中考數(shù)學(xué)壓軸大題專練：對(duì)角互補(bǔ)模型（解析版）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題3對(duì)角互補(bǔ)模型

解題策略

模型1：全等形一一90°對(duì)角互補(bǔ)模型

如圖,/AOB=/DCE=90",/DCE的頂點(diǎn)在/AOB的平分線OC上，兩邊分別與射線。交于

點(diǎn)D,E,則：

(1)CD=CE；

(2)OD+C)E=y/2OC；

2

⑶S^(ro+S&「E='ytX'.

模型2：全等形一一120°對(duì)角互補(bǔ)模型

如圖，NAOB=2/DCE=120°./DCE的頂點(diǎn)在NAOB的平分線OC上.兩邊分別與射線OA.OB交

于點(diǎn)D.E.則：

(1)CD=CE；

(2)OD+OE=OC；

(3)SA()CD+S△CX'E=

模型3：全等形任意角對(duì)角互補(bǔ)模型

如圖.NAOB=2a，NDCE=180°-2a.ND('E的頂點(diǎn)在NAOB的平分線(無(wú)匕兩邊分別與射線(M.

交于點(diǎn)D?E,則：

⑴CD=CE；

(2)OP+OE=2(X,?cosa：

“十3）打?sinacosa.

一

模型4：相似形一一90°對(duì)角互補(bǔ)模型

如圖,/AOB=/DCE=90°,/DCE的頂點(diǎn)在/AOB內(nèi)部射線0C匕兩邊分別與射線OA.OB交于

點(diǎn)D,E.若/COB=a，則CE=CD-tana.

°4NB

，----------------------------

經(jīng)典例題

<__________________/

【例1】.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,點(diǎn)E,

F分別在四邊形ABCD的邊BC,CD±,NEAF^NBAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.

A

可

CFDGFCDC

圖1圖2圖3

（1）思路梳理

將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AADG,使AB與AD重合，由/B+/ADC=180°,得NFDG=180°,即點(diǎn)F,

D,G三點(diǎn)共線，易證AAFG^^AFE,故EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)；

（2）類比引申

如圖2,在圖1的條件下，若點(diǎn)E,F由原來(lái)的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB,DC延長(zhǎng)線上,

ZEAF=|ZBAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

（3）聯(lián)想拓展

如圖3,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E均在邊BC上，且/DAE=45。，若BD=1,EC=2,直

接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)為.

【答案】（1）EF=BE+DF；（2）EF=DF-BE；證明見(jiàn)解析；（3）V5.

【分析】（1）將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AADG,使AB與AD重合，首先證明F,D,G三點(diǎn)共線，求

出NEAF=NGAF,然后證明AAFG電4AFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

（2）將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到AADE,首先證明E，，D,F三點(diǎn)共線，求出

ZEAF=ZE'AF,然后證明AAFE名△AFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

（3）將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AACD,使AB與AC重合，連接ED,同（1）可證AAEDgAED',求

出NECD=90。，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AADG,使AB與AD重合，

VZB+ZADC=180°,

ZFDG=180°,即點(diǎn)F,D,G三點(diǎn)共線，

1

VZBAE=ZDAG,NEAF=：NBAD,

2

???NEAF=NGAF,

AE=AG

在4AFG和4AFE中,AEAF=AGAF，

AF=AF

AAAFG^AAFE,

???EF=FG=DG+DF=BE+DF；

(2)EF=DF-BE；

證明：將^ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得至！UADE,則△ABEgADE,

AZDAE'=ZBAE,AE'=AE,DE'=BE,ZADE'=ZABE,

VZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

.*.ZADE'=ZADC,即E,D,F三點(diǎn)共線,

VZEAF=|ZBAD,

1

???NEAF=NBAD—(ZBAF+ZDAEO=ZBAD-(ZBAF+ZBAE)=NBAD-NEAF=；NBAD,

2

???NEAF=NE'AF,

(AE=AE'

在4AEF和AAEF中，｛￡.EAF=/-E'AF,

(AF=AF

丁?△AFE絲△AFE'(SAS),

???FE=FE,

又?.?FE=DF-DE,

AEF=DF-BE；

(3)將2\ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ZiACD,使AB與AC重合，連接EDT

同（1）可證△AEDgAED,

ADE=D,E.

NACB=NB=NACD=45。，

???NECD=90。，

在Rt^ECD中，ED!=VEC2+P'C2=VEC2+BD2=V5,即DE=“，

故答案為：V5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用利用旋

轉(zhuǎn)變換作圖、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【例2】.（2019?山東棗莊?中考真題）在A4BC中，LBAC=90°,AB=AC,4D1BC于點(diǎn)。，

(1)如圖1,點(diǎn)M,N分別在AD,4B上，且NBMN=90。，當(dāng)41MN=30。，AB=2時(shí)，求線段AM的長(zhǎng);

(2)如圖2,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上，且NEDF=90。，求證：BE=AF；

(3)如圖3,點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在4C上，且NBMN=90。，求證：AB+AN^2AM;

圖1圖2圖3

【答案】(1)AM—V2-(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到AD=BD=DC=V2,求出NMBD=30。,

根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

(2)證明△BDEgZkND凡根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

(3)過(guò)點(diǎn)M作MEHBC變48的延長(zhǎng)線于E,證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=

AN,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論.

【詳解】(1)解：???^BAC=90°,AB=AC,AD1BC,

：.AD=BD=DC,^ABC=AACB=45°,ABAD=^CAD=45°,

48=2,

AD=BD—DC—V2,,

乙AMN=30°,

4BMD=180°-90°-30°=60°,

ABMD=30°,

BM=2DM,

由勾股定理得，BM2-DM2=BD2,即(2DM)2-Z)M2=(魚(yú)產(chǎn),

解得，DM=晅,

3

???AM=AD-DM=V2-—;

(2)證明：vADIBC,AEDF=90°,

Z.BDE=Z.ADFf

在/DDE和/力DF中,

乙B=Z.DAF

{DB=DA,

(BDE=Z.ADF

ABDE=AADF(ASA):.BE=AF；

(3)證明：過(guò)點(diǎn)M作ME〃BC交力B的延長(zhǎng)線于E,

.--4AME=90°,

貝1ME=五AB，NE=45°,

???ME=MA,

???^AME=90°,/-BMN=90°,

.-.Z.BME=Z.AMN,

在/BME和/AMN中，

4E=乙MAN

{ME=MA,

乙BME=乙AMN

ABME=AAMNQASA),

???BE=AN,

AB+ANAB+BEAE正AM.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形

的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【例3】.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD,AB=AD=90°,E,F

分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且=請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關(guān)系：；

(2)如圖②，在四邊形ZBCD中，AB=AD,NB+ND=180°,E,F分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=^ABAD,

(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；

(3)在四邊形4BCD中，AB-AD,+4。=180。，E,F分別是邊BC,CD所在直線上的點(diǎn)，且乙區(qū)4F=

[nBAD.請(qǐng)畫(huà)出圖形(除圖②外)，并直接寫(xiě)出線段EGBE,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)EF^BE+FD；(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)圖形見(jiàn)解析，EF=BE-FD

【分析】(1)延長(zhǎng)班到G,使8G=。尸，連接NG.證明△/GE和全等，WJEF=GE,則EF=BE+DF,

證明△48E和△/EF中全等，那么AG=AF,Z1=Z2,Z1+Z3=Z2+Z3=ZE^F=1Z^￡>.從而得出EF=GE-,

(2)思路和作輔助線的方法同(1)；

(3)根據(jù)(1)的證法，我們可得出DF=2G,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

【詳解】(1)延長(zhǎng)EB至G,使BG=DF,連接4G,

'：^ABG=乙ABC==90°,AB=AD,

：.AABG^^ADF,

：.AG=AF,Z1=Z2,

Azi+43=42+Z3=Z.EAF=-/.BAD,

2

：.^GAE=Z.EAF,

在AG/E和△/4E中,

AG=AF

*：\^GAE=AEAF,

、AE=AE

???△G4E絲△FZE(SZS),

：.EG=EF,

;EG=BE+BG,

：.EF=BE+FD.

故答案為：EF=BE+FD

(2)(1)中的結(jié)論仍成立，

證明：延長(zhǎng)CB至M,使BM=DF,

9：Z.ABC-VZ-D=180°,Z1+/.ABC=180°,

.*.zl=乙D,

在△ABM和△ZOF中，

AB=AD

zl=zP,

BM=DF

四△/OF(SZS),

：.AF=AM,Z2=Z3,

i

,：Z.EAF=-Z-BAD,

2

Az2+Z4=-2Z.BAD=￡.EAF,

Az3+Z4=/.EAF^Z-MAE=/.EAF,

在△ZME和△/尸E中，

'AM=AF

Z.MAE=Z.EAF，

、AB=AE

；.△AMEg△力FE(S力S),

：.EF=ME,即EF=BE+8M.

(3)EF=BE-FD,

證明：在BE上截取BG使BG=DF,

連接4G,

VZB+/.ADC=180°,Z.ADF+/.ADC=180°,

:.乙B—Z.ADF,

???在A/BG和△力OF中，

AB=AD

Z.ABG=Z.ADF,

BG=DF

「?△48G也△4D/SZS),

：.Z.BAG=Z.DAF,AG=AF,

：.Z.BAG+Z,EAD=^DAF+Z.EAD=/LEAF=^BADf

：.Z.GAE=^EAF,

在△ZEG和△/￡1/中，

AG=AF

/.GAE=Z.EAF,

、AE=AE

：.^AEG^^AEF(SAS),

：.EG=EF,

'：EG=BE-BG,

：.EF=BE-FD.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒(méi)有

明確的全等三角形時(shí)，要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形.

【例4】.（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）四邊形A8CD是由等邊2MBe和頂角為120。的等腰4A8D排成，將一

個(gè)60。角頂點(diǎn)放在。處，將60。角繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該60。交兩邊分別交直線BC、AC于M、N,交直線于E、F

兩點(diǎn).

（1）當(dāng)E、F都在線段4B上時(shí)（如圖1）,請(qǐng)證明：BM+AN=MN；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊84的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2）,請(qǐng)你寫(xiě)出線段MB,AN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論；

（3）在（1）的條件下，若AC=7,AE^2.1,請(qǐng)直接寫(xiě)出MB的長(zhǎng)為.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）MB=MN+4N.證明見(jiàn)解析；（3）2.8.

【分析】（1）把ADSM繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△/X4Q,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得￡＞河=。0,AQ=BM,

/ADQ=NBDM,然后求出利用“邊角邊”證明△AWD和A0ND全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)

邊相等可得MN=QN,再根據(jù)AQ+AN=QN整理即可得證；

（2）把AD/N繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到AD8P,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AN=BP,根據(jù)

/D4V=/r）AP=90。可知點(diǎn)P在8M上，然后求出/MDP=60。,然后利用“邊角邊”證明△跖VD和全等,

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得從而得證；

（3）過(guò)點(diǎn)〃■作〃4C交于G,交.DN于H,可以證明△的!〃？是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

可得8M=MG=8G,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/QND=NMVD,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得

ZQND=ZMHN,然后求出NMND=NMHN,根據(jù)等角對(duì)等邊可得然后求出NN=GH,再利用“角

角邊”證明A/A?和AG/ZE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得4B=GE,再根據(jù)代入數(shù)據(jù)

進(jìn)行計(jì)算即可求出BG,從而得到BM的長(zhǎng).

【詳解】解：（1）證明：把△O8W繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△D/0,

貝AQ=BM,NADQ=NBDM,NQAD=/CBD=9Q°,

...點(diǎn)。在直線。上，

ZQDN=ZADQ+ZADN=ZBDM+ZADN=ZABD-ZMDN=120°-60°=60°,

ZQDN=ZMDN=60°,

,:在4MND和AQND中，

(DM=DQ

{4QDN=4MDN,

(DN=DN

:.△MNDQ^QND(SAS),

：.MN=QN,

QN=AQ+AN=BM+AN,

：.BM+AN=MN-,

(2)：MB=MN+AN.

理由如下：如圖，把繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△D8P,

貝ij￡W=DP,AN=BP,

'：/DAN=/DBP=9。。,

???點(diǎn)?在上，

ooo

ZMDP=ZADB-ZADM-ZBDP=n00-ZADM-ZADN=n0-ZMDN=n00-60=609

：.ZMDP=ZMDN=60°f

■:在AMND和中，

(DN=DP

(乙MDP=Z.MDN，

(DM=DM

:,叢MND絲叢MPD⑸S),

：?MN=MP,

,:BM=MP+BP,

:?MN+AN=BM；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)M作必/〃4c交45于G,交DN于H,

：.△5MG是等邊三角形,

：.BM=MG=BG,

根據(jù)（1）〉MND空/\QND可得NQND=/MND,

根據(jù)MH//AC可得/QND=/MHN,

：./MND=/MHN,

:?MN=MH,

：.GH=MH-MG=MN-BM=AN,

即AN=GH,

,:在2ANE和△GHE中，

ZQND=/.MHN

?乙AEN=CGEH,

、AN=GH

:.XANE絲XGHE（AAS）f

：.AE=EG=2.1,

■:AC=7,

:.AB=AC=7,

：.BG=AB-AE-EG=l-2.1-2.1=2.8,

：.BM=BG=2,S.

故答案為：2.8

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的

性質(zhì)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，（3）作平行線并求出/N=G〃是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

培優(yōu)訓(xùn)練

\_______________Z

一、解答題

1.（2022?陜西?西安市第三中學(xué)七年級(jí)期末）回答問(wèn)題

（1）【初步探索】如圖1：在四邊形中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、尸分別是8C、CO上的點(diǎn)，

SLEF=BE+FD,探究圖中乙&!￡、ZFAD,尸之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=3￡.連接4G,先證明A/BE2△4DG,再證明

4AEF咨AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

（2）【靈活運(yùn)用】如圖2,若在四邊形48c。中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E、尸分別是2C、CD上的點(diǎn),

且EF=BE+FD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

(3)【拓展延伸】知在四邊形/BCD中，ZABC+ZADC=1SO°,AB=AD,若點(diǎn)E在C8的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)歹

在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足￡尸=3￡+￡0,請(qǐng)直接寫(xiě)出/￡/尸與/ZX48的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

【答案】(1)ZBAE+ZFAD=ZEAF；(2)仍成立，理由見(jiàn)解析；(3)ZEAF=1SO°-^ZDAB

【分析】(1)延長(zhǎng)陽(yáng)到點(diǎn)G,使DG=BE,連接NG,可判定△NBEgZUDG,進(jìn)而得出

AE=AG,再判定A/E尸絲Z\/G尸，可得出NE4F=NG4F=NZUG+N￡U尸n/B/E+N。/尸，據(jù)此得出結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接NG,先判定ZUBE四△4OG,進(jìn)而得出NB/￡=N￡MG,AE=AG,

再判定A/E尸烏△4GR可得出ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

(3)在。C延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G,使得DG=BE,連接NG,先判定A/OG絲△/BE,再判定△/￡1尸絲△/GF,

得出/月￡=/E4G,最后根據(jù)/E4E+/E4G+NGNE=360。，推導(dǎo)得至U2/E4E+4048=360。，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)ABAE+ZE4D=ZEAF.理由：

如圖1,延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G,使DG=8E,連接NG,

G

圖1

,/ZB=NADF=90。,NADG=ZADF=90°,

：.ZB=ZADG=90°,

又；AB=4D,

???△ABE義4ADG(SAS),

:?/BAE=NDAG,AE=AG,

?：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

.??△AEF咨AAGF(SSS),

???ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

故答案為：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

(2)仍成立，理由：

如圖2,延長(zhǎng)即到點(diǎn)G,使DG=BE,連接4G,

VZB+ZADF=180°fZADG+ZADF=\SO0,

：.ZB=ZADG,

又?：AB=AD,

???△ABEQdADG(SAS),

:?/BAE=NDAG,AE=AG,

?:EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：./XAEF^ZXAGF(SSS),

???ZEAF=ZGAF=ADAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

(3)ZEAF=\SO°-ZDAB.

2

證明：如圖3,在。C延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G,使得DG=BE,連接NG,

圖3

AABC+AADC=\^0,ZABC+ZABE=1SO°,

：.NADC=NABE,

又；AB=AD,

:.AADG咨LABE(SAS),

：.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

,:EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.^AEF^AAGF(SSS),

ZE4E=ZFAG,

"：ZE4E+ZE4G+ZGAE=360°,

：.2ZFAE+(,/GAB+NBAE)=360°,

：.2ZFAE+(ZGAB+ZDAG)=360°,

即2/FAE+/DAB=360°,

：.NE4F=18Qo，DAB.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決

問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形.解題時(shí)注意：同角

的補(bǔ)角相等.

2.(2021?陜西?交大附中分校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試)問(wèn)題探究

((1)如圖①，已知//=45。，ZABC=30°,ZADC=40°,則/BCD的大小為；

(2)如圖②，在四邊形48CD中，AB=BC,ZABC=ZADC=90°,對(duì)角線3。=6.求四邊形48CD的面積；

小明這樣來(lái)計(jì)算.延長(zhǎng)。C,使得CE=N。，連接BE,通過(guò)證明絲△C8E,從而可以計(jì)算四邊形48CD

的面積.請(qǐng)你將小明的方法完善.并計(jì)算四邊形/BCD的面積；

問(wèn)題解決

(3)如圖③，四邊形/BCD是正在建設(shè)的城市花園，其中4B=2C,ZABC=60°,ZADC=30°,0c=40米,

AD=30米.請(qǐng)計(jì)算出對(duì)角線BD的長(zhǎng)度.

圖1

【答案】(1)115。；(2)$峨/48co=18；(3)對(duì)角線AD的長(zhǎng)度為50米.

【分析】(1)利用外角的性質(zhì)可求解；

(2)延長(zhǎng)。C,使得連接BE,通過(guò)證明△42。g△CBE,從而可以計(jì)算四邊形4BCD的面積;

(2)將△BCD繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△24F,連接FD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8尸=2。，AF=CD=A0,

ZBDC=ZBFA,由三角形內(nèi)角和定理可求/放。=90。，由勾股定理可求解.

【詳解】解：(1)如圖1,延長(zhǎng)3c交/。于E,

圖1

ZBCD=ZBED+ZD,ZBED=ZA+ZABC,

：.ZBCD=ZA+ZABC+ZD=45°+30°+40°=115°,

故答案為：115。；

(2)延長(zhǎng)DC,使得CE=Z。，連接BE,

'、，

E

在四邊形Z8CQ中，ZABC=ZADC=90°f

：.N4+N5CZM80。，

Z5C￡+Z5CD=180°,

NA=NBCE,

在△/5Z)和△C5E中，

AB=BC

Z-A=Z-BCE,

、AD=CE

：.LABD咨/\CBE,

:,BE=BD,/ABD=/CBE,SAABD=SACBE,

ZABC=90°,即ZABD+/DBC=90。,

???/CBE+/DBC=90。,即ZDBE=90°f

?:BD=BE=6,/DBE=9U。,

：.SABDE春BExBD=18,

.*?SABDE=SACBE+SADBC=SAABD+SJDBC=S四邊形ABCD=18；

(4)如圖，將繞點(diǎn)2遜寸針旋轉(zhuǎn)60。，得到△A4尸，連接陽(yáng),

:.ABCD冬ABAF,NFBD=60。,

：.BF=BD,AF=CD=40,ZBDC=ZBFA,

**.dBFD是等邊三角形，

:?BF=BD=DF,

ZADC=3Q°,

：.ZADB+ZBDC=30°,

：.ZBFA+ZADB=30°,

'：ZFBD+ZBFA+ZBDA+ZAFD+ZADF=180°,

，60°+30°+ZAFD+180°,

ZAFD+ZADF=90°,

：.ZFAD=90°,

：.DF=y/AF2+AD2=V402+302=50,

.?.30=50（米）.

答：對(duì)角線的長(zhǎng)度為50米.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí),

添加輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

3.（2021?福建三明?八年級(jí)期中）感知：如圖①，4D平分NB4C,Z5+ZC=180°,zF=90°.判斷OB與DC

的大小關(guān)系并證明.

探究：如圖②，力D平分NB力C,AABD+^ACD=180°,^ABD<90°,DB與DC的大小關(guān)系變嗎？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

應(yīng)用：如圖③，四邊形4BDC中，NB=45。，ZC=135°,DB=DC=m,則4B與AC差是多少（用含他的代

數(shù)式表示）

【答案】感知：DB=DC,證明見(jiàn)詳解；探究：D8與。C的大小關(guān)系不變，理由見(jiàn)詳解；應(yīng)用：AB與AC差

是夜底

【分析】感知：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可求證；

探究：過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,DF1.AC,交4C延長(zhǎng)線于點(diǎn)R根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得。E=0R

由題意可得N3=NDCF,進(jìn)而可證△。匹烏△。尸C,然后問(wèn)題可求證；

應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)D作DHLAB于點(diǎn)H,DG±AC,交4c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接由題意易證△ZVTBg/XDGC,

則有DH=DG,進(jìn)而可得NG=47,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DG=CG=DH=BH=—m,則有

2

AGAHAC+—m,最后問(wèn)題可求解.

2

【詳解】感知：DB=DC,理由如下：

+=180°,ZB=90°,

=KC=90°,即081ABfDC1AC,

平分乙BZC,

：.DB=DC；

探究：與。。的大小關(guān)系不變，還是相等，理由如下：

過(guò)點(diǎn)。作。E_L4g于點(diǎn)￡,DFLAC,交4c延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，貝!|/。仍=/。/。=90。，如圖所示:

圖②

:A9平分484C,

:?DE=DF,

U：Z.ABD+AACD=180°,乙DCF+AACD=180°,

???ZB=ZDCF,

:?△DEBQADFC(AAS)f

：.DB=DC；

應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)//,DGLAC,交4C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接40,如圖所示:

VzB=45°,zC=135°,

?"B+NC=180。，

9：Z.ACD+Z.DCG=180°,

:?乙B=乙DCG=45°,

■:乙DHB=4DGC=90°,DB=DC=m,

:.△DHBQXDGC（AAS）,且△。//B與△DGC都為等腰直角三角形，

：.DG=CG=DH=BH,

由勾股定理可得D"2+BH2=DB2t

：.2DH2=m2,

--DG=CG=DH=BH=—m,

2

在Rt^AHD和RtdAGD中，AD=AD,DH=DG,

；.RtAAHD絲Rt/XAGD（HL）,

■■AG=AH=AC+—m,

2

.,.ABAH+BHAC+V2m,

：-AB-AC=>/2m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握角平分線的

性質(zhì)定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?遼寧大連?九年級(jí)期中）如圖1,正方形力BCD中，BD是對(duì)角線，點(diǎn)E在48上，點(diǎn)F在8c上，連接EF

（EF與BD不垂直），點(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GH，EF交線段BD于點(diǎn)H.

（1）猜想GH與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）探索AE,CF,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖2,若點(diǎn)E在48的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在BC的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出力E,CF,DH之間

的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）GH=理由見(jiàn)解析；（2）AE+CF=理由見(jiàn)解析；（3）4E-CF=理由

見(jiàn)解析

【分析】(1)過(guò)H作4B,BC的垂線，分別交力B,CD,4D,BC于連接HE,HF,利用正方形的性質(zhì)及角

平分線的性質(zhì)，證明出AH/E三通過(guò)等量代換得出AHEF為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；

(2)由(1)中4HIE玨HJF(HL),得EI=可,從而得4/=KH=HL=/C,通過(guò)等量代換計(jì)算可得AE+CF=

AI+JC^2A1=2KH,根據(jù)△為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)H作垂線，分別交2B,BC,CD,力。于/,/,L,K,連接HE,HF,證明出△“/￡'三通過(guò)等

量代換計(jì)算得DH=V2KH,再根據(jù)△DKH為等腰直角三角形即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)GH=(EF,理由如下；

過(guò)H作的垂線，分別交4B,CD,4D,BC于連接HE,HF,

圖1

???4BCD為正方形，

.-.Z.HBI=4HBJ,乙HIB=/.HJB=90°,HB=HB,

Rt△HBI三Rt△HBJQAAS),

???HI=HJ,

HG垂直平分EF,

???HE=HF,

???/.HIE=乙HJF=90°,

:AH1E34HJF(HL),

.-./.IHE=乙JHF,

又乙IHJ=4IHE+乙EHJ=90°,

:.乙EHF=Z.]HF+EH]=90°,

.??AHEF為等腰直角三角形，

G為斜邊的中點(diǎn)，

?-.GH=-EF.

2

(2)AE+CF^\[2DH,理由如下：

由(1)中△HIE三△HJF(HL),

???EI=F],

由下圖：

乙4=Z.AIH=LAKH=90°,

???四邊形4HK為矩形，

??.AI=KH,

在△OHK中，由正方形的性質(zhì)知,

乙HDK=45°,

???乙HKD=90°,

???(DHK=90°-45°=45°

??.△DKH為等腰直角三角形，

又???乙D=乙HKD=(HLD=90°,

???四邊形"KDL為正方形，

HL=KH,

同理四邊形"LC/為矩形，

HL=JC

.?.AI=KH=HL=JC,

AE=AI+EI,CF=JC-FJ,

AE+CF=Al+]C=2AI=2KH,

在△DHK中，由正方形的性質(zhì)知，

乙HDK=45°,

???乙HKD=90°,

???(DHK=90°-45°=45°

.?.△DKH為等腰直角三角形,

???DH=&KH,

AE+CFV2DH.

（3）AE-CF=V2DH,理由如下：

過(guò)點(diǎn)H作48,BC垂線,分別交48,BC,CD,AD^IJ,L,K,

連接HE,HF,

圖2

HI=HJ,HE=HF,AHIE=乙HJF=90°,

.?.AHIE=△HJF,

：.El=F],

由（2）得力/=KH=HL=JC,

CF=FJ-JC,AE=Al+El,

AE-CF=Al+JC2AI=2KH,

由（2）可得：

DH=

△DKH為等腰直角三角形，

???AE-CF/2DH.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形、解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)

的輔助線，掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)等量代換的思想進(jìn)行求解.

5.（2020?河南洛陽(yáng)?八年級(jí)期中）在NM4V內(nèi)有一點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)D分別作DB1AM,DCLAN,垂足分別為B,

C.且8。=CD,點(diǎn)、E,尸分別在邊AM和4N上.

圖1

(1)如圖1,若乙BED=LCFD,請(qǐng)說(shuō)明DE=OF；

(2)如圖2,若乙BDC=120。，Z.EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論成立的

理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)EF=FC+BE,見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題目中的條件和MED="FD,可以證明會(huì)/CDF,從而可以得到OE=DF；

(2)作輔助線，過(guò)點(diǎn)。作NCDG=乙BDE,交4V于點(diǎn)G,從而可以得到/BDE=ACDG,然后即可得到DE=DG,

BE=CG,再根據(jù)題目中的條件可以得到/EOF會(huì)/GDF,即可得到EF=GF,然后即可得到EF,BE,CF

具有的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：(1)vDB1AM.DCJ.AN,

???乙DBE=乙DCF=90°,

在』和4COF中，

2BED=Z.CFD,

????乙DBE=Z.DCF,

BD=CD,

ABDE=ACDF^AAS).

DE=DF；

(2)EF=FC+BE,

理由：過(guò)點(diǎn)。作NCDG二480日交4V于點(diǎn)G,

在4RDE和』COG中，

Z.EBD=Z.GCD

BD=CD,

/BDE=Z-CDG

ABDE=ACDG{ASA),

DE=DG,BE=CG.

???乙BDC=120°,Z.EDF=60°,

???^BDE+^CDF=60°.

???乙FDG=Z-CDG+2CDF=60°,

???Z.EDF=Z-GDF.

在4EOF和4GOF中,

DE=DG

Z.EDF=Z.GDF,

、DF=DF

AEDF=AGDFiSAS).

???EF=GF,

??.EF=FC+CG=FC+BE.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定、解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

6.(2020?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)期末)【課題研究】旋轉(zhuǎn)圖形中對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角(小于等于90。的角)與

旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系.

【問(wèn)題初探】線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD,其中點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，旋轉(zhuǎn)角

的度數(shù)為a,且0。<01<180。.

(1)如圖①，當(dāng)a=60。時(shí)，線段AB、CD所在直線夾角(銳角)為；

(2)如圖②，當(dāng)90。<(1<18()。時(shí)，直線AB與直線CD所夾銳角與旋轉(zhuǎn)角a存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理

由；

【形成結(jié)論】旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時(shí)，對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角.

【運(yùn)用拓廣】運(yùn)用所形成的結(jié)論解決問(wèn)題：

(3)如圖③，四邊形ABC.D中，ZABC=60°,ZADC=30°,AB=BC,CD=3,BD=V19,求AD的長(zhǎng).

【答案】(1)60°；(2)互補(bǔ)，理由見(jiàn)解析；【形成結(jié)論】相等或互補(bǔ)；(3)V10

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=CD,OA=OC,BO=00,可證'/COO(SSS),可得乙8=乙。,

由三角形內(nèi)角和定理可求解；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=CD,OA=OC,BO=DO,可證4A0Bw4C0D(SSS),可得NB=ND,由平

角的定義和四邊形內(nèi)角和定理可求解；

【形成結(jié)論】由(1)(2)可知對(duì)應(yīng)線段所在直線的所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角：相等或互補(bǔ)；

【運(yùn)用拓廣】(3)將4BCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到ZB4F,連接FD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BF=BD,AF=

CD=3,由三角形內(nèi)角和定理可求4FAD=90。，由勾股定理可求解.

【詳解】解：(1)如圖1,延長(zhǎng)DC交力B于尸，交B。于E,

01

a=60°,

/.BOD—60°,

???線段力B繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段CD,

AB=CD,OA=OC,BO=DO,

AAOBsACOD(SSS),

：.Z.B=Z-D,

Z.B-Z.D,Z.OED-乙BEF,

???4BFE=乙EOD=60°,

故答案為：60°；

(2)直線與直線CD所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角a互補(bǔ),

理由如下：

如圖2,延長(zhǎng)力B,DC交于點(diǎn)E,

E

或\

圖2

???線段力B繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段CD,

???AB=CD,OA=OC,BO=DO,

AAOB=4C00(SSS),

Z.ABO=乙D,

???NZBO+4EBO=180。,

???NO+乙EBO=180°,

???(EBO+ZE+ZD+乙BOD=360°,

???乙E+乙BOD=180°,

???直線力B與直線CD所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角a互補(bǔ).

形成結(jié)論

由(1)(2)(3)可知：旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時(shí)，對(duì)應(yīng)線段所在直線的所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角：相

等或互補(bǔ).

故答案為：相等或互補(bǔ).

運(yùn)用拓廣

(3)如圖3,將/BCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到/BAF,連接FD,

延長(zhǎng)凡4,DC交于點(diǎn)E,

???旋轉(zhuǎn)角乙4BC=60°,

???ABCD三ABAF,

：.AAED=乙4BC=60°,AF=CD=3,BD=BF,

■：^ADC=30°,

/.FAD=/.AED+/.ADC=90°,

又乙FBD=/LABC=60°,BF=BD,

.?"BFD是等邊三角形，

???BF—BD=DF,

.?.在RU1DAF中，4。=yjDF2-AF2=V19-9=V10.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

7.（2021??九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，乙4cB=120°,BC＞力C,點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)。在上，CE=CA,

連接。E,^ACB+AADE=180°,CHLAB,垂足為H.證明：DE+AD=2V3CH.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】如圖，延長(zhǎng)34到點(diǎn)F,使4F=0E,連接C尸、CD,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得乙乙4尸=

△CEO,進(jìn)而可根據(jù)SAS證明△AFC=△EDC,可得CF=CD,^ACF=乙ECD,進(jìn)一步即可求得NFCO=120°,

然后利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)即可證得結(jié)論.

【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)心使=連接CF、CD,

vAACB+/.ADE=180°,

???/.CAD+MED=360°-180°=180°,

???Z.CAD+/-CAF=180°,

???Z-CAF=Z.CED,

vAC=EC,AF=ED,

AFC=AEDCj

???CF=CD,Z.ACF=Z.ECD,

??.Z.FCD=Z,ACF+^ACD=乙ECD+4ACD=^ACB=120°,

vCF=CD,CH1DF,

111

???FH=DH=^DF=+AD),乙HCD=^FCD=60°,

tanzHCD="=百，

CH

：.DH=V3CH,

DE+AD2DH=2百CH.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形等知

識(shí)，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?湖南湘西?中考真題）問(wèn)題背景：如圖1,在四邊形力BCD中，ABAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

乙4BC=120。，^MBN=60°,ZJWBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交A。、DC于E、F.探究圖中線段4E,CF,

EF之間的數(shù)量關(guān)系.小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FC到G,使CG=4E,連接BG,先證明△BCGmA

BAE,再證明ABFC三△BFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形48CD中，/.BAD=90°,4BCD=90°,BA=BC,乙ABC=2乙MBN,乙MBN

繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交4D、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論（直接寫(xiě)出“成立”

或者“不成立”），不要說(shuō)明理由.

探究延伸2：如圖3,在四邊形4BCD中，BA=BC,/LBAD+ABCD=180°,4ABC=2乙MBN,4MBN繞B

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交4。、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由.

實(shí)際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30。的A處艦艇乙在指揮中心南

偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的

速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50。的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、

乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為70。，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

【答案】EF=AE+CF.探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立.探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立.實(shí)際

應(yīng)用：210海里.

【分析】延長(zhǎng)FC到G,使CG=4E,連接BG,先證明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,再

證明ABGF三ABEF,可得GF=EF,即可解題；

探究延伸1：延長(zhǎng)FC至iJG,使CG=4E,連接BG,先證明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,

再證明△BGF三ABEF,可得GF=EF,即可解題；

探究延伸2：延長(zhǎng)FC至1]G,使CG=AE,連接8G,先證明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,

再證明A8GF三ABEF,可得GF=EF,即可解題；

實(shí)際應(yīng)用：連接EF,延長(zhǎng)AE,BF相交于點(diǎn)C,然后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF,將AE和CF的

長(zhǎng)代入即可.

【詳解】解:EF=AE+CF

理由：延長(zhǎng)FC到G,使CG=4E,連接BG,

A

圖1

在ABCG和ABAE中，

-BC=BA

乙BCG=4BAE=90°,

,CG=AE

：.△BCG=i^BAE(SAS),

；.BG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=120°,ZMBN=60°,

ZABE+ZCBF=60°,

/.ZCBG+ZCBF=60°,

即NGBF=60°,

在ABGF和ABEF中，

'BG=BE

乙GBF=乙EBF，

.BF=BF

.,.△BGF^ABEF(SAS),

；.GF=EF,

VGF=CG+CF=AE+CF,

；.EF=AE+CF.

探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立.

理由：延長(zhǎng)FC至l」G,使CG=/E,連接BG,

A

在4BCG和ABAE中，

BC=BA

乙BCG=乙BAE=90°,

、CG=AE

：.ABCG=^BAE(SAS),

.*.BG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=2ZMBN,

/.ZABE+ZCBF=|ZABC,

???ZCBG+ZCBF=^ZABC,

2

即NGBF=|NABC,

在4BGF和zXBEF中，

BG=BE

Z.GBF=乙EBF,

BF=BF

.,.△BGF^ABEF(SAS),

???GF=EF,

???GF=CG+CF=AE+CF,

???EF=AE+CF.

探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立.

理由：延長(zhǎng)FC到G,使CG=4E,連接BG,

9：^BAD+乙BCD=180°,ZBCG+ZBCD=180°,

???ZBCG=ZBAD

在ZJBCGWABAE中，

BC=BA

乙BCG=乙BAE,

、CG=AE

：?2BCG?BAE(SAS),

ABG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=2ZMBN,

i

???NABE+NCBF二NABC,

2

???ZCBG+ZCBF=izABC,

2

即NGBF=|NABC,

在4BGF和zkBEF中，

BG=BE

(GBF=乙EBF,

BF=BF

.,.△BGF^ABEF(SAS),

???GF=EF,

GF=CG+CF=AE+CF,

???EF=AE+CF.

實(shí)際應(yīng)用：連接EF,延長(zhǎng)AE,BF相交于點(diǎn)C,

ZAOB=30°+90o+(90o-70o)=140°,ZEOF=70°,

???ZEOF-ZAOB

2

VOA=OB,ZOA