩次調(diào)查中評(píng)分為良好等級(jí)的人數(shù)為120名.請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析游客的評(píng)分等級(jí)是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關(guān).附：，0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】（1），（2）分布列見解析，（3）無(wú)法認(rèn)為游客的評(píng)分等級(jí)是否良好與年齡段有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為計(jì)算出的值；先判斷出上四分位數(shù)所在區(qū)間，然后結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)值以及該組的頻率完成計(jì)算；（2）先根據(jù)分層抽樣計(jì)算出每組抽取的人數(shù)，然后確定出的可取值并計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，由此可求分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)已知條件得到對(duì)應(yīng)列聯(lián)表，然后計(jì)算出的值并與對(duì)應(yīng)比較大小，由此得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可知，，解得；因?yàn)?0,100的頻率為，且90,100為最后一組，所以評(píng)分的上四分位數(shù)位于區(qū)間90,100中，所以上四分位數(shù)為：；【小問(wèn)2詳解】評(píng)分在與80,90兩組的頻率分別為，所以內(nèi)抽取人數(shù)為，80,90內(nèi)抽取人數(shù)為，故人中評(píng)分等級(jí)為良好的有人，由題意可知，的可取值為，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望；【小問(wèn)3詳解】青年游客評(píng)分等級(jí)良好的有人，所以老年游客評(píng)分等級(jí)良好的有人，由上可得如下列聯(lián)表，

青年游客老年游客總計(jì)評(píng)分等級(jí)良好評(píng)分等級(jí)非良好總計(jì)零假設(shè)：游客的評(píng)分等級(jí)是否良好與年齡段無(wú)關(guān)，由表中數(shù)據(jù)可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可知零假設(shè)成立，即無(wú)法認(rèn)為游客的評(píng)分等級(jí)是否良好與年齡段有關(guān).18.棱長(zhǎng)為2的正方體，M為正方體中心，將四棱錐繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）后得到四棱錐，如圖1.（1）求四棱錐的表面積和體積；（2）若（如圖2），求證：平面平面；（3）求為多少時(shí)，直線與直線DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.【答案】（1）表面積，體積為（2）證明見解析（3）時(shí)，直線與直線DC所成角最小，最小角的余弦值為【解析】【分析】（1）根據(jù)棱錐的表面積公式和體積公式計(jì)算即可；（2）易得平面?平面為同一個(gè)平面，補(bǔ)全正方體，證明為二面角的平面角，再證明即可；（3）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，，則，所以四棱錐的表面積為，四棱錐的高為，則；【小問(wèn)2詳解】若，則平面?平面為同一個(gè)平面，如圖，補(bǔ)全正方體，連接、，則是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以平面與平面重合，平面與平面重合，由正方體性質(zhì)可知平面，因?yàn)槠矫妫?，，為二面角的平面角，因?yàn)椋瑒t，同理可得，所以，所以平面平面；【小問(wèn)3詳解】如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，即，故，則，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，此時(shí)，即，所以時(shí)，直線與直線DC所成角最小，最小角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理.在證明面面垂直時(shí)，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，即為所