江蘇省蘇州市2025屆高三上學(xué)期12月階段檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2025屆高三上學(xué)期12月階段檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.（）A.3 B. C.10 D.100【答案】C【解析】，故.故選：C2.已知集合，，則集合的子集有（）A.2個 B.4個 C.8個 D.16個【答案】B【解析】，解得：，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以，故的子集有個.故選：B3.已知，，直線和垂直，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，直線，，且，，即．則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為8，故選：B．4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】兩邊平方得①，又，故，兩邊平方得②，式子①+②得，，故，故.故選：C5.已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，解得：①，又∵點(diǎn)在圓的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故選：B．6.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，若，則（）A. B.C.函數(shù)的周期為2 D.【答案】D【解析】為奇函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，故A項(xiàng)錯誤.即函數(shù)的周期為4，即C項(xiàng)錯誤.由，令，得，即B項(xiàng)錯誤.又，所以D項(xiàng)正確.故選：D7.已知數(shù)列滿足，，若成立，則的最大值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】因?yàn)椋淼?，且，可知是以首?xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，所以，可得，當(dāng)時，可得，且符合上式，所以，則，解得，即的最大值為8．故選：B．8.如圖，已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】延長與雙曲線交于點(diǎn)，因?yàn)?，根?jù)對稱性可知，設(shè)，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.函數(shù)，，的最小正周期為，且方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則下列說法正確的是（）A.B.把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則C.D.【答案】BCD【解析】依題意，函數(shù)，由的最小正周期為，得，解得，對于A，，A錯誤；對于B，把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得，則，B正確；對于C，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線對稱，依題意，，解得，C正確；對于D，由，得，解得，由選項(xiàng)C知，，因此，D正確.故選：BCD10.已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.隨著增大而減小B.曲線的橫坐標(biāo)取值范圍為C.曲線與直線相交，且交點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn).是曲線上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】AD【解析】因?yàn)榍€，當(dāng)，時，則曲線為橢圓的一部分；當(dāng)，時，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；當(dāng)，時，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；可得曲線的圖形如下所示：由圖可知隨著增大而減小，故A正確；曲線的橫坐標(biāo)取值范圍為，故B錯誤；因?yàn)椋郧€與直線相交，且交點(diǎn)在第四象限，故C錯誤；因?yàn)?，即點(diǎn)到直線的距離的倍，當(dāng)直線與曲線相切時，由，消去整理得，則，解得（舍去）或，又與的距離，所以，所以的取值范圍為，故D正確；故選：AD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的極大值為B.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為C.當(dāng)時，用二分法求函數(shù)在區(qū)間0,1內(nèi)零點(diǎn)的近似值，要求誤差不超過時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為D.若不等式在區(qū)間上恒成立，則的取值范圍為【答案】AC【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋玫?，由，得到，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增；在區(qū)間上，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，極大值為，所以A選項(xiàng)正確，對于B選項(xiàng)，，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)時，設(shè)，，所以hx在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增.所以，得到綜上所述，的取值范圍是，所以選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，當(dāng)時，，易知在0,1上單調(diào)遞增，依題意，，易知在上單調(diào)遞減，又，所以所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為，所以C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，不等式在區(qū)間0,+∞上恒成立，即在區(qū)間0,+∞上恒成立，即在區(qū)間0,+∞上恒成立，設(shè)，，易知在0,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在區(qū)間0,1上，單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞上，單調(diào)遞減，所以，則，即a的取值范圍為，所以D選項(xiàng)錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量在向量上的投影向量為，且，則______.【答案】【解析】在上的投影向量為，，則，即又，平方得，則即．故答案為：．13.已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓上至少有20個不同的點(diǎn)，使得，…組成公差為的等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)的最大值為_______．【答案】【解析】先求得的最大值和最小值.設(shè)是橢圓圖象上任意一點(diǎn)，則，則.設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，則，由于，所以.橢圓中，，，由題設(shè)不妨設(shè)，，，∴，解得，∴．故答案為：14.已知三棱錐四個頂點(diǎn)在球的球面上，平面，ΔABC是邊長為的正三角形，、、分別是、、的中點(diǎn)，且，則球的表面積為_________.【答案】【解析】如圖，根據(jù)題意，以A為原點(diǎn)，為軸方向，為軸方向，為軸方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，可得，，，，因?yàn)?、、分別是、、的中點(diǎn)，得，，，可得，，，，解得，解得，根據(jù)外接圓垂面模型的應(yīng)用，可找到如圖的球心和ΔABC的外接圓圓心，且必有，且為ΔABC的外接圓的半徑，因?yàn)棣BC是邊長為的正三角形，且，設(shè)外接球半徑，則在中，根據(jù)勾股定理，得，則可求得，則球的表面積為答案：三、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）若，角C的平分線交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E滿足，求．解：（1）由條件和正弦定理得，所以，展開后整理得．因?yàn)椋?，所以，又，所以．?）如圖所示，因?yàn)?，所以，又因?yàn)镃D為的平分線，所以．因?yàn)椋栽谥?，，又，所以為等邊三角形，所以．在中，由余弦定理可得，即，在中，由正弦定理可得，即，得?6.已知數(shù)列各項(xiàng)均不為零，前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求；（2）求.解：（1）因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均不為零，前項(xiàng)和為，，，當(dāng)時，則，可得；當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，整理可得，所以，數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則；當(dāng)偶數(shù)時，設(shè)，則.綜上所述，.（2），，故.17.三棱柱中，側(cè)面是矩形，，.（1）求證：面面ABC；（2）若，，，在棱AC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的大小為45°？若存在求出，不存在，請說明理由.（1）證明：，側(cè)面是菱形，，又，，平面，平面，，因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以，又，平面，又平面,.（2）解：由（1），以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、為x、y軸的正向，平面上過C且垂直于的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由條件，，，設(shè)，由（1），面，所以，面的法向量為.設(shè)面的法向量為，由，即，可設(shè)，∴，∴，得，即，得，（舍），即，所以，存在點(diǎn)P滿足條件，此時（即P是中點(diǎn)時）.18.如圖，已知圓：的直徑與橢圓：的短軸長相等，，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，，分別為圓與軸的交點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，證明：為定值.（1）解：根據(jù)：方程，可知圓心O0,0，半徑為，直徑為，因?yàn)閳A：的直徑與橢圓：的短軸長相等，所以，又因?yàn)椋?，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：當(dāng)與軸重合時，，，所以；當(dāng)不與軸重合時，設(shè)Ax1,y1，Bx2由整理得，，則，，故，圓心到直線的距離為，，則，所以，所以.綜上，為定值24.19.當(dāng)一個函數(shù)值域內(nèi)任意一個函數(shù)值都有且只有一個自變量與之對應(yīng)時，可以把這個函數(shù)的函數(shù)值作為一個新的函數(shù)的自變量，而這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的函數(shù)值，我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù).例如，由，得，通常用表示自變量，則寫成，我們稱與互為反函數(shù).已知函數(shù)與互為反函數(shù)，若兩點(diǎn)在曲線y=fx上，兩點(diǎn)在曲線y=gx上，以四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線垂直，則我們稱這個矩形為與的“關(guān)聯(lián)矩形”.（1）若函數(shù)，且點(diǎn)在曲線y=fx上.（i）求曲線y=fx在點(diǎn)A（ii）求以點(diǎn)A為一個頂點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積.（2）若函數(shù)fx=lnx，且與的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S.證明：.（參考數(shù)據(jù)：）（1）解：（i）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，即，由，得，則，所以曲線y=fx在點(diǎn)A處的切線方程為即.（ii）由（1），由得其反函數(shù)為，則函數(shù)和圖象關(guān)于直線對稱，設(shè)A關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為D，則D在曲線上，且，，則，由題意以及由圖象特征可知，則，