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文檔簡(jiǎn)介

第04講全等三角形的判定

產(chǎn)知識(shí)點(diǎn)梳理

一、全等三角形判定1——“邊邊邊”

全等三角形判定1——“邊邊邊”

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”).

要點(diǎn):如圖,如果要‘5'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC,則AABC之△43'。.

二、全等三角形判定2——“邊角邊”

1.全等三角形判定2——“邊角邊”

兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”).

要點(diǎn):如圖,如果AB=A'B',ZA=ZA',AC=A'。,則AABC2△A'B'。.注

意:這里的角,指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.

2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等,兩個(gè)三角形不一定全等.

如圖,AABC與4ABD中,AB=AB,AC=AD,NB=NB,但AABC與4ABD不完全重合,

故不全等,也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等,兩個(gè)三角形不一定全等.

三、全等三角形判定3——“角邊角”

全等三角形判定3------“角邊角”

兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”).

要點(diǎn):如圖,如果/A=N4,AB=A'B',NB=NB',則△ABC四△A'B'。.

四、全等三角形判定4——“角角邊”

1.全等三角形判定4——“角角邊”

兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”)

要點(diǎn):由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由

“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等,也就是說(shuō),用角邊角條件可以證明角角邊條件,后者是前

者的推論.

2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

如圖,在AABC和4ADE中,如果DE〃BC,那么/ADE=/B,ZAED=ZC,又/A=/A,

但4ABC和4ADE不全等.這說(shuō)明,三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

A

五、判定方法的選擇

1.選擇哪種判定方法,要根據(jù)具體的已知條件而定,見(jiàn)下表:

已知條件可選擇的判定方法

一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA

兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS

兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS

2.如何選擇三角形證全等

(1)可以從求證出發(fā),看求證的線段或角(用等量代換后的線段、角)在哪兩個(gè)可能

全等的三角形中,可以證這兩個(gè)三角形全等;

(2)可以從已知出發(fā),看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等;

(3)由條件和結(jié)論一起出發(fā),看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等,然后證它們?nèi)龋?/p>

(4)如果以上方法都行不通,就添加輔助線,構(gòu)造全等三角形.

一、“SSS”證明三角全等

.如圖,44BC中,AB=AC,BE=EC,直接使用“SSS”可判定()

B.AABE/AACEC.△BED24CEDD.AABE'EDC

工]例2.如圖,在和V瓦乃中,AE=BF,CE=DF,要利用“SSS”證明

如圖,在/AO3的邊

。4、03上分別取OM=ON,移動(dòng)角尺,使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合,得

到/A03的平分線OP.做法中用到的三角形全等的判定方法是()

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

已知NAQB.下面是“作一個(gè)角等于已知角,即作/AO'B'=/AOB”的尺規(guī)作

圖痕跡.該尺規(guī)作圖的依據(jù)是()

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

例5.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為5,X,14,另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為5,10,如

果山能SS”可以判定兩個(gè)三角形全等,則元+y的值為()

A.15B.19C.24D.25

?|例6.如圖,AD,3c交于點(diǎn)。,AC=BD,BC=AD.求證:ZC=ZD.

例7.如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏,燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示,AB=AE,

AC~AD,BC=DE,NC=48。,求ND.

.如圖,已知N1=N2,AC=AB,則且△ACD的依據(jù)是(

A.ASAB.AASC.SSSD.SAS

。^例9.如圖,A3與C£>相交于點(diǎn)O,且。是AB,

8的中點(diǎn),則AAOC與ABOD全

等的連由是()

A.SASB.ASAC.SSSD.HL

七例

10.如圖,若AB=DE,BC=EF,ZB=ZE,則判定△A3C/△£>£1廠的方法

是()

A

B2-

D

A.AASB.ASAC.SASD.SS;s

」例U.如圖,若已知A£=AC,用“SAS”說(shuō)明△ABC名△ADE,還需要的一個(gè)條件

是()

A

BAD

A.BC=DEB.AB=ADC.BC)=DOD.EO=CO

例12.如圖,點(diǎn)A、B、C、。在同一直線上,AF=DE,ZA^ZD,AC=DB.求

證:△ABB四△OCE.

F

E

如圖,已知點(diǎn)8,E,C,P在同一直線上,BE=CF,ZABC=ZDFE

AD

\

BECF

例14.如圖,在AABC中,AB==AC,點(diǎn)。、E都在邊8c上,且3E=CD,求證:

AD=AE.

A

.如圖,AD,相交于點(diǎn)。,OB=OC,OA=OD,延長(zhǎng)到尸,延長(zhǎng)到

求證3E〃CF.

三、“AAS、ASA”證明三角全等

16.如圖,已知Nl=/2,NB=NC,不正確的等式是()

A.AB=ACB.NBAE=NCADC.BE=DCD.BD=DE

".小剛把一塊三角形玻璃打碎成了如圖所示的三塊,現(xiàn)要到玻璃店取配一塊完

EF,FC//AB,

,已知,如圖,AB=AE,AB//DE,ZACB=ZDf求證:△ABCgZXEW.

N3=/4求證AC=AT>.

180°-=180°-

:.ZABD=ZABC.

Z=Z

在△ABD和△ABC中,<=

Z=Z

AABD=AABC().

CO例21.已知:如圖,A,E,F,8在同一條直線上,

&TAB,DFLAB,AE=BF,ZA=ZB.求證:CE=DF.

,AD〃3C,點(diǎn)E為對(duì)角線BO上一點(diǎn),ZA=NBEC,

,跟蹤就繪

一、單選題

1.如下,給定三角形的六個(gè)元素中的三個(gè)元素,畫出的三角形的形狀和大小完全確定的是

()

①三邊;②兩角及其中一角的對(duì)邊;③兩邊及其夾角;④兩邊及其中一邊的對(duì)角.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

2.如圖,在AABC與AAOC中,ABAC=ADAC,則下列條件不能判定AABC與AAOC全

等的是()

A.ZB=ZDB.ZBCA=ZDCAC.BC=DCD.AB=AD

3.某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,

C.帶③去D.①②③都帶

4.如圖,E、B、F、C四點(diǎn)在一條直線上,EB=FC,AC//DF,再添一個(gè)條件仍不能證

明△ABC烏△。斯的是()

.D

£BFC

A.AB//EDB.DF^ACC.ED=ABD.

5.如圖,在AABC和aEC中,己知43=DE,添加兩個(gè)條件仍不能使&WC冬ZSEC的是

A.BC=EC,ZB=NEB.BC=EC,AC=DC

C.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=NE,ZA=ZD

6.如圖,AB=AC,點(diǎn)。、E分別在A3、AC上,補(bǔ)充一個(gè)條件后,仍不能判定△ABE與

△AC。全等的是()

ED

CK

A.ZB=NCB.AD=AE

C.BE=CDD.ZAEB=ZADC

7.如圖,已知方格紙中是4個(gè)相同的正方形,則N1與N2的和為()

8.在下列各組的三個(gè)條件中,能判定△ABC和△OEb全等的是()

A.AC=DF,BC=DE,ZB=ZDB.ZA=ZF,ZB=ZEfZC=ZD

C.AB=DF,NB=/E,ZC=ZFD.AB=EF,ZA=ZEfZB=ZF

9.根據(jù)下列已知條件,能畫出唯一的△ABC的是()

A.AB=3cm,BC=7cm,AC=4cmB.AB=3cm,BC=7cm,AC=8cm

C.ZA=30°,AB=3cmD.ZA=30°,ZB=100°,ZC=50°

10.如圖,在方格紙中,以AB為一邊作aABP,使之與△ABC全等,從Pi,P2,P3,P4

四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)p,則點(diǎn)p有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

11.如圖,在AABC與AAEF中,AB^AE,BC=EF,/ABC=/AEF,NEAB=40。,AB

交EF于點(diǎn)、D,連接EB.下列結(jié)論:①/陰C=40。;?AF=AC;③/EBC=11Q。;@AD=

AC;⑤/EFB=40。,正確的個(gè)數(shù)為()個(gè).

A.1B.2C.3D.4

12.如圖1,已知AB=AC,D為NBAC的平分線上一點(diǎn),連接BD、CD;如圖2,已知

AB=AC,D、E為/BAC的平分線上兩點(diǎn),連接BD、CD、BE、CE;如圖3,已知AB=AC,

D、E、F為/BAC的平分線上三點(diǎn),連接BD、CD、BE、CE、BF、CF;依次規(guī)律,

第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是()

C.

2

二、填空題

13.如圖,已知AC反要使△ABCMAOCB.只需添加的一個(gè)條件是

14.三角形全等的判定方法——“角邊角”(即ASA)指的是

15.如圖,要測(cè)量水池寬A3,可從點(diǎn)A出發(fā)在地面上畫一條線段AC,使再?gòu)?/p>

點(diǎn)C觀測(cè),在54的延長(zhǎng)線上測(cè)得一點(diǎn)。,使NACD=NACB,這時(shí)量得AD=120m,則水

池寬A3的長(zhǎng)度是_m.

16.如圖,點(diǎn)。是AABC的邊上一點(diǎn),F(xiàn)C//AB,連接。尸交AC于點(diǎn)E,若CE=AE,AB=1,

CF=4,則8。的長(zhǎng)為.

17.填表.

已知兩個(gè)對(duì)應(yīng)相等的邊或角應(yīng)尋找的條件證明三角形全等的依據(jù)

SAS

兩邊

SSS

一角及其對(duì)邊AAS

一角及其鄰邊SAS

AAS或ASA

兩角ASA或AAS

18.在AABC與ADEF中,ZA=ZZ),ZB=Z.E,BC=EF,AB=3cm,AC=5cm,那么

DE=cm.

19.如圖,在AABC中,CE平分ZACB,CEJ_AD于點(diǎn)E,若AABC的面積為12cmz,則陰

影部分的面積為cm2.

20.如圖,R3ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在邊AB

和邊AC上,且NEDF=90。,則下列結(jié)論一定成立的是

①4ADF取ZiBDE

②S四邊形AEDF=-SAABC

③BE+CF=AD

@EF=AD

三、解答題

21.已知:如圖,A、8、C、。四點(diǎn)在一條直線上,且A8=C£>,ZA=ZD,/ECA=/FBD.求

證:AE=DF.

22.如圖,在△ABC中,已知NA3C=NAC8,BD、CE分別平分/ABC、ZACB,那么ABDC

馬4CEB全等嗎?為什么?

解:因?yàn)?。、CE分別平分/ABC、ZACB(已知),

所以,/ECB=g().

由NABC=NACB(已知),

所以NO8C=NEC3().

在ABDC與ACEB中,

(),

所以△BOC之△CEBCASA).

E,D

BE-----------------------

23.如圖,兩車從路段A,5的兩端同時(shí)出發(fā),以相同的速度行駛,相同時(shí)間后分別到達(dá)C,

。兩地,兩車行進(jìn)的路線平行.那么C,。兩地到路段的距離相等嗎?為什么?

24.已知:如圖,A、F、C、。在同一直線上,AB//DE,AB=DE,AF^CD,求證:

D

⑴BC=EF;

⑵BC〃EF.

25.如圖,在AABC和△£)£/中,邊AC,DE交于點(diǎn)H,AB//DE,AB=DE,BE=CF.

(1)若NB=55。,ZACB=100°,求NCHE的度數(shù).

(2)求證:4AB%LDEF.

26.已知:如圖,在AAOB和AC。。中,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=50°.

(2)求NAPB的度數(shù).

27.如圖,為△ABC的中線,DE平分/ADB,平分/AOC,BELDE,CF1DF.

(1)求證;DELDF;

(2)求證:△BDE義ADCF;

(3)求證:EF//BC.

28.已知:等邊△ABC邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在射線A3、射線BC上,且BD=CE=a

(0<。<3),將直線。E繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得到直線EF交直線AC于點(diǎn)?

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上,點(diǎn)E在線段BC上時(shí),說(shuō)明8。+5=3的理由.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上,點(diǎn)E在線段3c的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)判斷線段8D,CP之間

的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)。在線段A8延長(zhǎng)線上時(shí),線段BO,CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何?請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫

圖探究,并直接寫出線段BAB之間的數(shù)量關(guān)系.

29.如圖,已知AABC中,AB=AC=20cm,3c=16cm,點(diǎn)。為A3的中點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)尸在線段3C上以6cm/s的速度由5點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)2在線段C4上由C

向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過(guò)1秒后,△〃>£>與VCQP是否全等,請(qǐng)說(shuō)

明理由;

②若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使

與VCQP全等?

(2)若點(diǎn)。以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)尸以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),都逆

時(shí)針沿AABC三邊運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)尸與點(diǎn)。第一次在44BC的哪條邊上相遇?

30.(1)如圖1,ZMAN=90°,射線AE在這個(gè)角的內(nèi)部,點(diǎn)3、C在NMAN的邊AM,AN

上,且A8=AC,CF_LAE于點(diǎn)尸,于點(diǎn)。.求證:^ABD=ACAF.

(2)如圖2,點(diǎn)8、C在/MAN的邊AM、AN上,點(diǎn)E、F在NK4N內(nèi)部射線上,Z1,

/2分別是八45石,VC4r的外角,已知AB=AC,Z1=Z2=ZBAC,求證:.ABE*CAF;

(3)如圖3,在中,AB=AC,AB>BC,點(diǎn)。在邊8C上,CD=2BD,點(diǎn)E、尸在線段

A£)±,Z1=Z2=ABAC,若△ABC的面積是15,則AACF與^BDE的面積之和是.

2

圖③

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiii

一、單選題

1.(2022?浙江金華?統(tǒng)考中考真題)如圖,AC與3D相交于點(diǎn)O,OA=OD,OB=OC,不

添加輔助線,判定的依據(jù)是()

A.SSS

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