圓中不規(guī)則圖形面積解法-初中數(shù)學常見的模型方法

圓中不規(guī)則圖形面積解法

方法一公式法

例題1

1.如圖，在半徑為五的圓形紙片中，剪一個圓心角為90。的最大扇形（陰影部

分），則這個扇形的面積為；若將此扇形圍成一個無底的圓錐（不計接頭）,

則圓錐底面半徑為.

【答案】①.兀②.；

【解析】

【分析】由勾股定理求扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式求值；根據(jù)扇形的弧長等

于底面周長求得底面半徑即可.

【詳解】解：連接8C,

由NR4c=90。得BC為。0的直徑，

：.BC=2^f2，

在RtaABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2,

,_90%，4_

??S扇形ABC=-----------------7T；

360

...扇形的弧長為：然六=兀，

1oO

設底面半徑為r,則2兀「=兀，

解得：/，

故答案為：兀，

1

【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等

于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

變式1

2.如圖，將邊長為3的正六邊形鐵絲框ABCDE/（面積記為加）變形為以點。為

圓心，。為半徑的扇形（面積記為邑），則而與邑的關系為（）

A.>52B.S|=s?c.5]<52D.sr=-s2

【答案】A

【解析】

【分析】由正六邊形的性質(zhì)出EAC的長，根據(jù)扇形面積公式X弧長x半徑，可

得結(jié)果

【詳解】解：由題意：EAC=12

S,=112x3=18,

2

.,V3_2773

??Di=6x—xq32=-------,

142

S,>S2

故選：A

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、扇形面積公式；熟練掌握正

六邊形的性質(zhì)，求出弧長是解決問題的關鍵.

2

變式2

3.如圖，在一ABC。中，E為的中點，以E為圓心，3E長為半徑畫弧交對角線

AC于點R若MC=60。，ZABC=100°,BC=4,則扇形BE尸的面積為

【答案】若

【解析】

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和、三角形的外角以及等腰三角形性質(zhì)求出4即，然后根

據(jù)扇形面積公式計算.

【詳解】解：：ZBAC=60°,ZABC=100°,

，ZACB=20。,

???E為的中點，EB、EF為半徑,

/EFC=NECF=20。,

：.ZBEF=40°,

BC=4,

：.BE=2,

407rx2?47r

扇形8跖的面積=Mi=把.

3609

【點睛】本題主要考查的是扇形面積計算，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)，

掌握扇形面積計算公式是解題的關鍵.

變式3

4.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫格點，

AABC的三個頂點均在格點上，把一ABC繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到

AAB'C.

3

(1)求NBAC的正切值.

(2)求扇形C4C'的面積.

【答案】(1)tan/BAC=g；(2)S扇形儀，=10兀.

【解析】

【分析】⑴過點C作C。，A8,交A8的延長線于D,如圖，根據(jù)正切的定義求解；

⑵連接CC',如圖，先利用勾股定理的逆定理證明AACC為直角三角形，則

NCAC=90。，然后根據(jù)扇形的面積公式計算.

CD21

.,*在Rt△ACZ)中，tanZ.BAC=----=—=—.

AD63

(2)連接CC,

CC2=42+82=80,CfA2=CA2=22+62=40,

CA2+CA2=CC2=80，

4

/.△ACC'為直角三角形，NC4c=90°，

2

.。9071.AC9071X401A

?.s扇形CA0=F—=R-=IO兀.

【點睛】本題考查了作圖一旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于

旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段

的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

方法二直接和差法

特征：陰影部分是幾個常見圖形組合而成.

計算方法：

s陰影=s常見圖形±s常見圖形

一、直接和差法：

圖形轉(zhuǎn)化后的圖形面積計算方法

S陰影=SACB_S扇形CAD

(：HC"

S陰影=S.AOB―S扇形COD

I/

S陰影二S半圓AB―S

在A0B

S陰影=S扇形BAD-S半圓AB

S陰影-S扇形E”—S

身ADE

產(chǎn)---巨

六B

(A

S陰影-S扇形BAB，+S半圓A9-S半圓AB

△4?

5

S陰影=S半圓AC+S半圓BC-S.ACB

「-1^

2

ST_〃和仃

&J陰影一'扇形之和一360

例題2

5.某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑即與母線4)長之比為

1:2.制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中=

ADLBC.將扇形AEF圍成圓錐時，AE，Ab恰好重合.

(1)求這種加工材料的頂角4AC的大小

(2)若圓錐底面圓的直徑石。為5cm,求加工材料剩余部分(圖中陰影部分)的

面積.(結(jié)果保留開)

【答案】(1)ZBAC=90°；(2)S陰影二(100-25萬)cm2.

【解析】

【分析】⑴設則AD=2x,根據(jù)圓的周長求EF弧長，利用弧長公式求九=90°

即可；

(2)由=ZBAC=90°,可得aABC為等腰直角三角形，由ADL8C可求

BD=CD=AD=10cm,利用三角形面積公式求SABAL^BCXAD,利用扇形面積公

式求S扇形EF=25?，利用面積差求S陰影即可。

【詳解】解：(1)設即=無，貝UAD=2x,

.,,xn/rx2x

..EF弧長=2"x[=[a。,

ZloU

6

."=90°,

，ZBAC=90°；

（2）*.?=5cm,

AD=2ED=10cm,

VAB^AC,ZS4c=90。，

???△ABC為等腰直角三角形，

VAD1BC,

：.BD=CD^AD^10cm,

：.BC=BD+CD=20cm,

S^BAC=gBCxAD=^x20x10=100cm2,

?Q_90x^xl02_

??J扇形即-------=25TI，

JoU

?e?S陰影二SxBAC-S扇形EF=（100-25乃）CUT.

【點睛】本題考查圓錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性

質(zhì)，利用割補法求陰影面積，掌握圓錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三

角形判定與性質(zhì)，利用割補法求陰影面積是解題關鍵.

變式4

6.如圖，在扇形。中，已知NAO5=90。，04=2,過AB的中點C作

CDLOA,CELOB,垂足分別為點O,E,則圖中陰影部分的面積為（）

71

A.7i-lB.71—2C.71—4D.1

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形0DCE是矩形，連接0C,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到OO=OE,然后得到矩形是正方形，最后利用扇形和正方形的

7

面積公式計算即可.

【詳解】如圖所示，連接0C

VZAOB=9Q°,CDLOA,CELOB

四邊形ODCE是矩形

???點C是A3的中點

，ZCOA=ZCOB

：.NCOD^TCOE

OD-OE

，四邊形ODCE是正方形

，OD=CD

：.OD2+CD2=22

工OD2=2

即S正方形ODCE=2

由扇形的面積公式可得：S扇形A0B=?

S陰影=?-2

故選：B

【點睛】本題主要考查矩形的判定定理和性質(zhì)、正方形的判定定理和性質(zhì)、全等三

角形的判定和性質(zhì)、扇形面積的計算公式，熟練掌握相應的判定定理和性質(zhì)是解題

的關鍵.

變式5

7.如圖，在:中，OA=3,ZC=45%則圖中陰影部分的面積是

.（結(jié)果保留開）

8

c

㈡

廿*.97r9

【w答案】---

【解析】

【分析】由NC=45。，根據(jù)圓周角定理得出NAO8=90,),根據(jù)S陰影二S扇形A03——SAOB

可得出結(jié)論.

【詳解】解：：/。=45。，

二ZAOB=90°,

??S陰影二S扇形A05—S.AOB

90x^x321個c

=------------------x3x3

3602

_9兀9

97r9

故答案為：T--.

【點睛】本題主要考查圓周角定理、扇形的面積計算，根據(jù)題意求得三角形與扇形

的面積是解答此題的關鍵.

變式6

8.如圖，在AA5C中，BC=4,且AABC的面積為4,以點A為圓心，2為半徑的

OA交AB于E,交AC于F,點P是。A上一點，且N￡PF=45。.

上

(1)求證：BC為。A的切線;

(2)求圖中陰影部分的面積.

9

【答案】（1）證明見詳解；（2）4—〃.

【解析】

【分析】（1）作ADLBC,根據(jù)三角形的面積，可求出人口=2=半徑且為BC邊上的

高，即可判定；

（2）再根據(jù)圓周角定理得NEAF=2NEPF=90。，而、陰=S4況-S扇形EAF，然后利

用扇形的面積公式：s=^和三角形的面積公式即可計算出圖中陰影部分的面

360

積.

【詳解】解：（1）過點A作ADLBC,如圖,

VBC=4,SAABC=4,

-xBCxAD=-x4xAD=4,

22

.\AD=2,

又。A的半徑為2,

.?.BC與。A相切，切點為點D,

(2)?由(1)可知。A與BC相切于點D,

AADXBC,且AD=2,

XVZEPF=45°

.,.ZBAC=90°,

而BC=4,S.A5C=4,

90TTX22

??S陰=SABC—S扇形EAF=萬BCxAD-=4-7T.

360

【點睛】本題考查了扇形的面積公式：S=竺生（其中n為扇形的圓心角的度數(shù),

360

R為圓的半徑），或S=；1R,1為扇形的弧長，R為半徑.同時考查了切線的性質(zhì)

10

定理和圓周角定理.

二、構(gòu)造和差法：

圖形轉(zhuǎn)化后的圖形面積計算方法

缶S陰影-S扇形BOE+S?？?S扇形C0。

（），斑

ACAC〃

星S陰影二S。。。一S扇形。?！?/p>

擊,令,S陰影=S扇形AOB-S^AOB

淡S陰影二S扇形AOC+SBOC

例題3

9.如圖，已知。O的半徑是4,點A,B,C在。。上，若四邊形OABC為菱形，則圖

中陰影部分面積為（）

A.3萬一86B,蛆萬一86C.—^--4A/3D.§萬一4百

3333

【答案】B

【解析】

【分析】連接0B和AC交于點D,根據(jù)菱形及直角三角形的性質(zhì)先求出AC的長及

ZAOC的度數(shù)，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面積，則由S扇形AOC-S菱形ABCO

可得答案.

【詳解】連接OB和AC交于點D,如圖所示：

11

c

?..圓的半徑為4,

.\0B=0A=0C=4,

又四邊形OABC是菱形，

AOBXAC,OD=—OB=2,

2

在RtACOD中利用勾股定理可知：CD=742-22=2A/3,AC=2CD=473，

???/「cnCDA/3

?sinZCOD==——,

OC2

ZCOD=60°,ZAOC=2ZCOD=120°,

S菱形ABCO二gOBxAC=gx4x40=88,

_120x^x4216

??b扇形=----------71,

3603

則圖中陰影部分面積為S扇形AOC-S菱形ABCO=Wl-8.

故選B.

【點睛】考查扇形面積的計算及菱形的性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握菱形的面積

a-b（a、b是兩條對角線的長度）；扇形的面積=竺廠.

360

變式7

[2019?泰安】

10.如圖，NAOB=90。，4=30。，以點O為圓心，OA為半徑作弧交于點

A，點C，交06于點O,若OA=3,則陰影部分的面積為.

12

【答案】白3

4

【解析】

【分析】根據(jù)題意連接0C,可得陰影部分的面積等于兩個陰影部分面積之和，再根

據(jù)弧AC所對的陰影部分面積等于弧AC所對圓心角的面積減去AOAC的面積，而

不規(guī)則圖形BCD的面積等于A03C的面積減去弧DC所對圓心角的面積.進而可得

陰影部分的面積.

【詳解】解：根據(jù)題意連接OC

A

ODB

OA=OC,ZOAB=90°—ZB=90°-30°=60°

.?.AACO為等邊三角形

ZAOC=60°

---陰影部分面積1=粉/萬x32—；x3x3cos30。=|萬—

---陰影部分面積2=！x3相x3-雙x乃X32=%^-3〃

2236044

3

---陰影部分面積=陰影部分面積1+陰影部分面積2=7萬

4

故答案為1_萬

4

【點睛】本題只要考查圓弧的面積計算，關鍵在于陰影部分面積的分割.

變式8

13

11.如圖，A,。是雙曲線y=■上關于原點對稱的點，B,。是雙曲線y=-士上關

XX

于原點對稱的點，圓弧氏4。與BCD圍成了一個封閉圖形，當線段AC與3。都最

短時，圖中陰影部分的面積為.

13

【答案】等—8百

【解析】

(

【分析】設點Ax,一,要使當線段AC與3。都最短，就是使最短，利用勾股

Ixj

定理表示出。4與x的函數(shù)解析式，將其函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)可求出04的最小值，即可求出AC的值;再利用同樣的方法可求出的長；

再證明AABC是等邊三角形，然后利用扇形的面積公式和三角形的面積公式可求出

陰影部分的面積.

(

【詳解】解：設點Ax,一,要使當線段AC與8。都最短，就是使0A最短,

Ixj

???當％-1=0時，0A的最小值為，5,

X

...I(負值舍去),

.?.點A(1,1),點。(―1,—1)；

.,.AC=2y/2,

(3)

設點8m,-一，要使當線段8。都最短，就是使。8最短,

ImJ

.?.當x-j=。時，03的最小值為后,

y/3(負值舍去),

14

點川-￡6）,點。（6-石）；

?.?點B和點D,點A和點C關于原點對稱，

:.BC=AB=CD=AD,

???BC=J（可+㈣，=20,

.?.△ABC是等邊三角形，

：.BC=AC=AB,

r=2A/2,

陰影部分=47兀（2也、—x2-\/2XA/6=——.

（6',2）3

故答案為：----8A/3

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，線段最值，二次函數(shù)求最值，等邊三角形，弓形

面積的計算，解題關鍵在于求出線段的最值.

變式9

2019?新?lián)釁^(qū)三?！?/p>

12.如圖，AB=AC,。。為AABC的外接圓，AF為。。的直徑，四邊形ABCD

是平行四邊形.

（1）求證：AD是。。的切線；

（2）若NBAC=45°,AF=2,求陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）上旦一工.

24

【解析】

【分析】（1）由題意根據(jù)垂徑定理得到AF1BC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到

AD#BC,求得ADLAF,于是得到AD是。O的切線；

（2）根據(jù)題意連接OC,OB,根據(jù)圓周角定理得到NBOC=90°,根據(jù)勾股定理

得到BC=J^,求得AD=BC=①，連接OE,根據(jù)梯形和扇形的面積公式即可得

15

到結(jié)論.

【詳解】解：(1)VAB=AC,

AB=AC,

???AF為。。的直徑，

AAFXBC,

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

，AD〃BC,

ZAD±AF,

，AD是。。的切線；

(2)連接OC,0B,

VZBAC=45°,

.\ZBOC=90o,

VAF=2,

.,.OB=OC=1,

"""BC=-\/2,

'：四邊形ABCD是平行四邊形,

.\AD=BC=V2,

連接OE,

VAB/7BD,

，NACE=NBAC=45°,

，NAOE=2NACE=90°,

VOA=OE=1,

1_907FX]2

陰影部分的面積=$梯形AOED-S扇形AOE=—(1+A/2)Xl--------------------=

2360

1+V2n

【點睛】本題考查切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，扇形的面

16

積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

方法三：重疊法

特征：幾個常見圖形經(jīng)過一次性重疊組成

常見圖形，從而重疊部分是陰影部分.

計算方法:

s陰影二s圖形1+圖形+S圖形"-s組成圖形

例題4

13.如圖，正方形的邊長為處以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓.求圖中陰影部分

的面積.

【答案】工U/

【解析】

【分析】陰影部分的面積為正方形的面積減去四空白的面積.而正方形的面積減去

兩個半圓的面積就得兩個空隙的面積，正方形的面積為"，半圓的面積為

1

2

【詳解】解：如圖，圖中四個半圓都通過正方形的中心，用正方形的面積減去四空

白的面積，剩下的就是陰影部分的面積,而正方形的面積減去兩個半圓的面積就得

兩個空隙的面積,

22

1Tea

,?s正方形二Q，s半圓二萬

34

.2兀O2

,,S4個空白=2S正方形一2s半圓=2。一一—

(2\2c

2兀a71CL2冗—22

?e?S陰影=S正方形一§4個空白="22a--------------------CL-----------CI

I2}22

【點睛】本題考查了圓的面積以及不規(guī)則的幾何圖形的面積的求法，將不規(guī)則圖形

轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形的面積的和與差是解題的關鍵.

變式10

17

14.如圖，在RtABC中，ZBCA=90°AC=4,3C=2兩分圓別以AC,3c

為半徑畫圓，則陰影部分的面積為（）

57c57

A.------4B.10/r—4C.10/r—8D.------8

22

【答案】A

【解析】

【詳解】設各個部分的面積為：Si、S2、S3、$4、S5,如圖所示，

:兩個半圓的面積和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4,AABC的面積是S3+S4+S5,陰影部分

面積是：S1+S2+S4,

...圖中陰影部分的面積為兩個半圓的面積減去三角形的面積.

即陰影部分的面積=1兀x4+g7txl-4x2+2=3兀-4.

222

故選A.

變式11

15.正三角形的邊長為2,分別以A、B、C為圓心，以1為半徑在三角形形內(nèi)作

弧，作..ABC內(nèi)切圓，求陰影部分面積.

【答案】苧-石

O

【解析】

【分析】根據(jù)切線長定理求出NOBD=/OBF=30。，由切線的性質(zhì)得N003=90。，根

18

據(jù)勾股定理求出然后根據(jù)S圓中間空白=6SABDO-3s扇形BDF和S陰影=S。。-S圓中間空白求

解即可.

【詳解】解：連接。。，OB,由題意知8。=1,

△ABC是等邊三角形，

ZABC=60°,

；。0是△ABC的內(nèi)切圓，

,ZOBD=Z03尸=30°,ZODB=90°,

05=200,

?；OD2+BD2^OB2,

：.OD2+12=4OD2,

.?.00=走，

3

S圓中間空白=6SABDO~3s扇形

=6-兀'

2

?e?S陰影=S。。-S圓中間空白

【點睛】本題考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等

邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及扇形面積公式，熟練掌握各知識點是解答本題的

關鍵.

19

方法四割補法

特征：把陰影部分某一部分圖形，改變它的位置后，從新組成一個常見圖形.

計算方法：

s陰影=s組成圖形

例如：

圖形轉(zhuǎn)化后的圖形面積計算方法

AI)GA_J)

7)/

S陰影=S正方形PCQE

.

hB

FEF

匚匚S陰影=S矩形ACDF

I“CA

1/^-/)

S陰影=S^AOB

S陰影=S扇形BOC

1)

S陰影=S扇形co。

1

P0BP0

例題5

16.如圖，在。O中，直徑AB=2,AC切。于A，BC交。。于D，若

ZC=45%則陰影部分的面積為.

20

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)題意連接AD,得到ABC為等腰直角三角形，推出AB=BD,則弓形

BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積=4ACD的面積，可解出最終結(jié)果.

【詳解】連接AD,/C=45。，AC切。。于A點，

ZBAC=90°,ABC為等腰直角三角形，

又ZADB=90°,---AD=BD,

弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積=4ACD的面積，

AB=2,CD=AD=BD=V^,S△ACD-CDxAD-1x72x72=1,即陰影部分的

【點睛】本題考查圓的性質(zhì)及切線和弓形面積的知識，屬于綜合題，需要充分掌握

圓的基礎知識，學會運用圓的性質(zhì)進行解題是關鍵.

變式12

17.如圖，兩個半徑長均為5萬的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形

CFD的圓心C是A8的中點，且扇形CFD繞著點C旋轉(zhuǎn)，半徑AE，C尸交于點

G,半徑BE,CD交于點H,則圖中陰影面積等于（）

21

E

7t71

A.1B.2C.7i—1D.7T—2

22

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)扇形面積公式求出兩扇形面積，再過C分別作于M,CALLBE

于N,連接EC,再證明△CMG四△OV”,可證得白色部分的面積等于對角線為

的正方形CMEN得面積，進而可求得陰影部分的面積.

【詳解】解：?.?兩個直角扇形的半徑長均為血，

兩個扇形面積和為啊拽匚x2=%,

360

過C分別作CMLAE于M,CNLBE于N,連接EC,則四邊形CMEN是矩形，

是的中點，

/.NAEC=ZBEC,即EC平分ZAEB,

：.CM=CN,

四邊形CMEN是正方形,

：.ZCMG=ZMCN=ZCNH,

：.ZMCG+ZGCN=ZNCH+ZGCN=90°,

，ZMCG=ZNCH,

:ACMG名ACNH(ASA),

白色部分的面積等于對角線為正的正方形CMEN的面積，

1l「

空白部分面積為二X婢X”=1,

2

陰影部分面積為了一2x1=71—2,

故選：D.

22

E

【點睛】本題考查扇形面積公式、圓的有關性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定

與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記扇形面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)

定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，求出空白部分面積是解答的關鍵.

變式13

18.如圖，在放△ABC中，ZC=90°,AB=6,是NBAC的平分線，經(jīng)過A,

。兩點的圓的圓心。恰好落在AB上，。。分別與AB、AC相交于點E、F.若圓

半徑為2,則陰影部分面積=.

【答案】q

【解析】

【分析】連接OD,OF.首先證明OD〃AC,推出S陰影=s扇形。陽，再證明△AO尸是

等邊三角形即可解決問題.

【詳解】解：連接OF.

?.?AO是NBAC的平分線,

23

，ZDAB=ZDAC9

???OD=OA,

：.ZODA=ZOAD,

：.ZODA=ZDAC,

：.OD//AC,

：.ZODB=ZC=90°,

??SAAFD=SAOFA，

「?S陰影=S扇形OfA,

VOD=OA=2,AB=6,

：.03=4,

I.OB=2OD,

：.ZB=30°,

AZBAC=60°,

OF=OA,

???AAO尸是等邊三角形，

AZAOF=60°,

_60?-22_2^-

??3陰影—〉扇形。州------------------------

3603

故答案為：.

【點睛】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識,

解題的關鍵是添加常用輔助線，運用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

變式14

19.如圖，A6是。。的直徑，石是。。上一點，AC平分/朋石，過點。作

CD，AE交AE延長線于點D.

24

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）若AB=6,ZBAC=30°,求陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析；（2）蓑

【解析】

【分析】（1）連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/54C=/AC0,推出AD//OC,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/。。＞=90。，于是得到CD是。。的切線；

（2）求出NOEA=NEOC=60。，由扇形的面積公式可得出答案.

【詳解】（1）連接OC,

VOC=OA,

ZBAC=ZACO,

「AC是NBA。的平分線,

二ZDAC=ZBAC,

：.ZDAC=ZACO,

：.AD//OC,

：.ZOCD+ZD=180°,

-：CD±AE

：.ZCDA=90°,

.?.ZOCD=90°,

.,.CD是。。的切線.

(2)連接CE,OE,

?：AB=6,

：.OC=OE=3,

,：ZBAC=ZDAC=3Q°,OA=OE,

ZOEA=ZEOC=60°,

25

AOE和△石OC為等邊三角形

ZOEC=ZAOE=ZEOC=60°

CEHAB,

=

??SACE。SMAE,

60?兀-9_3兀

S扇EOC

360

【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形的面積的計算,

正確的作出輔助線是解題的關鍵.

方法五等積法

特征：陰影部分圖形在不改變面積的前提下，改變它的形狀后，是一個常見圖形.

計算方法:

s陰影=s常見圖形

一、平移法

26

例題6

20.直徑為4cm的圓Oi,平移5cm到圓。2,則圖中陰影部分面積為()

A.20cm2B.10cm2

C.25cm2D.16cm2

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：通過平移，把。02的半圓向左平移到。Oi的位置，則圓中陰影部分

面積等于一個矩形的面積，然后根據(jù)面積公式計算即可.

詳解：圓中陰影部分面積=5x4=20(cm2).

故選A.

點睛：本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個

新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原

圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點.連接各組對應點的線段平行且

相等.

27

例題7

[2019?揚州】

21.如圖，將四邊形ABCD繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)45。至四邊形AB'。。的位置，若

AB=4cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

【答案】2兀

【解析】

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZBAB'=45°,四邊形ABC。/四邊形ABC。，圖中陰影

部分的面積=四邊形ABCD的面積+扇形的面積-四邊形ABC。的面積二扇形

A88的面積，代入扇形面積公式計算即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZBAJB'=45°,四邊形A8COZ四邊形A3CD,

則圖中陰影部分的面積=四邊形ABCD的面積+扇形ABB的面積-四邊形ABC。的

面積

=扇形的面積

_45IX42

360

二2兀；

故答案為：27r.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形面積公式；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出陰影

部分的面積=扇形A38的面積是解題的關鍵.

變式18

22.如圖，A,B,>C,D,E相互外離，它們的半徑都是2,順次連接

五個圓心得到五邊形ABCDE,則圖中五個扇形（陰影部分）的面積之和是（）

28

A.6%B.5nC.4%D.3n

【答案】A

【解析】

【分析】求出五個扇形的圓心角之和，利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】?（5-2）x180°=540°

「5405，

??S—----兀x2—6兀

360

故選A.

【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，扇形面積公式，理解題意是解題的關鍵.

變式19

23.如圖，已知A（26，2）,B（2j],1）,將aAOB繞著點0逆時針旋轉(zhuǎn)，使點

A旋轉(zhuǎn)到點卜（一2,26）的位置，則圖中陰影部分的面積為

【答案】93

【解析】

【詳解】試題分析：：A（2卡，2）、B（2^,1）,，OA=4,OB=而，?.?由A（26，

2）使點A旋轉(zhuǎn)到點A，（-2,ZA,OA=ZB,OB=90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可

得，^AOB'C=S&OBC，：，陰影部分的面積等于S扇形AOA-S扇形C,OC=]萬x4?-（a5）2

29

0\X

考點：1.扇形面積的計算；2.坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

（視頻F）

變式20

24.如圖，在平面直角坐標系中，..ABC的三個頂點坐標分別為

A（-l,l）,B（-4,2）,C（-3,4）.

（1）作出ABC關于原點對稱的"4a；

（2）將/WC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，根據(jù)三角形掃過的痕跡，求圖中陰影部分

的面積.

【答案】（1）所作圖形如圖所示，見解析；（2）圖中陰影部分的面積為子.

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征得到Ai、Bi、Ci,然后描點即可;

（2）由題意，陰影部分的面積等于線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。所得到的扇形

面積，即可求出答案.

【詳解】解：（1）所作圖形如圖所示：

30

,/AC=J(-1+3)2+(1-4)2=V13

所求陰影部分的面積等于線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。所得到的扇形面積：

S扇形=；X"X(VB)2.

【點睛】本題考查了作圖一一旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出

對應點的位置是解題的關鍵.也考查了三角形的面積和扇形面積公式.

三、對稱法

31

例題8

[2018?山西】

25.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。O,。。的半徑為2,以點A為圓心，以AC長

為半徑畫弧交AB的延長線于點E,交AD的延長線于點F,則圖中陰影部分的面

積為()

A.4兀-4B.471-8C.871-4D.871-8

【答案】A

【解析】

【分析】利用對稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積-aABD的面積.

【詳解】利用對稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積-AABD的面積=

90衛(wèi)￡」如2=4兀一4,

3602

故選A.

【點睛】本題考查扇形的面積公式、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用轉(zhuǎn)

化的思想思考問題.

變式21

26.如圖，A3是圓。的直徑，弦ZBCZ)=30°,CD=4“，則S陰

32

影=_________

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=2/，然后由圓周角定理知/DOE=60。，然后

通過解直角三角形求得線段OD、0E的長度，最后將相關線段的長度代入S陰影=5扇

形ODB-SADOE+SABEC.

【詳解】解：如圖，假設線段CD、AB交于點E,

AB是。。的直徑，弦CDLAB,

；.CE=ED=2百，

又,.?NBCD=30°,

/.ZDOE=2ZBCD=60°,ZODE=30°,

工OE=DE?cot60。=2百x曰=2,OD=2OE=4,

S陰影=S扇形ODB-SADOE+SABEC=

22

60^-xOD11廠8萬EA—8兀

------------------OExDEH—BE-CE=-------2,3—.

3602233

故答案為--

【點睛】此題考查了垂徑定理、扇形面積的計算，解題的關鍵是學會利用分割法求

陰影部分面積，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

變式22

33

27.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC和BO交于點。，ZABD=3Q°,

AB=4,分別以點A、點C為圓心，以OA的長為半徑畫弧分別與菱形的邊相交,

則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留開）

【答案】4百-?

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC1.BD,ZABC=2ZABD=60°,即可得出NA4D=120。,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AO、BD,根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計算即

可.

【詳解】解：?.?四邊形A3CO是菱形，ZABD=30°,

：.AC±BD,ZABC=2ZABD=60°,

/.ZBAD=12Q°,OA=—AB=—x4=2,

22

由勾股定理得，08=m2_0#=2。

；.BD=46,

...陰影部分的面積=4X46X2-世它4=46/〃，

23603

故答案為：473-1^.

【點睛】本題考查的是扇形面積計算、菱形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關

鍵.

變式23

28.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=AC=4,ABJ_AC,O是對角線的交點，若

。。過A、C兩點，則圖中陰影部分的面積之和為.

34

【答案】4.

【解析】

【詳解】VZAOB=ZCOD,

S陰影=SAAOB.

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

OA=—AC——x4—2.

22

VAB1AC,

11

??S陰影=SAAOB="OA*AB=—x2x