課時(shí)作業(yè)-第1節(jié)-兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合

第1節(jié)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1,2,4,616排列5,7組合313排列與組合的綜合應(yīng)用8,910,11,12,14151.a,b,c,d,e共5個(gè)人,從中選1名組長(zhǎng),1名副組長(zhǎng),但a不能當(dāng)副組長(zhǎng),不同選法的種數(shù)是(B)A.20 B.16 C.10 D.6解析:當(dāng)a當(dāng)組長(zhǎng)時(shí),則共有1×4=4(種)選法;當(dāng)a不當(dāng)組長(zhǎng)時(shí),又因?yàn)閍也不能當(dāng)副組長(zhǎng),則共有4×3=12(種)選法.因此共有4+12=16(種)選法.故選B.2.某市汽車(chē)牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編,但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B,C,D中選擇,其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)),有車(chē)主第一個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇,其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇,則他的車(chē)牌號(hào)碼可選的所有可能情況有(D)A.180種 B.360種 C.720種 D.960種解析:按照車(chē)主的要求,從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法,第二個(gè)號(hào)碼有3種選法,其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法.因此車(chē)牌號(hào)碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4=960(種).故選D.3.(2021·全國(guó)乙卷)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有(C)A.60種 B.120種 C.240種 D.480種解析:根據(jù)題意,有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者,其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者,可以先從5名志愿者中任選2人,組成一個(gè)小組,有C52種選法;然后連同其余三人,看成四個(gè)元素,四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置,四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4!種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,完成這件事共有C4.(多選題)(2021·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬)“二進(jìn)制”與我國(guó)古代的《易經(jīng)》有著一定的聯(lián)系,該書(shū)中有兩類(lèi)最基本的符號(hào):“——”和“——”,其中“——”在二進(jìn)制中記作“1”,“——”在二進(jìn)制中記作“0”,其變化原理與“逢二進(jìn)一”的法則相通.若從兩類(lèi)符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列,可以組成的不同的十進(jìn)制數(shù)為(ABCD)A.0 B.1 C.2 D.3解析:根據(jù)題意,從兩類(lèi)符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列的情況可分為三類(lèi).第一類(lèi):由兩個(gè)“——”組成,二進(jìn)制數(shù)為11,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù),為3.第二類(lèi):由兩個(gè)“——”組成,二進(jìn)制數(shù)為00,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù),為0.第三類(lèi):由一個(gè)“——”和一個(gè)“——”組成,二進(jìn)制數(shù)為10,01,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù),為2,1.所以從兩類(lèi)符號(hào)中任取2個(gè)符號(hào)排列,可以組成的不同的十進(jìn)制數(shù)為0,1,2,3.故選ABCD.5.(多選題)用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字,組成三位數(shù),則(ABC)A.若允許重復(fù),則可組成為125個(gè)B.若不允許重復(fù),則可組成為60個(gè)C.可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)為24個(gè)D.可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)為24個(gè)解析:組成三位數(shù),若允許重復(fù),則可組成53=125(個(gè));若不允許重復(fù),則可組成A53=5×4×3=60(個(gè));組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)分為兩類(lèi),一類(lèi)是2作個(gè)位數(shù),共有A42個(gè),另一類(lèi)是4作個(gè)位數(shù),也有A42個(gè).因此符合條件的偶數(shù)共有A4×3=36(個(gè)).故選ABC.6.在一個(gè)三位數(shù)中,若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字,則稱(chēng)該數(shù)為“駝峰數(shù)”,比如“102”,“546”為“駝峰數(shù)”.由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有個(gè),其中偶數(shù)有個(gè).

解析:十位上的數(shù)為1時(shí),有213,214,312,314,412,413,共6個(gè),十位上的數(shù)為2時(shí),有324,423,共2個(gè),所以共有6+2=8(個(gè)).偶數(shù)為214,312,314,412,324,共5個(gè).答案:857.(2021·山東泰安一模)北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)為4F級(jí)國(guó)際機(jī)場(chǎng)、世界級(jí)航空樞紐、國(guó)家發(fā)展新動(dòng)力源,于2019年9月25日正式通航.目前建有“三縱一橫”4條跑道,分別叫西一跑道、西二跑道、東一跑道、北一跑道,若有2架飛往不同目的地的飛機(jī)要從以上不同跑道同時(shí)起飛,且西一跑道、西二跑道至少有一道被選取,則共有種不同的安排方法(用數(shù)字作答).

解析:從4條跑道中選取安排共有A42=12種選擇,排除西一跑道、西二跑道都沒(méi)有的答案:108.(2021·山東濰坊模擬)植樹(shù)造林,綠化祖國(guó).某班級(jí)義務(wù)勞動(dòng)志愿者小組參加植樹(shù)活動(dòng),準(zhǔn)備在如圖所示的一拋物線(xiàn)形地塊上的ABCDGFE七點(diǎn)處各種植一棵樹(shù)苗,其中A,B,C分別與E,F,G關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),現(xiàn)有三種樹(shù)苗,要求每種樹(shù)苗至少種植一棵,且關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)處必須種植同一種樹(shù)苗,則共有不同的種植方法數(shù)是(用數(shù)字作答).

解析:由題意對(duì)稱(chēng)相當(dāng)于3種樹(shù)苗種A,B,C,D四個(gè)位置,有且僅有一種樹(shù)苗重復(fù),有C31種選法;在四個(gè)位置上種植有A44答案:369.用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)滿(mǎn)足下列條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?(1)比21034大的偶數(shù);(2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù).解:(1)可分五類(lèi),當(dāng)末位數(shù)字是0,而首位數(shù)字是2時(shí),有6個(gè)五位數(shù);當(dāng)末位數(shù)字是0,而首位數(shù)字是3或4時(shí),有C2當(dāng)末位數(shù)字是2,而首位數(shù)字是3或4時(shí),有C2當(dāng)末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是2時(shí),有3個(gè)五位數(shù);當(dāng)末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是3時(shí),有A3故共有6+12+12+3+6=39(個(gè))滿(mǎn)足條件的五位數(shù).(2)可分為兩類(lèi):末位數(shù)是0,個(gè)數(shù)有A2末位數(shù)是2或4,個(gè)數(shù)有A2故共有4+4=8(個(gè))滿(mǎn)足條件的五位數(shù).10.《數(shù)術(shù)記遺》相傳是東漢時(shí)期徐岳所著,該書(shū)主要記述了:積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算、計(jì)數(shù)共14種計(jì)算方法.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理該14種計(jì)算方法的相關(guān)資料,其中一人4種,其余兩人每人5種,則不同的分配方法種數(shù)是(A)A.C144CC.C144C10解析:先將14種計(jì)算方法分為三組,方法有C144C11.(多選題)將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)分別標(biāo)有1,2,3號(hào)的盒子中,不允許有空盒子的放法共有(BC)A.C31C21C.C31C4解析:根據(jù)題意,4個(gè)不同的小球放入3個(gè)分別標(biāo)有1～3號(hào)的盒子中,且沒(méi)有空盒,則3個(gè)盒子中有1個(gè)中放2個(gè)球,剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè),有2種解法:(1)分2步進(jìn)行分析:①先將4個(gè)不同的小球分成3組,有C4②將分好的3組全排列,對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中,有A3則沒(méi)有空盒的放法有C4(2)分2步進(jìn)行分析:①在4個(gè)小球中任選2個(gè),在3個(gè)盒子中任選1個(gè),將選出的2個(gè)小球放入選出的小盒中,有C3②將剩下的2個(gè)小球全排列,放入剩下的2個(gè)小盒中,有A2則沒(méi)有空盒的放法有C3由此可知,A,D錯(cuò)誤.故選BC.12.從5男3女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人組成4人志愿者服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有種不同的選法.

解析:要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,則分3種情況討論:①選出志愿者服務(wù)隊(duì)的4人中有1名女生,有C5這4人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)有A4此時(shí)有30×12=360(種)不同的選法.②選出志愿者服務(wù)隊(duì)的4人中有2名女生,有C5這4人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)有A4此時(shí)有30×12=360(種)不同的選法.③選出志愿者服務(wù)隊(duì)的4人中有3名女生,有C5這4人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)有A4此時(shí)有5×12=60(種)不同的選法.則一共有360+360+60=780(種)不同的選法.答案:78013.某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查,已知其中有15種次品.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種次品必須在內(nèi),不同的取法有多少種?(2)其中某一種次品不能在內(nèi),不同的取法有多少種?(3)恰有2種次品在內(nèi),不同的取法有多少種?(4)至少有2種次品在內(nèi),不同的取法有多少種?(5)至多有2種次品在內(nèi),不同的取法有多少種?解:(1)從余下的34種商品中,選取2種有C34所以某一種次品必須在內(nèi)的不同的取法有561種.(2)從34種可選商品中,選取3種,有C343種取法,或者C353-5984(種)取法,所以某一種次品不能在內(nèi)的不同的取法有5984種.(3)從20種正品中選取1種,從15種次品中選取2種有C202100種取法,所以恰有2種次品在內(nèi)的不同的取法有2100種.(4)選取2種次品有C201C152種,選取3種次品有C所以至少有2種次品在內(nèi)的不同的取法有2555種.(5)法一(間接法)選取3種的總數(shù)為C353,因此共有選取方式C15所以至多有2種次品在內(nèi)的不同的取法有6090種.法二(直接法)共有選取方式C203+C20所以至多有2種次品在內(nèi)的不同的取法有6090種.14.按下列要求分配6本不同的書(shū),各有多少種不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本.解:(1)6本不同的書(shū)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本,分三個(gè)步驟,第1步,從6本書(shū)中取1本有C61種分配方法;第2步,從剩余的5本書(shū)中取2本有C52種分配方法,第3步,從剩余的3本書(shū)中取3本有(2)由(1)可知分組后共有60種方法,分別分給甲、乙、丙后的方法有C6(3)從6本書(shū)中選擇2本書(shū),有C62種分配方法;再?gòu)氖Ｓ?本書(shū)中選擇2本書(shū),有C42種分配方法;剩余2本書(shū),有但是,該過(guò)程有重復(fù).假如6本書(shū)分別為A,B,C,D,E,F,若三個(gè)步驟分別選出的是(AB),(CD),(EF),則所有情況為(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB).所以分配方式共有C6(4)由(3)可知,平均分給甲、乙、丙三人,則分配方法有C62C90種.(5)從6本書(shū)中選4本書(shū)的方法有C64種,從剩余2本書(shū)中選1本書(shū)有C2(6)由(5)可知,分給甲、乙、丙三人的分配方法有C64C15.(多選題)在某班進(jìn)行的演講比賽中,共有5位選手參加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能連續(xù)出場(chǎng),且女生甲不能排在第一個(gè),為求出場(chǎng)順序的排法種數(shù),下列式子正確的為(ABD)A.C21B.A33C.A55D.A55-A22解析:若第一個(gè)出場(chǎng)的是男生,則第二個(gè)出場(chǎng)的是女生,以后的順序任意排,方法有C21C31A33種,若第一個(gè)出場(chǎng)的是女生(不是女生甲),則將剩余的2位女生排列好,2位男生插空,方法有C21A22A32種.所以滿(mǎn)足條件的出場(chǎng)順序有C21C31A33+A216.如圖,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩頂點(diǎn)異色,如果只有5種顏色可供使用,則不同的染色方法種數(shù)是.

解析:法一由題設(shè),四棱錐SABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同,不同的染色方法共有5×4×3=60(種).當(dāng)S,A,B染好時(shí),不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3,其余兩種顏色為4,5,若C染2,則D可染3或4或5,有3種不同的染色方法;若C染4,則D可染3或5,有2種不同的染色方法;若C染5,則D可染3或4,有2種不同的染色方法.所以當(dāng)S,A,B染好時(shí),C,D還有7種不同的染色方法,故不同染色方法有60×7=420(種).法二以S,A,B,C,D的順序分步染色.第一步,S點(diǎn)染色,有5種不同的方法.第二步,A點(diǎn)染色,與S在同一條棱上,有4種不同的方法.第三步,B點(diǎn)染色,與S,A分別在同一條棱上,有3種不同的方法.第四步,C點(diǎn)染色,考慮到D點(diǎn)與S,A,C分別在同一條棱上,需要對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類(lèi),當(dāng)A與C同色時(shí),D點(diǎn)