遼寧省丹東市五校協(xié)作體2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省丹東市五校協(xié)作體2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】因為，則，解得，則，所以.故選：A2.已知命題，，則為（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】命題，是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，因此為，.故選：A3.在等差數(shù)列中，已知，，，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】由，可得，公差，故，解得，故選：A4.已知向量，若，則（）A.1或 B.或C.或2 D.或1【答案】D【解析】，∵，∴，即∴∴或.故選：D.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，又，則，，即，所以，因為，所以，，由，可得，即，符合題意，故選：C.6.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故A錯誤；對于B，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以，故B錯誤；對于C，因為，且，所以，故C錯誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：D.7.設(shè)，滿足.若函數(shù)存在零點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，且均為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)是增函數(shù)，由于，故，滿足，說明中有1個是負(fù)數(shù)一定是，兩個正數(shù)或3個負(fù)數(shù)，由于存在零點，故．故選：B．8.已知，若關(guān)于的方程有兩個不同的正根，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，則，令，顯然在0,+∞上單調(diào)遞減，故有兩個不同的正根，令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，又時，時，，故，解得.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.'在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.若，則 B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，設(shè)，顯然，但，故A錯；對于B，設(shè)，則，，，所以，故B對；對于CD，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量，復(fù)數(shù)加減法對應(yīng)向量加減法，故和分別為和為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對角線的長度，所以，，故C對，D對.故選：BCD.10.如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.11.設(shè)都是定義在上的奇函數(shù)，且為單調(diào)函數(shù)，，若對任意有(為常數(shù))，，則（）A. B.C.為周期函數(shù) D.【答案】BCD【解析】對于A，在中，且，都是定義在上的奇函數(shù)，令得，則，又為單調(diào)函數(shù)，則有，即，所以，所以，所以A錯誤；對于B，由，且得，所以B正確；對于C，設(shè)，則由，可得，所以，所以，即為周期函數(shù)，所以C正確；對于D，由，得，即，所以為等差數(shù)列，且，即，故，從而.所以D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，常數(shù)項為__________.【答案】【解析】的展開式的通項，令，解得，故常數(shù)項為.故答案為：.13.已知某條線路上有兩輛相鄰班次的BRT（快速公交車），若準(zhǔn)點到站的概率為，在準(zhǔn)點到站的前提下準(zhǔn)點到站的概率為，在準(zhǔn)點到站的前提下不準(zhǔn)點到站的概率為，則準(zhǔn)點到站的概率為__________.【答案】【解析】設(shè)事件A為“A準(zhǔn)點到站”，時間B為“B準(zhǔn)點到站”依題意，,而，而，則，又，解得，故答案為：14.表示不超過的最大整數(shù)，比如，，...，已知等差數(shù)列的通項公式，其前項和為，則使成立的最大整數(shù)為________.【答案】63【解析】，，，，即，，時，；時，.故的最大值為63.故答案為：63.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足.（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍.解：（1）由及正弦定理得：，故，所以.因為B∈0,π所以，因為，所以.（2）由（1）可知，，由余弦定理，得，又，所以.由基本不等式得：，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.又，即，又，所以，所以，即周長的取值范圍是.16.為更好地發(fā)揮高考的育才作用，部分新高考試題采用了多選題這一新題型．多選題的評分規(guī)則如下：對于多選題，每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，滿分6分．全部選對得6分，有錯選或全不選的得0分．正確答案為兩項時，選對1個得3分；正確答案為三項時，選對1個得2分，選對2個得4分．某數(shù)學(xué)小組研究發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為．現(xiàn)有一道多選題，學(xué)生李華完全不會，此時他有三種答題方案：Ⅰ．隨機選一個選項；Ⅱ．隨機選兩個選項；Ⅲ．隨機選三個選項．（1）若，且學(xué)生李華選擇方案I，求本題得分的數(shù)學(xué)期望；（2）以本題得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，的取值在什么范圍內(nèi)唯獨選擇方案Ⅰ最好？解：（1）記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，則可以取0，2，3，，，，所以的分布列為023則數(shù)學(xué)期望．（2）記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，則的所有可能取值為0，2，3，則，，，所以；記為“從四個選項中隨機選擇兩個選項的得分”，則的所有可能取值為：0，4，6，則，，，所以；記為“從四個選項中隨機選擇三個選項的得分”，的所有可能取值為：0，6，則，，所以．要使唯獨選擇方案最好，則，解得：，故的取值范圍為．17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.解：（1）當(dāng)時，則，，可得，，即切點坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題意可知：的定義域為R，且，（i）若，則，令f'x>0，解得；令f'可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當(dāng)，即時，令f'x>0，解得或；令f'x可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時，令f'x>0，解得或令f'x<0可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.18.如圖，三棱錐中，底面ABC，且，，D為PC的中點，G在線段PB上，且．（1）證明：；（2）若BG的中點為H，求平面ADG與平面ADH夾角的余弦值．（1）證明：由于平面ABC，并且平面ABC，因此，由于，且，平面PAC，并且，因此平面PAC，又由于平面PAC，因此，由于，且D為PC的中點，因此，又由于，且，平面PBC，因此平面PBC，由于平面PBC，因此．（2）解：根據(jù)題意可知，以點A為原點，以過點A且平行于BC的直線為x軸，AC，AP所在的直線分別為y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，，，A0,0,0，，所以，由于G在線段PB上，令，且，那么，由于，所以，解得，因此，，所以，，，設(shè)平面ADH的法向量為，那么，令，則，，所以，設(shè)平面ADG的法向量為，那么，令，則，，因此，設(shè)平面ADG與平面ADH夾角為，所以，故平面ADG與平面ADH夾角的余弦值為．19.對于數(shù)列，如果存在等差數(shù)列和等比數(shù)列，使得，則稱數(shù)列是“優(yōu)分解”的．（1）證明：如果是等差數(shù)列，則是“優(yōu)分解”的．（2）記，證明：如果數(shù)列是“優(yōu)分解”的，則或數(shù)列是等比數(shù)列．（3）設(shè)數(shù)列的前項和為，如果和都是“優(yōu)分解”的，并且，求的通項公式．（1）證明：是等差數(shù)列，設(shè)，令，則是等差數(shù)列