2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)文檔 學(xué)生用書 第12章

第十二章復(fù)數(shù)、推理與證明、算法

第一節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

?最新考綱?

1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.

2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.

3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義.

4.能進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.

5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.

?考向預(yù)測?

考情分析：復(fù)數(shù)的基本概念(復(fù)數(shù)的實部、虛部、共靶復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等)，復(fù)數(shù)相等的

充要條件，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算仍是高考考查的熱點，題型仍將是選擇題與填空題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過復(fù)數(shù)的概念、運算及其幾何意義考查數(shù)學(xué)運笄的核心素養(yǎng).

積累必備知識一基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的概念

形如〃+砥a,的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中小b分別是它的和.若

，則a+bi為實數(shù)，若,則a+bi為虛數(shù)，若,則a+歷

為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等：a+/)i=c+6/iQ(a,b,c,d￡R).

(3)共枕復(fù)數(shù)："+Ai與e-Ji共規(guī)o(a,b,c,d￡R).

(4)復(fù)平面

建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面.叫做實軸,

叫做虛軸.實軸上的點都表示:虛軸上的點都表示:各象限內(nèi)的點都表示

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面

內(nèi)所有以為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的.

(5)復(fù)數(shù)的模

向量02的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+〃i的模，記作|z|或|a+歷即|z|=|a+)i|=

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

3.復(fù)數(shù)的運算

(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則

設(shè)zi=a+0i,Z2=c+d\{c,b,c,d￡R),則

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=?

②減法：zi-Z2=(a+〃i)一(c+di)=.

③乘法：zig=(a+加>(c+M)=.

④除法：*=』=(c+d*O).

(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何Z］、Z2、Z3^C,有Z|+Z2=Z2+Z［,(Z1+Z2)

I23=21I(Z2IZ3)?

二、必明3個常用結(jié)論

2.-〃+ai=i(a+/):

14?^+|_|_^2_|_；4?+3\

3.i4n+,=i,i4n+2=-l,i4rt+3=-i,+=0>wGN

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

I.判斷下列說法是否正御(請在括號中打“J”或“X”).

(1)方程f+x+l=O沒有解.()

(2)復(fù)數(shù)z=a+〃i伍，5￡R)中，虛部為〃i.()

(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小,如4+3i>3+3i,3+4i>3+3i

等.()

(4)原點是實軸與虛軸的交點.()

(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量

的模?()

(6)復(fù)數(shù)z=-l+2i的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)點在第四象限.()

(二)教材改編

2.［選修2-2P心例題改編］已知z=(小+1)+(加一l)i在電平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，

則實數(shù)力的取值范圍是()

A.(—1,1)B.(―1,3)

C.(1,+8)D.(-8,-1)

2+

3.［選修2-2-PU6復(fù)習(xí)參考題A組Tl(2)改編愎數(shù)z='%為虛數(shù)單位)的共規(guī)復(fù)

數(shù)是.

（三）易錯易混

4.（對復(fù)敷的虛部認花不貴）已知復(fù)數(shù)zi滿足（2—i）zi=6+2i,zi與Z2=〃J—2〃i（/〃，n€R）

互為共知復(fù)數(shù)，則即的虛部為，加+〃=.

5.（復(fù)數(shù)的幾何意義出緒）如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi和Z2對應(yīng)的點分別是A和3,

5

（四）走進高考

6.［2021?全國卷I］若z=l+i,則憶2—2才=（）

A.0B.1C.aD.2

提升關(guān)鍵能力一考點突破掌握類題通法

考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念［基礎(chǔ)性］

1.若復(fù)數(shù)z滿足zi=3—5i,則z的虛部為（）

A.一3B.3C.5D.-5

1+

2.［2022?廣東深圳市高三質(zhì)量評估］若復(fù)數(shù)z=小一i為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為

（）

A.-IB.-3C.0D.I

z-

3.已知z為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)"為純虛數(shù)，則|z|=（）

A.2B.的C.1D.

反思感悟求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧

復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共蛆及數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部與虛部有關(guān)，所

以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)格式，即a+）i（a,的形

式，再根據(jù)題意列方程（組）求解.

考點二復(fù)數(shù)的代數(shù)運算［基礎(chǔ)性］

［例I］(1)［2021?北京卷］在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(l—i)z=2,則z=()

A.2+iB.2-iC.LiD.1+i

(2)［2021?全國乙卷］設(shè)2(z+力+3(z—3=4+6i,則z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.|-i

(3)(2021?全國甲卷］已知(1-ipz=3+2i,則z=()

A.-1-3iB.-1+

3

C.—、+iD.

聽課筆記：

反思感悟復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略

復(fù)數(shù)的在進行復(fù)數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部

加減法相加減，虛部與虛部相加減)計算即可

復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類

乘法同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可

復(fù)數(shù)的除法的關(guān)健是分子分母同乘以分母的共聊復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的事

除法寫成最簡形式

【對點訓(xùn)練】

1+2>

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足鼻=i,貝l」Z=()

S5.D

AA.IB.

C-55iD.-

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+2i)=(l+iF(i為虛數(shù)單位)，貝”z-4-i2O2,|=()

<場3

A.5B.5C.5D,1

3.［2022?浙江省舟山中學(xué)高三月考］若z=2+i,則|z|=

考點三復(fù)數(shù)的幾何意義［基礎(chǔ)性、應(yīng)用性］

2-i

［例2］(1)復(fù)數(shù)1T在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為()

A.第一象限B.第二象限

C第三象限D(zhuǎn).第四象限

吧

(2)［2022?開封市模擬考試|在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)計對應(yīng)的點位于直線y=x的左上方,

則實數(shù)a的取值范惘是()

A.(—8,0)B.(一8,1)

C.(0,+8)D.(1,+8)

聽課筆記：

反思感悟復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用

(1)復(fù)數(shù)z、良平面上的點Z及向量而相互聯(lián)系，即z=a+/?i(a,力￡R)oZ(a,

〃)=O2=(a,b).

(2)由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何

聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

［提醒］|z|的幾何意義：令z=x-iyi(x,y￡R),則|z|=依T,由此可知表示復(fù)

數(shù)Z的點到原點的距離就是|Z|的幾何意義；Z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)Z1,Z2的

兩點之間的距離.

【對點訓(xùn)練】

2i

1.［2022?重慶市高三月考］在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù).對應(yīng)的點的坐標為()

A.(-l,1)B.(1,-1)

C.(~l?i)D.(i,-1)

2.［2022?合肥市教學(xué)質(zhì)量檢測］設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z—i|(i為虛數(shù)單位)，z在復(fù)平面內(nèi)

對應(yīng)的點為(1,y),貝女)

A.>'=-A

B.y=x

C.(.Ll)2+(y—1)2=1

D.(x+l)2+()，+1尸1

第十二章復(fù)數(shù)、推理與證明、算法

第一節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

積累必備知識

1.⑴實部虛部b=a5WO。=0且bWO(2)a=c且b=d(3)S=-d

(4)x軸y軸除去原點實數(shù)純虛數(shù)實部不為0的虛數(shù)點原點

⑸JG+Y

3.(a+c)+(b+d)i(a—c)+(〃-d)i(ac-bd)+(ad+bc)\

二.、

1.答案：⑴x(2)X(3)X(4)X⑸J(6)X

2.解析：要使復(fù)數(shù)z對反的點在第四象限，應(yīng)滿足，解得一1<〃?<1.

答案：A

Z+(24^(1+^1+313

3.解析：因為z=L=&***=2=2Y所以，其共扼復(fù)數(shù)為

答案：z1

64-3葡一飼l(Hia

4.解析：由(2—i)zi=6+2i,得Zi='宜=B=2+2i,則Z2

=2—2i,則m=2,以=1,所以m+/i=3.

答案：23

3K-2-H)TI

_S-

5.解析：由題圖得：zi=-2—i,Z2=i，所以

答案：一5Psi

6.解析：6z=l+i,.,.|z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|=|2i-2i-2|=|-2|=2.

答案：D

提升關(guān)鍵能力

考點一

3-S

1.解析：由復(fù)數(shù)的運算法則，可得z=丁=記耳=-5—3i,所以復(fù)數(shù)z的

虛部為一3.

答案：A

1+（1呼7升小a-^一。

2.解析：化簡原式可得：z=后一i="1-i=一而一.z為純虛數(shù)

什]

時，"=0,a—a2-2Ko即a=-1.

答案：A

?+{^>

3.解析：設(shè)2=〃+加3,〃￡R）,所以復(fù)數(shù)*=f

=

=幣=因為復(fù)數(shù)計為純虛數(shù)，所以〃+〃=],.所以團=

^+P=1.

答案：C

考點二

a第司第句

例?解析：⑴由題意可得：z=J=0市r=~=i+i.

(2)設(shè)2=〃+力i,則'=〃一歷，則2(z+!)+3(Z—)=4a+6加=4+6i.

14a=4

所以，Mb=6,解得a=b=],因此,

z=I+i.

a+aG+砌-2-H3

(3)(1—i/z=-2iz=3+2i,z=一不=Ti==一1+

答案：(DD(2)C(3)B

對點訓(xùn)練

l+2a-14i(T珂ZF

■

1.解析：由'r=i得l+2z=i-iz,所以Z=

答案：C

aw?+1

2.解析：由z(l+2i)=(l+i)2得復(fù)數(shù)z=l+2i-

?-a4-14+a

T

514.j2021_S+i=

.,.|z+i2O2,|=7L腐①.

答案：D

3.解析：因為z=2+i,所以|z|=

2i2i2i2噂8

(2十2旬一一(5-?5代一

答案：謳管

考點三

2-i1-H

T,所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為

例2解析：⑴

G+該點在第一象限.

EQT獨

⑵因為1+0球一,復(fù)數(shù)I中對應(yīng)的點在直線)，=X的左

上方，所以1—解得avO.故實數(shù)。的取值范圍是(一8,0).

答案：(1)A(2)A

對點訓(xùn)練

里7計。21

1.解析：由匚=<1-W14<=~=-l+i,見復(fù)數(shù)二對應(yīng)的點的坐標

是(一1，1).

答案：A

2.解析：z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(%,y),則z=x+,i(x,y￡R),又|z-l|=|z—i|,所

以(x—l)2+y2=f+G，—])2,所以),=x

答案：B

第二節(jié)合情推理與演繹推理

?最新考綱?

1.了解合情推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理.

2.體會合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.

3.了解演繹推理的含義，了解合情推理和演絳推理的聯(lián)系和差異，掌握演繹推理“三

段論”.能運用“三段論”進行一些簡單推理.

?考向預(yù)測?

考情分析：以類比推理、歸納推理和演繹推理的推理方法為主，常以演繹推理的方法根

據(jù)幾個人的不同說法作出推理判斷進行命題.在高考中以填空題的形式進行考查，屬于中、

高檔題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過合情推理與演繹推理的應(yīng)用考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.推理

(1)定義：是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程.

(2)分類：推理

2.合情推理

歸納推理類比推理

由某類事物的部分對象具有某些特

征，推出該類事物的由兩類對象具有某些類似特征和其

定義________________________的推中一類對象的____________,推出

理.，或者由個別事實概括出另一類對象也具有這些特征的推理

_的推理

由____到____、由____到____的推

特點由到的推理

理

3.演繹推理

（1）定義：從____________出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演

繹推理.

（2）特點：演繹推理是由—到—的推理.

（3）

'①大前提：已知的

，②小前提：所研究的特殊情況

、③結(jié)論：根據(jù)一般原理，對____________做出的判斷

模式：三段論

二、必明2個常用結(jié)論

1.歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在土行歸納時，要先根據(jù)已知的

部分個體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論.

2.類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似對象之間的推理，其中一個對象具有

某個性質(zhì)，則另一個對象也具有類似的性質(zhì).在進行類比時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推

理過程，然后類比推導(dǎo)類比對象的性質(zhì).

三、必練2類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

I.判斷下列說法是否正確（請在括號中打“J”或"X”）.

（1）歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.（）

（2）由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.（）

（3）在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.（）

（4）在演繹推理中，只要冬合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.（）

（二）教材改編

2.［選修1-2R8練習(xí)Ti改編］已知數(shù)列｛詼｝中，“1=1,心2時,?！?加1+2〃-1,依

次計算他，的，W后，猜想”，的表達式是（）

A.詼=3〃-1B.a“=4〃-3

2

C.?d=wD.

3.［選修1一2?%4例4改編］類比平而內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的

性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論（）

①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；

②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行：

③垂直于同一個平面的兩個平面互相平行：

④垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.

A.①?B.?@C.③④D.①④

提升關(guān)鍵能力一考點突破掌握類題通法

考點一類比推理［基感性、應(yīng)用性］

1.我國古代數(shù)學(xué)名著《凡章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細，所失彌少，割之又害IJ,

以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如

在42+.2+折二中，“…,，代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值-這可以通過方

程6G=1確定出來工=2,類似地不難得到1+'F等于（）

2.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中，用如圖1所示的

三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家布菜士?帕斯卡的著

作介紹「這個三角形.近年來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，

所以有些書上稱這是“中國三角形"（Chineseiriangle）,17世紀德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)

現(xiàn)了“菜布尼茨三角形”如圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式:

藻，其中〃是行數(shù)，r￡N.詩類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式

是________

11

爹7

111

J6T

IAHI

1_L_L_L±

52030205

Ki6060iK

[]"i][

pl「0「I「I「1r*r「1「a-1「I「Q

J.lJJ.1JJdJ

圖2

反思感悟（1）進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，

提出猜想，其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵.

（2）類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比：等差數(shù)列與等比數(shù)

列類比：數(shù)的運舞與向量的運算類比：圓錐曲線間的類比等.

考點二歸納推理［基礎(chǔ)性］

角度1與數(shù)字有關(guān)的推理

［例1］有?個奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下:

1371321

591523???

111725???

1927??????

29…??????

則第30行從左到右第3個數(shù)是

聽課筆記：

角度2與不等式有關(guān)的推理

［例2］觀察下列式子：Vixi<2,<

"VTX2+V2X3+5^5<4

2<8VT72+V2)n+^5c4+V4>F3<

25

L…，根據(jù)以上規(guī)律，第”(〃￡N")個不等式是

聽課筆記：

角度3與圖形有關(guān)的推理

［例31分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)

學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖甲所示的分形

規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖；記圖乙中第〃行黑圈的個數(shù)為小，則(1)出=:

⑵2a“=?

第1行

第2行

第3行

圖甲圖乙

聽課筆記:

反思感悟

1.歸納推理的常見類型及求解策略

（1）數(shù)的歸納，包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰

項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等.

（2）形的歸納，主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納，解決的關(guān)鍵是抓住相鄰國

形之間的關(guān)系.

2.運用歸納推理的思維步驟

通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的

共性或一般規(guī)律）

把這種相似性推廣為一個明確表述的一

般命題（猜想）

檢驗，得結(jié)論一對所得的一般性命題進行檢驗

【對點訓(xùn)練】

1.觀察下列不等式:

13

1+?<彳

1+?+?<

1+二+1

照此規(guī)律，第五個不等式為

三角錐垛

2.[2022?陜西咸陽模擬]古希臘華達司拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是列點（或圓球）在等

距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1,3,6,10,15,…，我國宋元時期數(shù)學(xué)家朱世杰

在《四元玉鑒》中所記載的“深積術(shù)”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的

三角錐的錐垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球，……）若一”落

一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個數(shù)為（）

A.66B.55C.45D.38

考點三演繹推理［應(yīng)用性］

■+3

［例4］數(shù)列｛陽｝的前〃項和記為已知卬=1,an+i=用三段論

的形式證明：

(1)數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)S”+l=4"n.

聽課筆記：

反思感悟演繹推理的論證規(guī)則

(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，

應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略，本例題中，等比數(shù)

列的定義在解題中是大前提，由于它是顯然的，因此省略不寫.

(2)在推理論證過程中，一些梢復(fù)雜一點的證明題常常要由幾個二段論才能完成.

【對點訓(xùn)練】

［2021?八省市新高考適應(yīng)性考試］關(guān)于x的方程f+at+b=0,有下列四個命題：

甲：x=\是該方程的根；

乙：x=3是該方程的根；

丙：該方程兩根之和為2；

T：該方程兩根異號.

如果只有一個假命題，則該命題是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

微專題39歸納推理中的核心素養(yǎng)邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程.主要包

括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的

推理，推理形式主要有演繹.

［例］［2019?全國卷H］在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測.

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有?個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次

序為()

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.曰、丙、乙

解析：三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，有以下三種情況：(1)若乙預(yù)測正確，

則丙預(yù)測也正確，不合題意；（2）若丙預(yù)測正確，甲、乙預(yù)測錯誤，即丙成績比乙高，甲的

成績比乙低，則丙的成績比乙和甲都高，此時乙預(yù)測又正確，與假設(shè)矛質(zhì)；（3）若甲預(yù)測正

確，乙、丙預(yù)測錯誤，可得甲成績高于乙，乙成績高于丙，符合題意，故選A.

答案：A

名師點評本題體現(xiàn)數(shù)學(xué)索養(yǎng)中的邏輯推理，表現(xiàn)為人們在數(shù)學(xué)活動中進行交流的基本

思維品質(zhì)，處理此類問懣常采用辨證推理的思想.

［變式訓(xùn)練］［2022?河南部分重點高中聯(lián)考］為培養(yǎng)學(xué)生分組合作能力，現(xiàn)將某班分成A,

8,C三個小組，甲、乙、丙三人分到不同的組.某次數(shù)學(xué)建?？荚囍腥说某煽兦闆r如下：

在B組中的那位的成績與甲不一樣，在A組中的那位的成績比丙低，在B組中的那位的成

績比乙低.若甲、乙、丙三人按數(shù)學(xué)建?？荚嚦煽冇筛叩降晚樞?，則排序正確的是（）

A.乙、丙、甲B.丙、乙、甲

C.乙、甲、丙D.日、丙、乙

第二節(jié)合情推理與演繹推理

積累必備知識

1.（2）合情推理演繹推理

2.全部對象都具有這些特征一般結(jié)論某些已知特征部分整體個別一般

特殊特殊

3.（1）一般性的原理（2）一般特殊（3）一般原理特殊情況

■、

1.答案：（l）x（2）V⑶X（4）X

2.解析：由”|=1,〃“=a”-i+2〃-1,貝

42=ai+2X2—1=4；g="2+2X3—1=9；

“4=03+2X4—1=16,用以

答案：C

3.解析：①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行，正確；②垂直于同一條直線的兩

條直線不一定平行，也可能是相交直線、異面直線，故不正確；③垂直于同一個平面的兩個

平面不一定平行，也可能是相交平面，如墻角，故不正確；④垂直于同一條直線的兩個平面

互相平行，正確.

答案：D

提升關(guān)鍵能力

考點一

1辿

1.解析：令1+即1+”=X,即X2—X—1=0,解得x=2（

-A，

2舍去)，故i+'長z.故選C.

答案：c

二,而相鄰兩項之

2.解析：類比觀察得，萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)

和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù),

所以類比式子=，有*=?

1

_3_+>

答案：0,4=

考點二

例1解析：觀察每一行的第一個數(shù)，由歸納推理可得笫30行的第1個數(shù)是1+4+6

+8+10+…+60=2-1=929.又第〃行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大2〃，

笫3個數(shù)比第2?個數(shù)大2〃I2,所以第30行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大60,笫3個

數(shù)比第2個數(shù)大62,故第30行從左到右第3個數(shù)是929+60+62=1051.

答案：1051

例2解析：根據(jù)所給不等式可得第〃個不等式是ym+Em+…+

7nx(n+l)<z(〃￡N)

_______________爐

答案：VIX2+V2X3-1---JnX(n+l〕v2

例3解析：(1)根據(jù)題圖甲所示的分形規(guī)律，可知1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，

1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，

記某行白圈x個，黑圈>個為(x,y),

則第一行記為(1,0),第二行記為(2,1),第三行記為(5,4),第四行記為(14,13),故

。4=13.

(2)前五行的黑圈數(shù)乘2,分別是0,2,8,26,80,即1—1,3-1,9-1,27-1,81

-1,

???第〃行的黑圈數(shù)的2倍為2an=y-'-l.

答案:(1)13(2)3”一1一1

對點訓(xùn)練

I.解析：觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分數(shù)的分母的算術(shù)平方根

與右端值的分母相等，且每行右端分數(shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列.故第五個不等式為1+

<

工+?+】+工+工11

較安尹丞手尹不

答案：14+-<？7

2.解析：???"三角形數(shù)”可寫為1,3=1+2,6=1+243,10=1+2+3+4,15=1

+2+3+4+5,

??.“三角形數(shù)”的通項公式為為=1+2+3+…+〃=2,

???三角錐垛有10層，，該堆垛第10層球的個數(shù)為mo=―S-=55.

答案：B

考點三

■4-a

例4證明：(l),.Z0+i=S"+|—S,”a“+i="Sn,

.??(〃+2)S“=〃(S”LSJ,即nSn+i=2(n+l)Sn.

I士

???奇=2.*,

故總是以2為公比J為首項的等比數(shù)列.

(2)由(1)可知a+1=4?T(〃e2),

J?TW

???￡+i=4(〃+l>?T=4.ST=4小(〃22).

又〃2=3SI=3,S2=?I+?2=1+3=4=44i,

???對于任意正整數(shù)〃，都有S“+i=4a”.

對點訓(xùn)練

解析：結(jié)合選項可知，若甲、乙都是真的，那么為=1,X2=3,則丙和丁都錯了，因此

假命題必是甲或乙，再結(jié)合丙和丁，若甲為真命題，乙為假命題，則另一個根也是1,故丁

不成立，若乙為真命題，甲為假命題，則另一個根是一1,丁也成立.因此甲是假命題.

答案：A

微專題39歸納推理中的核心素養(yǎng)

變式訓(xùn)練

解析：因為在8組中的那位的成績與甲不一樣，在B組中的那位的成績比乙低，所

以甲、乙都不在8組，所以丙在8組.假設(shè)甲在4組，乙在C組，由題得甲、乙、丙三人

按數(shù)學(xué)建?？荚嚦煽冇筛叩降团判蚴且?、丙、甲.假設(shè)甲在C殂，乙在A組，與題意矛盾，

所以排序正確的是乙、丙、甲.

答案：A

第三節(jié)直接證明和間接證明

?最新考綱?

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法：了解分析法和綜合法的思考過

程、特點.

2.了解間接證明的一種基本方法一反證法：了解反證法的思考過程、特點.

?考向預(yù)測?

考情分析：直接證明與間接證明是高中數(shù)學(xué)的重要推理方法，它們?nèi)允歉呖嫉目键c，題

型將是選擇或填空題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過直接證明和間接證明的應(yīng)用考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

積累必備知識一基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.直接證明

內(nèi)容綜合法分析法

從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論成立

從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后

的充分條件,最后達到題設(shè)的已知條件或

定義達到待證結(jié)論的方法,是一種從—推導(dǎo)

已被證明的事實的方法，是一種從一

到一的思維方法

追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的—的思維方法

從“_”看“_"，逐步推向“未知”，

從“—”看“—”，逐步靠攏“—”，其

特點其逐步推理，實際上是要尋找它的一

逐步推理，實際上是要尋找它的一條件

條件

2.間接證明——反證法

要證明某一結(jié)論Q是止硝的，但不直接證明，而是先去（即Q的反面非Q

是正確的），經(jīng)過正確的推理，最后得出________,因此說明非Q是的，從而斷定

結(jié)論Q是的，這種證明方法叫做反證法.

3.數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n?。╪o^N）時命題成立.

（2）（歸納遞推）假設(shè)，尸如仁小，左￡曠）時命題成立，證明當(dāng)________時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對都成立，上述證明方法

叫做數(shù)學(xué)歸納法.

二、必明2個常用結(jié)論

1.分析法與綜合法的應(yīng)用特點：對較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進行分析，尋求結(jié)論

與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運用綜合法證明：或兩種方法交叉使用.

2.利用反證法證明的特點：要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)的命題進行推理，如果沒有用

假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的.

三、必練2類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請在括號中打“J”或"X”）.

（1）綜合法是直接證明，分析法是間接證明.（）

（2）分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.（）

⑶反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾.（）

（二）教材改編

2.［選修I-2P42練習(xí)T?改編］若P=Va+6+V?+7,Q=

Va+8+V?+則尸，。的大小關(guān)系是（）

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.不能確定

3.［選修1-2尸52T2改編］VS-2的與書的大小關(guān)系是.

提升關(guān)鍵能力一考點突破掌握類題通法

考點一綜合法的應(yīng)用［綜合性］

I例IJ設(shè)b,c均為正數(shù)，且。證明：

1

（l）ab+bc+caW3；

⑵旨°仁］

聽課筆記：

一題多變

（支問題）若例I條件不變，證明：/+/+，2

反思感悟綜合法證題的思路與方法

分析題目的已知條件及巳知條件與

結(jié)論之間的聯(lián)系，選擇相關(guān)的定理、

公式等，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法

把已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需要的語

言，主要是文字、符號、圖形三種

語言之間的轉(zhuǎn)化

回顧解題過程，可對部分步碟進行

調(diào)整，并對一些語言進行適當(dāng)?shù)男?/p>

飾，反思總結(jié)解題方法的選取

【對點訓(xùn)練】

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己角Isin4sinB+sin8sinC+cos28

(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列:

3

⑵若C=>求證：567=3/?.

考點二分析法的應(yīng)用［綜合性］

［例2］已知〃>0,證明:泊+-2.

聽課筆記:

反思感悟分析法的證題思路

分析法的證題思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏''已知”或本

身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等.通常采用“欲證一只需證一已知”的格

式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范.

【對點訓(xùn)練】

設(shè)x21,yNL證明：x+y+=''+町.

考點三反證法的應(yīng)用［綜合性］

ill

［例3］已知非零實數(shù)44c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：‘‘；不可

能成等差數(shù)列.

聽課筆記：

反思感悟反證法證明問題的一般步驟

(1)反設(shè)——假設(shè)命題的紂論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為其；

(2)歸謬——把“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾；

(3)存真——由矛盾結(jié)果斷定反沒錯誤，從而肯定原結(jié)論成立.

應(yīng)用反證法時，當(dāng)原命題的結(jié)論的反面有多種情況時，要對結(jié)論的反面的每一種情況都

進行討論，從而達到否定結(jié)論的目的.

【對點訓(xùn)練】

設(shè)〃>0,力>0,且”+方=-、，證明：

⑴a+622；

(2)/+。<2與/>2+/?<2不可能同時成立.

考點四數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用［綜合性］

角度1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

■1,11］

~一+--三-

［例4］用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+飛1+23+…+1a+n(,/GN*).

聽課筆記：

反思感悟數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵

(1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)〃有關(guān)的不等式證明時，若用其他方法不易證，則可考

慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.

(2)關(guān)鍵：由〃=及時命題成立證〃=A+1時命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運用比較

法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技

巧，使問題得以簡化.

角度2歸納猜想——證明

［例5］設(shè)函數(shù)貝x)=ln(l+x),g(x)=4(x),x20,其中八x)是貝x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)令gG)=g(x)，g”+i(x)=g(g”(x)),"￡N",求g￡#)的表達式;

(2)若凡r)2ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

聽課筆記:

反思感悟歸納一猜想一證明問題的一般步驟

第一步：計算數(shù)列前幾項或特殊情況，觀察規(guī)律猜測數(shù)列的通項或一般結(jié)論：

第二步：臉證一般結(jié)論對第一個值〃o(/7()￡N