浙教版八年級數學專項復習：等腰三角形的性質和判定（解析版）

第09講等腰三角形的性質和判定

看知識點梳理

一、等腰三角形的定義

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角

叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

如圖所示，在AABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,NA是頂角，/B、

NC是底角.

要點：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或

直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

]QQO_NA

ZA=180°-2ZB,NB=/C=---------.

2

二、等腰三角形的性質

1.等腰三角形的性質

性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角“）.

性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）.

2.等腰三角形的性質的作用

性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據.

性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等.

3.等腰三角形是軸對稱圖形

等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對

稱軸.

三、等腰三角形的判定

如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.

要點：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的

相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.

四?尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高

已知線段a,h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC=a,BC邊上的高線為h.

作法：1.作線段BC=a.

2.作線段BC的垂直平分線1,交BC與點D.

3.在直線1上截取DA=h,連接AB,AC.AABC就是所求作的等腰三角形.

D.60°

【答案】A

【分析】根據等腰三角形的性質即可得到結論.

【解析】解：，：AB=AC,ZB=70°,

:./C=NB=70°,

，ZA=180o-70°-70o=40°,

故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.

2.如圖，在AABC中，AB=AD=DC,ZC=35°,則的度數為（

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】首先利用等腰三角形的性質求得/D4C的度數，然后求得的度數，最后利用等腰三角形的

性質求得的度數.

【解析】M：'：AD=DC,

：.NDAC=NC,

'：ZC=35°,

：.ND4c=35°,

ZBDA=ZC+ZDAC=70°,

9：AB=AD.

：.ZBDA=ZB=70°.

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形兩底角相等.

Z3.已知：ABC是等腰三角形，=AC,AO是底邊8C上的高，下面結論不一定成立的是（）

A.BD=CDB.BD=ADC.ADnZBACD.ZB=ZC

【答案】B

【分析】根據等腰三角形的性質即可確定答案.

【解析】解：由等腰三角形三線合一的性質可得：BD=CD,AD平分，BAC,由等邊對等角的性質可得

ZB=ZC,由等腰三角形的性質不一定有加=A。，除非一ABC是等腰直角三角形.

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質是關鍵.

、1例4.如圖，在一ABC中，AB^AC,AD1BC,則下列結論中錯誤的是（）.

A.ZBAC=ZCB.BD=CDC.ZBAD=ZCADD.ZB=ZC

【答案】A

【分析】根據等腰三角形的性質判斷即可.

【解析】解：：45=AC,AD1BC,

由等腰三角形三線合一可得：BD=CD,ABAD=ACAD,

由等邊對等角可得：ZB=ZC,

而NBAC和NC不一定相等,

故A錯誤，符合題意，B、C、D正確，不符合題意,

故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關鍵.

例5-下列能斷定AABC為等腰三角形的是（）

A.NA=30°,NB=60°B.ZA+ZB=ZC

C.ZA=55°,ZB=70°D.ZA：ZB=1：2

【答案】C

【分析】根據三角形的內角和進行判斷即可.

【解析】解：A、ZC=180o-30°-60o=90°,沒有相等的角，則不是等腰三角形，選項錯誤;

B、VZC=180°-ZA-ZB,ZA+ZB=ZC,

.*.ZC=90°,

.??△ABC為直角三角形，選項錯誤；

C、：NA=55。，ZB=70°,

；./C=55。，

；./A=NC

??.△ABC為等腰三角形，選項正確；

D、VZA：NB=1：2,

ZA,/B的度數不能確定，選項錯誤；

故選：C.

一【、點睛一】本題考查等腰三角形的判定定理及三角形內角和定理，理解掌握定理是關鍵.

U6.如圖，在△ABC中，ZA=36°,AB=AC,30平分NA5C,則圖中等腰三角形的個數是（）

A

A

AV

........AC

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【分析】利用等腰三角形的定義得到△ABC為等腰三角形，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和計算

出/A8C=/C=72。，接著根據角平分線的定義得到/A8O=NC8O=36。，然后判斷△48。和4BDC為等

腰三角形.

【解析】解：：42=AC,

.?.△ABC為等腰三角形，

AZABC=ZC=^(180°-ZA)(180°-36°)=72°,

：8。平分/ABC,

ZABZ)=ZCBZ)=yx72°=36°,

ZABD=ZA,

/.△ABD為等腰三角形，

/BDC=ZA+ZABD=72°,

:./BDC=/C,

.?.△BOC為等腰三角形.

故選：D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.也

考查了等腰三角形的性質.

、

U7.如圖，—ABC中，AB=AC,AD，BC于點。，DE工AB于點E,BFJ.AC于點、F,BF=8,

則DE的長為()

【答案】C

【分析】根據等腰三角形的性質可得從而得至US^c=25”》,從而得到尸=2xgAB.￡?E,

即可求解.

【解析】解：：AS=AC,AD，BC,

CD=BD,

S/\ABC=2sMBD，

VDE.LAB,BF1AC,

SA/iiBiC——2AC,B7F,ASHUxop2=—AB,DE,

：.-ACBF=2x-ABDE,

22

*.?BF=8,

：.DE=4.

故選：C

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.

.如圖，在一ABC中，AB=AC,點。是邊BC的中點，若—C=70。，則/RW的度數為

【答案】20。

【分析】先由等腰三角形的性質得到ZC=ZB=70°,再結合題意和三角形的內角和定理得到NBAD=20°.

【解析】/C=70。，

NC=/B=70。,

:。是邊BC的中點，

ADVBC,

-4)3=90°,

NBAD=90°-70°=20°,

故答案為20°.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質和三角形內角和，熟練掌握等腰三角形的性質和三角形內角和是解答

本題的關鍵.

?如圖，AABC中，AB=BC,。是BC邊上一點，點A在線段CO的垂直平分線上，連接AO,

若NB=50。,則4L4D=___________度.

【答案】15

【分析】根據=只要求出一ADC即可解決問題.

【解析】解：BA=BC,ZB=50°,

ZC=ZBAC=1(180°-50°)=65°,

?點A在線段CD的垂直平分線上，

：.AD=AC,

ZADC=ZC=65°,

ZADC=ZB+ZBAD,

65°=50°+ZBAD,

:.ZBAD=15°,

故答案為15.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識

解決問題，屬于中考?？碱}型.

<-

,例1°.如圖，△ABC中，AB=AC,AD=AE,BD=3cm,DE=4cm,貝UCD=cm.

A

BDEC

【答案】7

【分析】先證明△ABD四△ACE,從而證得3D=CE=3CM,進一步計算即可求解.

【解析】解：

：.ZB=ZC.

同理

：.180°-ZAZ)E=180°-ZAE￡),即ZADB=ZAEC,

在△A3。和△ACE中，

NADB=ZAEC

?.,\ZB=ZC

AB=AC

：.△A3。名△ACE(A4S),

:?BD=CE=3cm,

：.CD=DE+CE=4+3=7(cm),

故答案為：7.

【點睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質，關鍵是由已知證明△ABOgAACE.

、1例U.已知：如圖，在，ABC中，ZB=ZC.求證：ABC是等腰三角形.

BDC

【答案】見解析

【分析】如圖，作NBAC的角平分線A￡),證明△加噂△ACD(AAS),得到AB=AC,即可得證.

【解析】證明：如圖，作NBAC的角平分線AD,交8C于點。，貝U：Z1=Z2,

Z1=Z2

*/\ZB=ZC

AD=AD

：.△ABD絲△ACD(AAS),

AB=AC,

...ABC是等腰三角形.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定.通過添加輔助線，構造全等三角形，是解題的關鍵.

.如圖，在一ABC中，3D平分/ABC,CD平分NACB,過點。作EF〃臺C,與A3,AC分

別相交于點E,F,若AB=9,AC=7,求△AEF的周長.

【答案】16

【分析】根據角平分線的定義和平行線的性質可得和△CTO都是等腰三角形，從而可得

EB=ED,FD=FC,進而可得C△.=AB+AC,進行計算即可解答.

【解析】解：：80平分ZABC,

：.ZABD=ZCBD,

'：EF//BC,

：.ZEDB=ZCBD,

：.ZABD=ZEDB,

：.EB=ED,

同理可得，FD=FC,

：.AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC,

VAB=9,AC=7,

AB+AC=16,

：.△AEF的周長為16.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，平行線的性質，熟記性質并準確識圖是解題的

關鍵.

.如圖，E為ABC的外角/C4D平分線上的一點，AE//BC,BF=AE.

BC

(1)求證：ABC是等腰三角形；

(2)若AF=4,求CE的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)4

【分析】(1)先根據平行線的性質可得ND場=NB,ZEAC=ZACB,再根據角平分線的定義可得

ZDAE=ZEAC,從而可得N3=NACB,然后根據等腰三角形的判定即可得證；

(2)先根據三角形全等的判定證出,b三C4E,再根據全等三角形的性質即可得.

【解析】(1)證明：：A￡7/2C,

;.ZDAE=ZB,ZEAC=ZACB,

E為MC的外角NC4D平分線上的一點，

:.ZDAE=ZEAC,

:.ZB=ZACB,

AB=AC,

.?.一ABC是等腰三角形.

(2)解：由(1)已得：ZDAE=ZB,ZDAE=ZEAC,

.?.ZB=NEAC,

AB=CA

在AABb和VC4E中，\ZB=ZEAC,

BF=AE

CAE(SAS),

:,AF=CE,

AF=4,

:.CE=4.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定與性質等知識點，熟練掌握等腰三角形的判定

是解題關鍵.

金躡蹤飄雄

一、單選題

1.如圖，一ABC中，AB=AC,ZB=80°,則—A的度數是()

B

A.80°B.70°C.20°D.50°

【答案】C

【分析】根據等邊對等角可得NB=NC,結合條件根據三角形內角和定理即可求解.

【解析】解：?.?AB=AC,

:.ZB=/C,

?「ZB=80。，

???ZC=80°，

VZA+ZB+ZC=180°,

：.ZA=20°.

故選：C.

【點睛】本題考查三角形內角和定理，等腰三角形的性質.解題的關鍵是掌握三角形的三個內角之和是180。.

2.如圖，在△ABC中，AB=AD=DCfZC=35°,則的度數為（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】首先利用等腰三角形的性質求得ND4c的度數，然后求得N5D4的度數，最后利用等腰三角形的

性質求得N5的度數.

【解析】解：??,AZXDC,

：.ZDAC=ZC,

VZC=35°,

：.ZDAC=35°,

：.ZBDA=ZC^-ZDAC=70°,

\'AB=AD,

：./BDA=NB=70°.

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形兩底角相等.

3.下列說法錯誤的是（）

A.等腰三角形兩腰上的高相等B.等腰三角形兩腰上的中線相等

C.等腰三角形兩底角的平分線相等D.等腰三角形高、中線和角平分線重合

【答案】D

【分析】根據等腰三角形的性質依次判斷.

【解析】解：A、等腰三角形兩腰上的高相等，故正確；

B、等腰三角形兩腰上的中線相等，故正確；

C、等腰三角形兩底角的平分線相等，故正確；

D、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線和頂角的角平分線重合，故錯誤；

故選：D.

【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，熟記等腰三角形的性質是解題的關鍵.

4.如圖，在ABC中，ZBAC=90,AB=AC,點。在8C上，且BD=54,則NC4D的度數為（）

A.30°B.25°C.22.5°D.21°

【答案】C

【分析】利用ABC是等腰直角三角形先求出再利用△3D4是等腰三角形求出最后利用直

角求出/C4D即可.

【解析】解：ZBAC=90°,AB=AC

...ZB=ZC=45°

BD=BA

:.ZBDA=ZBAD

ZBAD=|x（180°-45°）=67.5°

ACAD=90°-67.5°=22.5°

故選C.

【點睛】本題主要考查三角形的性質以及等腰三角形的性質，熟練掌握三角形內角和以及等腰三角形的性

質是解決本題的關鍵.

5.如圖，在NEC尸的邊CE上有兩點A、B,邊CP上有一點，其中且NECT=27。，貝尸

的度數為（）

A.54°B.91°C.81°D.101°

【答案】C

【分析】根據等腰三角形的性質以及三角形外角和內角的關系，逐步推出NADE的度數.

【解析】解：,.,2C=2D=D4，

：.ZC=ZBDC,ZABD=ZBAD,

'：ZABD=ZC+ZBDC,ZECF=27°,

ZADF=ZC+ZBAD=3ZECF=81°.

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩個底角相等，三角形外角和內角的運用.

6.等腰三角形的“三線合一”指的是（）

A.中線，高線，角平分線互相重合B.頂角的平分線，中線，高線三線互相重合

C.腰上的中線，腰上的高線，底角的平分線互相重合D.頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高線三

線互相重合

【答案】D

【分析】根據等腰三角形的性質直接選取答案即可求解.

【解析】解：三線合一，即在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線相互重合.

故選：D

【點睛】本題考查了直角三角形的性質，掌握“三線合一”是解題的關鍵.

7.如圖，在一ABC中，AB=AC,。是BC邊上的中點，ZB=54°,則ND4C等于（）

A

A.36°B.45°C.54°D.72°

【答案】A

【分析】根據AB=AC,。是BC邊上的中點，推出AD13C,即可求出一D4C.

【解析】：在中，已知AB=AC,。是8C邊上的中點，

AD1BC,

：.ZADC=90°,

,?ZB=ZC=54°,

ZDAC=36°,

故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形底邊的“三線和一”是解題的關鍵.

8.如圖，在，ABC中，NB=NC,平分ZBAC,AB=5,BC*,則()

【答案】A

【分析】利用等腰三角形三線合一解題即可.

【解析】解：：4=/C,

AB=AC,

.?一ABC是等腰三角形，

：AD平分/BAC,

AD是ABC的中線，

BD=-BC=3；

2

故選A.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質.熟記等角對等邊判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形

三線合一的性質，是解題的關鍵.

9.如圖，在一?中，BD平分/A3c,NC=2NCDB,AB=12,CD=3,則，IBC的周長為（）

C

A.2B.24C.27D.3

【答案】C

【分析】根據題意在A5上截取=連接。石，由SAS可證△CBO也△￡BD,可得NCDB=/BDE,

NC=NDEB,可證/4/）石=/4￡0,可得=進而即可求解.

【解析】解：如圖，在A3上截取=連接DE,

平分/ABC,

JZABD=ZCBD,

在△CBZ)和△￡BD中，

CB=BE

</CBD=/DBE,

BD=BD

：.dCBD之AEBD(SAS),

:?/CDB=/BDE,NC=ZDEB,

:./CDE=2/CDB,

???ZC=2ZCDB,

：.NCDE=NDEB=NC,

JZADE=ZAED,

AD—AE,

ABC的周長=AD+AE+3E+BC+CD=AB+AB+CD=27,

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，注意掌握添加恰當輔助線構造全等三

角形是解題的關鍵.

10.如圖，已知Nl=/2,ZB=ZC,不正確的等式是（）

B.ZBAE=ZCADC.BE=DCD.BD=DE

【答案】D

【分析】根據等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解析】解：??.NB=NC,

AB^AC,故A選項正確，不符合題意；

在一ABE和ACD中，

ZB=ZC

-Zl=Z2,

AB=AC

.?一ABE名AACD(AAS),

:.BE=CD,ZBAE=Z.CAD,

BE=CD,

：.BE-DE=CD-DE,

：.BD=CE,

故B選項、C選項正確，D選項錯誤，

故選：D.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質，掌握等腰三角形的判定是解題的關鍵.

11.如圖，△ABC四△OEF,點E在AC上，B,F,C,。四點在同一條直線上.若4=4。。，/?；ィ?35。,

則下列結論正確的是（）

A.EF=EC,AB=FCB.EF#EC,AE=FC

C.EF=EC,AE^FCD.EFEC,AEFC

【答案】C

【分析】根據全等三角形的性質得到NACB=/OEE,NO=NA=40。，AC=DF,則EF=EC,由于

ZD^ZCED,則CE/CD,則AEHCF,由此即可得到答案.

【解析】解：：AASC^Z\DEF,

ZACB=ZDFE,NO=NA=40°,AC=DF,

：.EF=EC,

'：ZD=40°*NCED=35°,

CE手CD,

：.AE豐CF,

四個選項中只有C選項符合題意，

故選C.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性質是解題的關鍵.

12.如圖，在11ABe中，AB=AC,AD是BC邊的中線，DE上AB于點、E,1AC于點E下列結論:

①DE=DF;?BE=CF；③NBDE=NCDF；?ZBDE^ZDAF.其中正確的是（）

【答案】D

【分析】根據三線合一得到ZBAD=ZCAD,NB=NC,根據角平分線的性質得到DE=DF,

可判斷①；證明BDE^CDF,可得3E=CF,NBDE=NCDF,可判斷②③；再根據余角的性質，結合

ABAD=ACAD,可判斷④.

【解析】解：：AB=AC,AD是BC邊的中線，

AAD1BC,ABAD=ACAD,NB=NC,

VDEJ.AB,DF1AC,

:.DE=DF,故①正確，

在1和，CD尸中，

2B=NC

，ABED=NCFD,

BD=CD

：.ABDE^ACDF(AAS),

BE=CF,ZBDE=ZCDF,故②，③正確；

,?ZBDE+ZADE=90°,ZADE+ZDAE=90°,

：.NBDE=ZDAE,又NZME=NCW,

ZBDE=ACAD,故④正確；

.?.正確的有①②③④，

故選D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，熟記各性質是解題

的關鍵.

13.如圖，等腰，ABC中AB=AC,AD1BC,即垂直平分AB,交A3于點E,交BC于點、F,點G是線

段上的一動點，若4ABe的面積是6cmLBC=6cm,則△ADG的周長最小值是()

【答案】B

【分析】連接G3.利用三角形的面積公式求出AZ),由所垂直平分A3,推出GB=G4,推出

AG+GD^BG+GD,由BG+GDABD,推出G3+GD23,GB+G。的最小值為3,由此即可解決問題.

【解析】解：如圖，連接G8.

BD=DC=3,

,/SADBC=2-BCAD=6,

/.AD=2,

E尸垂直平分AB,

GB=GA,

：.AG+GD=BG+GD,

'：BG+GD>BD,

：.GB+GD>3,

.GB+G。的最小值為3,

一ADG的最小值為2+3=5,

故選：B.

【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，兩點間線段最短，

解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.

14.如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且/4。8=/。（2￡=90。，點人、D、E在同一條線上,

CM平分/DCE,連接BE,下列結論：①AD=CE；②CM〃:BE；?AE=BE+2CM；?SCOE=SBOE,

其中正確的有（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】由“SAS”可證ADC=.BEC,可得AD=BE,/ADC=/BEC,可判斷①；由等腰之間三角形的性

質可得NCDK=NCEE）=45。，CMLAE,結合全等三角形的性質可求得//回=/90。=/。磔，可判斷②;

結合線段的和差關系可判斷③；根據三角形的面積公式可判斷④；即可求解.

【解析】解：："CB和4DCE均為等腰直角三角形，

CA=CB,CD=CE,AACB=NDCE=90°,

ZACD=ZBCE,

在.ACD和BCE■中,

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

.?.ADC=..BEC(SAS),

：.AD=BE,ZADC=ZBEC,故①錯誤；

???△DC石為等腰直角三角形，CM平分NDCE,

：.ZCDE=ZCED=45°,CMLAE,

???AACB和ADCE均為等腰直角三角形,且ZACB=ZDCE=90°,

???ZCDE=ZCED=45°,

：.ZADC=ZBEC=135°,

JZAEB=Z900=ZCME,

:?CM〃BE,故②正確；

?「△OCE為等腰直角三角形，CM平濟NDCE,

：.CD=CE,CMIDE,

JDM=ME,

???ZDCE=90。,

JDM=ME=CM,

：.AE=AD+DE=BE+2CM,故③正確；

,**SCOE=5OE,CM,SBOE=—OE?BE,

???CM和郎不一定相等，

?*,SCOE不一定等于BSOE，故④錯誤；

故選：B

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，證明ADCm3EC是解本題的

關鍵.

二、填空題

15.如圖所示，在ABC中，NA=30。，NACB=80。，OE垂直平分AC交A8于￡,垂足為。，則N8CE=

C

D.

-----------E------------B

【答案】50。/50度

【分析】首先根據垂直平分線的性質得到//=良，然后根據等邊對等角得到NA=/4CE=30。，最后根

據角的和差計算求解即可.

【解析】：OE垂直平分AC交A3于E,ZA=30°

AE=CE

：.NA=NACE=30°

ZACB=80°

：.ZBCE=ZACB-ZACE=80°-30°=50°.

故答案為：50°.

【點睛】此題考查了垂直平分線的性質，等邊對等角性質，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

16.如圖，在AABC中，高A。、BE交于H點、,若BH=AC,求/ABC等于—度.

【答案】45

【分析】根據同角的余角相等求出再利用“角角邊”證明AACD和△即m全等，根據全等

三角形對應邊相等可得AD=8。，然后判斷出△ABO是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質解答即

可.

【解析】解：BE是△ABC的高，

ZCAD+ZC=ZHBD+ZC,

：.NCAD=/HBD,

在△AC￡）和△皮劃中，

ACAD=NHBD

<NADC=NBDH=90。,

BH=AC

：.AACD^ABHD(AAS),

：.AD=BD,

...AABD是等腰直角三角形，

ZABC=45°.

故答案為：45.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，等腰直角三角形的判定與性質，

熟記性質并求出三角形全等是解題的關鍵.

17.如圖，AABC中，AB=AC,/BAC=120。，AD是BC邊上的中線，且BD=BE,則/ADE是

度.

【答案】15

【分析】根據等腰三角形的性質得到/B=NC=30。，/ADB=90。，根據三角形內角和定理計算.

【解析】VAB=AC,ZBAC=120°,

.?./B=NC=30。，

：AB=AC,AD是BC邊上的中線，

.,.ZADB=90°,

VBD=BE,

；./BDE=75。，

；./ADE=15。，

故答案為15.

【點睛】此題主要考查等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，熟練掌握，即可解題.

18.如圖，在一ABC中，點。在邊3C上，AB=AD^CD.若440=40。，則NC的大小為___度.

【答案】35

【分析】在中利用等邊對等角的性質以及三角形內角和定理求出NADB的度數，然后利用NADB是

△ADC的一個外角即可求出答案.

【解析】VAB=AD,441)=40。，

/.ZB=ZADB=1(180°-40°)=70°,

NADB是AADC的一個外角，

ZADB=ZDAC+ZC,

,/AD=CD

：.ZC=ZDAC,

：.ZC=-x70°=35°.

2

故答案為：35.

【點睛】本題考查了等腰三角形的兩底角相等的性質，以及三角形內角和、外角的性質，熟練掌握這些性

質是解題的關鍵.

19.如圖，直角三角形ABC中，ZABC=90°,AB=U,BC=5,。是邊AC上一點，且BD=BC,過點。

作DE_L3￡>,交邊AB于點E,那么的周長是.

B

【分析】設NZMC=2a,根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求得NC=NBDC=90。-進而根

據題意得出NA=NADE,則/忘=。石，進而即可求解.

【解析】解：設NDBC=2a,

,:BD=BC

：.ZC=ZBDC=g(180?！狽DBC)=90。-a,

???ZA=90°-ZC=a

DEJ.DB

：.ZBDE=9Q0

：.ZADE=180o-90°-(90°-a)=a

JZA=ZADE

AE=DE

的周長是叨+DE+BE=5C+AE+E3=3C+旗=11+5=16,

故答案為：16.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質與判定是

解題的關鍵.

20.如圖，在_ABC中，ZCAB^65°,將ABC繞點A逆時針旋轉能與△AED重合，若CD〃AB,貝U

【分析】根據兩直線平行，內錯角相等可得NAC￡>=NC48,根據旋轉的性質可得AC=AD,然后利用等腰三

角形兩底角相等求NC4D.

【解析】I?：,：CD//AB,

：.ZACD=ZCAB=65°,

,/△ABC繞點A旋轉得到4AED,

：.AC=AD,

：.ZCDA=ZACD=65°,

：.ZCAD=180°-2ZACD=180°-2x65°=50°,

故答案為：50°.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵.

21.如圖，在工9。中，ED//BC,—ABC和—ACB的平分線分別交ED于點G、F,若BE=3,CD=4,

ED=5,則FG的長為_.

【答案】2

【分析】根據平行線的性質得到/EGB=ZGBC,ZDFC=NFCB，由角平分線的定義得到Z.GBC=ZGBE,

NFCB=NFCD,于是得到BE=EG,CD=DF,代入數據即可得到結論.

【解析】解：?.,EOaBC,

ZEGB=ZGBC,ZDFC=NFCB,

/ABC和/ACB的平分線分別交ED于點G、F,

ZGBC=ZGBE,NFCB=ZFCD,

:.ZEGB=NEBG,ZDCF=ZDFC,

：.BE=EG,CD=DF,

"：BE=3,CD=4,ED=5,

：.EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG,即3+4=5+FG,

FG=2,

故答案為2.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質、角平分線的定義，平行線的性質等知識，解題的關鍵是等腰

三角形的證明，屬于基礎題.

22.如圖，在△ABC中，ZBAC=BCA=44°,M為△ABC內一點；且/MCA=30。，ZMAC=16°,則/8WC

的度數為一.

【答案】150°

【分析】過B作BDLAC^-D,延長CM交BD于O,連接AO,求出N2AO/AMO,計算/A8O=NAMO=46。,

證明△ABOgZkAMO,得至I]O8=OM,求出的度數即可得到/BMC

【解析】解：過2作3OLAC于D,延長CM交BD于。，連接A。，

：.ZOAC=ZMCA=30°,ZBAO=44°-30°=14°,ZOAM=ZOAC-ZMAC=30°-16°=14°,

ZBAO=ZMAO,

VZBAC=BCA=44°,

ZABC=92°,AB=BC,

VBZ)±AC,

ZABD=-ZABC=46°,

2

ZAMO=ZMAC+ZACM=46°,

：.ZABO=ZAMO,

又：AO=AO,

AABO^AAMO,

：.OB=OM,

：.ZOBM=ZOMB=1[180°-2(14°+46°)]=30°,

：.ZBMC=180°-ZOMB=150°,

故答案為：150。

【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形內角和定理，等腰三角形的性質的應用，能綜合運

用定理進行推理和計算是解此題的關鍵，題目綜合性比較強，難度偏大.

三、解答題

23.己知：如圖，在11ABe中，點。在C4邊的延長線上，AE平分入MB,AE//BC.求證：ABC為等

腰三角形.

【答案】見解析

【分析】首先依據平行線的性質證明N2=4,Z1=ZC,然后結合角平分線的定義可證明4=NC,故

此可證明ABC為等腰三角形.

【解析】證明：???AE〃3C,

???N2=ZB,Z1=ZC

???A石平分ND45,

???N1=N2

:.ZB=AC

即-ABC為等腰三角形.

【點睛】本題主要考查的是等腰三角形的判定，熟練掌握平行線的性質及等腰三角形的判定定理是解題的

關鍵.

24.如圖，點￡分別在B4,AC的延長線上，且AB=AC,AD=AE.求證：DELBC.

【答案】見解析

【分析】過點A作于點M,由等腰三角形的性質得出NBAC=2NB4M,ND=N￡,由三角形外

角的性質得出NB4C=2NO,即可推出=最后根據平行線的判定和性質即可證明OEL5C.

【解析】證明：如圖，過點A作加3c于點

AB=AC,

:.NBAC=2NBAM,

AD=AE,

:.ZD=/E,

ZBAC=ND+NE=2ND,

/.NBAC=2ZBAM=2ND,

:.ZBAM=ZD,

:.DE/IAM,

AM±BC,

:.DELBC,

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質，平行線的判斷和性質，正確作出輔助線,

構建等腰三角形三線合一的性質是解題的關鍵.

25.如圖，AABC和AAOE中，AB=AC,AD=AE,點。在BC上，ZBAC=ZDAE.

(1)求證△A3。0ZkACE；

(2)當等于多少度時，AB//EC?證明你的結論.

【答案】(1)見解析

(2)60°,證明見解析

【分析】(1)根據證得再依據SAS即可證明三角形全等；

(2)根據全等三角形的性質及等腰三角形的性質證得再由平行線的性質即可求得

度數.

(1)

證明：VZBAC=ZDAE,

：.ABAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即ZBAD=ZCAE,

又AD^AE,

：.△AM妾△ACE；

(2)

解：入8=60。，證明如下：

'：AB=AC,NB=60。，

ZACB=ZB=60°,

'：△A2Z屋△ACE,

ZAC￡=ZB=60°,

.,.ZB+ZBC￡=180°,

J.AB//EC.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的判定，等腰三角形的性質，熟練掌握各性質及判

定定理是解題的關鍵.

26.如圖，在ABC中，AB=AC,ZBAC=40°,AD是BC邊上的高.線段AC的垂直平分線交于點E,

交AC于點R連接BE.

（D試問：線段AE與班的長相等嗎？請說明理由;

⑵求的度數.

【答案】（1）相等，理由見解析

⑵50°

【分析】（1）連接CE,根據中垂線的性質得到AE=CE,BE=CE,即可得到AE=BE；

（2）利用等邊對等角，求出/ABC的度數，三線合一，求出NBAE的度數，等邊對等角得到的度

數，ZEBD=ZABD-ZABE,即可得解.

【解析】（1）解：線段AE與BE的長相等，理由如下：

連接CE,

VAB^AC,AO是BC邊上的高,

BD=CD,

/.A￡＞為的垂直平分線，

?點E在AO上，

/.BE=CE,

又???線段AC的垂直平分線交AD于點E,交AC于點片

AE=CE,

：.AE=BE；

(2)VAB=AC,ZBAC=40°,

ZABC=-(180°-ABAC)=70°

,/AD是BC邊上的高,

AD平分/BAC,

/BAE=-ABAC=20°,

2

AE=BE,

：.ZABE=ZBAE=20°,

：.ZEBD=ZABD-ZABE=50°.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質，中垂線的性質.熟練掌握等邊對等角，三線合一，中垂線上的點到

線段兩端點的距離相等，是解題的關鍵.

27.如圖，在11ABe中，AB=AC,AD13C于點D

⑴若/8=37。，求/C4D的度數；

⑵若點E在邊AC上，EF〃鉆交AD的延長線于點尸.求證：AE=FE.

【答案】（1）53。

（2）見解析

【分析】（1）根據等腰三角形底角相等，再根據直角三角形的性質即可求得NC4O；

（2）根據兩直線平行內錯角相等，再根據AD是-84C的角平分線即可得到ND4c=ZF,從而證得

AE=FE.

【解析】（1）解：AB=AC,AD1BC,

:.ZB=ZC=3T,ZADC=90°,

ZGW=90°-ZC=53°；

（2）證明：EF//AB,

:.NBAF=NF,

AB=AC,AD1BC,

.:是—B4C的角平分線，

Z.BAF=ADAC,

:.ZDAC=AF,

:.AE=FE.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質、平行線的性質、直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握等腰三

角形、平行線、直角三角形的相關知識.

28.如圖，在二A5C中，AB=AC,點。在8C邊上，點E在AC邊上，連接AZ）,DE.已知N1=N2,AD=DE.

（1）求證：AABD咨4DCE；

（2）若比）=3,CD=5,求AE1的長.

【答案】（1）見解析；（2）2

【分析】（1）根據等邊對等角可得：ZB=NC,利用全等三角形的判定定理證明即可；

（2）根據全等三角形的性質可得AB=OC=5,CE=BD=3,由圖形中各邊的關系計算即可得出.

【解析】（1）證明：,：AB=AC,

：.ZB=ZC,

在，ABD和一。CE中，

Zl=Z2

■ZB=ZC,

AD=DE

：.ABD=DCE；

(2)解：ABD^DCE,

：.AB^DC=5,CE=BD=3,

AB=AC=5,

：.AE=AB-CE=5-3=2.

【點睛】題目主要考查全等三角形及等腰三角形的性質，理解題意，結合圖形，熟練運用各個性質是解題

關鍵.

29.如圖，ABC是等腰直角三角形，AC^BC,ZACB=90°,。是斜邊上AB上任一點，AELCD于E,

BFLCD交8的延長線于下，8，48于//點，交AE于G.

⑴求證：AH=BH-,

(2)請問AE與所、3F之間有怎樣的數量關系？并說明理由;

(3)求證：BD=CG.

【答案】(1)見解析

(2)AE=EF+BF,理由見解析

(3)見解析

【分析】(1)根據等腰三角形的三線合一即可得證;

(2)證明VACE1絲VCB戶即可得到答案；

(3)證明一ACGZ二即可得證BD=CG.

【解析】(1)證明：AC=BC,CHVAB,

:.AH=BH-,

(2)解：AE=EF+BF,

理由如下：

AELCD,BF±CD,

:.ZAEC=NCFB=90°,ZCAE+ZACE=90°,

ZACE+ZBCF=90°,

:.ZCAE=ZBCF,

在/XACE和VCBF中，

ZAEC=ZCFB

"ZCAE=ZBCF,

AC=BC

ACE^CBF（AAS）,

:.CE=BF,AE=CF,

：.AE=CF=CE+EF=BF+EF,

即AE^BF+EF；

（3）證明：.ABC是等腰直角三角形，CH±AB,

:2ACG=NCBD=45。,

在，ACG和△CBD中，

ZACG=ZCBD

<AC=BC,

ZCAG=ZBCD

AACG絲△CBD（ASA）,

:.BD-CG.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性

質，等腰三角形的性質，是解題的關鍵.

30.小明在完成一道幾何證明問題時，往往會思考看是否會有不同的證明方法.例如:在如圖1所示的△ABC

中，/AC3=90。，點。在AB上，且BD=BC,求證：/ABC=2/ACD他發(fā)現，除了方法1直接用

角度計算的方法外，還可以用下面兩種方法：

方法2：如圖2,作BELCD,垂足為點E.

方法3：如圖3,作CFLAB,垂足為點F.

根據閱讀材料，請你從三種方法中任選一種方法，證明并寫出其證明過程.

（圖1）（圖2）（圖3）

【答案】證明見解析

【分析】方法1,利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，即可得到NA3C=2NACZ).

方法2,作8ELC。，垂足為點E.利用等腰三角形的性質以及同角的余角相等，即可得出NA3C=2NACD

方法3,作BLAB,垂足為點尸.利用等腰三角形的性質以及三角形外角性質，即可得到NAC尸=2NAC，

再根據同角的余角相等，即可得到NABC=NAb,進而得出NA3c=2NACD

【解析】解：方法1：如圖1,???NAC3=90。，

JZBCD^900-ZACD,

又,；BC=BD,

：.ZBCD=ZBDC9

中，ZABC-1800-2ZBCZ)=180°-2(90°-ZACD)-2ZACZ),

???ZABC=2ZACD；

方法2：如圖2,作BE，。。，垂足為點區(qū)

ZACB=90°,

???ZACD+ZBCE=ZCBE+NBCE=90。,

JZACD=ZCBE,

又?；BC=BD,BELCD,

：.ZABC=2ZCBE,

：.ZABC=2ZACD；

方法3：如圖3,作“UAB,垂足為點足

VZACB=90°,NBFC=90。,

：.ZA+ZABC=ZBCF+ZABC=90°,

：.ZA=ZBCFf

?：BC=BD,

：.ZBCD=ZBDC,即NBCF+NOC/nNA+NACD,

：.ZDCF=ZACD,

：.ZACF=2ZACD,

又?:ZABC+ZBCF=ZACF+ZBCF=90°,

：.ZABC=ZACF,

：.ZABC=2ZACD.

DBBDB

（圖3）

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質以及三角形內角和定理的綜合運用，注意等腰三角形的兩個底

角相等是解答本題的關鍵.

31.如圖①，已知點。在線段上，在，ABC和VADE中，AD=DE,AB=BC,/EAD=ZAED=45°,

ZBAC=ZBCA=45°,且M為EC的中點.

圖②

⑴連接DM并延長交BC于N,寫出線段CN與AZ)的數量關系：

(2)寫出直線與DM的位置關系：_；

(3)將VADE繞點A逆時針旋轉，使點E在線段C4的延長線上(如圖②所示位置)，(2)中結論是否仍成

立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

【答案】(1)GV=AD

Q)BM_LDM

(3)成立，見解析

【分析】(1)由/Em=/ABC=90?？傻肈E〃3C,再根據平行線的性質，推出=得到

EMD^.CMN(ASA),證出例=止，因為=即可得到QV=4)；

(2)由(1)可知。V=AD,DM=MN,再由54=3。，可得BD=BN,從而可得D3N是等腰直角三角

形，且是底邊的中線，即可得到5拉1。0；

(3)作OE〃CN交DM的延長線于N,連接BN,根據平行線的性質求出/E=/MC7V=45。，可得

EMD^..CMN(ASA),推出.OBN是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可推出2OW.

【解析】(1)CN=AD,理由如下：如圖1,

B

■:AD=DE,AB=BC,ZEAD=ZAED=45°,ABAC=ZBCA=45°,

??..ABC和VADE為等腰直角三角形