《用樣本估計(jì)總體分布》教學(xué)設(shè)計(jì)一

2/2《用樣本估計(jì)總體分布》教學(xué)設(shè)計(jì)一教學(xué)設(shè)計(jì)一、提出問(wèn)題，引入新課情境1：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)查只有10個(gè)不合格品.情境2：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)查產(chǎn)品不合格率為1%.上面哪一種情境能更好地反映工廠的生產(chǎn)情況？師生活動(dòng)：教師展示問(wèn)題，學(xué)生思考回答.這個(gè)問(wèn)題學(xué)生很容易回答，由于“生產(chǎn)100個(gè)產(chǎn)品有10個(gè)不合格品”與“生產(chǎn)1000個(gè)產(chǎn)品有10個(gè)不合格品”，這兩種情況雖然都是10個(gè)不合格品，但是工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量卻大不相同，因此只知道某個(gè)指標(biāo)的頻數(shù)是不夠的，需要用頻率來(lái)刻畫(huà).從而出本節(jié)課的課題：從頻數(shù)到頻率.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生產(chǎn)生活中兩個(gè)情境的比較，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引入本節(jié)課的課題學(xué)習(xí).二、新知探究（一）從頻數(shù)到頻率問(wèn)題1：我們知道，頻率表示頻數(shù)與總數(shù)的比值，能更好地反映樣本和總體的相應(yīng)特征，請(qǐng)看下面2個(gè)例子：例1下表是某兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（CBA）某個(gè)賽季的得分情況統(tǒng)計(jì)：根據(jù)這些數(shù)據(jù)分析兩名運(yùn)動(dòng)員的得分水平.例2下面給出了2012年至2016年我國(guó)普通高等學(xué)校和高中新生錄取人數(shù)及其相應(yīng)的錄取比例，請(qǐng)根據(jù)下圖中的數(shù)據(jù)說(shuō)明頻數(shù)與頻率的不同之處.師生活動(dòng)：教師用多媒體展示兩個(gè)例題，讓學(xué)生分析、思考、交流.教師引導(dǎo)學(xué)生思考的角度：（1）對(duì)于例1，我們?nèi)绾瓮ㄟ^(guò)表格分析兩名運(yùn)動(dòng)員的得分水平？解：由上面的數(shù)據(jù)可以看出，兩名運(yùn)動(dòng)員的參賽場(chǎng)次相同，每場(chǎng)出場(chǎng)平均時(shí)間甲少于乙；甲的場(chǎng)均得分和總得分均高于乙.從投籃命中率、三分球命中率和罰球命中率來(lái)看，甲均高于乙，可以認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員甲的各項(xiàng)命中率較高.（2）對(duì)于例2，你能通過(guò)上圖從頻數(shù)和頻率兩個(gè)角度來(lái)分析錄取新生的增長(zhǎng)情況嗎？通過(guò)分析你能得出什么結(jié)論？教師先讓學(xué)生表述分析的結(jié)果，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和完善.解：從2012年—2016年，普通高等學(xué)校新生錄取人數(shù)及其相應(yīng)的錄取比例都在逐年遞增；高中新生錄取人數(shù)基本呈逐年下降趨勢(shì)，其相應(yīng)的錄取比例基本呈逐年上升趨勢(shì).從頻數(shù)來(lái)看，高中錄取新生，2013年是822.70萬(wàn)人，2014年是796.60萬(wàn)人，較上一年減少了26.10萬(wàn)人.但是從這兩年的頻率來(lái)看，2013年—2014年的頻率卻增長(zhǎng)了3.67%.這說(shuō)明只從頻數(shù)一個(gè)角度分析實(shí)際問(wèn)題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.師指出：頻率反映了相對(duì)總數(shù)而言的相對(duì)強(qiáng)度，其所攜帶的總體信息遠(yuǎn)超過(guò)頻數(shù).在實(shí)際問(wèn)題中，如果總體容量比較小，頻數(shù)也可以較客觀地反映總體分布；當(dāng)總體容量較大時(shí)，頻率就更能客觀地反映總體分布.在統(tǒng)計(jì)中，經(jīng)常要用樣本數(shù)據(jù)的頻率去估計(jì)總體中相應(yīng)的頻率，即對(duì)總體分布進(jìn)行估計(jì).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析從頻數(shù)和頻率兩個(gè)角度分析問(wèn)題的差異性，明確不能從頻數(shù)一個(gè)角度分析實(shí)際問(wèn)題.（二）頻率分布表問(wèn)題2：1895年，在英國(guó)倫敦有106塊男性頭蓋骨被挖掘出土.經(jīng)考證，這些頭蓋骨的主人死于1665年—1666年的大瘟疫.人類學(xué)家分別測(cè)量了這些頭蓋骨的寬度，數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：146141139140145141142131142140144140138139147139141137141132140140141143134146134142133149140140143143149136141143143141138136138144136145143137142146140148140140139139144138146153148152143140141145148139136141140139158135132148142145145121129143148138149146141142144137153148144138150148138145145142143143148141145141請(qǐng)你估計(jì)在1665年—1666年，英國(guó)男性頭蓋骨寬度的分布情況.師生活動(dòng)：思考1：上述106個(gè)數(shù)據(jù)中的最大值和最小值分別是什么？由此說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)的變化范圍是什么？提示：最大值是158mm，最小值是121mm；變化范圍.思考2：樣本數(shù)據(jù)中的最大值和最小值的差稱為極差.如果將上述106個(gè)數(shù)據(jù)按組距為5mm進(jìn)行分組，那么這些數(shù)據(jù)共分為多少組？提示：，可以將數(shù)據(jù)分為8組.思考3：以組距為5mm進(jìn)行分組，上述106個(gè)數(shù)據(jù)共分為8組，各組數(shù)據(jù)的取值范圍可以如何設(shè)定？提示：思考4：如何統(tǒng)計(jì)上述106個(gè)數(shù)據(jù)在各組中的頻數(shù)？如何計(jì)算樣本數(shù)據(jù)在各組中的頻率？你能將這些數(shù)據(jù)用表格反映出來(lái)嗎？提示：思考5：上表稱為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表，由此可以推測(cè)頭蓋骨的寬度分布的大致情況，這里體現(xiàn)了一種什么統(tǒng)計(jì)思想？提示：用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布.思考6：對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，其組數(shù)是由哪些因素確定的？提示：極差和組距.思考7：對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，組距的確定沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)，組數(shù)太多或太少，都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況.數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多.按統(tǒng)計(jì)原理，若樣本的容量為n，分組數(shù)一般在附近選取.當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5~12組.若以0.1或1.5為組距對(duì)上述106個(gè)樣本數(shù)據(jù)分組合適嗎？提示：不合適，組距太小，組數(shù)太多.思考8：一般地，列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表可以分哪幾個(gè)步驟進(jìn)行？提示：第一步，求極差（極差=樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；第二步，決定組距與組數(shù)；（設(shè)k=極差組距，若k為整數(shù)，則組數(shù)=k，否則，組數(shù)=）第三步，分組，確定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組；第四步，統(tǒng)計(jì)頻數(shù)，計(jì)算頻率，制成表格.（頻數(shù)=樣本數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的個(gè)數(shù)，頻率=頻數(shù)樣本容量）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)8個(gè)思考問(wèn)題的設(shè)計(jì)，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出列頻率分布表的一般步驟.培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).（三）頻率分布直方圖問(wèn)題3：為了直觀反映樣本數(shù)據(jù)在各組中的分布情況，我們將上述頻率分布表中的有關(guān)信息用下面的圖形表示：上圖中每個(gè)小矩形的底邊長(zhǎng)是該組的組距，每個(gè)小矩形的高是該組的頻率與組距的比，從而每個(gè)小矩形的面積等于該組的頻率，即每個(gè)小矩形的面積=組距=頻率.我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖.這里的頻率分布直方圖中橫軸表示頭蓋骨的寬度，縱軸表示.頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的高度在數(shù)量上有何特點(diǎn)？思考1：頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積表示什么？各小長(zhǎng)方形的面積之和為多少？提示：各小長(zhǎng)方形的面積=各組的頻率，各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.思考2：頻率分布直方圖非常直觀地表明了樣本數(shù)據(jù)的分布情況，使我們能夠看到頻率分布表中看不太清楚的數(shù)據(jù)模式，但原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示出來(lái).你能根據(jù)上述頻率分布直方圖指出頭蓋骨的寬度的一些數(shù)據(jù)特點(diǎn)嗎？提示：（1）頭蓋骨的寬度的分布是“山峰”狀的，而且是“單峰”的.（2）大部分頭蓋骨的寬度集中在一個(gè)中間值附近，只有少數(shù)頭蓋骨的寬度很大或很小.（3）頭蓋骨的寬度的分布有一定的對(duì)稱性.思考3：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是根據(jù)頻率分布表畫(huà)出來(lái)的，一般地，頻率分布直方圖的作圖步驟如何？提示：第一步，畫(huà)平面直角坐標(biāo)系；第二步，在橫軸上均勻標(biāo)出各組分點(diǎn)，在縱軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度；第三步，以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫(huà)出各組對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形.思考4：對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)，頻率分布直方圖的外觀形狀與哪些因素有關(guān)？在頭蓋骨的寬度樣本中，你能以10為組距畫(huà)頻率分布直方圖嗎？師指出：從圖中可以得到頭蓋骨的寬度落在各個(gè)寬度區(qū)間內(nèi)的頻率（例如，寬度在的頭蓋骨所占的頻率為43.4%），每個(gè)寬度區(qū)間內(nèi)的頻率值就是該寬度區(qū)間所對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖的面積.圖中所有小矩形的面積之和，就是頭蓋骨的寬度落在各個(gè)寬度區(qū)間內(nèi)的頻率之和，等于1.當(dāng)樣本容量較大時(shí)，樣本中落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的個(gè)體的頻率會(huì)穩(wěn)定于總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的比例.因此，我們就可以用樣本的頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的比例，也就得到了總體的分布情況.（四）頻率折線圖問(wèn)題4：如何由頻率分布直方圖得到頻率折線圖？師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生閱讀教材第163~164頁(yè)內(nèi)容.得出頻率折線圖的概念.學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出教材例3的頻率折線圖.在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間.從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開(kāi)始，用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖，有時(shí)也用它來(lái)估計(jì)總體的分布情況.思考1：用樣本是否能夠準(zhǔn)確地估計(jì)總體分布情況？樣本容量的大小對(duì)總體的估計(jì)是否有影響，如何影響？提示：在上面的例子中，雖然我們是用樣本數(shù)據(jù)的頻率分布來(lái)估計(jì)總體的分布，與真正的總體分布是有差別的，但是當(dāng)樣本量不斷增大時(shí)，樣本中落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的個(gè)體的頻率會(huì)越來(lái)越穩(wěn)定于總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的比例.也就是說(shuō)，一般地，樣本容量越大，用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布就越精確.思考2：隨著樣本容量的增大，所劃分的區(qū)間數(shù)也可以隨之增多，而每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度則會(huì)相應(yīng)隨之減小，這條折線將如何變化？提示：上面的例題中，若樣本容量增大，則每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度可以由原來(lái)的5mm減小為4mm或3mm，相應(yīng)的頻率折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線.當(dāng)然，樣本容量越大，工作量也就越大.所以在實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，我們一般都要根據(jù)不同的情況選擇適當(dāng)?shù)臉颖救萘?設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在思考問(wèn)題的引導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的思維水平.在思考的同時(shí)，要讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，動(dòng)手與動(dòng)腦相結(jié)合，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析與直觀想象的核心素養(yǎng).三、典型例題例1某地區(qū)為了了解知識(shí)分子的年齡結(jié)構(gòu)，隨機(jī)抽樣50名，其年齡分別如下：42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，40，59，46，45，67，53，49，65，47，54，35，57，43，46，58.（1）列出樣本頻率分布表；（2）畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)年齡在32~52歲的知識(shí)分子所占的比例約是多少.解：（1）極差為，取組距為5，分為8組.樣本頻率分布表如下：（2）樣本頻率分布直方圖如下：（3）因?yàn)?，故年齡在32~52歲的知識(shí)分子約占70%.例2為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)同年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行跳繩測(cè)試，將所得的數(shù)據(jù)整理后畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前三個(gè)小組的頻率分別是0.1，0.3，0.4第一小組的頻數(shù)是5.（1）求第四小組的頻率和參加這次測(cè)試的學(xué)生人數(shù)；（2）求并且將直方圖補(bǔ)充完整.（3）參加這次測(cè)試跳繩次數(shù)在100次以上為優(yōu)秀，試估計(jì)該校此年級(jí)跳繩成績(jī)優(yōu)秀率是多少？解：（1）第四小組頻率為，參加測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為.（2），頻率分布直方圖如圖所示.（3）優(yōu)秀率為.四、鞏固練習(xí)1.教材第164頁(yè)練習(xí)第1題.2.教材第165頁(yè)習(xí)題6-3A組第1題.五、課堂總結(jié)1.頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小，總體分布是指總體取值的頻率分布規(guī)律.我們通常用樣本的頻率分布表或頻率分布直方圖去估計(jì)總體的分布.2.頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息.3.樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過(guò)各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來(lái)表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚地看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計(jì)總體的分布情況.板書(shū)設(shè)計(jì)3用樣本估計(jì)總體分布1.頻數(shù)與頻率2.頻率分布表第一步，求極差（極差=樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；第二步，決定組距與組數(shù)；（設(shè)k=極差組距，若k為整數(shù)，則組數(shù)=k，否則，組數(shù)=）第三步，分組，確定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組；第四步，列表，統(tǒng)計(jì)頻數(shù)，計(jì)算頻率，制成表格（頻數(shù)=樣本數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的個(gè)數(shù)，頻率=頻數(shù)樣本容量）3.頻率分布直方圖圖中每個(gè)小矩形的底邊長(zhǎng)是該組的組距，每個(gè)小矩形的高是該組的頻率與組距的比，從而每個(gè)小矩形的面積等于該組的頻率，即每個(gè)小矩形的面積=組距=頻率.我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖頻率分布直方圖的作圖步驟：第一步，畫(huà)平面直角坐標(biāo)系；第二步，在橫軸上均勻標(biāo)出各組分點(diǎn)，在縱軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度；第三步，以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫(huà)出各組對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形4.頻率折線圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間.從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開(kāi)始，用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖例1例25.課堂總結(jié)教學(xué)研討本案例緊扣教材，充分挖掘教材，以問(wèn)題導(dǎo)學(xué)，讓學(xué)生在思考、討論、交流中進(jìn)行知識(shí)的抽象概括，在數(shù)據(jù)的分析中形成圖表.在學(xué)習(xí)頻率分布表時(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)大問(wèn)題，然后又設(shè)計(jì)了8個(gè)思考問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，在追問(wèn)中讓學(xué)生的思考更條理，最后歸納總結(jié)出列頻率分布表的一般步驟.在教學(xué)中，要讓學(xué)生弄清楚統(tǒng)計(jì)的基本思想是研究如何從樣本的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)去推測(cè)相應(yīng)總體的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，即如何根據(jù)樣本去探求有關(guān)總體的規(guī)律性，而統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學(xué)，可以為人們制定決策提供依據(jù)，借助死記硬背一些概念公式，簡(jiǎn)單模仿例題來(lái)