圓錐曲線中的焦點三角形與焦點弦三角形-2025年高中數(shù)學一輪復習

第09講圓錐曲線中的焦點三角形與焦點弦三角形

（9類核心考點精講精練）

.考情探究。

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第12題,5分雙曲線中集點三角形問題求雙曲線的離心率

利用定義解決雙曲線中集點三角形問題

2023年新I卷，第16題,5分無

求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍

2022年全國甲卷（理科），橢圓定義及辨析

無

第12題,5分橢圓中焦點三角形的面積問題

2022年全國甲卷（文科），

橢圓中焦點三角形的面積問題無

第7題,5分

2022年新I卷，第16題,5分橢圓中焦點三角形的周長問題求橢圓的標準方程

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分

【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的焦點三角形及其相關(guān)計算

2.理解、掌握圓錐曲線的焦點弦三角形及其相關(guān)計算

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結(jié)合公式運算,

需強化訓練復習

考點梳理?

1

知識點1橢圓焦點三角形主要結(jié)論

考點6箱圓的焦點弦三角形面積問題

考點7雙曲線的焦點弦三角形周長問題

考點8雙曲線的焦點弦三角形面積問題

考點9拋物線的焦點弦三角形面積問題

知識講解

1.橢圓焦點三角形主要結(jié)論

在/PF1F2中,i己片產(chǎn)2=6,

橢圓定義可知:

(1).\PF1\+\PF2\=2a,\FlF2\=2c.

(2).焦點三角形的周長為L=2a+2c.

2人2

⑶\PF,IIPF2|

2

(4).焦點三角形的而積為：S=||PF1||PF2|sin9=btan1.

2

2.雙曲線焦點三角形主要結(jié)論

如圖，F(xiàn)i、F2是雙曲線的焦點，設尸為雙曲線上任意一點,

記ZF1PF2=6,則△2％/2的面積5=藤

3.橢圓、雙曲線焦點三角形離心率

t己NPF1F2=a/PF2%=B/F1PF2=9

則橢圓的離心率為：

2cIF1F2Isin0

e=—=------------------------

2a\PFr\+\PF2\sina+sin3

雙曲線的離心率為:

2cF1F2Isin。

2a+|PF2||sintz—sin/?|

4.橢圓焦點弦三角形周長

(1)%,尸2為橢圓C：《+/=l(a>b>0)的左、右焦點，過％的直線交橢圓于A,B兩點，貝!]AABF2

的周長為4a.

22

(2)F1(F2為橢圓。橐+方=l(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A,B兩點，貝ILAB%

的周長為4a.

5.雙曲線焦點弦三角形周長

如圖1,F1,F2為雙曲線C?！?Ka>O,b>0)的左、右焦點，過％的直線交雙曲線同支于A,B兩

點，且\AB\=m，貝I]AABF2的周長為4a+2m.

6.橢圓焦點弦三角形面積公式

U)%、F2為橢圓/=l(a>力>。)的左、右焦點，過F2傾斜角為3的直線I與橢圓C交

于力、8兩點，則焦點弦三角形的面積：

3

c_2cpsin6其中，p=9

j2cos2。'

(2)Fi、F2為橢圓的左、右焦點，過尸2的直線I與橢圓C交于A、B兩點，且\AB\=m,則焦點

弦三角形SAB的面積：

SAF1AB=by/(2a-m)m

7.雙曲線焦點弦三角形面積公式

(1)設直線I過焦點尸2且交雙曲線捻一，=1(60,6>0)于4B兩點，直線I傾斜角為3,雙

曲線的半通徑為p=-,則雙曲線同支焦點弦三角形的面積

a

2cpsin。

S-14B=_e2cos2e

(2)Fi、F2為雙曲線C?！?，=l(a>0,b>0)的左、右焦點，過F2的直線I與雙曲線C右支交

于4、B兩點，且\AB\=m,則焦點弦三角形的面積：

s△產(chǎn)送8=by/(2a+m)m

(3)%、F2為雙曲線C?！?l(a>0,b>0)的左、右焦點，過F2的直線I與雙曲線C右支、

左支分別交于4、B兩點，且\AB\,則焦點弦三角形的面積：

Sg4B=by/(m-2a)m

8.拋物線焦點弦三角形面積公式

設直線I過焦點F且與拋物線y12=2PMp>0)交于4B兩點，直線I傾斜角為6,則焦點弦三角

形△OAB的面積為

p2

S皿B=端

考點一、橢圓的焦點三角形周長問題

中典例引領

1.(23-24高三?階段練習)已知片，￡是橢圓C：.+「=1的兩個焦點，若點P是橢圓C上的一個動點，

則AS月的周長是()

A.4+2百B.4+2百C.8D.10

【答案】A

【解析】根據(jù)橢圓的定義可求.

4

【詳解】由橢圓c：~+/=1知，

4

a=l,6=1,c=J/一方=^/3，

所以出閭=2。，

由橢圓的定義知,|尸團+|尸工|=2?=4,

則例的周長為：|尸耳|+|尸閶+國園=4+2百.

故選：A.

2.（2023?廣西南寧?模擬預測）已知橢圓￡+/=1（。>1）的左，右焦點分別為片，F(xiàn)],過點片的動直線

a

/交橢圓于A,B兩點.若工的周長為8,貝！|。=（）

A.4B.272C.2D.72

【答案】C

【分析】由橢圓的定義得4a=8即得解.

【詳解】根據(jù)橢圓的定義，△ZB工的周長為⑷個+|/8|+|3片|+|瓦切

—2cl+2cl—4?！?,..a=2

故選：c

【點睛】本題主要考查橢圓的定義，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.

22

3.（2022?河北秦皇島?二模）橢圓。:上二+匕=1的左、右焦點分別為《，網(wǎng),P為橢圓。上一點，若Jg

m+2m

的周長為6+2收，則橢圓C的離心率為（）

A./B.與C.立D.立

6336

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓方程可得c=及，再結(jié)合三角形周長，得。=3,進而可得離心率.

【詳解】因為<?2=〃7+2—加=2,所以c=J^.

因為A郎丹的周長為6+2啦，所以2a+2c=6+2夜,;.2a=6,所以。=3,

所以橢圓。的離心率為變，

3

故選：B.

22

4.（2023?陜西西安?一模）己知橢圓。:*+彳=1（°>6>0）的左、右焦點分別為G,此，M為C上一點，若

ab

裕的中點為（0,D,且△町匕的周長為8+4后，則C的標準方程為（）

22x2y2.

AA.——%+—y=l1Bn.—+^-=l

16884

22

c"D.土+匕=l

3216

5

【答案】A

【分析】根據(jù)△町居的周長可得“+c=4+2后，由班的中點坐標求得M坐標，代入橢圓方程可得6關(guān)

系式，解方程可得。力的值，即可求得答案

【詳解】因為△肛耳的周長為8+4貶，所以2a+2c=8+40，貝1Ja+c=4+2VI，

又耳（-c,O）,M4的中點為（0,1）,所以M的坐標為M（c,2）,

故二+言=1,貝！1^-=2,

a"b-a

結(jié)合。2=*+。2,a+c=4+2^2,解得Q=4,Z>=c=2V2，

22

所以橢圓C的標準方程為工+匕=1,

168

故選：A

即時檢測

■____________

22

1.（22-23高三下?河南?階段練習）已知耳匕分別為橢圓C:*+匕=1（°>26）的兩個焦點，且C的離心率

a12

為;，尸為橢圓C上的一點，則的周長為（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】C

【分析】根據(jù)離心率求解。=4,即可由焦點三角形求解周長.

【詳解】因為C的離心率為:，且a>2^/j,所以e2=匕*=L解得a=4,則c=7^=Ii=2，所以△P片工

2a4

的周長為2a+2c=12.

故選：C

2

2.（23-24高二上?遼寧大連?期中）己知p是橢圓二+%=l（a>b>0）上一點，練工分別是橢圓的左、右焦點

a

、若人尸片片的周長為6,且橢圓上的點到橢圓焦點的最小距離為1,則橢圓的離心率為（）

1173

A.-B.-C.—D.—

2323

【答案】A

6

【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列式求。，。，進而可得離心率.

[2〃+2c=6\a=2

【詳解】由題意可知：,，解得,，

[a-c=l[c=l

所以橢圓的離心率e=￡c=1

a2

故選：A.

3.（2024?上海三模）已知橢圓。的焦點片、片都在x軸上，P為橢圓C上一點，AP片片的周長為6,且忸川,

出國，戶聞成等差數(shù)列，則橢圓C的標準方程為.

【答案】—+^=1

43

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差中項的意義及橢圓的定義列式求出應。即可得解.

附|+|%|+|阜止6

【詳解】令橢圓長半軸長為“，半焦距為。，依題意,

附|+|尸居|=2內(nèi)周

2a+2c=6,------「

即。_4，解得。=2,c=l,則橢圓短半軸長

所以橢圓。的標準方程為江+廿=1.

43

22

故答案為：二+匕=1

43

考點二、橢圓的焦點三角形面積問題

甲典例引領

2

1.（2023?全國?高考真題）設片，鳥為橢圓C:羨+^=1的兩個焦點，點尸在C上，若兩?朗=0,則

I吶1尸用=（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△尸片外的面積，即可解出；

方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出.

【詳解】方法一：因為所?配=0,所以/%用=90。，

從而S.眸=〃tan450=l=gx|/訃忸閭，所以|尸周尸引=2.

故選：B.

方法二：

因為西?配=0,所以/修用=90。，由橢圓方程可知，c2=5-l=4nc=2,

7

所以歸耳「+|尸閭2=14閶2=4?=16,又|尸身|+|尸閶=20=2括，平方得：

|尸耳『+廬周2+2「用陶卜16+2冏|陀卜20,所以|助卜|尸引=2.

故選：B.

22_

2.（23-24高二上?湖北?期末）已知橢圓三+匕=1（.>行）的兩焦點分別為片、F2.若橢圓上有一點P,

a22

使ZFtPF2=120°,則APg的面積為（）

A."B.逑C.V3D.273

23

【答案】D

【分析】利用點尸在橢圓上得出定義表達式，運用余弦定理，聯(lián)立求得加〃的值，再運用三角形面積公式即

得.

【詳解】

如圖，不妨設|尸片|=加,|尸工|=〃，由點P在橢圓上可得：機+〃=2a①，

2

由余弦定理可得：〃/+〃-2〃〃/cosl20°=4c2,化簡得：蘇+得+冽〃=4/②,

由①式兩邊平方再減去②式，得：m?=4a2-4c2=4Z>2=8,

于是4尸片外的面積為工加〃sinl200=-x8x—=2^.

222

故選：D.

3.（2023?廣東梅州?三模）已知橢圓c：J+?=l的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,過點用的直線/與橢圓C的

一個交點為A,若|/周=4,則鳥的面積為（）

A.2gB.V13C.4D.V15

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出M月I，再求出等腰三角形△/耳乃的面積作答.

【詳解】橢圓C：J+g=l中，|百幣=2房？=4,由|/￡|=4及橢圓定義得K1=2,

8

因此△/片耳為等腰三角形，底邊上的高〃=耳片=卡己=JT,

所以AAg的面積為SAAF]FI=1|^|.A=V15.

故選：D

4.(2023?全國?高考真題)設。為坐標原點，與，耳為橢圓C：《+匕=1的兩個焦點，點尸在C上，

96

3

cosZF{PF2=-f貝小。月|=()

13V3014J35

5252

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△亞丹的面積，即可得到點P的坐標，從而得出|OP|的值;

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出忸用|咋|,|刊珠+忸居『，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即

可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|尸用2+盧￡「，即可根據(jù)中線定理求出.

【詳解】方法一：設/為?6=2。,0＜。＜],所以S—=及tan"產(chǎn)=-tan6,

“cos20-sin201-tan203々刀-曰,1

fflcosZF.PF=cos26>=-----------=------=-,解得：tan=-,

12?cos26>+sin201+tan2652

由橢圓方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3,

所以，8噂=；X閨聞X聞=；X26XM=6X；,解得：片=3,

即$=9x(l_J|,因此由卜^^二舊二厚.

故選：B.

方法二：因為戶耳|+|尸閭=2〃=6①，忸片『+「用2_2戶用忸閭4P工=山用2,

即+1叫2-"IM|%=12②，聯(lián)立①②，

解得：附歸叫=:匹「+|尸用2=21,

9

即園=；附+%T可+2所西J可可21+2.沾門.

故選：B.

方法三：因為戶用+|尸閶=2。=6①,附『+|尸閶2_2陷舊周?os/耳尸￡=|甲咪,

即史周川尸耳『-glWl附202②，聯(lián)立①②，解得：戶不『+|尸與「=21,

由中線定理可知，（2|。尸|『+|用珠=2（|尸團?+|尸馬2）=42,易知山閶=26，解得：10H=粵.

故選:B.

【點睛】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常

規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難

度不是很大.

即時壁L

1.（23-24高三下?湖北武漢?階段練習）設橢圓二+上=1的左右焦點為號巴，橢圓上點P滿足

2512一

|產(chǎn)聞:|尸周=2:3,貝屋助心的面積為.

【答案】12

【分析】結(jié)合橢圓定理、勾股定理的逆定理與三角形面積公式計算即可得.

【詳解】由橢圓定義可得|尸制+|尸閭=2°=10,

\pp\2

則有正域訶=與，即附1=4,熙|=6，

1V—3

又出用=2c=2）25-12=2厄,

由42+62=52=（2疝『，故/￡尸瑪=90。，

故邑沖內(nèi)=；X4X6=12-

故答案為：12.

2.（23-24高三上?云南?階段練習）已知點尸為橢圓C:?+y2=l上的一個動點，點耳,鳥分別為橢圓C的左、

右焦點，當△耳鳥尸的面積為1時，乙限犯=（）

2兀717171

A.——B.1C.一D.-

3642

【答案】D

10

2

【分析】結(jié)合橢圓的定義根據(jù)余弦定理得|尸用尸片|=亡—正，代入三角形面積公式并化簡得

1十COSX-T11I1

sin/片尸旦-cos4尸鳥=1,根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解角即可.

【詳解】由已知。=2,6=1,所以c=百，

由余弦定理可得：陽閭?=|尸片/+忸閶2_2儼制尸典cosNG%=(P月$理]尸聞尸跟l+cos/月尸為

所以12=16-2|兩歸周(1+cos/E%),整理得歸可歸圖(l+cos4%)=2,即|期歸耳|=之———,

1?COSN_?±r1

112

又△耳耳尸的面積為1,所以不|尸片口尸用sinNFFB=--—-------sinZFtPF2=1,

乙乙j.I/「?j.r2

所以sin/片尸鳥-cos/甲岑=1,所以(sin/4Pg-cos/月尸入『=1,即

22

sinNF\PF]+cosZFtPF2-2sin/片尸耳cosZFtPF2=1,

JT

所以sin/片尸geos/公尸與=0,又0</片”<兀，所以cos/片尸乙=0,所以/片尸￡二萬.

故選：D.

22

3.(23-24高三上?陜西西安?階段練習)設與，耳是橢圓C:土+匕=1的兩個焦點，點P是C上的一點，

618

且cos/FFB=1,則APRF]的面積為()

A.3B.372C.9D.972

【答案】B

【分析】由題設可得sinN￡”=當，應用余弦定理、橢圓定義求得|咫||「工|=9,最后應用三角形面積公

式求面積.

【詳解】由題設，ZF]P^e(0,7i),可得sin/年當=迪，

cos4PF=I咫F+I尸工FT「工『一(|-印+|尸工1)2-山工『1=1

122|理||%|2|「耳||帆|3'

124

由尸坐巴|=，則=「即工|=，

|M|+|F=2a=60,2,=40rr|PF"|P9

Irr\II2I3

所以A/7笆的面積S=目理||尸ElsinZF；尸居=30.

11

考點三、雙曲線的焦點三角形面積問題

典例引領

22

1.（2024?湖北?模擬預測）設斗匕為雙曲線上-匕=1的兩個焦點，點P是雙曲線上的一點，且N甲岑=90。，

63

則AFJB的面積為.

【答案】3

【分析】設戶用=刈尸閶=y（x>y）,利用雙曲線定義，可得x-y=2。又由勾股定理得X2+V=（2C）2,聯(lián)立

求得初，即得三角形的面積.

^\PFl\=x,\PF2\=y（x>y）,由定義x-y=2a=2?,

?-?ZF'PF?=90°=>/+/=（2c）2=36,

2xy=f+/一（%一田2=12n盯=6,

.?.西時的面積為:孫=3.

故答案為：3

22

2.（22-23高二下?四川德陽,階段練習）已知焦點在x軸上的雙曲線三-的左右焦點別為片和鳥,

mm—1

其右支上存在一點尸滿足尸耳，尸鳥，且△用工的面積為3,則該雙曲線的離心率為.

【答案】叵

2

【分析】根據(jù)雙曲線焦點三角形面積公式即可求出力=4,即可求出離心率.

22

弋_bm-1_2_4

【詳解】解：由雙曲線中焦點三角形面積"盟&=一療=嬴至=4,

tan--

所以。2=4，C2=4+4-1=7,

12

貝l]e，=立，

a2

故答案為：亙.

2

22

3.（2023?四川涼山?一模）已知點尸在橢圓=+二=1（。>6>0）上，片，￡是橢圓的左、右焦點，若聞?運=3,

ab

且的面積為2,則/=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】畫出圖形，結(jié)合解三角形知識、數(shù)量積的定義、橢圓的定義以及平方關(guān)系即可求解.

【詳解】|可|+|麗;卜勿

如圖所示：

設有即=6,由題意西?而=|西'萬司cosP=3,咫乃=3西,麗卜in6=2,

cirif）4

兩式相比得tane=T2?=+,

cos。3

又。￡（0,兀），且cos?O+sin?6=1,

所以cos6=（,sine=1■，防.陷=5,

而由余弦定理有（24=閨尸j=忸呼+|尸尸J-2|西川四gse=忸用2+忸a「_6，即

（2c『+6=|明，質(zhì)廣，

且由橢圓定義有（24=（|尸匐+|尸工『=|Pa「+|p三「+2|西川麗卜（2cp+6+10,

所以4b2=4/_4/=16,解得〃=4.

故選：C.

即四里L

2

1.（22-23高二上?北京朝陽?期末）在平面直角坐標系x/中，設片，匕是雙曲線C:/-匕=1的兩個焦點,

2

點M在C上，且麗?麗=0,則△片與河的面積為（）

A.V3B.2C.V5D.4

【答案】B

13

【分析】利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為點M在C上，耳,耳是雙曲線的兩個焦點,

由雙曲線的對稱性不妨設孫＞MF2,

貝|]|九/|一|九碼=2。=2①，外工=2c=2ja：+/=26,

因為何?&E=0,所以岫_L〃&,

由勾股定理得|叫『+|四「=|甲珠=12②，

①②聯(lián)立可得|阿|=石+1,\MF2\=45-1,

所以$地”=3回||址州=2，

故選：B

2

2.（23-24高三上?重慶沙坪壩?期中）設雙曲線C:/-匕=1的左、右焦點分別為耳￡,點M在C的右支上,

2

且/班外=30。，則△兒用工的面積為（）

A.2B.V6C.2gD.4+26

【答案】C

【分析】由雙曲線定義和余弦定理求出|九里|=2,|九%|=4,利用三角形面積公式求出答案.

【詳解】由題意得a=l,c=0Zi=VL

由雙曲線定義可得，|出|-|昨|=2。=2,山用=2c=26,

由余弦定理得cos/“尸M咽―=（胸H同*孫㈤明）+12

由余次理得cos/%%2MM閭4GMi

2（跖|+|阻+12=6

即解得|摩|=2|班卜6,

46Ml-2

又|兒陰卜陽周=2,解得|九里|=2,|町|=4,

故邑西巴=；|孫卜閨￡卜in/孫工=；x4x26X；=26.

14

yi

故選：c

2

3.（2022?四川成都?三模）設片，耳是雙曲線C:/-（=1的左，右焦點，點尸在雙曲線C的右支上，當|尸葉=6

時，△尸耳巴面積為（）.

A.4GB.377C.^11D.6不

2

【答案】B

【分析】利用雙曲線的定義可得|尸石|=4,乂山&|=2c=4,進而即得.

2

【詳解】???雙曲線C：--匕=1,

3

：.a=\,b=&=2,又點P在雙曲線C的右支上，|尸耳|=6,

所以忸用T尸&=%，6-|*=2,即熙|=4,

又陽用=2=4,

△尸耳巴面積為gx6x1_1]=3幣.

故選：B.

考點四、橢圓、雙曲線的焦點三角形離心率問題

中典例引領

1.（全國?高考真題）已知耳，鳥是橢圓C的兩個焦點，p是C上的一點，若PF[LPB，且/尸耳￡=60。,

則C的離心率為

A.1一2B.2-V3C.D.6-1

22

【答案】D

【詳解】分析：設止&1=用，則根據(jù)平面幾何知識可求忸心|,伊胤，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.

詳解：在鉆尸耳中，/F'PFz=90°,NPFE=60°

設|P7^|=m,則2c=|尸再l=2"UPg1=6?，

又由橢圓定義可知2a=|PFJ+|PF/=（6+1）"C

15

2c2m

則離心率e4=A/3-1,

2a~(V3+l)m

故選D.

點睛：橢圓定義的應用主要有兩個方面：，是判斷平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義

求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；"焦點三角形"是橢圓問題中的?？贾R點,

在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.

fv2

2.（安徽?高考真題）已知耳、巴為橢圓二+2=1（。>6>0）的焦點，M為橢圓上一點，9垂直于x軸,

ab

且工=60。，則橢圓的離心率為（

R逝C,也

AD.-------D.—

-I232

【答案】C

【分析】在直角A"片中，由tan/^M工得到a,6,c的等量關(guān)系，結(jié)合/=/+c?計算即可得到離心率.

【詳解】由已知工=60。，得/必7^=30。，貝Utan/上里片=

3

又在橢圓中通徑的長度為|M耳kJ,陽￡|=2c

b2

蚊tan/及名片~^7工叵

2c3

22

即幺cac

lac2c2a2e23

解得e="

3

故選：C

3.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知耳，鳥是雙曲線。的兩個焦點,P為C上一點，且NF%=60。,|尸娟=3\PF2\,

則C的離心率為（)

A療RV13

A?-------D.---c.V7D.V13

22

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出|P園,「￡|,結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因為歸同=3|尸周，由雙曲線的定義可得131Tp用=2次|=",

所以儼閶=a,|尸周=3°；

因為NF\PFz=60。,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2x3a-a-cos60°，

_c~_

整理可得4c2=7/,所以e?即eV7

a242

故選：A

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【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立a，c間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

即叫柳L

L（全國考真題）已知B是雙曲線瓦=1的左，右焦點，點M在￡上，與x軸垂直,

sinZA^7?=|，則￡的離心率為

廣3

A-V2B.-

C.V3D.2

【答案】A

【詳解】試題分析：由已知可得］廬_［必|=:1=主＞一旦=%=0=方=?=￡=J5，故選A.

'aaa

考點：工、雙曲線及其方程；2、雙曲線的離心率.

【方法點晴】本題考查雙曲線及其方程、雙曲線的離心率.，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,

考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.由已知可得

-11萬|=2。=竺一藝＞=21=4=方=。=￡=，5,利用雙曲線的定義和雙曲線的通徑公式，

'aaa

可以降低計算量，提高解題速度.

2.（福建?高考真題）設圓錐曲線r的兩個焦點分別為Fi,F2,若曲線r上存在點P滿足|PFI|：|的：|PF2|=4：

3：2,則曲線r的離心率等于

A.B.2c.共D.

【答案】A

【詳解】試題分析：根據(jù)題意可設出|PFx|,IF1F2I和|PF2|,然后分曲線為橢圓和雙曲線兩種情況，分別利

用定義表示出a和c,則離心率可得.

解：依題意設|PFi|=4t,|FiF2|=3t,|PF2|=2t,

若曲線為橢圓則2a=|PFi|+|PFz|=6t,

貝！Ie=2",

a2

若曲線為雙曲線則，2a=4t-2t=2t,a=t,

.,.e=-

a2

故選A

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征.關(guān)鍵是利用圓錐曲線的定義來解決.

17

3.（福建?高考真題）設圓錐曲線了的兩個焦點分別為耳若曲線了上存在點P滿足

閥|:閨閶:|尸閭=4:3:2,則曲線？的離心率等于

A.3或TB.［或2C.3或2D.［或^

【答案】A

【分析】設忸用=4"忸&=3/，歸閭=2/,討論兩種情況，分別利用橢圓與雙曲線的定義求出。的值，再利

用離心率公式可得結(jié)果.

【詳解】因為忸制：帆聞：忸聞=4:3:2,

所以可設忸用=4/,|耳馬|=3/,|PF^=2t,

若曲線為橢圓則2a=忸用+|P閭=8,c=3,貝lje=￡=:；

112a2

3c3

若曲線為雙曲線則，2a=4t-2t=2t,a=t,c=—t,e=—=—,故選A.

2a2

【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率以及雙曲線的定義及離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐

曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出。，。，從而求出e；②構(gòu)造巴。

的齊次式，求出勺③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.

4.（湖北?高考真題）已知片，與是橢圓和雙曲線的公共焦點，尸是他們的一個公共點，且尸則橢

圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）

A.巫B.空C.3D.2

33

【答案】A

【詳解】試題分析：設橢圓的長半軸為。，雙曲線的實半軸為%（0>%）,半焦距為c,

由橢圓和雙曲線的定義可知，

設戶耳|=不|尸引=々,閨閭=2c,,橢圓和雙曲線的離心率分別為與%

由余弦定理可得帶=。加。）3政若‘①

3尸尸1

在橢圓中，①化簡為即4c2=4/一3和，即；整=/-1，②

在雙曲線中，①化簡為即4c2=4/+4勺即爰=一!+1，（^

13

聯(lián)立②③得，萬+萬=4,

，e2

%=△時取等號，故選A

18

考點：橢圓，雙曲線的簡單性質(zhì)，余弦定理

考點五、橢圓的焦點弦三角形周長問題

*典例引領

1.（2022?重慶沙坪壩?模擬預測）已知用E分別為橢圓°：H+片=1的左、右焦點，直線x-3y+l=0與橢

43

圓交于P,。兩點，則AP。耳的周長為.

【答案】8

【分析】首先得到橢圓的焦點坐標，即可判斷直線過左焦點片，再根據(jù)橢圓的定義計算可得；

【詳解】解：橢圓c：［+9=i,所以0=彳”=1，即片（T，O）、巴（I，。），

直線x—3y+l=0過左焦點耳（-1,0）,所以|即|+|「周=4=4,|04|+|0K|=2a=4,|尸°|=|期|+|0周,

所以C.期=|P0|+|Q即+歸閶=|尸圖+|Q周+|Q閶+戶閶=4=8；

故答案為：8

2.（2024?河北?二模）過橢圓C：《+匕=1的中心作直線/交橢圓于己。兩點，尸是C的一個焦點，則△PF0

169

周長的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】B

【分析】利用橢圓的定義和對稱性，轉(zhuǎn)化△尸尸。的周長，即可求解.

【詳解】設C的另一個焦點為P,根據(jù)橢圓的對稱性知|尸尸|=|"1，

所以APFQ的周長為|尸尸|+|加|+\PQ\=\QF'\+\QF\+\PQ\=8+\PQ\,

當線段尸。為橢圓短軸時，IPQI有最小值6,所以△尸尸。的周長的最小值為14.

故選：B

22

3.（22-23高二上?山東德州?期中）已知橢圓C：3+占=1（。>6>0）,橢圓。的一頂點為/,兩個焦點為與，

ab

F2,心的面積為百，焦距為2,過耳，且垂直于/耳的直線與橢圓C交于D,￡兩點，貝IJVNDE的周

長是（）

A.4VIB.8C.2MD.16

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【答案】B

【分析】先根據(jù)A/K工的面積為百，焦距為2,求得橢圓方程為《+亡=1,然后根據(jù)已知條件及等邊三