湖北省部分學校2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學校2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，因此該拋物線的焦點在橫軸的正半軸上，且，所以該拋物線的焦點坐標為故選：C2.在三棱柱中，為中點，若，，，則下列向量中與相等的是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖所示，在三棱柱中，，，依題意，故選：A.3.已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量的模為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】向量，，，，向量在向量方向上的投影向量的模為.故選：D.4.已知空間三點、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為空間三點、、，則，，所以，，，，所以，，因為，則，所以，以、為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：D.5.若點是圓:上一點,則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】圓:可化為表示點Px,y到點O0,0的距離的平方因為，所以的最小值為.故選：B.6.設a為正實數(shù)，若圓與圓相外切，則a的值為（）A4 B.6 C.24 D.26【答案】B【解析】結合題意：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以圓心距為，而，因為兩圓相外切，所以，即.故選：B.7.已知直線，則下列結論正確的是（）A.直線的傾斜角是 B.直線在軸上的截距為1C.若直線，則 D.過與直線平行的直線方程是【答案】D【解析】直線變?yōu)?，對于A，直線的斜率為，所以傾斜角為，A錯誤，對于B，令，則，所以x軸上的截距為，B錯誤，對于C，的斜截式方程為，斜率為，由于，所以不垂直，故C錯誤，對于D，直線的斜率為，所以過與直線平行的直線方程是，即為，故D正確，故選：D8.已知為雙曲線的右焦點，過點的直線交雙曲線的右支于，兩點，交：于點.若，，則雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】由題意得，即雙曲線的右準線.如圖，過，作右準線的垂線，垂足為，，軸與右準線的交點為.因為，所以是的中點，,由雙曲線第二定義可得，可得，又由相似三角形可得，所以，所以，因為，所以，，，又由相似三角形可得，因為，，，所以綜上可化為，解得，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.9.已知橢圓上有不同兩點，，，則（）A若過原點，則B.，的最小值為C.若，則的最大值為9D.，，異于點，若線段的垂直平分線與軸相交于點，則直線的斜率為【答案】ABD【解析】因為橢圓，所以，則是其右焦點，對于A，設橢圓的左焦點為，因為過原點，所以由橢圓的對稱性易知四邊形是平行四邊形，則，故A正確；對于B，因為，則，又，所以，當在線段與橢圓的交點位置時，等號成立，故B正確；對于C，當軸，點為橢圓的右頂點時，滿足，此時，但，故C錯誤；對于D，因為Ax1,y1在橢圓上，所以所以，同理：，而由，可知，所以由，得，則，故可設的中點坐標為，又在橢圓上，所以，，兩式相減，得，所以.所以直線的斜率為，則直線的方程為，令，得，即，所以直線的斜率，故D正確.故選：ABD.10.直線過拋物線C：（）的焦點F，且與C交于A，B兩點，為C的準線，則（）A.B.C.（設）D.準線與以為直徑的圓相切【答案】ACD【解析】拋物線C：（）的焦點為，焦點在直線上，則，解得，故A正確；拋物線C的方程為，焦點F1,0，準線為，由，消去并整理得，，設，則，，則，故B錯誤；由可知在第一象限，知，得，由方程，解得，因此，則，故C正確；線段的中點的橫坐標，則線段中點到準線的距離為，因此準線與以為直徑的圓相切，故D正確．故選：ACD．11.如圖所示，在棱長為2的正方體中，是線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.的最小值為C.若直線與所成角的余弦值為，則D.若是的中點，則到平面的距離為【答案】ABD【解析】在正方體中，因為平面，平面，所以平面平面，故A正確；連接，由平面，平面，得，故在中，當點與重合時，取最小值，故B正確；如圖，以、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，設，，則，，假設存在點，使直線與所成角的余弦值為，則，解得（舍去），或，此時點是中點，，故C錯誤；由且平面，平面，知平面，則到平面的距離，即為到平面的距離；是的中點，故，，，，設平面的法向量為m=x,y,z，則，即，取，則，，故，所以點到平面的距離為，即到平面的距離為，D正確．故選：ABD12.某市為了改善城市中心環(huán)境，計劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內一個高塔，施工單位在某平臺的北偏東方向處設立觀測點，在平臺的正西方向處設立觀測點，已知經(jīng)過三點的圓為圓，規(guī)定圓及其內部區(qū)域為安全預警區(qū).以為坐標原點，的正東方向為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系.經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在平臺的正南方向的處，有一輛小汽車沿北偏西方向行駛，則（）A.觀測點之間的距離是B.圓的方程為C.小汽車行駛路線所在直線的方程為D.小汽車會進入安全預警區(qū)【答案】BD【解析】由題意，得，所以，即觀測點之間的距離是，故A錯誤；設圓的方程為，因為圓經(jīng)過三點，所以，解得，所以圓的方程為，故B正確；小汽車行駛路線所在直線的斜率為，又點的坐標是，所以小汽車行駛路線所在直線的方程為，故C錯誤；圓化成標準方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，即小汽車會進入安全預警區(qū)，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題.13.圓心在直線上，且經(jīng)過點，的圓的方程為________．【答案】【解析】圓經(jīng)過點和，，AB中點為，所以線段AB的垂直平分線的方程是．聯(lián)立方程組，解得．所以，圓心坐標為，半徑，所以，此圓的標準方程是．故答案為：.14.對任意的實數(shù)，原點到直線的距離的取值范圍為__________．【答案】【解析】直線的方程可化為，令，解得，所以直線過定點，當直線經(jīng)過O0,0時，此時，即，故，當直線與垂直時，此時取最大值，下面證明：當與直線垂直時，記直線為，當不與直線垂直且直線不經(jīng)過時，記直線為，過作交于點，如下圖所示，由圖可知：為直角三角形且為斜邊，所以，所以取最大值時，與直線垂直，故，但此時的方程為，即為，此時無論取何值都無法滿足要求，故取不到，所以，故答案為：.15.如圖，正方體的棱長為1，、分別為與的中點，則點到平面的距離為______.【答案】【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為m=x,y,z，則，令，則，故平面的法向量為，又，則點到平面的距離為.故答案為：16.已知橢圓的左，右焦點分別為，點在內，點在上，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意得，，又因為點在內，所以，解得，而，不妨設，則，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應給出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓C和直線：，：，若圓C的圓心為且經(jīng)過直線和的交點.（1）求圓C的標準方程；（2）直線l：與圓C交于M，N兩點，且，求直線l的方程.解：（1）聯(lián)立，解得，故半徑為，故圓C的標準方程為；（2）設圓心到直線的距離為，則由垂徑定理得，解得，即，解得，故直線l的方程為，即.18.已知的頂點，邊上的中線所在直線方程，邊上的高為，垂足.（1）求頂點的坐標；（2）求直線的方程.解：（1）直線的斜率為，從而的直線方程為：，即，聯(lián)立方程與中線所在直線方程，可得，故點的坐標為.（2）因為為邊上的高，所以的直線方程為：.設點的坐標為，由點在直線上可得；的中點的坐標為，點的坐標滿足直線方程，即，故可得，即點坐標為.則直線的斜率為，故直線方程為：.19.如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，為與的交點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）連接，因為底面是邊長為2的正方形，所以，又因為，，所以，所以，點為線段中點，所以，在中，，，所以，則，又，平面，平面，所以平面.（2）【方法一】：由題知正方形中，平面，所以建系如圖所示，則，則，，設面的法向量為，面的法向量為，則，取，則取，則.設二面角大小為，則，所以二面角的正弦值為.【方法二】：以O為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題設得，，，，，，，，．設是平面的法向量，則，即，可?。O是平面的法向量，則，即，可?。裕虼硕娼堑恼抑禐椋?0.如圖:在四棱錐中,，，平面，，為的中點，，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成夾角．解：（1）由，，故，又平面，、平面，故、，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，其中軸，由題意可得A0,0,0、、、、，則，，，，，由為的中點，故，則，，則，故，故；（2）由（1）知、、，且、，故，設平面與平面的法向量分別為m=x1,y則有、，即、，不妨分別取，，則可得、，則，故，即平面與平面所成夾角為.21.橢圓：長軸長為，左右焦點分別為和，為橢圓上一點，且，．（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若點，求證：直線，的斜率之和為定值．解：（1）橢圓長軸長為，所以，，因為為橢圓上一點，所以，又，所以，因為，所以，即，解得，由，知，所以橢圓的方程.（2）設，，，當直線的斜率不存在時，與橢圓有且只有一個交點，不合題意，當直線的斜率存在時，設的方程為，所以聯(lián)立方程，整理得，所以，，由韋達定理得，，，直線，的斜率之和為定值.22.已知如圖，點為橢圓短軸的兩個端點，且的坐標為0,1，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線不經(jīng)過橢圓的中心，且分別交橢圓與直線于不同的三點（點在線段上），直線分別交直線于點.求證：四邊