河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考“逐夢(mèng)計(jì)劃”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考“逐夢(mèng)計(jì)劃”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知空間向量，，滿足，則實(shí)數(shù)的值是（）A.-5 B.-4 C.4 D.5【答案】D【解析】，，即，解得：.故選：D2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，所以，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,1.故選：B.3.“”是“直線與直線互相垂直”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)椤爸本€與直線互相垂直”可得,所以，故或.所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，的周長(zhǎng)為.故選：D5.某校A，B，C，D，E五名學(xué)生分別上臺(tái)演講，若A須在B前面出場(chǎng)，則不同的出場(chǎng)次序有（）A.18種 B.36種 C.60種 D.72種【答案】C【解析】因?yàn)锳，B，C，D，E五名學(xué)生分別上臺(tái)演講，且A須在B前面出場(chǎng)，所以有種出場(chǎng)順序.故選：C6.拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.9 C.8 D.10【答案】B【解析】由拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)可得，則，所以，令，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為9.故選：B.7.已知點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】?jī)牲c(diǎn)，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，因此點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.故選：D8.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，且的面積等于8，則（）A B.2 C. D.4【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，由雙曲線定義可得，所以，即，又，所以，所以，解得.故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（）A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法C.5人站成一排，甲不在兩端，共有144種排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法【答案】BD【解析】對(duì)A：甲、乙、丙站前排，有種排法，丁、戌站后排，有種排法，共有種排法，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：甲、乙看作一個(gè)元素，則5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有種排法，故B正確；對(duì)C：5人站成一排，甲不在兩端，共有種排法，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：5人站成一排，有種排法，則甲在最左端，乙不在最右端，共有種排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有種排法；甲在最左端，乙在最右端，共有種排法；則甲不在最左端，乙不在最右端，共有種排法，故D正確.故選：BD.10.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），且平面，則（）A.若，則平面B.點(diǎn)到直線的距離為C.若，則D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】分別取棱，，，的中點(diǎn)M，N，P，Q，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，同理，∵平面，∴平面，根據(jù)條件平面，可得平面即為平面，于是點(diǎn)G的軌跡即為線段對(duì)于A，若，則點(diǎn)G在上，又點(diǎn)G的軌跡即為線段，則點(diǎn)G為棱的中點(diǎn)P，連，∵，∴為平行四邊形，∴，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，∵點(diǎn)F，Q分別為棱，的中點(diǎn)，∴，∴正六邊形的邊長(zhǎng)為，設(shè)正六邊形的中心，則均是邊長(zhǎng)為的正三角形，∵,∴，即與間的距離，因?yàn)?，所以點(diǎn)G到的距離即為與間的距離，所以點(diǎn)G到的距離為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連，交點(diǎn)為，∵，則點(diǎn)G在上，又點(diǎn)G的軌跡即為線段，則點(diǎn)G為與的交點(diǎn)，∵分別為的中點(diǎn)，則，此時(shí)，于是滿足，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)平面，根據(jù)對(duì)稱性可知，為的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴為直線與平面所成的角，又，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為，故D正確，故選：ACD.11.已知曲線，稱曲線上的點(diǎn)Px,y為“邊線點(diǎn)”，曲線稱為“邊線曲線”，則（）A.“邊線曲線”關(guān)于對(duì)稱B.“邊線曲線”在處切線的斜率為C.存在“邊線點(diǎn)”P(pán)x,y，使得D.“邊線點(diǎn)”P(pán)x,y到原點(diǎn)距離的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：因?yàn)镻x,y在曲線上，則，點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)也在曲線上，所以“邊線曲線”關(guān)于對(duì)稱，A選項(xiàng)正確：對(duì)于B：由，可得，，所以“邊線曲線”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱，所以“邊線曲線”在處切線的斜率有正負(fù)兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，因?yàn)?，所以以為例，，?dāng)時(shí)，，所以由對(duì)稱性可知，在處切線斜率為，B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，即得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“邊線點(diǎn)”P(pán)x,y，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最小值2，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的漸近線方程為，則_____.【答案】【解析】對(duì)于雙曲線，得，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：.13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)____.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】因?yàn)?，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：14.已知雙曲線的離心率為2，把上所有點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角所得曲線的方程為，則的虛軸長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】【解析】設(shè)Px,y在曲線上，也在曲線上，且也在曲線上，曲線兩條對(duì)稱軸分別為，而與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，為曲線實(shí)軸所在的直線，聯(lián)立，解得，則直線和曲線的交點(diǎn)為和，因此，雙曲線中，又雙曲線的離心率為2，則，，則虛軸長(zhǎng)為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.曲線（1）若曲線表示雙曲線，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在曲線上，，，，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).解：（1）曲線表示雙曲線，則，即，解得.（2）當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，點(diǎn)在曲線上，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，解得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.16.已知平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)，（1）若是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡方程交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程.解：（1）設(shè)Mx,y，Ax0,y0則，所以，點(diǎn)在圓上，代入圓，得，化簡(jiǎn)得，即為的軌跡方程；（2）由（1）知：的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，則的圓心到直線的距離，所以，解得，故直線為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，也符合題意，所以直線的方程為或.17.如圖，在三棱柱中，平面，，分別為，的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）在三棱柱中，D，E為的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，，在三角形中，，為中點(diǎn)，，，，平面，平面；（2）如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，在直角三角形中，，，，，，A1,0,0，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以；（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，故點(diǎn)到平面的距離.18.已知是拋物線的焦點(diǎn)，不過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，當(dāng)時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).解：（1）由對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，軸且過(guò)焦點(diǎn)，不妨設(shè)在軸上方，則,此時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以拋物線方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，、、，由化簡(jiǎn)得，，，，，所以，所以，，所以若，即，解得或（舍去），所以直線過(guò)定點(diǎn)；19.平面內(nèi)有一點(diǎn)和直線，動(dòng)點(diǎn)滿足：到點(diǎn)的距離與到直線的距離的比值是.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線，曲線上有、、、四個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求曲線的方程.（2）若在軸下方，，求直線的斜率.（3）若、都