廣西壯族自治區(qū)柳州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)合考試 數(shù)學(xué) 含解析

學(xué)年廣西壯族自治區(qū)柳州市高二上學(xué)期1月期末聯(lián)合考試數(shù)8小題，每小題5分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線的傾斜角A.B.C.D.2.在等差數(shù)列中，，，則()A.10B.17C.21D.353.已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該雙曲線上，若，則()A.4B.4或6C.3D.3或74.在等比數(shù)列中，，，是的前n項(xiàng)和，則()A.63B.48C.31D.155.若橢圓的短軸長是焦距的2倍，則C的離心率為()A.B.C.D.6ABCD與矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M在EF平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.B.C.D.7.已知等比數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和則()第1頁，共1頁A.數(shù)列的公比為pB.數(shù)列為遞減數(shù)列C.D.當(dāng)取最小值時(shí)，8.對于任意一個(gè)有窮數(shù)列，可以通過在該數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的之和，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列15進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1652次得到數(shù)列176115，依此類推，第n次得到數(shù)列1，，，，，記第n次得到的數(shù)列的各項(xiàng)之和為，則的通項(xiàng)公式()A.B.C.D.3分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，下列說法正確的是A.B.C.數(shù)列的最大項(xiàng)為D.10.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是()A.數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，是同一個(gè)數(shù)列B.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)C.在數(shù)列1，，，2，，中第8個(gè)數(shù)是D.數(shù)列3，5，9，17，33，的一個(gè)通項(xiàng)公式為11.已知直線l的方向向量，為直線l上一點(diǎn)，若點(diǎn)為直線l外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l上任意一點(diǎn)Q的距離可能為A.2B.C.D.1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分。12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則.13.已知是等比數(shù)列，，若，則實(shí)數(shù).14.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線C上一點(diǎn)．以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交拋物線C的準(zhǔn)線于B，D兩點(diǎn)，A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，且，則.四、解答題：本題共5小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為2，其離心率第1頁，共1頁漸近線方程為，經(jīng)過點(diǎn)16.本小題15分已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，求的通項(xiàng)公式;，求數(shù)列的前n項(xiàng)和17.本小題15分如圖，在長方體中，，，點(diǎn)E在棱AB上移動.證明：當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AC與所成角的余弦值;線段AE的長為何值時(shí)，二面角的大小為18.本小題17分已知數(shù)列滿足，求證：是等差數(shù)列;若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19.本小題17分已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，E為拋物線上一點(diǎn)，且求拋物線C的方程;過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上，且為等邊三角形，求直線AB的斜率.第1頁，共1頁答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本題考查直線的傾斜角，由直線的方程求出直線的斜率是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．由直線方程可得直線的斜率，再由斜率和傾斜角的關(guān)系可得所求．【解答】解：直線的斜率，由斜率和傾斜角的關(guān)系可得，又，故選2.【答案】B【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．由通項(xiàng)公式，求出d，再計(jì)算即可．【解答】解：在等差數(shù)列中，，，解得，所以，故選3.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查雙曲線定義，屬于基礎(chǔ)題.由∣，，可得【解答】解：雙曲線中，，，，由雙曲線定義知：∣，而，第1頁，共1頁又且，或7，4.【答案】C【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列求和公式，屬于基礎(chǔ)題.先由已知條件與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比q與首項(xiàng)，再由等比數(shù)列求和公式求解即可.【解答】解：由題意可得，解得，，所以故選5.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意可知，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，離心率可得．本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．【解答】解：依題意可知，而，橢圓的離心率故選：6.【答案】C【解析】【分析】本題考查線面平行的性質(zhì)，屬于中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，由已知推導(dǎo)出，，由此能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，第1頁，共1頁設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，連接OE，則，又，，，，平面BDE，平面ACEF，平面平面，，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為7.【答案】D【解析】解：等比數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和，由已知，當(dāng)時(shí)，，則，即，當(dāng)時(shí)，，所以，由等比數(shù)列知：公比為，則，即，所以，A、C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，，則公比，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)公比為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，D選項(xiàng)正確．第1頁，共1頁故選：利用退一相減法可得數(shù)列的遞推公式，進(jìn)而可得公比為，根據(jù)基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，進(jìn)而可得公比與通項(xiàng)公式．本題考查等比數(shù)列的定義，單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8.【答案】A【解析】解：由題意可知，第n次得到數(shù)列1，，，第1次得到數(shù)列1，6，5，第2次得到數(shù)列1，7，6，11，5，第3次得到數(shù)列1，8，7，13，6，17，11，16，5，第4得到數(shù)列1，9，8，15，7，20，13，19，6，23，17，28，11，27，16，21，5，第n次得到數(shù)列1，，，所以，，，，即【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造規(guī)律遞推，得到即可．本題考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列求和，考查學(xué)生的推理能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題．9.【答案】ABD【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)和前n項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.由判斷出，，求出，即可判斷A；利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，可以判斷B；由，，可判斷出最大，可以判斷C；由，，，可以判斷【解答】解：因?yàn)椋?，所以，故A正確；第1頁，共1頁，所以，故B正確；因?yàn)椋?，所以?shù)列的最大項(xiàng)為，故C不正確；因?yàn)?，，，所以，即，故D正確．故選10.【答案】BCD【解析】【分析】本題主要考查數(shù)列的相關(guān)概念，數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)數(shù)列的相關(guān)知識逐一判斷可得.【解答】解：對于A，數(shù)列與中數(shù)字的排列順序不同，不是同一個(gè)數(shù)列，所以A不正確；對于B，令，解得或舍去，B正確；對于C，根號里面的數(shù)是公差為1的等差數(shù)列，第8個(gè)數(shù)為，即，C正確；對于D，由數(shù)列3，5，9，17，335項(xiàng)可知通項(xiàng)公式為，D正確.故選11.【答案】AB【解析】【分析】本題考查點(diǎn)到直線距離的向量求法，利用??進(jìn)行求解即可.【解答】解：因?yàn)椋?，所以，則，所以點(diǎn)P到直線l的距離，所以點(diǎn)P到直線l上任意一點(diǎn)Q的距離大于或等于，故選12.【答案】【解析】【分析】第1頁，共1頁本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)可以求出通項(xiàng)公式；檢驗(yàn)與是否相等，從而確定的表達(dá)式.【解答】解：根據(jù)遞推公式，可得，，可得，，即，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以13.【答案】11【解析】解：因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，…，若，則…，所以，所以，所以故答案為：由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求．本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】2【解析】【分析】本題考查拋物線的定義和性質(zhì)，以及圓的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．AFBF到準(zhǔn)線的距離，可得【解答】解：拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，第1頁，共1頁因?yàn)锳，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，可得AB為圓F的直徑，所以，由拋物線的定義可得，則，所以F到準(zhǔn)線的距離為，故答案為15.【答案】解：由題意設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由漸近線方程，可設(shè)所求雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【解析】本題考查了雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用.設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，求出c，然后求出b，這樣可以求出雙曲線方程.由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入，從而求出雙曲線方程.16.【答案】解：設(shè)公差為d，則，第1頁，共1頁所以，解得，所以，，所以，所以.【解析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；求得，，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可．17.【答案】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，…因?yàn)?，，所以；因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，則，從而，，設(shè)AC與所成的角為則設(shè)平面的法向量為，，，由，有，令，從而，，由題意，第1頁，共1頁不合題意，舍去，或當(dāng)時(shí)，二面角的大小為【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則我們可以確定長方體中，各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線和直線的方向向量后，判斷他們的數(shù)量積為0，即可得到；由E為AB的中點(diǎn)時(shí)，則我們可以求出滿足條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC與的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．若二面角的大小為，則平面的法向量與平面ECD的法向量的夾角大小為，求出平面的法向量，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程即可得到滿足條件的AE的值．本題考查的知識點(diǎn)是向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，用空間向量求直線間的夾角、距離，用空間向量求平面間的夾角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)及相關(guān)直線的方向向量及相關(guān)平面的法向量的坐標(biāo)，將空間平行、垂直及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．18.【答案】證明：由，又，，故，且，是首項(xiàng)、公差均為的等差數(shù)列.解：由，，則，又，，則，，，則，，第1頁，共1頁【解析】本題考查等差數(shù)列的證明、錯(cuò)位相減求和，屬于中檔題.由題意化簡即可得出，結(jié)論得證;由得出，使用錯(cuò)位相減法求出19.【答案】解：不妨設(shè)點(diǎn)E在第一象限，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以，即拋物線C的方程為當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，要使得為