山東省名校2025屆高三上學(xué)期12月校際聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省名校2025屆高三上學(xué)期12月校際聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置，并在答題卡規(guī)定位置貼條形碼.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，由，可得，即，所以．故選：D．2.若復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由，得，所以．故選：B．3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，，若，則，解得或，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A．4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，又，則，即，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，故．故選：C．5.設(shè)是空間中的一個(gè)平面，，，是兩兩不重合的三條直線，則下列命題中，真命題的是（）A.若，，，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】D【解析】對(duì)于A中，由，，，，只有直線與相交時(shí)，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，，知或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，，，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，，可得，又因?yàn)?，所以，所以D正確．故選：D．6.已知，，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，，故，且，故，所以．故選：D.7.若正四棱錐的高為，且所有頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在上，由題意球的半徑為，，所以，，，故中，邊的高為，所以該正四棱錐的側(cè)面積為．故選：B．8.若是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，由題意知，在上恒成立，即在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，又由，得到，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中，真命題是（）A.若，則B.若，則C.若.則D.若，則【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知其在R上單調(diào)遞增，，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，若，則，則，而，根據(jù)不等式的性質(zhì)，，從而，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，滿足，但無(wú)意義，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10.函數(shù)的圖象，如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.函數(shù)是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.若在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】依題意，，觀察圖象可得時(shí)，函數(shù)fx取最大值，又0<ω<1，所以，，解得，，而，解得，，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；是奇函數(shù)，B正確；，，令，，可得，，因此的對(duì)稱中心為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱中心為，故C正確；，，當(dāng)時(shí)，，依題意，，解得，D正確．故選：BCD．11.在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.C.直線與直線所成角為 D.平面經(jīng)過棱的三等分點(diǎn)【答案】ABD【解析】在正方體中，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，對(duì)于A，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫?，所以平面，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，B正確；對(duì)于C，設(shè)直線與直線所成角為，則，又，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在棱上取一點(diǎn)，如下圖所示：則，設(shè)平面的法向量，平面的法向量，則，解得平面的一個(gè)法向量，又，解得平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?dāng)時(shí)，共面，此時(shí)，即解得，所以平面經(jīng)過棱的三等分點(diǎn)，可得D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，矛盾，故．由題意，得，即，，所以．故答案為：13.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為__________．【答案】【解析】由，得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，上式取“=”，所以的最小值為．故選：D.14.一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為__________．【答案】-2【解析】因?yàn)?，，所以，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即；在點(diǎn)處的切線方程為：，即，由已知，由得，故，故，解得，所以，因此．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的值．解：（1）依題意，，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即．?不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以為等邊三角形，則，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），所以．16.已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，依題意，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（2）解：當(dāng)時(shí)，，由已知，不等式恒成立，因?yàn)?，所以，以上不等式可化為：，整理得，，設(shè)，由，知，上式可轉(zhuǎn)化為，，因?yàn)?，由，知，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為．17.如圖，在四棱錐中，，且，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，求二面角的正弦值的最小值.（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭橇庑?，所以，為的中點(diǎn)，，所以．又，面，且，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：過做交于點(diǎn)，平面平面，，面面，面，所以面，則即為直線與平面所成角，，，，面，，面，面，則，為，的交點(diǎn)，為等邊三角形，所以為的重心，，則，中，解得，以為原點(diǎn)，，所在直線為，軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，故．設(shè)，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，故.設(shè)平面與平面夾角為，，令，，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，此時(shí)，二面角的正弦值的最小值為.18.已知函數(shù)．（其中是自然對(duì)數(shù)的底，，）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求整數(shù)的最大值（）．解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，解得，由，解得．所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（2）由題意當(dāng)時(shí)，，整理得．令函數(shù)，則．令，則．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增．又，，所以，使得，即．故時(shí)，；時(shí)，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以．令函數(shù)．則，所以在單調(diào)遞增，因此．又，，∴．因此整數(shù)的最大值為1.19.已知無(wú)窮數(shù)列（，），構(gòu)造新數(shù)列滿足，滿足，…，滿足（，），若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，……，（，），若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列．（1）已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列二階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列．證明：為三階等比數(shù)列；（3）已知，令的前項(xiàng)和為，，證明：．（1）解：因?yàn)椋?，所以為公差為，首?xiàng)為的等差數(shù)列，因此，即，所以．（2）證明：因?yàn)闉槎A等差數(shù)列，所以（為