中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)專題31中考命題核心元素有關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題（解析版）

專題31中考命題核心元素有關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題（解析版）模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練模型一倍長(zhǎng)中線【模型解讀】當(dāng)已知條件中出現(xiàn)三角形中線時(shí)，常常將此中線倍長(zhǎng)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．基本圖形：典例1（（2022?南寧模擬）【閱讀理解】倍長(zhǎng)中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，如圖①，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE，可根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，則AB＝EC．【類比探究】如圖②，在△DEF中，DE＝3，DF＝7，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，求中線DG的取值范圍；【拓展應(yīng)用】如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若AE是∠BAD的平分線．試探究AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．思路引領(lǐng)：【類比探究】結(jié)論：2＜DG＜5．延長(zhǎng)DG至H，使GH＝DG，連接FH，證明△DGE≌△HGF（SAS），再依據(jù)DF﹣FH＜DH＜DF+FH，即可得出結(jié)論．【拓展應(yīng)用】結(jié)論：AD＝AB+DC．證明△CEF≌△BEA（AAS），推出AB＝CF，再證明DA＝DF即可解決問(wèn)題．【類比探究】解：如圖②，延長(zhǎng)DG至H，使GH＝DG，連接FH，∵點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，∴EG＝FG，在△DGE和△HGF中，EG=FG∠DGE=∠HGF∴△DGE≌△HGF（SAS），∴FH＝DE＝3，在△DFH中，DF﹣FH＜DH＜DF+FH，∴7﹣3＜DH＜7+3，∵DH＝2DG，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5；【拓展應(yīng)用】解：結(jié)論：AD＝AB+DC．理由：如圖③中，延長(zhǎng)AE、DC交于F，∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠EAB，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)∴CE＝EB，∵∠CEF＝∠AEB，∴△CEF≌△BEA（AAS），∴AB＝CF．∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠EAB，∵∠EAB＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，∵DF＝DC+CF＝DC+AB，∴AD＝AB+DC．總結(jié)提升：本題屬于四邊形綜合題，主要考查了是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中線和角平分線，三角形三邊關(guān)系等，合理添加輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．（2020?貴陽(yáng)模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則△ABC的面積是（）A．16 B．163 C．8 D．83思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)CD到H，使DH＝CD，由線段中點(diǎn)的定義得到AD＝BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到結(jié)論．解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延長(zhǎng)CD到H，使DH＝CD，連接AH，∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，在△ADH與△BCD中，CD=HD∠CDB=∠HDA∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH=3AH＝43∴△ABC的面積＝△ACH的面積=12×4×43故選：D．總結(jié)提升：本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、三角形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模型二中位線【模型解讀】當(dāng)已知條件中同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)及兩個(gè)以上中點(diǎn)時(shí)，?？紤]構(gòu)造中位線；或出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn)，要求證明平行線段或線段倍分關(guān)系時(shí)，也常考慮構(gòu)造中位線．基本圖形：典例2如圖，在△ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中點(diǎn)M、Q、N．求證：MQ＝QN．思路引領(lǐng)：根據(jù)正方形性質(zhì)AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，求出∠GAB＝∠EAC，證出△BAG≌△EAC，再根據(jù)三角形中位線求出即可．證明：連接BG和CE交于O，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，在△BAG和△EAC中，AB=AE∠BAG=∠EAC∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．∵BE、BC、CG的中點(diǎn)M、Q、N，∴MQ=12CE，QN=∵BG＝CE，∴QN＝MQ．總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)正方形性質(zhì)AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC．針對(duì)訓(xùn)練1．（2022春?鳳翔縣期末）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，若BD＝10，則EF的長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．5 D．4思路引領(lǐng)：根據(jù)等腰三角形的三線合一得到CE＝ED，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可．解：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CE＝ED，∵CE＝ED，CF＝FB，∴EF=12BD故選：C．總結(jié)提升：本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ACE中，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形．求證：△FMH是等腰直角三角形．思路引領(lǐng)：首先要連接MB、MD，然后證明△FBM≌△MDH，從而求出兩邊相等，且有一角為90°．證明：連接MB、MD，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)P，∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn)，四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形，∴MD∥AC，且MD=12AC＝BC＝MB∥CE，且MB=12CE＝CD＝∴四邊形BCDM是平行四邊形，∴∠CBM＝∠CDM，又∵∠FBP＝∠HDC，∴∠FBM＝∠MDH，在△FBM和△MDH中，BF=MD∠FBM=∠HDM∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH．∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM，∵BM∥CE，∴∠AMB＝∠E，同理：∠DME＝∠A．∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM，∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD）＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM）＝∠FBC＝90°，∴△FMH是等腰直角三角形．總結(jié)提升：此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，平行四邊形的性質(zhì)和判定應(yīng)用，關(guān)鍵是找出能使三角形全等的條件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，本題綜合考查了等腰三角形的判定，偏難，學(xué)生要綜合運(yùn)用學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)來(lái)證明．模型三等腰三角形“三線合一”【模型解讀】當(dāng)出現(xiàn)等腰三角形時(shí)，常作底邊的中線，可利用“三線合一”的性質(zhì)解題．基本圖形：典例3（2018秋?高平市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：首先連接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D為BC中點(diǎn)，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，即可證得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的長(zhǎng)，然后利用面積法來(lái)求DE的長(zhǎng)．解：連接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=12∴AD=A又∵DE⊥AB，∴12BD?AD=12AB∴ED=BD?AD解得：DE=60總結(jié)提升：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．針對(duì)訓(xùn)練1．（2021秋?下城區(qū)期中）如圖，在鈍角△ABC中，AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，則∠BAC＝35°，若將題目改為在銳角△ABC中，其它條件不變，則∠BAC＝75°．思路引領(lǐng)：當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，由AB+BH＝CH可得出AB＝BC，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可求出∠BAC的度數(shù)；當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD＝AB，交BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出∠ADB＝∠ABH＝70°、BH＝DH，結(jié)合AB+BH＝CH、CH＝CD+DH可得出CD＝AB＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角為180°即可求出∠BAC的度數(shù)．解：當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖：∵AB+BH＝CH，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA=12∠ABH＝35當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD＝AB，交BC于點(diǎn)D，如圖所示：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABH＝70°，BH＝DH．∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，∴CD＝AB＝AD，∴∠C=12∠ADB＝35∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝75°．故答案為：35°，75°．總結(jié)提升：本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，做出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?揚(yáng)州期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D為BC的中點(diǎn)，（1）求AD長(zhǎng)；（2）若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E、F，求證：DE＝DF．思路引領(lǐng)：（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，再利用勾股定理即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得AD是等腰△BAC的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證明結(jié)論．（1）解：如圖，連接AD，∵D為BC的中點(diǎn)，BC＝10，∴BD＝5，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=A（2）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是等腰△BAC的角平分線，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2011春?內(nèi)江期末）如圖1所示，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD＝30°，BD=CD=12AB．于是可得出結(jié)論“直角三角形中，30°請(qǐng)根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問(wèn)題：（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，則BC＝a2（2）如圖2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，垂足為E，當(dāng)BD＝5cm，∠B＝30°時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)＝15cm．（3）如圖3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，那么BE：EA＝3：1．（4）如圖4所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB與PQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推知∠A＝30，∠C＝90°．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知CD＝BD，則△ACD的周長(zhǎng)等于AC+AB；（3）如圖3，連接AD．利用等腰三角形的性質(zhì)、垂直的定義推知∠B＝∠ADE＝30°，然后由”30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半“分別求得BE、AE的值；（4）如圖4，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以得到∠PBQ＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到．解：（1）∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝30，∠C＝90°，∴BC=12AB故填：a2（2）如圖2，∵DE是線段BC的垂直平分線，∠ACB＝90°，∴CD＝BD，AD＝BD．又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC=12∴△ACD的周長(zhǎng)＝AC+AB＝3BD＝15cm．故填：15cm；（3）如圖3，連接AD．∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝60°．又∵DE⊥AB，∴∠B＝∠ADE＝30°，∴BE=32BD，AE=∴BE：EA=32BD：1又∵BD=3AD∴BE：AE＝3：1．故填：3：1．（4）BP＝2PQ．理由如下∵△ABC為等邊三角形．∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝∠CAD，∠BPQ為△ABP外角，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ．總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及含30度角直角三角形的性質(zhì)．直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．模型四直角三角形斜邊中線【模型解讀】當(dāng)已知條件中同時(shí)出現(xiàn)直角三角形和中點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造直角三角形斜邊中線，然后利用直角三角形斜邊的中線性質(zhì)解決問(wèn)題．基本圖形：典例4（2018秋?射陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)，連接GF、EG、DG．求證：（1）EG＝DG；（2）GF⊥DE．思路引領(lǐng)：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行證明；（2）由（1）知DG＝EG，再根據(jù)等腰三角形三線合一的證明即可．證明：（1）∵BD、CE是高，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴GE=12BC，GD=∴GE＝GD；（2）證明：由（1）知DG＝EG，∴△GED是等腰三角形，∵F是DE的中點(diǎn)，∴GF⊥DE．總結(jié)提升：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．（2022秋?上城區(qū)期中）已知：如圖∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC、BD的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥BD．（2）若∠BAD＝45°，連接MB、MD，判斷△MBD的形狀，并說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到BM＝DM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得到MN⊥BD．（2）依據(jù)等腰三角形外角的性質(zhì)，即可得到∠BMC＝2∠BAM，∠DMC＝2∠DAM，再根據(jù)∠BAD＝45°，可得∠BMC+∠DMC＝2∠BAD＝90°，依據(jù)BM＝DM，即可得到△BDM是等腰直角三角形．解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC、BD的中點(diǎn)，∴Rt△ABC中，BM=12Rt△ACD中，DM=12∴BM＝DM，又∵N是BD的中點(diǎn)，∴MN⊥BD．（2）等腰直角三角形，理由：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴AM=12AC＝∴∠BAM＝∠ABM，∴∠BMC＝2∠BAM，同理可得∠DMC＝2∠DAM，又∵∠BAD＝45°，∴∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD＝90°，又∵BM＝DM，∴△BDM是等腰直角三角形．總結(jié)提升：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定的運(yùn)用，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2018秋?閔行區(qū)期末）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)E在AC上，AB=12DE，AD∥求證：∠CBA＝3∠CBE．思路引領(lǐng)：取DE的中點(diǎn)F，連接AF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AF＝DF＝FE=12DE，推出DF＝AF＝AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，求出∠ABF＝2∠D，∠CBE＝∠證明：取DE的中點(diǎn)F，連接AF，∵AD∥BC，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠ACB＝90°，∴AF＝DF＝EF=12∵AB=12∴DF＝AF＝AB，∴∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，∴∠AFB＝∠D+∠DAF＝2∠D，∴∠ABF＝2∠D，∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠D，∴∠CBA＝∠CBE+∠ABF＝3∠CBE．總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，難度適中．模型五三角形邊的垂直平分線【模型解讀】當(dāng)三角形某一邊的垂線過(guò)該邊的中點(diǎn)時(shí)，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝CE，進(jìn)而證明線段間的數(shù)量關(guān)系．基本圖形：典例5（2019秋?姜堰區(qū)期中）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）若AB＝10，求△CDE的周長(zhǎng)；（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，EC＝EB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠A+∠B＝55°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形計(jì)算即可．解：（1）∵直線l是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，同理，EC＝EB，∴△CDE的周長(zhǎng)＝CD+DE+CE＝DA+DE+EB＝AB＝10；（2）∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∵DA＝DC，EC＝EB，∴∠ACD＝∠A，∠ECB＝∠B，∴∠DCE＝∠ACB﹣∠DCA﹣∠ECB＝∠ACB﹣∠A﹣∠B＝70°．總結(jié)提升：本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若CD＝5，則AE＝254思路引領(lǐng)：依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到AC的長(zhǎng)，設(shè)AE＝BE＝x，則CE＝8﹣x，再根據(jù)勾股定理列方程，即可得出AE的長(zhǎng)．解：如圖，連接BE，∵AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，∴AE＝BE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2CD＝10，又∵BC＝6，∴AC＝8，設(shè)AE＝BE＝x，則CE＝8﹣x，∵∠BCE＝90°，∴Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，即（8﹣x）2+62＝x2，解得x=25∴AE=25故答案為：254總結(jié)提升：本題主要考查了勾股定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．2．（2022秋?無(wú)棣縣期中）如圖，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝2，F(xiàn)G＝4，GC＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為22．思路引領(lǐng)：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．解：∵BD垂直平分AG，∴BA＝BG＝BF+FG＝2+4＝6，∵CE垂直平分AF，∴CA＝CF＝CG+FG＝3+4＝7，∴BC＝BF+CF＝2+7＝9，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝6+7+9＝22．故答案為：22．總結(jié)提升：本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型

模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?新吳區(qū)期中）如圖，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．過(guò)C作∠BAC的角平分線的垂線，垂足為D，點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)連結(jié)BD，CD，則S△BEC的最大值為（）A．10 B．9.2 C．8 D．7.5思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)AB，CD交點(diǎn)于F，可證△ADF≌△ADC（ASA），得出AC＝AF，DF＝CD，則S△BEC=14S△BCF，當(dāng)BF⊥BC時(shí)，S△BFC最大面積為30，即S△解：如圖：延長(zhǎng)AB，CD交點(diǎn)于F，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADCAD=AD∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AF，DF＝CD；∵AC﹣AB＝6，∴AF﹣AB＝6，即BF＝6；∵DF＝DC，∵E是CD的中點(diǎn)，∴S△BEC=14S△∴當(dāng)BF⊥BC時(shí)，S△BFC面積最大，即S△BEC最大面積=14×故選：D．總結(jié)提升：本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；利用三角形中線的性質(zhì)得到S△BEC=14S△2．（2021春?青龍縣期末）在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（）A．4 B．3.5 C．3 D．2.5思路引領(lǐng)：證DE是△ABC的中位線，再由三角形中位線定理求解即可．解：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12故選：D．總結(jié)提升：本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）3．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE與BC的垂直平分線DF交于點(diǎn)D，連接AD，CD，則∠ABC與∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系為∠ADC＝2∠ABC．思路引領(lǐng)：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝BD，BD＝CD，BG＝CG，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠BAD，∠CBD＝∠BCD，∠CBG＝∠BCG，進(jìn)而得到∠DCG＝∠BAD，由三角形外角定理得到∠HGC＝2∠CBG，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ADC＝∠HGC，即可得到∠ADC＝2∠ABC．解：設(shè)AB，DF相交于G，AB，CD相交于H，連接BD，CG，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，∵DF是線段BC的垂直平分線，∴BD＝CD，BG＝CG，∴∠CBD＝∠BCD，∠CBG＝∠BCG，∴∠CBD﹣∠CBG＝∠BCD﹣∠BCG，∠HGC＝2∠CBG，∴∠HBD＝∠DCG＝∠BAD，在△ADH和△CGH中，∵∠DCG＝∠BAD，∠AHD＝∠CHG，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ADC＝∠HGC，∴∠ADC＝2∠ABC，故答案為：∠ADC＝2∠ABC．總結(jié)提升：本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，三角形內(nèi)角和定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2020春?市南區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，若∠A＝63°，則∠D＝126°．思路引領(lǐng)：連接AD，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等看得到AD＝BD＝CD，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，然后求出∠ABD+∠ACD+∠BAC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠DBC+∠DCB，再次利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．解：如圖，連接AD，∵點(diǎn)D是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴AD＝BD＝CD，∴∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，∴∠ABD+∠ACD+∠BAC＝2∠BAC＝2×63°＝126°，在△ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠DBC+∠DCB＝180°﹣126°＝54°，在△DBC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣54°＝126°．故答案為：126°．總結(jié)提升：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和是360度，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出四邊形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）5．如圖，AD是△ABC的中線，AB＝AC＝13，BC＝10，求AD長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求得AD的長(zhǎng)度即可．解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是中線，∴AD⊥BC，BD＝5，∴∠ADB＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2＝144，∴AD＝12．總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，由勾股定理求出AD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2021秋?東陽(yáng)市校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）求AC的長(zhǎng)及斜邊AB邊上的高；（2）若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求出此時(shí)t的值；（3）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值．思路引領(lǐng)：（1）利用勾股定理可求得AC，根據(jù)三角形的面積公式可求得斜邊AB邊上的高；（2）設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA＝PB，此時(shí)PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)P在∠CAB的平分線上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，此時(shí)BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC=A設(shè)斜邊AB邊上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式得12AC?BC=12AB∴h=AC?BC（2）設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA＝PB，此時(shí)PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t=25∴當(dāng)t=2516時(shí)，PA＝（3）當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，在△APC和△APE中，∠C=∠AEP=90°∠CAP=∠EAP∴△APC≌APE（AAS），∴AE＝AC＝4，PC＝PE，∵AC+CP＝2t，∴BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t=8當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí)，t=4+3+5綜上所述，當(dāng)t=83或6時(shí)，P在△總結(jié)提升：本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題．7．如圖所示，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AC的中點(diǎn)為M，BD的中點(diǎn)為N，判斷MN與BD之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：連接MB、MD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM=12AC，DM=解：MN⊥BD，理由如下：連接MB、MD，∵AB⊥BC，AD⊥CD，AC的中點(diǎn)為M，∴BM=12AC，DM=∴BM＝DM，又N是BD的中點(diǎn)，∴MN⊥BD．總結(jié)提升：本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（2022?茂南區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，BE∥CD，CE∥AB．試判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．思路引領(lǐng)：根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明．解：四邊形CEBD為菱形，證明如下：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四邊形CEBD是平行四邊形，在Rt△ACB中，D為AB中點(diǎn)，∴CD為Rt△ACB斜邊上的中線，∴CD＝BD，∴四邊形CEBD為菱形．總結(jié)提升：本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中考?？碱}型．9．（2019秋?洛陽(yáng)期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，分別交BC于點(diǎn)D、E，已知△ADE的周長(zhǎng)5cm．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為13cm，求OA的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB、EA＝EC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求出OB+OC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB＝OC，計(jì)算即可．解：（1）∵DM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周長(zhǎng)5cm，∴AD+DE+EA＝5cm，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（2）∵△OBC的周長(zhǎng)為13cm，∴OB+OC+BC＝13cm，∵BC＝5cm，∴OB+OC＝8cm，∵OM垂直平