湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，其焦點坐標(biāo)為，故選：B2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和，，則（）A.160 B.253 C.180 D.190【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，因為，所以，解得，所以，故選：B.3.如圖，在四面體中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，點G是線段上靠近點E的一個三等分點，令，，，則（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】連接，.故選：A.4.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為直線的斜率，即，又，所以，故選：D5.已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為()A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1【答案】D【解析】設(shè)、，所以，運用點差法，所以直線斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.6.已知原點到直線距離為1，圓與直線相切，則滿足條件的直線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】由已知，直線滿足到原點的距離為，到點的距離為，滿足條件的直線即為圓和圓的公切線，因為這兩個圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線.故選C.7.手工課可以提高學(xué)生的動手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力．某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個正方體的組合體．其直觀圖如圖所示，，，、、、分別是棱、、、的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在正方體中，以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，則、、、，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：B.8.已知橢圓：與雙曲線：有共同的焦點，，且在第一象限的交點為，滿足（其中為原點）.設(shè)，的離心率分別為，，當(dāng)取得最小值時，的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作，垂足為，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得，解得，，，，設(shè)點，則在中，即點的橫坐標(biāo)為，即，，由勾股定理可得，整理得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題正確是（）A.方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率B.過雙曲線焦點的最短弦長為C.若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，則D.已知，，則在方向上的投影向量為【答案】AD【解析】選項A：由解得兩根為和，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，A說法正確；選項B：設(shè)雙曲線方程為，當(dāng)過雙曲線焦點的直線與實軸垂直時，令，則，此時弦長為，若，則有，此時最短弦長不為，B說法錯誤；選項C：因為，所以直線在平面內(nèi)或，C說法錯誤；選項D：由題意可知在方向上的投影向量為，D說法正確；故選：AD10.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.是遞減數(shù)列 B.C.使時的最小值是21 D.最小時，【答案】BCD【解析】已知等差數(shù)列的前項和為，，，所以，所以，所以，即是遞增數(shù)列，故A錯誤；而，所以，故B正確；又，若，則，所以使時的最小值是21，故C正確；，又，所以最小時，，故D正確.故選：BCD.11.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，“它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，下列說法正確的有（）A.曲線圍成的圖形有6條對稱軸B.曲線圍成的圖形的周長是C.曲線上的任意兩點間的距離不超過5D.若是曲線上任意一點，的最小值是【答案】BD【解析】當(dāng)時，曲線的方程可化為，當(dāng)時，曲線的方程可化為，當(dāng)時，曲線的方程可化為，當(dāng)時，曲線的方程可化為，所以曲線的圖象如圖所示，對于A：由圖可知曲線圍成的圖形有4條對稱軸，故A錯誤；對于B：曲線由4個半圓組成，其周長為，故B正確；對于C：由圖可知曲線上任意兩點間的最大距離為，故C錯誤；對于D：到直線的距離，而到直線的距離為，由圓的性質(zhì)得曲線上一點到直線的距離最小為，故的最小值為，故D正確；故選：BD12.如圖，在棱長為6的正方體中，分別為的中點，點是正方形面內(nèi)（包含邊界）動點，則（）A.與所成角為B.平面截正方體所得截面的面積為C.平面D.若，則三棱錐的體積最大值是【答案】BCD【解析】以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，，對A選項，，則直線與所成角為，故A錯誤；對B選項，由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取的中點的中點，的中點，連接，延長一定與交于一點，所以四點共面，同理可證四點共面，則過點作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長為，則正六邊形的面積為，故B正確.由正方體，可得，∵分別為的中點，∴，∴平面平面，∴平面，故C正確；如圖，面，又面，故，同理，又，根據(jù)題意可得，設(shè)，又，∴，整理得，∴在正方形面內(nèi)(包括邊界)，是以為圓心，半徑的圓上的點，令，可得，∴當(dāng)為圓與線段的交點時，到底面的距離最大，最大距離為，∴三棱錐的體積最大值是，故D正確.故選:BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.參考《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問題，提出：一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，最上面3節(jié)的容積共3升，最下面3節(jié)的容積共6升，則第5節(jié)的容積為__________升．【答案】【解析】設(shè)竹節(jié)自上而下分別為，等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以.故答案為：.14.已知直線互相垂直，則的值為______.【答案】.【解析】因為直線互相垂直，則有，即，進(jìn)一步化簡得，解得或，故答案是0或2.15.已知點是拋物線上一動點,則的最小值為_________．【答案】7【解析】由題意可知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，因為點是拋物線上一動點，設(shè)，，則由兩點間距離公式可得表示，又根據(jù)拋物線的定義可知等于點到準(zhǔn)線的距離，即，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，最小，即最小值為點到準(zhǔn)線的距離，故答案為：16.如圖,在棱長為3的正方體中,在線段上,且是側(cè)面上一點，且平面，則線段的最大值為__________.【答案】【解析】如圖，在線段上取一點，使得，在線段上取一點，使得，連接，因為，所以，又，所以，因為平面平面，所以平面，同理，因為平面平面，所以平面，又，所以平面平面，因此，在線段上.因為，所以線段的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.解答下列問題：（1）求過點，且與直線平行的直線方程；（2）求過點，，三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）設(shè)與直線平行的直線為，將代入得，解得，故所求直線方程為.（2）設(shè)圓的方程為，，由題意可得，即，解得，，，則圓的方程為，即．18.設(shè)為數(shù)列的前n項和，且（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．解：（1）由題意，數(shù)列滿足，可得，則，所以，又由，所以，所以數(shù)列表示首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）由數(shù)列表示首項為，公差為的等差數(shù)列，可得，所以，當(dāng)時，可得，因為，可得，不適合上式，所以數(shù)列的通項公式為．19.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右頂點為,過作直線與橢圓交于另一點,且,求直線l的方程．解：（1）由題可知，其中，所以,又點在橢圓上，所以，即，解得，所以橢圓E的方程為．（2）由橢圓的方程，得，所以，設(shè)，其中，因為，所以，又點在橢圓上，所以，聯(lián)立方程組，得，解得或（舍），當(dāng)時，，即或．所以當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，直線的方程為；當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，直線的方程為．綜上，直線的方程為或.20.已知圓.（1）若直線過點且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）若直線過點與圓相交于，兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程；解：（1）圓，圓心，半徑當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為：，此時圓心到直線的距離，則相交弦長為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為：，即此時圓心到直線的距離，則相交弦長為，解得：所以此時直線的方程為：，即.綜上，直線的方程為或（2）在圓外，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，則圓心到直線的距離，所以弦長，所以，當(dāng)時最大，即，即，解得或，的最大值為1，所以直線的方程為：或21.如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD中點，以AE為折痕把△ADE折起，使點D到達(dá)點P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：AE⊥PB；（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．解：（1）連接BD，設(shè)AE的中點為O，∵AB∥CE，AB＝CECD，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE為等邊三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，折疊后，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB?平面POB，∴AE⊥PB．（2）在平面POB內(nèi)作PQ⊥平面ABCE，垂足為Q，則Q在直線OB上，∴直線PB與平面ABCE夾角為∠PBO，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q兩點重合，即PO⊥平面ABCE，以O(shè)為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴（，0，），（，，0），設(shè)平面PCE的一個法向量為（x，y，z），則，即，令x得（，﹣1，1），又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）為平面PAE的一個法向量，設(shè)二面角A﹣EP﹣C為α，則|cosα|＝|cos|，由圖可知二面角A﹣EP﹣C為鈍角，所以cosα．22.已知雙曲線方程為，，為雙曲線的左、有焦點，離心率為2，點為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作斜率不為0的直線交雙曲線于兩點；則在軸上是否存在