中考數(shù)學二輪培優(yōu)復習專題26 解答題重點出題方向二次函數(shù)的實際應用（解析版）

專題26解答題重點出題方向二次函數(shù)的實際應用（解析版）模塊一中考真題集訓類型一最大利潤問題1．（2022?淮安）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、B兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元．（1）求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；（2）當B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降價銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當B品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？思路引領(lǐng)：（1）A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)兩次進貨情況，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)：利潤＝（每臺實際售價﹣每臺進價）×銷售量，列函數(shù)關(guān)系式，配方成二次函數(shù)的頂點式可得函數(shù)的最大值；解：（1）A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)題意得，100x+150y=7000180x+120y=8100解得x=25y=30答：A種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元；（2）設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價降低a元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，利潤為w元，根據(jù)題意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴當B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元．總結(jié)提升：本題主要考查二元一次方程組及二次函數(shù)的實際應用，理解題意準確抓住相等關(guān)系，據(jù)此列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2022?朝陽）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)每件的銷售利潤×每天的銷售量＝425，解一元二次方程即可；（3）利用銷售該消毒用品每天的銷售利潤＝每件的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．解：（1）設(shè)每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，由題意可知：9k+b=10511k+b=95解得：k=?5b=150∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為13元；（3）w＝y(tǒng)（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x為整數(shù)，當x＜19時，w隨x的增大而增大，∴當x＝15時，w有最大值，最大值為525．答：每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是找準題目的等量關(guān)系．3．（2022?鞍山）某超市購進一批水果，成本為8元/kg，根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來10天的售價m（元/kg）與時間第x天之間滿足函數(shù)關(guān)系式m=12x+18（1≤x≤10，x為整數(shù)），又通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天銷售量y（kg）與時間第時間第x天…259…銷售量y/kg…333026…（1）求y與x的函數(shù)解析式；（2）在這10天中，哪一天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為多少元？思路引領(lǐng)：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)銷售這種水果的日利潤為w元，得出w＝（﹣x+35）（12x+18﹣8）=?12（x?152）2+30258解：（1）設(shè)每天銷售量y與時間第x天之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，根據(jù)題意，得：2k+b=335k+b=30解得k=?1b=35∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x為整數(shù)）；（2）設(shè)銷售這種水果的日利潤為w元，則w＝（﹣x+35）（12x+18﹣=?12x2+=?12（x?152∵1≤x≤10，x為整數(shù)，∴當x＝7或x＝8時，w取得最大值，最大值為378，答：在這10天中，第7天和第8天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為378元．總結(jié)提升：本題主要考查了二次函數(shù)在銷售問題中的應用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022?丹東）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：銷售單價x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？（3）當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷售單價不低于成本且不高于54元，可得銷售單價應定為50元；（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．解：（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80解得k=?2b=160∴y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：銷售單價應定為50元；（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，對稱軸是直線x＝55，而x≤54，∴x＝54時，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)，一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和一元二次方程．5．（2022?鄂爾多斯）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．（1）求第二批每個掛件的進價；（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為1.1x元，根據(jù)題意列出方程，求解即可；（2）設(shè)每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，則可列出w關(guān)于y的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)“每周最多能賣90個”得出y的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為1.1x元，根據(jù)題意可得，66001.1x+50解得x＝40．經(jīng)檢驗，x＝40是原分式方程的解，且符合實際意義，∴1.1x＝44．∴第二批每個掛件的進價為40元．（2）設(shè)每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，根據(jù)題意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，∵﹣10＜0，∴當x≥52時，w隨y的增大而減小，∵40+10（60﹣y）≤90，∴w≥55，∴當y＝55時，w取最大，此時w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．∴當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．總結(jié)提升：本題綜合考查分式方程和二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．6．（2022?荊門）某商場銷售一種進價為30元/個的商品，當銷售價格x（元/個）滿足40＜x＜80時，其銷售量y（萬個）與x之間的關(guān)系式為y=?110（1）求出商場銷售這種商品的凈利潤z（萬元）與銷售價格x函數(shù)解析式，銷售價格x定為多少時凈利潤最大，最大凈利潤是多少？（2）若凈利潤預期不低于17.5萬元，試求出銷售價格x的取值范圍；若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格x應定為多少元？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)總利潤＝單價利潤×銷量﹣50，可得z與x的函數(shù)解析式，再求出x=?b2a=?（2）當z＝17.5時，解方程得出x的值，再根據(jù)函數(shù)的增減性和開口方向得出x的范圍，結(jié)合y與x的函數(shù)關(guān)系式，從而解決問題．解：（1）z＝y(tǒng)（x﹣30）﹣50＝（?110x+9）（x﹣=?110x2當x=?b2a=?122×(?（2）當z＝17.5時，17.5=?110x2解得x1＝45，x2＝75，∵凈利潤預期不低于17.5萬元，且a＜0，∴45≤x≤75，∵y=?110x+9．y隨∴x＝45時，銷售量最大．總結(jié)提升：本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，正確列出z關(guān)于x的函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．7．（2022?青島）李大爺每天到批發(fā)市場購進某種水果進行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購買，一箱起售，每人一天購買不超過10箱；當購買1箱時，批發(fā)價為8.2元/千克，每多購買1箱，批發(fā)價每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗，這種水果售價為12元/千克時，每天可銷售1箱；售價每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．（1）請求出這種水果批發(fā)價y（元/千克）與購進數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天購進的這種水果需當天全部售完，請你計算，李大爺每天應購進這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)當購買1箱時，批發(fā)價為8.2元/千克，每多購買1箱，批發(fā)價每千克降低0.2元得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，（2）設(shè)李大爺每天所獲利潤是w元，由總利潤＝每千克利潤×銷量得w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3（x?416）2解：（1）根據(jù)題意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x為整數(shù)），答：這種水果批發(fā)價y（元/千克）與購進數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣0.2x+8.4（1≤x≤10，x為整數(shù)）；（2）設(shè)李大爺每天所獲利潤是w元，由題意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x?416）2∵﹣3＜0，x為正整數(shù)，且|6?416|＞|7∴x＝7時，w取最大值，最大值為﹣3×（7?416）2答：李大爺每天應購進這種水果7箱，才能使每天所獲利潤最大，最大利潤140元．總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應用，解題的根據(jù)是理解題意，列出函數(shù)關(guān)系式，能利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題．8．（2022?營口）某文具店最近有A，B兩款紀念冊比較暢銷．該店購進A款紀念冊5本和B款紀念冊4本共需156元，購進A款紀念冊3本和B款紀念冊5本共需130元．在銷售中發(fā)現(xiàn)：A款紀念冊售價為32元/本時，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀念冊售價為22元/本時，每天的銷售量為80本，B款紀念冊每天的銷售量與售價之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應數(shù)據(jù)如下表所示：售價（元/本）……22232425……每天銷售量（本）……80787674……（1）求A，B兩款紀念冊每本的進價分別為多少元；（2）該店準備降低每本A款紀念冊的利潤，同時提高每本B款紀念冊的利潤，且這兩款紀念冊每天銷售總數(shù)不變，設(shè)A款紀念冊每本降價m元；①直接寫出B款紀念冊每天的銷售量（用含m的代數(shù)式表示）；②當A款紀念冊售價為多少元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)A款紀念冊每本的進價為a元，B款紀念冊每本的進價為b元，根據(jù)購進A款紀念冊5本和B款紀念冊4本共需156元，購進A款紀念冊3本和B款紀念冊5本共需130元得5a+4b=1563a+5b=130，可解得A款紀念冊每本的進價為20元，B（2）①根據(jù)兩款紀念冊每天銷售總數(shù)不變，可得B款紀念冊每天的銷售量為（80﹣2m）本；②設(shè)B款紀念冊每天的銷售量與售價之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系是y＝kx+b'，待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+124，即可得B款紀念冊每天的銷售量為（80﹣2m）本時，每本售價是（22+m）元，設(shè)該店每天所獲利潤是w元，則w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．解：（1）設(shè)A款紀念冊每本的進價為a元，B款紀念冊每本的進價為b元，根據(jù)題意得：5a+4b=1563a+5b=130解得a=20b=14答：A款紀念冊每本的進價為20元，B款紀念冊每本的進價為14元；（2）①根據(jù)題意，A款紀念冊每本降價m元，可多售出2m本A款紀念冊，∵兩款紀念冊每天銷售總數(shù)不變，∴B款紀念冊每天的銷售量為（80﹣2m）本；②設(shè)B款紀念冊每天的銷售量與售價之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系是y＝kx+b'，根據(jù)表格可得：80=22k+b′78=23k+b′解得k=?2b′=124∴y＝﹣2x+124，當y＝80﹣2m時，x＝22+m，即B款紀念冊每天的銷售量為（80﹣2m）本時，每本售價是（22+m）元，設(shè)該店每天所獲利潤是w元，由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴m＝6時，w取最大值，最大值為1264元，此時A款紀念冊售價為32﹣m＝32﹣6＝26（元），答：當A款紀念冊售價為26元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是1264元．總結(jié)提升：本題考查二元一次方程組和二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出方程組和函數(shù)關(guān)系式．9．（2022?遼寧）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價格購進一批山野菜，市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表：每千克售價x（元）……202224……日銷售量y（千克）……666054……（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當每千克山野菜的售價定為多少元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)每日總利潤＝每千克利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由表中數(shù)據(jù)得：20x+b=6622x+b=60解得：k=?3b=126∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+126；（2）設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，∵市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元，∴18≤x≤28，∵﹣3＜0，∴當x＜30時，w隨x的增大而增大，∴當x＝28時，w最大，最大值為420，∴當每千克山野菜的售價定為28元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元．總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式．10．（2022?遼寧）某超市以每件13元的價格購進一種商品，銷售時該商品的銷售單價不低于進價且不高于18元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售單價定為多少時，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤最大？最大利潤是多少？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由所給函數(shù)圖象可知：14k+b=22016k+b=180解得：k=?20b=500故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣20x+500；（2）設(shè)每天銷售這種商品所獲的利潤為w，∵y＝﹣20x+500，∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）＝﹣20x2+760x﹣6500＝﹣20（x﹣19）2+720，∵﹣20＜0，∴當x＜19時，w隨x的增大而增大，∵13≤x≤18，∴當x＝18時，w有最大值，最大值為700，∴售價定為18元/件時，每天最大利潤為700元．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式．類型二圖形面積最大問題11．（2022?沈陽）如圖，用一根60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．（1）若所圍成的矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？（2）矩形框架ABCD面積的最大值為150平方厘米．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)框架的長AD為xcm，則寬AB為60?2x3cm（2）在（1）的基礎(chǔ)上，列出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)框架的長AD為xcm，則寬AB為60?2x3cm∴x?60?2x3解得x＝12或x＝18，∴AB＝12cm或AB＝8cm，∴AB的長為12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的長AD為xcm，則寬AB為60?2x3cm∴S＝x?60?2x3，即S=?23x2+20x=?23（∵?2∴要使框架的面積最大，則x＝15，此時AB＝10，最大為150平方厘米．故答案為：150．總結(jié)提升：此題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的運用及求函數(shù)最值的方法，屬較簡單題目．解題的關(guān)鍵是用一個未知數(shù)表示出長和寬，利用面積公式來列出函數(shù)表達式后再求其最值．12．（2022?威海）某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．思路引領(lǐng)：設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，然后根據(jù)矩形面積列函數(shù)關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值．解：設(shè)矩形雞場與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（47﹣2x+1）m，由題意可得：y＝x（47﹣2x+1），即y＝﹣2（x﹣12）2+288，∵﹣2＜0，∴當x＝12時，y有最大值為288，當x＝12時，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合題意），∴雞場的最大面積為288m2．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用，理解題意，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2022?無錫）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為24?x?2x3=（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合題意的解，即可得（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，根據(jù)墻的長度為10，可得0＜x≤103，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質(zhì)即得當x=103時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為解：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為24?x?2x3=（8﹣x）∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，經(jīng)檢驗，x＝6時，3x＝18＞10不符合題意，舍去，∴x＝2，答：此時x的值為2；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，∵墻的長度為10m，∴0＜x≤10根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴當x=103時，y取最大值，最大值為﹣3×（103?4）2+48=答：當x=103時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為1403總結(jié)提升：本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關(guān)系式．14．（2022?湘潭）為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)水池的長為am，根據(jù)Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形面積減水池面積等于種植面積列方程求解即可得出結(jié)論；（2）設(shè)BC長為xm，則CD長度為21﹣3x，得出面積關(guān)于x的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設(shè)水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設(shè)BC長為xm，則CD長度為21﹣3x，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x?72）2∵﹣3＜0，∴當x=72時，總種植面積有最大值為1474即BC應設(shè)計為72m總種植面積最大，此時最大面積為1474m總結(jié)提升：本題主要考查二次函數(shù)的應用，熟練根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵．類型三物體的運動軌跡是拋物線的問題15．（2022?寧夏）2022北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一條拋物線，跳臺高度OA為4米，以起跳點正下方跳臺底端O為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，建立如圖所示平面直角坐標系．已知拋物線最高點B的坐標為（4，12），著陸坡頂端C與落地點D的距離為2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即CEDE求：（1）點A的坐標；（2）該拋物線的函數(shù)表達式；（3）起跳點A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：3≈思路引領(lǐng)：（1）由拋物線的圖象可直接得出結(jié)論；（2）由拋物線的頂點可設(shè)出拋物線的頂點式，將點A的坐標代入即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)勾股定理可得出CE和DE的長，進而得出點D的坐標，由OC的長為點D的橫坐標減去DE的長可得出結(jié)論．解：（1）∵OA＝4，且點A在y軸正半軸，∴A（0，4）．（2）∵拋物線最高點B的坐標為（4，12），∴設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣4）2+12，∵A（0，4），∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a=?1∴拋物線的解析式為：y=?12（x﹣4）（3）在Rt△CDE中，CEDE=3∴CE＝1.5，DE＝2．∴點D的縱坐標為﹣1.5，令?12（x﹣4）2+12＝解得，x＝4+33≈9.19或x＝4﹣33∴D（9.19，﹣1.5）．∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．∴OC的長約為7.2米．總結(jié)提升：本題主要考查二次函數(shù)的應用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線上點的坐標特點等相關(guān)內(nèi)容，得出點D的坐標是解題關(guān)鍵．16．（2022?衢州）如圖1為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道的橫截面示意圖．取水平線OE為x軸，鉛垂線OD為y軸，建立平面直角坐標系．運動員以速度v（m/s）從D點滑出，運動軌跡近似拋物線y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某運動員7次試跳的軌跡如圖2．在著陸坡CE上設(shè)置點K（與DO相距32m）作為標準點，著陸點在K點或超過K點視為成績達標．（1）求線段CE的函數(shù)表達式（寫出x的取值范圍）．（2）當a=19時，著陸點為P，求（3）在試跳中發(fā)現(xiàn)運動軌跡與滑出速度v的大小有關(guān)，進一步探究，測算得7組a與v2的對應數(shù)據(jù)，在平面直角坐標系中描點如圖3．①猜想a關(guān)于v2的函數(shù)類型，求函數(shù)表達式，并任選一對對應值驗證．②當v為多少m/s時，運動員的成績恰能達標（精確到1m/s）？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，5思路引領(lǐng)：（1）由圖2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系數(shù)法可得出結(jié)論；（2）當a=19時，y=?19x（3）①猜想a與v2成反比例函數(shù)關(guān)系．將（100，0.250）代入表達式，求出m的值即可．將（150，0.167）代入a=25②由K在線段y=?12x+20上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得a=564．由解：（1）由圖2可知：C（8，16），E（40，0），設(shè)CE：y＝kx+b（k≠0），將C（8，16），E（40，0）代入得：16=8k+b，0=40k+b，解得k=?∴線段CE的函數(shù)表達式為y=?12x+20（8≤（2）當a=19時，由題意得?1解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．∴P的橫坐標為22.5．∵22.5＜32，∴成績未達標．（3）①猜想a與v2成反比例函數(shù)關(guān)系．∴設(shè)a=m將（100，0.250）代入得0.25=m100，解得∴a=25將（150，0.167）代入a=25v2∴a=25v2能相當精確地反映a與②由K在線段y=?12x+20上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x由a=25v2得又∵v＞0，∴v=85∴當v≈18m/s時，運動員的成績恰能達標．總結(jié)提升：本題屬于函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的應用及二次函數(shù)綜合應用，熟知待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．17．（2022?蘭州）擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名女生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時起點處高度為53m，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）根據(jù)蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．圖1來源：《2022年蘭州市高中階段學校招生體育考試規(guī)則與測試要求》思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)該同學此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y＝0，解方程即可．解：（1）根據(jù)題意設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣3）2+3，把（0，53）代入解析式得：53=a（0﹣解得：a=?4∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=?427（x﹣3）（2）該女生在此項考試中是得滿分，理由：令y＝0，則?427（x﹣3）解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∵7.5＞6.70，∴該女生在此項考試中是得滿分．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用和一元二次方程的解法，關(guān)鍵是理解題意把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程為題．18．（2022?北京）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺．運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某運動員進行了兩次訓練．（1）第一次訓練時，該運動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．記該運動員第一次訓練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓練的著陸點的水平距離為d2，則d1＜d2（填“＞”“＝”或“＜”）．思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標，即可得出h、k的值，運動員豎直高度的最大值；將表格中除頂點坐標之外的一組數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式即可求出a的值即可得出函數(shù)解析式；（2）設(shè)著陸點的縱坐標為t，分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出著陸點的橫坐標，用t表示出d1和d2，然后進行比較即可．解：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標為：（8，23.20），∴h＝8，k＝23.20，即該運動員豎直高度的最大值為23.20m，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當x＝0時，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：20.00＝a（0﹣8）2+23.20，解得：a＝﹣0.05，∴函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；（2）設(shè)著陸點的縱坐標為t，則第一次訓練時，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，解得：x＝8+20(23.20?t)或x＝8?∴根據(jù)圖象可知，第一次訓練時著陸點的水平距離d1＝8+20(23.20?t)第二次訓練時，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，解得：x＝9+25(23.24?t)或x＝9?∴根據(jù)圖象可知，第二次訓練時著陸點的水平距離d2＝9+25(23.24?t)∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），∴20(23.20?t)＜∴d1＜d2，故答案為：＜．總結(jié)提升：本題主要考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，設(shè)著陸點的縱坐標為t，用t表示出d1和d2是解題的關(guān)鍵．19．（2022?河南）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m．身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．思路引領(lǐng)：（1）由拋物線頂點（5，3.2），設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系數(shù)法可得拋物線的表達式為y=?110x2+x（2）當y＝1.6時，?110x2+x+710=1.6，解得x＝1或x解：（1）由題意知，拋物線頂點為（5，3.2），設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣5）2+3.2，將（0，0.7）代入得：0.7＝25a+3.2，解得a=?1∴y=?110（x﹣5）2+3.2=?110x2答：拋物線的表達式為y=?110x2+x（2）當y＝1.6時，?110x2+x解得x＝1或x＝9，∴她與爸爸的水平距離為3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），答：當她的頭頂恰好接觸到水柱時，與爸爸的水平距離是2m或6m．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．20．（2022?臨沂）第二十四屆冬奧會在北京成功舉辦，我國選手在跳臺滑雪項目中奪得金牌．在該項目中，運動員首先沿著跳臺助滑道飛速下滑，然后在起跳點騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止．本項目主要考核運動員的飛行距離和動作姿態(tài)，某數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究：如圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)CD所在水平線為x軸，過起跳點A與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．著陸坡AC的坡角為30°，OA＝65m，某運動員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，AB＝100m．在空中飛行過程中，運動員到x軸的距離y（m）與水平方向移動的距離x（m）具備二次函數(shù)關(guān)系，其解析式為y=?160x2+bx+（1）求b，c的值；（2）進一步研究發(fā)現(xiàn)，運動員在飛行過程中，其水平方向移動的距離x（m）與飛行時間t（s）具備一次函數(shù)關(guān)系，當運動員在起跳點騰空時，t＝0，x＝0；空中飛行5s后著陸．①求x關(guān)于t的函數(shù)解析式；②當t為何值時，運動員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是多少？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意，可以求得點A和點B的坐標，然后代入二次函數(shù)解析式，即可得到b、c的值；（2）①根據(jù)題意，可以得到x關(guān)于t的函數(shù)圖象經(jīng)過的兩個點，然后根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到x關(guān)于t的函數(shù)的解析式；②先求出直線AB的解析式，再根據(jù)題意，可以表示出h，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得當h為何值時，運動員離著陸坡的豎直距離h最大，并求出這個最大值．解：（1）作BE⊥y軸于點E，∵OA＝65m，著陸坡AC的坡角為30°，AB＝100m，∴點A的坐標為（0，65），AE＝50m，BE＝503m，∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），∴點B的坐標為（503，15），∵點A（0，65），點B（503，15）在二次函數(shù)y=?160x2+bx+∴c=65?解得b=3即b的值是32，c（2）①設(shè)x關(guān)于t的函數(shù)解析式是x＝kt+m，因為點（0，0），（5，503）在該函數(shù)圖象上，∴m=05k+m=50解得k=103即x關(guān)于t的函數(shù)解析式是x＝103t；②設(shè)直線AB的解析式為y＝px+q，∵點A（0，65），點B（503，15）在該直線上，∴q=6550解得p=?3即直線AB的解析式為y=?33則h＝（?160x2+32x+65）﹣（?33x+65）∴當x=?5362×(?160)=∵253＜503∴x＝253時，h取得最值，符合題意，將x＝253代入x＝103t，得：253=103t解得t＝2.5，即當t為2.5時，運動員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是1254m總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用、一次函數(shù)的應用、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．21．（2022?江西）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度OA為66m，基準點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設(shè)運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為66；（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a=?150，b=910，求基準點②若a=?150時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為b＞（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)起跳臺的高度OA為66m，即可得c＝66；（2）①由a=?150，b=910，知y=?150x2+910x+66，根據(jù)基準點K到起跳臺的水平距離為75②運動員落地點要超過K點，即是x＝75時，y＞21，故?150×752（3）運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，即是拋物線的頂點為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，可得拋物線解析式為y=?2125（x﹣25）2+76，當x＝75時，y＝36，從而可知他的落地點能超過解：（1）∵起跳臺的高度OA為66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案為：66；（2）①∵a=?150，b∴y=?150x2+∵基準點K到起跳臺的水平距離為75m，∴y=?150×75∴基準點K的高度h為21m；②∵a=?1∴y=?150x2+∵運動員落地點要超過K點，∴x＝75時，y＞21，即?150×752解得b＞9故答案為：b＞9（3）他的落地點能超過K點，理由如下：∵運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，∴拋物線的頂點為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=?2∴拋物線解析式為y=?2125（x﹣25）當x＝75時，y=?2125×（75﹣∵36＞21，∴他的落地點能超過K點．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．類型四拱橋隧道問題22．（2022?陜西）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標原點，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據(jù)設(shè)計要求：OE＝10m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9m．（1）求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達式；（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到OE的距離均為6m，求點A、B的坐標．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a=?9（2）把y＝6，代入拋物線的解析式，解方程可得結(jié)論．解：（1）由題意拋物線的頂點P（5，9），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a=?9∴拋物線的解析式為y=?925（x﹣5）（2）令y＝6，得?925（x﹣5）解得x1=533+5，∴A（5?533，6），B總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法，一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，屬于中考?？碱}型．模塊二2023中考押題預測23．（2023?南海區(qū)一模）垃圾分類作為一個公共管理的綜合系統(tǒng)工程，需要社會各個層面共同發(fā)力，大瀝鎮(zhèn)超市計劃定制一款家用分類垃圾桶，獨家經(jīng)銷．生產(chǎn)廠家給出如下定制方案：不收設(shè)計費，定制不超過200套時，每套費用60元；超過200套后，超出的部分8折優(yōu)惠．已知該超市定制這款垃圾桶的平均費用為56元1套．（1）該超市定制了這款垃圾桶多少套？（2）超市經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當此款垃圾桶售價定為80元/套時，平均每天可售出20套；售價每降低1元，平均每天可多售出2套．當售價下降多少元時，可使該超市平均每天銷售此款垃圾桶的利潤最大？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)該超市定制了這款垃圾桶x套，根據(jù)定制不超過200套時，每套費用60元；超過200套后，超出的部分8折優(yōu)惠，且已知該超市定制這款垃圾桶的平均費用為56元1套，可得x的范圍，從而可得關(guān)于x的方程，求解即可．（2）設(shè)售價下降m元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤為w元，根據(jù)題意得w關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．解：（1）由平均費用為56元1套，可知該超市定制這款垃圾桶超過了200套．設(shè)該超市定制了這款垃圾桶x套，根據(jù)題意得，60×200+60（x﹣200）×80%＝56x，解得x＝300．所以該超市定制這款垃圾桶300套．（2）設(shè)售價下降m元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤為w元，根據(jù)題意，得w＝（80﹣56﹣m）（20+2m），＝﹣2m2+28m+480＝﹣2（m﹣7）2+578，∵﹣2＜0，且0＜m＜24，∴當m＝7時，w有最大值．答：售價下降7元時，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤最大．總結(jié)提升：本題主要考查了二次函數(shù)在銷售問題中的應用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2023?咸寧模擬）李麗大學畢業(yè)后回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，開了一家服裝專賣店代理品牌服裝的銷售．已知該品牌服裝進價每件40元，日銷售y（件）與銷售價x（元/件）之間的關(guān)系如圖所示（實線），每天付員工的工資每人82元，每天應支付其他費用106元．（1）直接寫出日銷售y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當某天的銷售價為48元/件時，收支恰好平衡（收入＝支出），求該店員工人數(shù)；（3）若該店只有2名員工，則每天能獲得的最大利潤是多少元？此時，每件服裝的價格應定為多少元？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)收入等于支出，可得一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程，可得答案；（3）分兩種情況解答：①當40≤x＜58時；②當58≤x≤71時，依據(jù)：總利潤＝單件利潤×銷售量﹣工人工資及其他費用列出函數(shù)解析式，求解即可．解：（1）當40≤x＜58時，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝k1x+b1，由圖象可得，60=40k解得：k1∴y＝﹣2x+140；當58≤x≤71時，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝k2x+b2，由圖象得，24=58k解得k2∴y＝﹣x+82．綜上所述：y=?2x+140(40≤x≤58)（2）設(shè)人數(shù)為a，當x＝48時，y＝﹣2×48+140＝44，則（48﹣40）×44＝106+82a，解得a＝3．答：該店員工人數(shù)為3．（3）設(shè)每件服裝的價格為x元時，每天獲得的利潤為w元．當40≤x＜58時，w＝（x﹣40）（﹣2x+140）﹣82×2﹣106＝﹣2x2+220x﹣5870＝﹣2（x﹣55）2+180，當x＝55時，w最大值＝180．當58≤x≤71時，w＝（x﹣40）（﹣x+82）﹣82×2﹣106＝﹣x2+122x﹣3550＝﹣（x﹣61）2+171，當x＝61時，w最大值＝171．∵180＞171∴w最大值為180答：每天能獲得的最大利潤是180元，此時，每件服裝的價格應定為55元．總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的應用與一次函數(shù)和一元一次方程的應用能力，理解題意找到符合題意得相等關(guān)系函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．25．（2022?云安區(qū)模擬）云浮市各級公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，郁南縣某商場同時購進A，B兩種類型的頭盔，已知購進3個A類頭盔和4個B類頭盔共需288元；購進6個A類頭盔和2個B類頭盔共需306元．（1）A，B兩類頭盔每個的進價各是多少元？（2）在銷售中，該商場發(fā)現(xiàn)A類頭盔每個售價50元時，每個月可售出100個；每個售價提高5元時，每個月少售出10個．設(shè)A類頭盔每個x元（50≤x≤100），y表示該商家每月銷售A類頭盔的利潤（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)A類頭盔每個的進價是a元，B類頭盔每個的進價是b元，根據(jù)購進3個A類頭盔和4個B類頭盔共需288元；購進6個A類頭盔和2個B類頭盔共需306元列出方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)總利潤＝每個A類頭盔的利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．解：（1）設(shè)A類頭盔每個的進價是a元，B類頭盔每個的進價是b元，根據(jù)題意得：3a+4b=2886a+2b=306解得a=36b=45答：A類頭盔每個的進價是36元，B類頭盔每個的進價是45元；（2）根據(jù)題意得：y＝（x﹣36）（100?x?505×10）＝﹣2x2+272x﹣7200＝﹣2（x﹣∵﹣2＜0，50≤x≤100，∴當x＝68時，y有最大值，最大值為2048，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+272x﹣7200，最大利潤為2048元．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用和二元一次方程組的應用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析和方程組．26．（2022?市南區(qū)三模）某企業(yè)生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，每件成本為50元．由于新產(chǎn)品市場有率較低，去年上市初期銷量逐漸減少，1至6月，月銷售量y（件）與月份x（月）滿足一次函數(shù)關(guān)系：隨著新產(chǎn)品逐漸得到市場認可，銷量增加，6至1月，月銷售量y（件）與月份x（月）滿足二次函數(shù)關(guān)系，且6月份的月銷售量是該二次函數(shù)的最小值，函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知去年1至6月每件該產(chǎn)品的售價z（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系：z＝60+52x（1≤x≤6，x為整數(shù)）．除成本外，平均每銷售一件產(chǎn)品還需額外支出雜費p元，p與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系：p=12x（1≤x（3）今年以來，由于物價上漲及積壓了去年未銷售的產(chǎn)品等因素，該企業(yè)每月均需支出雜費6000元（不論每月銷售量如何，且天數(shù)不滿一月時按整月計算）．為了出售去年積壓的4000件該產(chǎn)品，企業(yè)計劃以單價70元銷售，每月可賣出350件．為了盡快回籠資金并確保獲利，企業(yè)決定降價銷售，每件該產(chǎn)品每降價1元（降價金額為整數(shù)），每月可多賣出50件，且要求在5個月內(nèi)（含5個月）將這批庫存全部售出，如何定價可使獲利最大？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意可設(shè)y1＝kx+b（k≠0，1≤x≤6），y2＝a（x﹣6）2+350（a≠0，6＜x≤12），再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)利潤為w元，根據(jù)“獲得的利潤＝（每件產(chǎn)品售價﹣每件產(chǎn)品成本﹣每件產(chǎn)品的雜費）×月銷售量”列出函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出每段的最大值，最后對比即可求解；（3）設(shè)降價m元銷售（m為整數(shù)），所獲的利潤為w′元，根據(jù)題意可得w′＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×4000350+50m，根據(jù)每件產(chǎn)品獲利大于0和要求在5個月內(nèi)（含5個月）將這批庫存全部售出得9≤m＜20，再由4000350+50m解：（1）設(shè)y1＝kx+b（k≠0，1≤x≤6），由圖可知，y1經(jīng)過點（1，600）和（4，450），∴k+b=6004k+b=450∴k=?50b=650∴y1＝﹣50x+650（1≤x≤6），當x＝6時，y1＝y(tǒng)2＝﹣50×6+650＝350，∴設(shè)y2＝a（x﹣6）2+350（a≠0，6＜x≤12），∵y2過點（10，430），∴430＝a（10﹣6）2+350，∴a＝5，∴y2＝5（x﹣6）2+350＝5x2﹣60x+530（6＜x≤12）；（2）設(shè)獲得的利潤為w元，由題意可得w＝（z﹣50﹣p）?y，當1≤x≤6時，w=(60+5整理得：w＝﹣100x2+800x+6500＝﹣100（x﹣4）2+8100，∵﹣100＜0，∴當x＝4時，獲得最大利潤，最大利潤為8100元，當7≤x≤12時，此時z＝60+52×6=75（元），則w＝（75﹣50﹣3）[5（x﹣6）2+350]＝110（x﹣6）2+7700，∵110＞0，∴當7≤x≤12時，y隨x的增大而增大，∴當x＝12時，獲得最大利潤，最大利潤為110×（12﹣6）2+7700＝11660（元），∵11660＞8100，∴該產(chǎn)品在去年12月獲得最大利潤，最大利潤為11660元；（3）設(shè)降價m元銷售（m為整數(shù)），所獲的利潤為w′元，由題意得：w′＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×4000∵要求在5個月內(nèi)（含5個月）將這批庫存全部售出，∴4000350+50m解得：m≥9，∵70﹣50﹣m＞0，即m＜20，∴9≤m＜20，∵4000能被350+5m整除，∴m可以取9，13，當m＝9時，w′＝（70﹣50﹣9）×4000﹣6000×4000當m＝13時，w′＝（70﹣50﹣13）×4000﹣6000×4000∵14000＞4000，∴當每件該產(chǎn)品降價9元時，獲利最大．總結(jié)提升：本題主要考查二次函數(shù)的應用、一次函數(shù)的應用、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)．在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．27．（2022?東莞市校級一模）紅燈籠，象征著闔家團圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統(tǒng)文化．小明在春節(jié)前購進甲、乙兩種紅燈籠，用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數(shù)量相同，已知乙燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元．（1）求甲、乙兩種燈籠每對的進價；（2）經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙燈籠每對售價50元時，每天可售出98對，售價每提高1元，則每天少售出2對：物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每對65元，乙種燈籠的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？最大利潤是多少元？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)甲種燈籠單價為x元/對，則乙種燈籠的單價為（x+9）元/對，根據(jù)用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數(shù)量相同，列分式方程可解；（2）利用總利潤等于每對燈籠的利潤乘以賣出的燈籠的實際數(shù)量，可以列出函數(shù)的解析式；再由函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，可知有最大值，結(jié)合問題的實際意義，可得答案．解：（1）設(shè)甲種燈籠單價為x元/對，則乙種燈籠的單價為（x+9）元/對，由題意得：3120x解得x＝26，經(jīng)檢驗，x＝26是原方程的解，且符合題意，∴x+9＝26+9＝35，答：甲種燈籠單價為26元/對，乙種燈籠的單價為35元/對．（2）設(shè)乙種燈籠的銷售單價在50的基礎(chǔ)上提高了a元，由題意可知，y＝（50+a﹣35）（98﹣2a）＝﹣2a2+68a+1470，∵﹣2＜0，∴函數(shù)y有最大值，該二次函數(shù)的對稱軸為：a=?b物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每對65元，∴a+50≤65，∴a≤15，∵a＜17時，y隨x的增大而增大，∴當a＝15時，y最大＝2040．15+50＝65．∴乙種燈籠的銷售單價為每對65元時，一天獲得利潤最大，最大利潤是2040元．總結(jié)提升：本題屬于分式方程和二次函數(shù)的應用題綜合．由于前后步驟有聯(lián)系，第一問解對，后面才能做對．本題還需要根據(jù)問題的實際意義來確定銷售單價的取值，本題中等難度．28．（2023?鳳翔縣模擬）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．某滑雪賽場跳臺滑雪的起跳臺的高度OA為60m，基準點K到起跳臺的水平距離為70m，高度為18m．設(shè)運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y=?1（1）若運動員落地點恰好到達K點，求b，c的值．（2）若運動員飛行的水平距離為21m，恰好達到最大高度68.82m，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）把（0，60），（70，18）代入函數(shù)解析式求解即可；（2）運動員飛行的水平距離為21m時，恰好達到最大高度68.82m，即是拋物線的頂點為（21，68.82），可得拋物線解析式為y=?150(x?21)2+68.82，當解：（1）將（0，60），（70，18）代入y=?1c=6018=?解得b=4∴b的值為45，c（2）能超過，理由：∵運動員飛行的水平距離為21m時，恰好達到最大高度68.82m，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=?1當x＝70時，y＝20.8＞18，∴他的落地點能超過K點．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．29．（2022?東城區(qū)一模）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對d和h之間的關(guān)系進行了探究．下面是小紅的探究過程，請補充完整：（1）經(jīng)過測量，得出了d和h的幾組對應值，如表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數(shù)；（2）在下面的平面直角坐標系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①橋墩露出水面的高度AE為0.88米；②公園欲開設(shè)游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且CE＝DF，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．（精確到0.1米）思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)常量和變量的定義可得答案；（2）根據(jù)點的坐標描點、連線即可；（3）①根據(jù)圖象與y軸的交點坐標可得答案；②求出y與x的關(guān)系式，再把y＝2代入即可．解：（1）d是自變量，h是這個變量的函數(shù)，故答案為：d，h；（2）如圖，（3）①當x＝0時，y＝0.88，∴橋墩露出水面的高度AE為0.88米，故答案為：0.88；②設(shè)y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，c=0.88a+b+c=2.38解得a=?0.5b=2∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，對稱軸為直線x＝2，令y＝2，則2＝﹣0.5x2+2x+0.88，解得x≈3.3（舍去）或0.7．故答案為：0.7．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)對應點的坐標得到二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．30．（2022?巧家縣模擬）如圖所示的是小青同學設(shè)計的一個動畫示意圖，某彈球P（看作一點）從數(shù)軸上表示﹣8的點A處彈出后，呈拋物線y＝﹣x2﹣8x狀下落，落到數(shù)軸上后，該彈球繼續(xù)呈現(xiàn)原拋物線狀向右自由彈出，但是第二次彈出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次彈出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐漸向右自由彈出．（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標系，并計算彈球第一次彈出的最大高度．（2）當彈球P在數(shù)軸上兩個相鄰落點之間的距離為4時，求此時下落的拋物線的解析式．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意建立坐標系，根據(jù)函數(shù)解析式求出最大值即可；（2）分別求出彈球第二次、第三次的解析式，以及落地見的距離，當落地之間距離為4時求出解析式即可．解：（1）根據(jù)彈球彈出的位置和函數(shù)解析式建立如圖所示坐標系：∵拋物線解析式為y＝﹣x2﹣8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴函數(shù)最大值為16，∴彈球第一次彈出的最大高度為16；（2）當y＝0時，則﹣x2﹣8x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣8，∴第一次相鄰兩落點之間的距離為：|﹣8﹣0|＝8，設(shè)第二次彈出時，彈球下落的拋物線的解析式為y＝﹣x（x﹣b），當x=b2時，y＝16∴?b2×解得b＝42或b＝﹣42（舍去），∴所求拋物線的解析式為y＝﹣x（x﹣42），∴第二次相鄰兩落點之間的距離為42，設(shè)第三次彈出時，彈球下落的拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣42）（x﹣c），當x=2+c2時，y解得c＝42+4或c＝42∴所求拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣42）（x﹣42?∴第三次相鄰兩落點之間的距離為|42+4﹣42∴相鄰兩落點之間的距離為4時，彈球下落拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣42）（x﹣42?總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)題意建立坐標系，寫出函數(shù)解析式．31．（2022?安順模擬）女生排球考試要求：墊球后，球在運動中離地面的最大高度至少為2米．某次模擬測試中，某女生在O處將球墊偏，之后又在A，B兩處先后墊球，球沿拋物線C1→C2→C3運動（假設(shè)拋物線C1，C2，C3在同一平面內(nèi)），最終正好在O處墊住，O處離地面的距離為1米．如圖所示，以O(shè)為坐標原點1米為單位長度建立直角坐標系，x軸平行于地面水平直線m，已知點A（32，38），點B的橫坐標為?32，拋物線C1和C3的表達式分別為y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+bx（1）求拋物線C1的函數(shù)表達式．（2）第一次墊球后，球在運動中離地面的最大高度是否達到要求？請說明理由．（3）為了使第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度達到要求，該女生第三次墊球處B離地面的高度至少為多少米？思路引領(lǐng)：（1）將點A坐標代入C：y＝a﹣2a中，求出a值即可；（2）求出拋物線C的頂點，求出實際最大高度，可得結(jié)果；（3）根據(jù)達到最大高度達到要求得到不等式，求出b的范圍，從而算出B離地面的高度．解：（1）∵C1：y＝ax2﹣2ax，將A（32，38）代入，得：38=a×(解得：a=?1∴C1：y=?12x2+（2）由（1）得：y=?12x2+x=?12（x﹣∴C1的對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，12∵O處距離地面1米，∴最大高度為12+1∴未達到要求；（3）C3：y＝2ax2+bx（a≠0），對稱軸為直線x=?b4a，頂點（?b∵最大距離達標，∴?b∵B的橫坐標為?3∴yB=9由（1）知a=?1∴b2解得：b≥2或b≤﹣2，∵x=?b∴a，b同號，則b≤﹣2，∴yB∴高度至少應為1+3∴該女生第三次墊球處B離地面的高度至少為1.75米．總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解題干中的實際情景．32．（2022?孟村縣校級模擬）學校舉辦籃球比賽，運動員小明跳起投籃，已知球出手時離地面2.4米，與籃圈中心的水平距離為7米，當球出手的水平距離4米時到達最大高度（M點）4米，設(shè)籃球運行軌跡為拋物線，籃圈中心距地面3.1米．以地面為x軸，經(jīng)過最高點（M點）與地面垂直的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．（1）請根據(jù)圖中信息，求出籃球運行軌跡的拋物線解析式；（2）請問運動員小明的這次跳起投籃能否投中？（3）此時，對方隊員乙上前攔截蓋帽，且隊員乙最大摸高3.2米，若隊員乙蓋帽失敗，則他距運動員小明至少多遠？（2≈思路引領(lǐng)：（1）先把題中的數(shù)字轉(zhuǎn)化為點的坐標，再代入頂點式求解；（2）當x＝3時，求y值即可；（3）由y＝3.2求x的值．解：（1）由題意及圖形知：拋物線的頂點為：M（0，4），過點A（﹣4，2.4），設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+4，∴（﹣4）2x+4＝2.4，解得：a=?1∴拋物線的解析式為y=?110x（2）當x＝3時，y=?1所以小明的這次跳起投籃能投中；（3）當y＝3.2時，3.2=?110x解得：x＝±22，由題意知：x＜0，∴x＝﹣22，∴﹣22?（﹣4）≈所以他距運動員小明至少1.2米．總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的應用，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．33．（2022?碧江區(qū)校級一模）如圖，古代一石橋有17個大小相同的橋洞，橋面平直，其中三個橋洞抽象成拋物線，其最大高度為4.5m，寬為6m，將橋墩的寬度、厚度忽略不計，以水平方向為橫軸，建立平面直角坐標系如圖所示，OM＝6．（1）求OAM這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若一艘高于水平面3m的小船想要通過橋洞，根據(jù)安全需要，它頂部最寬處兩側(cè)距橋洞的水平距離均不得小于20cm，設(shè)它頂部最寬處為dm，求d的值不得超過多少小船才能順利通過？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)y＝a（x﹣h）2+k，把頂點坐標為（3，4.5）代入可得解析式；（2）將y＝3代入解出x的值可得答案．解：（1）設(shè)OAM這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣h）2+k，由題意得頂點坐標為（3，4.5），∴y＝a（x﹣3）2+4.5，∵函數(shù)圖象經(jīng)過點M（6，0），∴0＝a（6﹣3）2+4.5，∴a＝﹣0.5，∴y＝﹣0.5（x﹣3）2+4.5＝﹣0.5x2+3x，∴OAM這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣0.5x2+3x；（2）當y＝3時，3＝﹣0.5x2+3x，解得：x1＝3+3，x2＝3?∵頂部最寬處兩側(cè)距橋洞的水平距離均不得小于20cm，∴d+2×0.2≤3+3?（3解得d≤23?∴d的值不得超過（23?0.4）m總結(jié)提升：本題考查了把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再對二次函數(shù)進行實際應用．解題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型，借助二次函數(shù)解決實際問題．34．（2022?椒江區(qū)校級二模）自從某校開展“高效課堂”模式以來，在課堂上進行當堂檢測效果很好．每節(jié)課40分鐘教學，假設(shè)老師用于精講的時間x（單位：分鐘）與學生學習收益量y的關(guān)系如圖1所示，學生用于當堂檢測的時間x（單位：分鐘）與學生學習收益y的關(guān)系如圖2所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點）．（1）求老師精講時的學生學習收益量y與用于精講的時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求學生當堂檢測的學習收益量y與用于當堂檢測的時間x的函數(shù)關(guān)系式；（3）問如何將課堂時間分配給精講和當堂檢測，才能使學生在這40分鐘的學習收益總量最大？思路引領(lǐng)：（1）由圖設(shè)該函數(shù)解析式為y＝kx，即可依題意求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）本題涉及分段函數(shù)的知識．需要注意的是x的取值范圍依照分段函數(shù)的解法解出即可．（3）設(shè)學生當堂檢測的時間為x分鐘（0≤x≤15），學生的學習收益總量為W，則老師在課堂用于精講的時間為（40﹣x）分鐘．用配方法的知識解答該題即可．解：（1）設(shè)y＝kx，把（1，2）代入，得：k＝2，∴y＝2x，（0≤x≤40）；（2）當0≤x≤8時，設(shè)y＝a（x﹣8）2+64，把（0，0）代入，得：64a+64＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣8）2+64＝﹣x2+16x，當8＜x≤15時，y＝64；（3）設(shè)學生當堂檢測的時間為x分鐘（0≤x≤15），學生的學習收益總量為W，則老師在課堂用于精講的時間為（40﹣x）分鐘，當0≤x≤8時，W＝﹣x2+16x+2（40﹣x）＝﹣x2+14x+80＝﹣（x﹣7）2+129，當x＝7時，Wmax＝129；當8≤x≤15時，W＝64+2（40﹣x）＝﹣2x+144，∵W隨x的增大而減小，∴當x＝8時，Wmax＝128，綜上，當x＝7時，W取得最大值129，此時40﹣x＝33，答：此“高效課堂”模式分配33分鐘時間用于精講、分配7分鐘時間當堂檢測，才能使這學生在40分鐘的學習收益總量最大．總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，二次函數(shù)的運用，頂點式求二次函數(shù)的最大值的運用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．35．（2022?大名縣校級四模）某乒乓球館使用發(fā)球機進行輔助訓練，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的長為2.74m．過點A作OA⊥BC，垂足為O，OB＝0.03m，以點O為原點，以直線BC為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運動路線為拋物線的一部分L，設(shè)乒乓球與出球口A的水平距離為x（m），到桌面的高度為y（m），運行時間為t（s），在桌面上的落點為D，經(jīng)測試，得到如下部分數(shù)據(jù)：t（s）00.20.40.60.8…x（m）00.511.52…y（m）0.250.40.450.40.25…（1）當t＝0.4s時，乒乓球達到最大高度；猜想y與t之間是否存在二次函數(shù)關(guān)系，如果存在，求出函數(shù)關(guān)系式；如果不存在，請說明理由；（2）桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m，求乒乓球從出球口A發(fā)出經(jīng)過多長時間位于球網(wǎng)正上方，此時乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（3）乒乓球落在點D后隨即彈起，沿拋物線L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路線運動，小明拿球拍EF與桌面夾角為60°接球，球拍中心線EF長為0.16m，下沿E在x軸上，假設(shè)拋物線L，L′與EF在同一平面內(nèi)，且乒乓球落在EF上（含端點，點E在點C右側(cè)），求p的值，并直接寫出EF到桌邊的距離CE的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線L的關(guān)系式，再根據(jù)頂點坐標公式進行計算即可；（2）根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式，x與t的函數(shù)關(guān)系式進而得到y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系式，再進行判斷即可；（3）根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式可求出點D的坐標，再代入乒乓球反彈后拋物線L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的關(guān)系式可求出p的值，再根據(jù)乒乓球反彈后拋物線L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的關(guān)系式以及解直角三角形可求出CE的最大值和最小值即可．解：（1）由題意得，OB＝0.03m，設(shè)拋物線L的關(guān)系式為y＝ax2+bx+c，將（0，0.25），（1，0.45），（2，0.25）代入得，c=0.25a+b+c=0.45解得a=?0.2b=0.4∴拋物線L的關(guān)系式為y＝﹣0.2x2+0.4x+0.25，∵a＝﹣0.2＜0，∴當x=?b2a=1時，y最大值當x＝1時，t＝0.4，設(shè)x與t的函數(shù)關(guān)系式可能是x＝kt，把（0.2，0.5）代入得，0.2k＝0.5，解得k＝2.5，∴x與t的關(guān)系式可能為x＝2.5t，經(jīng)驗證：（0，0）（0.4，1）（0.6，1.5）（0.8，2）都滿足x＝2.5t，∴x與t的關(guān)系式一定是x＝2.5t，∴y＝﹣0.2×（2.5t）2+0.4×2.5t+0.25＝﹣1.25t2+t+0.25，∴y是t的二次函數(shù)，關(guān)系式為：y＝﹣1.25t2+t+0.25，故答案為：0.4，y是t的二次函數(shù)，關(guān)系式為：y＝﹣1.25t2+t+0.25；（2）由題意得，BG＝CG=12BC＝1.37（∴OG＝OB+BG＝0.03+1.37＝1.4（m），當x＝1.4時，y＝﹣0.2×1.42+0.4