2024-2025學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪腥A亭市高三上冊第三次月考聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪腥A亭市高三上學(xué)期第三次月考聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．若，則（

）A． B．C． D．3．已知為第二象限角，則（

）A． B．C． D．4．在中，D是邊BC上一點(diǎn)，且，E是AD的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（

）A． B．C． D．6．中，內(nèi)角、所對的邊分別為、，若，則角等于（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)的圖象是由（）的圖象向右平移個(gè)單位得到的，若在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，下列結(jié)論正確的是（

）A．若與垂直，則為定值B．若與互為相反向量，則m與n互為倒數(shù)C．若與垂直，則為定值D．若與互為相反向量，則m與n互為相反數(shù)10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．C． D．11．在中，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（

）A．若，則 B．若，則該三角形有兩解C．周長有最大值12 D．面積有最小值12．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．在上是減函數(shù)C．的值域是D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則的最小值．14．已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式為．15．已知，且，若恒成立，則的取值范圍．16．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且有意識地“以概念代替直覺”，他定義了一個(gè)函數(shù)有如下四個(gè)結(jié)論：①；②函數(shù)是偶函數(shù)；③函數(shù)具有單調(diào)性；④已知點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形.其中所有正確結(jié)論的序號是.四、解答題：本題共6小題，共70分（17題10分，其余各題各12分）．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程戓演算步驟．17．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)證明：是等腰三角形；(2)若的面積為，且，求的周長．18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式(2)求的前項(xiàng)和19．已知．若的最小正周期為．(1)求的表達(dá)式和的遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．20．已知內(nèi)角所對的邊長分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.21．已知（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求證曲線在上不存在斜率為-2的切線．22．已知函數(shù)．(1)若，求的極小值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，證明：有且只有個(gè)零點(diǎn)．1．C【分析】根據(jù)題意，由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛?，所?故選：C2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由共軛復(fù)數(shù)定義可得，作差即可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，.故選：D.3．C【分析】根據(jù)第二象限角的三角函數(shù)值的正負(fù)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，，，則，，，而的取值不確定.故選：C.4．A【分析】用基底表示，再結(jié)合的關(guān)系，即可求得和.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)镈是邊BC上一點(diǎn)，且，所以；又E是AD的中點(diǎn)，所以，則.故選：A.5．B【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出在處的切線的斜率，代入，求出，利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以的圖象在處的切線方程為，即.故選：B.6．C【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化思想求出的值，再結(jié)合的范圍可求出角的值.【詳解】，由正弦定理得，，，則，可得.又，因此，.故選：C.本題考查利用正弦定理邊角互化思想求角，在計(jì)算時(shí)要結(jié)合角的取值范圍來得出角的值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．A【分析】利用題設(shè)中的不等式中的信息構(gòu)造函數(shù)，再用函數(shù)單調(diào)性求解而得.【詳解】依題意，令函數(shù)，則，且，所以是上的增函數(shù)，，解得．故選：A由條件構(gòu)造函數(shù)的常用兩類問題：已知，可構(gòu)造函數(shù)；已知，可構(gòu)造函數(shù).8．C【分析】將問題化為函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，求出零點(diǎn)，然后討論由第一個(gè)正零點(diǎn)在區(qū)間上，第二個(gè)正零點(diǎn)大于列不等式組求解可得.【詳解】由題知，函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，令，得，即.若第一個(gè)正零點(diǎn)，則（矛盾），因?yàn)楹瘮?shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.故選：C.

9．AD【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系可判斷AC，利用相反向量的概念結(jié)合條件可判斷BD.【詳解】若與垂直，則，則，A正確，C錯(cuò)誤；若與互為相反向量，則，則，，B錯(cuò)誤，D正確．故選：AD.10．ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)的性質(zhì)，推出，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以.根據(jù)題意，又，所以，從而，，故選項(xiàng)A，B正確；又，即，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，，根據(jù)題意無法判斷是否為零，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC11．ABC【分析】對于ABC，根據(jù)正、余弦定理結(jié)合基本不等式即可解決；對于D，由正弦定理得，根據(jù)三角恒等變換解決即可.【詳解】對于A，，，由正弦定理得，所以，故A正確；對于B，由正弦定理得得，所以，因?yàn)?，則有兩個(gè)解，所以該三角形有兩解，故B正確；對于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)三角形為等邊三角形，周長最大，周長為12，故C正確；對于D，由得,故由于，無最小值，所以面積無最小值，有最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．ACD【分析】利用奇偶性的定義判斷A，利用函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論判斷B，由單調(diào)性求出的取值范圍，結(jié)合定義判斷C，利用對數(shù)函數(shù)的值域結(jié)合定義判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，所以是奇函?shù)，選項(xiàng)A正確；因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以的值域是，選項(xiàng)C正確；令，，由高斯函數(shù)定義可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，選項(xiàng)D正確；故選：ACD13．【分析】求出等差數(shù)列的和與通項(xiàng)公式，然后化簡表達(dá)式，利用基本不等式求解即可．【詳解】解：等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，，，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故答案為．本題考查數(shù)列與不等式的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和是的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．14．【分析】利用累加法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，，，，，所以，即，則，當(dāng)時(shí)也成立，所以，故．15．【分析】依題意可得恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到在上恒成立，參變分離可得，則，利用導(dǎo)數(shù)求出，的最大值即可.【詳解】因?yàn)椋視r(shí)恒成立，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，顯然恒成立，則當(dāng)時(shí)，恒成立，則當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則由，即，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題根據(jù)是將不等式同構(gòu)成，結(jié)合的單調(diào)性得到，再參變分離.16．②④【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義判斷①，②，③，再結(jié)合點(diǎn)的位置判斷④.【詳解】當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)，，，，當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，為無理數(shù)，，，，所以①錯(cuò)誤；因?yàn)閷θ我獾?，，所以函?shù)是偶函數(shù)；②正確，因?yàn)椋院瘮?shù)具有單調(diào)性；③錯(cuò)誤；因?yàn)?，，即點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別為，，，，所以，，結(jié)合圖象可得，，所以四邊形為平行四邊形，④正確，故②④.17．(1)證明見解析；(2).【分析】(1)根據(jù)給定條件利用三角形射影定理化簡即可得解.(2)根據(jù)給定條件求出，再利用三角形面積定理及(1)的結(jié)論求出a，b，然后借助余弦定理求出c即可計(jì)算作答.【詳解】（1）在中，，由射影定理得，，所以是等腰三角形．（2）在中，因且，則，又，即，由(1)知，則有，在中，由余弦定理得：，解得，又，則a，b，c能構(gòu)成三角形，符合題意，，所以的周長為.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)、通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)的公差是，則，∵，，∴，，∴，，∴，∴，∴；（2）由（1）可得，∴，∵，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差是，所以.19．(1)；的單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為1和．【分析】（1）化簡函數(shù)解析式，利用周期公式求，可得其函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）利用不等式性質(zhì)及正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，，所以，所以，所以，令，，可得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）因?yàn)?，所以，所以，即，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為.20．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大??；（2）法一：由已知可得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及三角形面積公式可得即可得范圍；法二：根據(jù)三角形為銳角三角形，應(yīng)用幾何法找到邊界情況求面積的范圍.【詳解】（1）由余弦定理得，即，所以，又，則.（2）法一：為銳角三角形，，則，所以，可得，又，則，故由，即而，所以，故面積的取值范圍為.法二：由，畫出如圖所示三角形，為銳角三角形，點(diǎn)落在線段（端點(diǎn)除外）上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.21．（1）單調(diào)遞增區(qū)間是：；單調(diào)遞減區(qū)間是：；（2）證明見解析．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）原命題等價(jià)于在上無解，令，利用導(dǎo)數(shù)可求其在上的最大值，從而可證明前者無解.【詳解】解：（1），令，則，得，令，則，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是：；單調(diào)遞減區(qū)間是：．（2）原命題等價(jià)于：在區(qū)間上方程即無解，令，則；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減.因?yàn)榈淖畲笾凳牵圆淮嬖谛甭蕿?2的切線.方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下方程的解存在性問題，可構(gòu)建新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的值域（或最值等），從而可判斷原方程的解的情況.22．(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，找到極小值點(diǎn)，求出極小值.（2）求出，再求導(dǎo)，根據(jù)分類討