2024-2025學(xué)年山東省淄博市高三上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省淄博市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知集合，，則（）．A B.C. D.2.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.3.下列說法中，正確的個數(shù)為（）①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則；④隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，若，，則（）A. B. C. D.5.2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，則不同的選法種數(shù)共有（）A.102種 B.105種 C.210種 D.288種6.已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A.2 B.-2 C.1 D.-17.設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.8.若函數(shù)在0,4上有3個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，且，則（）A. B.C. D.10.已知定義在上的函數(shù)滿足當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足為常數(shù)，則下列敘述中正確的為（

）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，解析式為C.當(dāng)時，上恒成立D.當(dāng)時，函數(shù)圖象與直線在上的交點(diǎn)個數(shù)為11.設(shè)數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為60，則的最小值為______．13.已知：函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，若，且對任意，不等式)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）16.記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知，．（1）求，并證明是等差數(shù)列；（2）求．17.如圖，在四邊形ABCD中，，，，．（1）求大??；（2）求的面積的最大值（3）若，求的面積．18.第十五屆全國運(yùn)動會將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦．為了普及全運(yùn)知識，某大學(xué)舉辦了一次全運(yùn)知識闖關(guān)比賽，比賽分為初賽與復(fù)賽，初賽勝利后才能參加復(fù)賽，初賽規(guī)定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次；如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參加初賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為，假定互不相等，且每人能否闖關(guān)成功相互獨(dú)立．（1）若計劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān)，，求該小組初賽勝利的概率；（2）已知，若乙只能安排在第二個派出，要使初賽派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出；（3）初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)定：單人參賽，每個人回答三道題，全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；全部答錯不獲獎，已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)賽，他在復(fù)賽中前兩道題答對的概率均為，第三道題答對的概率為．若他獲得一等獎的概率為，設(shè)他獲得二等獎的概率為，求的最小值．19.已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，求在上的值域；（2）當(dāng)時，討論的零點(diǎn)個數(shù)；（3）當(dāng)時，證明：．

2024-2025學(xué)年山東省淄博市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知集合，，則（）．A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解出不等式解集為集合，求解出一元二次不等式的解集為集合，根據(jù)集合并集概念及運(yùn)算求解出結(jié)果.【詳解】由可知，得．由可知，得，所以．故選：B.2.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，對任意，，所以，所以的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù).令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，當(dāng)時，是減函數(shù)，則，，所以，排除A選項(xiàng).故選：C3.下列說法中，正確的個數(shù)為（）①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則；④隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【正確答案】C【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)分布的性質(zhì)，擬合效果的衡量以及正態(tài)分布的性質(zhì)，對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度越強(qiáng)，故①正確；用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則，故③正確；若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則方差，所以，所以，所以或，故④錯誤.故選：C.4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，若，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)求出，由的范圍及求得，最后由公式求值即可.【詳解】由點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)得，，，又，，∴，∴，∴.故選：D5.2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，則不同的選法種數(shù)共有（）A.102種 B.105種 C.210種 D.288種【正確答案】C【分析】先算從8名志愿者中任意選出3名的方法數(shù)，再減去甲、乙、丙3人有一人負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作的方法數(shù)，即可得解.【詳解】先從8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，有種，其中甲、乙、丙3人有一人負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，有種，故符合條件的選法共有種.故選：C6.已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A.2 B.-2 C.1 D.-1【正確答案】A【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；由為偶函數(shù)，得的圖象關(guān)于直線軸對稱；根據(jù)對稱性求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱；又當(dāng)時，，所以，故選：A.7.設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出.構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，得到；構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，即為.即可得到答案.【詳解】記.因?yàn)椋援?dāng)時，，所以在0,+∞上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即，所以.記.因?yàn)?，所以gx在0,+∞上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即，所以.所以.記.因?yàn)椋援?dāng)時，，所以在0,+∞上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即，所以.所以.綜上所述.故選：C8.若函數(shù)在0,4上有3個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)在上零點(diǎn)的個數(shù)，討論的范圍，分別確定在0,4上零點(diǎn)的個數(shù)，進(jìn)一步確定的范圍，進(jìn)而可得答案.【詳解】令，則或，由得a=2，當(dāng)時，，在0,4上沒有零點(diǎn)，則在上應(yīng)有3個零點(diǎn)，所以，即，與聯(lián)立得；當(dāng)a=2時，在上有1個零點(diǎn)2，在上，因?yàn)椋?，所以?個零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時，在上有2個零點(diǎn)，在上應(yīng)有1個零點(diǎn)，所以，即，與聯(lián)立得，綜上得的取值范圍是.故C正確.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】A選項(xiàng)，兩式平方后相加得到；D選項(xiàng)，由得到；B選項(xiàng)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到；C選項(xiàng)，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，兩式平方后相加可得，所以，故A錯誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，又，故，由于，故，又，所以，故D正確；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，，故，故C錯誤.故選：BD.10.已知定義在上的函數(shù)滿足當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足為常數(shù)，則下列敘述中正確的為（

）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，的解析式為C.當(dāng)時，在上恒成立D.當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個數(shù)為【正確答案】ABD【分析】對A，代入運(yùn)算即可求解；對B，根據(jù)題目條件分和求解；對C，舉反例可判斷；對D，利用數(shù)形結(jié)合可判斷.詳解】對于A，當(dāng)時，，故A正確；對于B，設(shè)時，則，；當(dāng)時，則，，故B正確；對于C，當(dāng)時，取，當(dāng)時，，，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，的圖象如下：直線剛好經(jīng)過第n個“山峰”的“山頂”，它與前面?zhèn)€“山峰”都有兩個交點(diǎn)，與后面的“山峰”沒有交點(diǎn)，共個交點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.11.設(shè)數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件得到，再利用二次函數(shù)性質(zhì)，可得，再作差比較，即可求解；選項(xiàng)B和D，根據(jù)條件得到，進(jìn)而可得到，再利用指數(shù)的運(yùn)算法則及單調(diào)性得到，可得，即可求解；選項(xiàng)C，根據(jù)條件得到，再利用累加法得到，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，令，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，得到，又，得到，所以選項(xiàng)A正確，因?yàn)?，又，所以，得到，所以，得到，顯然，所以，又，所以，得到，所以，故選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)D正確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，得到，所以，又，所以，故選項(xiàng)C正確，故選：ACD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵（1）在于選項(xiàng)B和D，根據(jù)條件得到，進(jìn)而得到，再利用，從而得，關(guān)鍵（2）在于選項(xiàng)C，通過條件，變形得到，再利用累加法，即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為60，則的最小值為______．【正確答案】【分析】求出通項(xiàng)公式，利用項(xiàng)的系數(shù)得到方程，求出，進(jìn)而由基本不等式求出最小值.【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令得，∴，依題意得，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．∴的最小值為．故13.已知：函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，若，且對任意，不等式)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________【正確答案】【分析】由題意可得為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不等式等價于，由，解不等式即可.【詳解】函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，，則定義域?yàn)?，，為偶函?shù)，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，則有，即，所以，由，可得.故14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_________.【正確答案】##0.5【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，的定義域?yàn)?，，令，則，解得，令，則，解得.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】令，則.令，其中，則.令，解得，令，解得.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.又，函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，的取值范圍是.16.記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知，．（1）求，并證明是等差數(shù)列；（2）求．【正確答案】（1），證明見解析（2）【分析】（1）先求出和的值得到，再通過與的關(guān)系推導(dǎo)出的表達(dá)式并證明其為等差數(shù)列.（2）利用第一問的結(jié)論將進(jìn)行拆分求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，解這個方程：，即，解得.當(dāng)時，，把代入得，移項(xiàng)可得，即，解得.所以.由，可得.當(dāng)時，.展開得.整理得，移項(xiàng)得，即.那么.令，則，.所以（常數(shù)）.所以是等差數(shù)列.【小問2詳解】由可得.因?yàn)椋裕ǎ?則.所以.展開得.17.如圖，在四邊形ABCD中，，，，．（1）求的大??；（2）求的面積的最大值（3）若，求的面積．【正確答案】（1）（2）面積的最大值為3（3）【分析】（1）利用正弦定理得出，再根據(jù)，即可得出；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式得出，最后由三角形的面積公式得出面積的最大值.（3）利用兩角和的正弦公式可求得，再利用正弦定理可求得，可求的面積.【小問1詳解】在中，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以；【小?詳解】在中，，由余弦定理可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故的面積的最大值為；【小問3詳解】因?yàn)椋?，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，所以，所以的面積為.18.第十五屆全國運(yùn)動會將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦．為了普及全運(yùn)知識，某大學(xué)舉辦了一次全運(yùn)知識闖關(guān)比賽，比賽分為初賽與復(fù)賽，初賽勝利后才能參加復(fù)賽，初賽規(guī)定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次；如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參加初賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為，假定互不相等，且每人能否闖關(guān)成功相互獨(dú)立．（1）若計劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān)，，求該小組初賽勝利的概率；（2）已知，若乙只能安排在第二個派出，要使初賽派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出；（3）初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)定：單人參賽，每個人回答三道題，全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；全部答錯不獲獎，已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)賽，他在復(fù)賽中前兩道題答對的概率均為，第三道題答對的概率為．若他獲得一等獎的概率為，設(shè)他獲得二等獎的概率為，求的最小值．【正確答案】（1）（2）甲先派出；（3）【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（2）分別求出甲乙丙和丙乙甲時的所有可能取值和相應(yīng)概率，再用期望公式求出對應(yīng)的期望，作差分解因式即可比較出結(jié)果；（3）由獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合題意可得，進(jìn)而可得，再利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和最值，得到結(jié)果即可；【小問1詳解】設(shè)事件表示該小組獲勝，則，所以該小組初賽勝利的概率為，【小問2詳解】若依次派出甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)