江蘇省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：本卷考試時(shí)間為120分鐘，滿分為150分.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，所以，又因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，整理可得，解得，所以，所以，故選：A.3.已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為（）A.1 B. C.3 D.4【答案】C【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，因?yàn)?，，，所?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：C.4.在銳角三角形ABC中，，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理得:，所以，由銳角，得，即，解得：.所以，即，所以.故選：A5.已知三棱錐滿足，，，且其表面積為24，若點(diǎn)（正投影在內(nèi)部）到，，的距離相等，則三棱錐的體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】三棱錐滿足，，，則底面易知為直角三角形，設(shè)點(diǎn)到，，的距離為，過作，所以三棱錐的表面積，解得：，即，設(shè)在底面上的投影為，因?yàn)辄c(diǎn)（正投影在內(nèi)部）到，，的距離相等，所以到三邊的距離也相等，所以為內(nèi)心，因?yàn)榈酌鏋橹苯侨切?，所以?nèi)切圓半徑為，又底面,在底面內(nèi)，所以，又，為面內(nèi)兩條相交直線，所以面，又在面內(nèi)，所以，即為底面三角形內(nèi)切圓半徑，所以，又，所以，所以三棱錐體積為，故選：D6.對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”.若函數(shù)的圖象存在三對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由“隱對(duì)稱點(diǎn)”的定義可知，函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)的圖象與圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，即，所以，故函數(shù)的圖象與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，如圖①所示，，當(dāng)時(shí)，，即有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖②所示，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)時(shí)，，即有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，即,綜上所示，.故選：B.7.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】，所以的最大值為2，當(dāng)取最大值時(shí)，有，即，由，令，解得，當(dāng)趨于時(shí)，趨于正無窮，而，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)上述分析，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出的圖象與的圖象如圖所示，由圖可知，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上存在個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，的圖象與的圖象共有11個(gè)交點(diǎn).故選：C．8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，，.賦值，得；賦值，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，所以，即；賦值，得，解得，即；AC項(xiàng)，由，，得，其中由，可知，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；故AC錯(cuò)誤；BD項(xiàng)，，得；又，所以，則，故，且不恒為，故B錯(cuò)誤，D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.判斷下列命題中正確的有（）A.對(duì)于回歸分析，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，說明擬合效果越好B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變C.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則D.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，根據(jù)回歸分由正態(tài)分布的對(duì)稱性判斷；析，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，說明擬合效果越好；故A正確；對(duì)于B，設(shè)原數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為，每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，新數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的方差為所以將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，，所以，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)殡S機(jī)變量，由，可得，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，的定義域均為，若存在函數(shù)，使得函數(shù)，在上有，，，恒成立，則稱，為一組“雙向奔赴”函數(shù).下列各組函數(shù)中，符合“雙向奔赴”函數(shù)的有（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】BD【解析】由題意可知：，，等價(jià)于，；且，，等價(jià)于，.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，，則在內(nèi)的值域?yàn)?，可知不存在，使得恒成立，不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，?duì)于，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，可知；對(duì)于，則且，可知當(dāng)，滿足題意，所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，則，對(duì)于，，，取特值，可知，不合題意，即不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，，，?duì)于，此時(shí)，可得，且；對(duì)于，此時(shí)，可得，，可知當(dāng)，滿足題意，所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故D正確；故選：BD.11.已知曲線．點(diǎn)，，則以下說法正確的是（）A.曲線C不存在點(diǎn)P，使得B.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.直線與曲線C沒有交點(diǎn)D.點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q向作垂線，垂足分別為A，B，則【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，曲線，即，即第一象限是雙曲線的一部分；當(dāng)時(shí)，曲線，即，即第四象限不存在圖象；時(shí)，曲線，即，即第二象限是橢圓的一部分；時(shí)，曲線，即，即第三象限是雙曲線的一部分；畫出圖形如下：

對(duì)于A，滿足的點(diǎn)是在雙曲線的下支，此時(shí)，可得雙曲線方程，而根據(jù)前面討論可知，方程曲線上的點(diǎn)只能在第一象限和方程曲線上的點(diǎn)在第二象限，肯定都不滿足，而方程曲線上的點(diǎn)在第三象限，但這條雙曲線與方程曲線是共漸近線雙曲線，因此它們沒有交點(diǎn)，所以滿足的雙曲線的下支點(diǎn)在第三象限也不存在，而第四象限沒有圖象，即一定不存在點(diǎn)P，使得，故A正確；對(duì)于B，由圖可得曲線C不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，一三象限曲線的漸近線方程為，所以直線與曲線C沒有交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線，則由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，所以，又點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，代入曲線方程可得，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若雙曲線的左支上一點(diǎn)滿足，以為圓心的圓與的延長線相切于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】在中，由正弦定理得，且，由，得，由，得為的中點(diǎn)，則，又以為圓心的圓與的延長線相切于點(diǎn)，則，，由，得，則，所以雙曲線的離心率.故答案為：13.已知函數(shù)（為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象在點(diǎn)A（e,1）處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】由，，得，則（e），在點(diǎn)處的切線方程為：，①由于函數(shù)，②由①②聯(lián)立方程組可得：，化簡得：，③要使得函數(shù)在點(diǎn)處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，切線與，，在點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)，只需要滿足③式在內(nèi)有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根即可，則只需和拋物線對(duì)稱軸小于1，且當(dāng)時(shí)，，才能保證在內(nèi)有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則，即，的范圍：或.故答案為：14.某校高三1班10名同學(xué)、高三2班20名同學(xué)、高三3班10名同學(xué)參加“強(qiáng)國有我”演講比賽，采用隨機(jī)抽簽的方式確定出場順序，每位同學(xué)依次出場，記“高三1班全部學(xué)生完成比賽后，高三2班和高三3班都有學(xué)生尚未完成比賽”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為___________.【答案】【解析】根據(jù)題目本題主要關(guān)注的問題是最后一名參賽學(xué)生是哪個(gè)班級(jí)的學(xué)生.問題1：如果最后一位參賽學(xué)生為1班學(xué)生，即1班完成比賽時(shí)，2班、3班已經(jīng)全部完成，此時(shí)概率為，表示1班10位學(xué)生選取1位作為最后一位參賽學(xué)生，表示去除最后一名參賽學(xué)生后剩余學(xué)生全排列，作為分母表示40位學(xué)生的全排列，同理可得，最后一名參賽學(xué)生是2班的概率為，最后一名參賽學(xué)生是3班的概率為；將以上高二（1）班10名學(xué)生、高二（2）班10名學(xué)生、高二（3）班20名學(xué)生，按照比例轉(zhuǎn)化為，1班1名學(xué)生，2班2名學(xué)生，3班1名學(xué)生，進(jìn)行考察.問題2：發(fā)現(xiàn)最后一名參賽學(xué)生是1班的概率為，最后一名參賽學(xué)生是2班的概率為，最后一名參賽學(xué)生是3班的概率為，所以問題1與問題2等價(jià)，不妨令1班學(xué)生為a，2班學(xué)生為b，c，三班學(xué)生為d，則全排列作為概率公式分母，即.記“高三1班全部學(xué)生完成比賽后，高三2班和高三3班都有學(xué)生尚未完成比賽”為事件A，現(xiàn)在對(duì)事件A進(jìn)行分析：第一類：a在首位時(shí)，b，c，d全排列，有種可能；第二類：a在第二位時(shí)，d必須在第三或第四位，b，c全排列，有種可能；綜上，共種可能，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.在面積為S的中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）若，求周長的最大值；（2）若為銳角三角形，且AB邊上的高h(yuǎn)為2，求面積的取值范圍．解：（1）由和正弦定理，三角形面積公式得，因，故得，，由余弦定理，，因，則；·由余弦定理，，即，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，于是，，即當(dāng)時(shí)，周長的最大值為；（2）由可得，由正弦定理，，即得，，，·則，由為銳角三角形可得，，解得，則，由正弦函數(shù)圖象知，，故得，即面積的取值范圍為.16.已知橢圓離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、.已知面積的最大值為2，且過定點(diǎn).（1）設(shè)和的面積分別為、，求的最大值；（2）求證：為定值，并求出該定值.（1）解：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；設(shè)點(diǎn)、，若直線的斜率為零，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，不合題意；設(shè)直線的方程為，由于直線不過橢圓的左、右頂點(diǎn)，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為.（2）證明：由（1）可得，，所以，即為定值，定值為.17.在空間幾何體中，四邊形均為直角梯形．如圖，設(shè)，，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求的值．（1）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意，，設(shè)，則，，則，，，，，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為n1=則，取，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，所以，所以平面平面；（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)二面角的平面角為，所以，·所以，即，解得或（舍），則，所以，即，又，所以.18.已知函數(shù)．（1）是否存在實(shí)數(shù)a使得在上有唯一最小值，如果存在，求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，記的兩個(gè)零點(diǎn)是．①求證：；②求證：．（1）解：由題意知，則，當(dāng)時(shí)，f'x>0，在上單調(diào)遞增，沒有最小值；當(dāng)時(shí)，令，則（負(fù)值舍），當(dāng)時(shí)，f'x<0，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f'x>0，在上單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，取最小值，即，解得，故存在實(shí)數(shù)使得在上有唯一最小值；（2）證明：①因?yàn)?，令，即得，由題意知的兩個(gè)零點(diǎn)是，即，則，則，要證，即證，即，即證，即，由于，故，即證，即，令，設(shè)，則恒成立，即在1,+∞上單調(diào)遞增，且，故，即成立，故；②由于，令，則，令，當(dāng)時(shí)，h'x<0，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，h'x>0，在上單調(diào)遞增，故，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的兩個(gè)零點(diǎn)是，則，由于，故，函數(shù)在處的切線方程分別為，且在內(nèi)，在內(nèi)，先證：，即，即，令，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，再證：，即，令，則恒成立，即在單調(diào)遞減，則，令，則可設(shè)；令，則，則可得，即.19.已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).（1）寫出所有4的1減數(shù)列；（2）若存在m的6減數(shù)列，證明：；（3）若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.（1）解：由題意得，則或，故所有4的1減數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列3，1.（2）證明：因?yàn)閷?duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè)，且存在的6減數(shù)列，所以，得.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列中各項(xiàng)均不相同，所以.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.③當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.綜上所述，若存在的6減數(shù)列，則.（3）解：若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等