備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第4講-復數(shù)

第4講復數(shù)1．復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a與b分別叫做它的eq\x(\s\up1(01))實部與eq\x(\s\up1(02))虛部.若eq\x(\s\up1(03))b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若eq\x(\s\up1(04))b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若eq\x(\s\up1(05))a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復數(shù)相等a＋bi＝c＋di?eq\x(\s\up1(06))a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對值，記作eq\x(\s\up1(07))|z|或eq\x(\s\up1(08))|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\x(\s\up1(09))eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z＝a＋bieq\o(←→,\s\up7(一一對應))復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復數(shù)z＝a＋bieq\o(←→,\s\up7(一一對應))平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))(a，b∈R)．3．復數(shù)的運算設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝eq\x(\s\up1(10))(a＋c)＋(b＋d)i.(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝eq\x(\s\up1(11))(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝eq\x(\s\up1(12))(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．1．(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．(2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．2．zeq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，|z1z2|＝|z1||z2|，|eq\f(z1,z2)|＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n(n∈N)．3．(1)復數(shù)加法的幾何意義：若復數(shù)z1，z2對應的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共線，則復數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))為鄰邊的平行四邊形的對角線eq\o(OZ,\s\up6(→))所對應的復數(shù)．(2)復數(shù)減法的幾何意義：復數(shù)z1－z2是eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所對應的復數(shù)．1．(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.2．在復平面內，向量eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數(shù)是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up6(→))對應的復數(shù)是－1－3i，則向量eq\o(CA,\s\up6(→))對應的復數(shù)是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i答案D解析因為向量eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數(shù)是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up6(→))對應的復數(shù)是－1－3i，所以向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應的復數(shù)是－2－i，且eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以向量eq\o(CA,\s\up6(→))對應的復數(shù)是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.故選D.3．(2020·浙江高考)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2答案C解析因為a－1＋(a－2)i為實數(shù)，所以a－2＝0，所以a＝2.故選C.4．已知復數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)，則()A．z的模為2 B．z的實部為1C．z的虛部為－1 D．z的共軛復數(shù)為1＋i答案C解析根據(jù)題意可知，eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,2)＝－1－i，所以z的虛部為－1，實部為－1，模為eq\r(2)，z的共軛復數(shù)為－1＋i.故選C.5．(2021·新高考Ⅱ卷)復數(shù)eq\f(2－i,1－3i)在復平面內對應的點所在的象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案A解析eq\f(2－i,1－3i)＝eq\f(2－i1＋3i,10)＝eq\f(5＋5i,10)＝eq\f(1＋i,2)，所以該復數(shù)在復平面內對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，該點在第一象限，故選A.6．給出下列命題：①兩個不是實數(shù)的復數(shù)不能比較大小；②復數(shù)i－1的共軛復數(shù)是i＋1；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x＝±1；④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3.其中錯誤命題的序號是________.答案②③④解析①顯然為真命題．對于命題②，復數(shù)i－1的共軛復數(shù)是－i－1，所以該命題是錯誤的．對于命題③，若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，所以x＝1，所以該命題是錯誤的．對于命題④，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，可取z1＝i，z2＝0，z3＝1，z1≠z2≠z3，所以該命題是錯誤的．考向一復數(shù)的運算例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，則z(eq\o(z,\s\up6(－))＋i)＝()A．6－2i B．4－2iC．6＋2i D．4＋2i答案C解析z(eq\o(z,\s\up6(－))＋i)＝(2－i)(2＋i＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i.故選C.(2)(2020·新高考Ⅰ卷)eq\f(2－i,1＋2i)＝()A．1 B．－1C．i D．－i答案D解析eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i，故選D.(3)(2021·武漢模擬)eq\f(1－i2021,1＋i)＝________.答案－i解析eq\f(1－i2021,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1－i1＋i)＝eq\f(－2i,2)＝－i.復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略(1)復數(shù)的乘法：復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．1.(2020·全國Ⅲ卷)若eq\o(z,\s\up6(－))(1＋i)＝1－i，則z＝()A．1－i B．1＋iC．－i D．i答案D解析因為eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，所以z＝i.故選D.2．(2021·全國乙卷)設2(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq\o(z,\s\up6(－)))＝4＋6i，則z＝()A．1－2i B．1＋2iC．1＋i D．1－i答案C解析設z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi,2(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq\o(z,\s\up6(－)))＝4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，所以z＝1＋i.3．(2021·烏魯木齊模擬)已知復數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則eq\f(z2＋2,z－1)＝()A．2＋2i B．2－2iC．2i D．－2i答案B解析eq\f(z2＋2,z－1)＝eq\f(1＋i2＋2,1＋i－1)＝eq\f(2＋2i,i)＝eq\f(2＋2i－i,－i2)＝2－2i.考向二復數(shù)運算與復數(shù)有關概念的綜合問題例2(1)設i是虛數(shù)單位，復數(shù)eq\f(a＋i,2－i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝()A．2 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－2答案B解析因為eq\f(a＋i,2－i)＝eq\f(a＋i2＋i,5)＝eq\f(2a－1＋a＋2i,5)是純虛數(shù)，所以2a－1＝0且a＋2≠0，所以a＝eq\f(1,2).(2)(2021·天津市河北區(qū)二模)若復數(shù)eq\f(1＋2ai,2－i)(a∈R)的實部和虛部相等，則實數(shù)a的值為()A．1 B．－1C．eq\f(1,6) D．－eq\f(1,6)答案C解析∵復數(shù)eq\f(1＋2ai,2－i)＝eq\f(1＋2ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－2a,5)＋eq\f(1＋4a,5)i的實部和虛部相等，∴eq\f(2－2a,5)＝eq\f(1＋4a,5)，解得a＝eq\f(1,6).故選C.(3)(2020·全國Ⅰ卷)若z＝1＋i，則|z2－2z|＝()A．0 B．1C．eq\r(2) D．2答案D解析z2＝(1＋i)2＝2i，則z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，故|z2－2z|＝|－2|＝2.故選D.求解與復數(shù)概念相關問題的技巧復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模、共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部和虛部有關，所以解答與復數(shù)相關概念有關的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解．4.已知復數(shù)z1＝2＋i，z2＝1＋ti(t∈R)，且滿足eq\o(z,\s\up6(－))1z2是實數(shù)，則z2＝()A．1－eq\f(1,2)i B．1＋eq\f(1,2)iC.eq\f(1,2)＋i D．eq\f(1,2)－i答案B解析∵eq\o(z,\s\up6(－))1z2＝(2－i)(1＋ti)＝2＋t＋(2t－1)i是實數(shù)，∴2t－1＝0，即t＝eq\f(1,2)，∴z2＝1＋eq\f(1,2)i.故選B.5．(2022·寶雞模擬)已知i為虛數(shù)單位，實數(shù)a，b滿足(2－i)(a－bi)＝(－8－i)i，則ab的值為()A．6 B．－6C．5 D．－5答案A解析由題意，得(2a－b)＋(－a－2b)i＝1－8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b＝1，,－a－2b＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))∴ab＝6.6．(2021·臨沂摸底)設z＝i3＋eq\f(2－i,1＋2i)，則z的虛部是()A．－1 B．－eq\f(4,5)iC．－2i D．－2答案D解析根據(jù)復數(shù)的乘法與除法運算，則z＝i3＋eq\f(2－i,1＋2i)＝i2·i＋eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝－i－i＝－2i.根據(jù)虛部的定義，可知虛部為－2.故選D.考向三復數(shù)的幾何意義例3(1)已知復數(shù)z對應的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→))(O為坐標原點)，eq\o(OZ,\s\up6(→))與實軸正向的夾角為120°，且復數(shù)z的模為2，則復數(shù)z為()A．1＋eq\r(3)i B．2C．(－1，eq\r(3)) D．－1＋eq\r(3)i答案D解析設復數(shù)z對應的點為(x，y)，則x＝|z|·cos120°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，y＝|z|·sin120°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，所以復數(shù)z對應的點為(－1，eq\r(3))，所以z＝－1＋eq\r(3)i.(2)(2021·長沙市長郡中學高三適應性考試)已知i為虛數(shù)單位，m∈R，若復數(shù)(2－i)(m＋i)在復平面內對應的點位于實軸上，則復數(shù)eq\f(mi,1－i)的虛部為()A．1 B．iC．－1 D．－i答案A解析(2－i)(m＋i)＝2m＋1＋(2－m)i，若復數(shù)在復平面內對應的點位于實軸上，則2－m＝0，得m＝2，復數(shù)eq\f(mi,1－i)＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2i－2,2)＝－1＋i，即復數(shù)的虛部是1，故選A.(3)(2019·全國Ⅰ卷)設復數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復平面內對應的點為(x，y)，則()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1答案C解析由已知條件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.復數(shù)幾何意義的理解及應用復數(shù)集與復平面內所有的點構成的集合之間存在著一一對應關系，每一個復數(shù)都對應著一個點(有序實數(shù)對)．復數(shù)的實部對應著點的橫坐標，而虛部則對應著點的縱坐標，只要在復平面內找到這個有序實數(shù)對所表示的點，就可根據(jù)點的位置判斷復數(shù)實部、虛部的取值．7.(2021·廣東六校聯(lián)考)如圖，復數(shù)z1，z2在復平面內分別對應點A，B，則z1·z2＝()A．0 B．2＋iC．－2－i D．－1＋2i答案C解析由復數(shù)幾何意義，知z1＝－1＋2i，z2＝i，∴z1·z2＝i(－1＋2i)＝－2－i.8．(2021·山東聊城月考)設復數(shù)z1，z2在復平面內對應的點關于實軸對稱，z1＝2＋i，則eq\f(z1,z2)＝()A．1＋i B．eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC．1＋eq\f(4,5)i D．1＋eq\f(4,3)i答案B解析因為復數(shù)z1，z2在復平面內對應的點關于實軸對稱，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(2＋i2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i.9．(2021·山東省、海南省新高考高三4月模擬)已知(2－i)eq\o(z,\s\up6(－))＝i2021，則復平面內與z對應的點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析由(2－i)eq\o(z,\s\up6(－))＝i2021，得eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(i2021,2－i)＝eq\f(i,2－i)＝eq\f(i2＋i,2－i2＋i)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i，∴z＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i.∴復平面內與z對應的點在第三象限．故選C.一、單項選擇題1．(2021·全國甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，則z＝()A．－1－eq\f(3,2)i B．－1＋eq\f(3,2)iC．－eq\f(3,2)＋i D．－eq\f(3,2)－i答案B解析由(1－i)2z＝3＋2i，得z＝eq\f(3＋2i,1－i2)＝eq\f(3＋2i,－2i)＝eq\f(3i－2,2)＝－1＋eq\f(3,2)i.故選B.2．(2021·廈門一模)設z＝－i＋3，則eq\o(z,\s\up6(－))＋|eq\o(z,\s\up6(－))|＝()A．i－3＋eq\r(10) B．i＋3＋eq\r(10)C．－i＋3＋eq\r(10) D．－i－3＋eq\r(10)答案B解析∵z＝－i＋3，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝i＋3，∴eq\o(z,\s\up6(－))＋|eq\o(z,\s\up6(－))|＝i＋3＋eq\r(10).故選B.3．(2021·?？诟呖颊{研考試)在復平面內，復數(shù)eq\f(1＋i,1－i)對應的點與復數(shù)－i對應的點的距離是()A．1 B．eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)答案C解析因為eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(2i,2)＝i，所以復數(shù)eq\f(1＋i,1－i)對應的點為(0,1)．又因為復數(shù)－i對應的點為(0，－1)，所以這兩點之間的距離為2.故選C.4．(2021·葫蘆島模擬)已知eq\f(－m＋3i,2－i)＝n＋2i(m，n∈R)，則復數(shù)z＝m＋ni在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析由eq\f(－m＋3i,2－i)＝n＋2i，得－m＋3i＝(n＋2i)(2－i)＝(2n＋2)＋(4－n)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＝2n＋2，,3＝4－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝1.))∴復數(shù)z＝m＋ni在復平面內對應的點的坐標為(－4，1)，位于第二象限．故選B.5．(2021·湖南省長郡中學高三月考)復數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2021＝()A．1 B．－1C．i D．－i答案C解析∵eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(2i,2)＝i，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2021＝i2021＝(i4)505·i＝i.6．(2021·南寧模擬)若復數(shù)z滿足(1＋3i)z＝(1＋i)2，則|z|＝()A.eq\f(\r(5),4) B．eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(10),2) D．eq\f(\r(10),5)答案D解析由(1＋3i)z＝(1＋i)2＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋3i)＝eq\f(2i1－3i,1＋3i1－3i)＝eq\f(6＋2i,10)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2)＝eq\f(\r(10),5).故選D.7．(2022·成都模擬)已知復數(shù)z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在復平面內對應的點分別為A，B，線段AB的中點C對應的復數(shù)為z，則|z|＝()A.eq\r(5) B．5C．2eq\r(5) D．2eq\r(17)答案A解析復數(shù)z1＝2＋6i，z2＝－2i，則z1，z2在復平面內對應的點分別為A(2,6)，B(0，－2)，線段AB的中點C(1，2)對應的復數(shù)為z＝1＋2i，則|z|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).故選A.8．(2021·聊城二模)在復數(shù)范圍內，實系數(shù)一元二次方程一定有根．已知方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個根為1＋i(i為虛數(shù)單位)，則eq\f(a,1＋i)＝()A．1－i B．－1＋iC．2i D．2＋i答案B解析∵x1＝1＋i是關于x的實系數(shù)一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一個根，∴x2＝1－i也是此方程的一個虛根，∴a＝－(x1＋x2)＝－(1＋i＋1－i)＝－2.所以eq\f(a,1＋i)＝eq\f(－2,1＋i)＝eq\f(－21－i,1＋i1－i)＝－1＋i.故選B.二、多項選擇題9．(2021·新高考八省聯(lián)考)設z1，z2，z3為復數(shù)，z1≠0，下列命題中正確的是()A．若|z2|＝|z3|，則z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，則z2＝z3C．若eq\o(z,\s\up6(－))2＝z3，則|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，則z1＝z2答案BC解析由復數(shù)模的概念可知，|z2|＝|z3|不能得到z2＝±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A錯誤；由z1z2＝z1z3可得z1(z2－z3)＝0，因為z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B正確；因為|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，而eq\o(z,\s\up6(－))2＝z3，所以|eq\o(z,\s\up6(－))2|＝|z3|＝|z2|，所以|z1z2|＝|z1z3|，C正確；取z1＝1＋i，z2＝1－i，顯然滿足z1z2＝|z1|2，但z1≠z2，D錯誤．故選BC.10．(2021·南京市玄武高級中學高三押題)下列命題正確的是()A．若復數(shù)z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復數(shù)B．z1，z2都是復數(shù)，若z1＋z2是虛數(shù)，則z1不是z2的共軛復數(shù)C．復數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z＝eq\o(z,\s\up6(－))(eq\o(z,\s\up6(－))是z的共軛復數(shù))D．已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)且|z－2|＝eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)答案BCD解析對于A，z1和z2可能是相等的復數(shù)，故A錯誤；對于B，若z1和z2是共軛復數(shù)，則相加為實數(shù)，不會為虛數(shù)，故B正確；對于C，由a＋bi＝a－bi(a，b∈R)得b＝0，故C正確；對于D，∵|z－2|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3表示如圖所示的圓．由圖可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).]11．(2021·石家莊高三模擬)已知i為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是()A．復數(shù)z＝eq\f(1＋2i,1－i)的虛部為eq\f(3,2)B．復數(shù)z＝eq\f(2＋5i,－i)的共軛復數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝－5－2iC．復數(shù)z＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i在復平面內對應的點位于第二象限D．復數(shù)z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈R答案ABD解析對于A，z＝eq\f(1＋2i,1－i)＝eq\f(1＋2i1＋i,1－i1＋i)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，其虛部為eq\f(3,2)，故A正確；對于B，z＝eq\f(2＋5i,－i)＝(2＋5i)i＝－5＋2i，故eq\o(z,\s\up6(－))＝－5－2i，故B正確；對于C，z＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，在復平面內對應點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，位于第四象限，故C不正確；對于D，設z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)，又eq\f(1,z)∈R，得b＝0，所以z＝a∈R，故D正確．12．(2021·濟南模擬)已知復數(shù)z＝1＋cos2θ＋isin2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2)))(其中i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是()A．復數(shù)z在復平面上對應的點可能落在第二象限B．z可能為實數(shù)C．|z|＝2cosθD.eq\f(1,z)的實部為eq\f(1,2)答案BCD解析z＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cosθ(cosθ＋isinθ)，∵－eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(π,2).∴cosθ＞0，sinθ∈(－1,1)．則復數(shù)z在復平面上對應的點不可能落在第二象限；z可能為實數(shù)；|z|＝2cosθ；eq\f(1,z)＝eq\f(1,2cosθcosθ＋isinθ)＝eq\f(cosθ－isinθ,2cosθ)＝eq\f(1,2)－eq\f(i,2)tanθ，eq\f(1,z)的實部為eq\f(1,2).故選BCD.三、填空題13．(2020·江蘇高考)已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z＝(1＋i)(2－i)的實部是________.答案3解析∵復數(shù)z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，∴復數(shù)z的實部為3.14．如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i.向量eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為________，向量eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為________.答案5－2i1＋6i解析eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B點對應的復數(shù)為1＋6i.15．(2021·開封期中)若|z1－z2|＝1，則稱z1與z2互為“鄰位復數(shù)”．已知復數(shù)z1＝a＋eq\r(3)i與z2＝2＋bi互為“鄰位復數(shù)”，a，b∈R，則a2＋b2的最大值為________.答案8＋2eq\r(7)解析由題意，|a＋eq\r(3)i－2－bi|＝1，故(a－2)2＋(eq\r(3)－b)2＝1，∴點(a，b)在圓(x－2)2＋(y－eq\r(3))2＝1上，而eq\r(a2＋b2)表示點(a，b)到原點的距離，故a2＋b2的最大值為[eq\r(22＋\r(3)2)＋1]2＝(1＋eq\r(7))2＝8＋2eq\r(7).16．(2020·全國Ⅱ卷)設復數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，則|z1－z2|＝________.答案2eq\r(3)解析解法一：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝2，∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∵z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝eq\r(3)＋i，∴a＋c＝eq\r(3)，b＋d＝1，∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋2ac