2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練新人教A版必修4

PAGE1-2.3.4平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示【基礎(chǔ)練習(xí)】1．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向【答案】D【解析】∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)．又a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝－λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,k＝－1，))∴c＝－d，∴c與d反向．2．(2024年北京通州期末)已知向量m＝(a,2)，n＝(1，1＋a)，若m∥n，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－eq\f(2,3) B．2或－1C．－2或1 D．－2【答案】C【解析】因?yàn)閙＝(a,2)，n＝(1,1＋a)，m∥n，所以a(1＋a)－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2或1.故選C．3．已知點(diǎn)A(10,1)，B(2，y)，向量a＝(1,2)，若eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，則實(shí)數(shù)y的值為()A．－15 B．－10C．5 D．17【答案】A【解析】A(10,1)，B(2，y)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－8，y－1)．又向量a＝(1,2)，eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，∴－8×2＝y(tǒng)－1.∴y＝－15.故選A．4．(2024年山東聊城模擬)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，則實(shí)數(shù)x的值為()A．4 B．－4C．2 D．－2【答案】B【解析】由a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，可得b＝(4,3)－(2,2)＝(2,1)．又c＝(x，－2)，b∥c，所以－4－x＝0，解得x＝－4.故選B．5．(2024年湖南模擬)已知向量a＝(4，－1)，b＝(－5,2)且(a＋b)∥(ma－b)，則實(shí)數(shù)m＝()A．1 B．－1C．eq\f(7,5) D．－eq\f(7,5)【答案】B【解析】向量a＝(4，－1)，b＝(－5,2)，則a＋b＝(－1,1)，ma－b＝(4m＋5，－m－2)．由(a＋b)∥(ma－b)，可得－(－m－2)－(4m＋5)＝0，解得m＝－1.故選B．6．已知a＝(1，－1)，b＝(t,1)，若(a＋b)∥(a－b)，則實(shí)數(shù)t＝________.【答案】－1【解析】向量a＝(1，－1)，b＝(t,1)，則a＋b＝(1＋t,0)，a－b＝(1－t，－2)，若(a＋b)∥(a－b)，則有(1＋t)×(－2)＝(1－t)×0＝0，解得t＝－1.7．(2024年廣東潮州期末)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,9)，b＝(2,1)，c＝(－1,7)．(1)求滿意a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(a＋c)∥(b＋kc)，求實(shí)數(shù)k.【解析】(1)由題意得(3,9)＝m(2,1)＋n(－1,7)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2m－n，,9＝m＋7n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))(2)a＋c＝(2,16)，b＋kc＝(2－k,1＋7k)．∵(a＋c)∥(b＋kc)，∴2(1＋7k)－16(2－k)＝0，解得k＝1.8．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).(1)若點(diǎn)P在其次象限，求t的取值范圍；(2)求證：不論t為何實(shí)數(shù)，A，B，P三點(diǎn)共線．【解析】(1)∵A(1,2)，B(4,5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)．∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．∵點(diǎn)P在其次象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t>0，))解得－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).∴t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,3))).(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).由向量共線定理可知不論t為何實(shí)數(shù)，A，B，P三點(diǎn)共線．【實(shí)力提升】9．設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量a－λb與向量c＝(－5，－6)共線，則λ的值為()A．eq\f(4,3) B．eq\f(4,13)C．－eq\f(4,9) D．4【答案】A【解析】∵a－λb＝(1,2)－λ(2,3)＝(1－2λ，2－3λ)與c共線，∴－5(2－3λ)－(－6)(1－2λ)＝0，化為－4＋3λ＝0，解得λ＝eq\f(4,3).故選A．10．(2024年遼寧鞍山模擬)△ABC中A為其內(nèi)角，設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，sinA))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA，\f(1,3)))且a∥b，則sinA＋cosA＝()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．－eq\r(2) D．2【答案】B【解析】a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，sinA))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA，\f(1,3)))且a∥b，所以eq\f(3,2)×eq\f(1,3)－sinAcosA＝0，則sinAcosA＝eq\f(1,2).所以(sinA＋cosA)2＝sin2A＋cos2A＋2sinAcosA＝1＋2×eq\f(1,2)＝2.由A是△ABC的內(nèi)角，可得sinA>0，cosA>－1，所以sinA＋cosA>－1，則sinA＋cosA＝eq\r(2).故選B．11．(2024年安徽黃山期末)已知A(2,3)，B(4，－3)，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)|eq\o(PB,\s\up6(→))|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】(8，－15)【解析】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，∵點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)|eq\o(PB,\s\up6(→))|，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，即(x－2，y－3)＝－eq\f(3,2)(4－x，－3－y)，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)(8，－15)．12．已知k∈R，點(diǎn)A(k,12)，B(4,5)，C(10，k)．(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若k＝2，O為原點(diǎn)，求直線OB與AC的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】(1)由A，B，C三點(diǎn)共線，可得eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線．又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＝－7(10－k)．∴k2－9k－22＝0，即(k－11)(k＋2)＝0.∴k＝11或－2.(2)設(shè)直線OB與AC的交點(diǎn)為P(x，y)．∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，O，B，P共線，∴5x＝4y.∵eq