四年級(jí)奧數(shù)復(fù)雜數(shù)字謎

復(fù)雜數(shù)字謎

一、基本概念

數(shù)字謎

數(shù)字謎定義:一般是指那些含有未知數(shù)字或未知運(yùn)算符號(hào)的算式.

填算符：指在一些數(shù)之間的適當(dāng)?shù)胤教钌线m當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)（包括括號(hào)），從而使這些數(shù)和運(yùn)算符號(hào)構(gòu)成的

算式成為一個(gè)等式。

算符：指+、-、X、：、（）、［］、{}o

數(shù)陣圖

定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.

數(shù)陣圖：是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖，即封閉型數(shù)

陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.

幻方

幻方是指橫行、豎列、對(duì)角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的3x3的數(shù)陣稱作三階

幻方，4x4的數(shù)陣稱作四階幻方，5x5的稱作五階幻方......如圖為三階幻方、四階幻方的標(biāo)準(zhǔn)式樣，

二、數(shù)字謎分類

1、豎式謎

2、橫式謎

3、填空謎

4、幻方

5、數(shù)陣圖

6、數(shù)獨(dú)

三、解題技巧與方法

豎式數(shù)字謎

1、技巧

（I）從首位或者末尾找突破口（突破口:指在做數(shù)字謎問題開始時(shí)的入口，一般在算式的首位或者末尾,

可以確定其數(shù)字或者范圍然后通過推理很快可以確定其值為后面的推理做好鋪墊）；

(2)要根據(jù)算式性質(zhì)逐步縮小范圍，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓浪阒鸩脚懦环系臄?shù)字；

(3)題目中涉及多個(gè)字母或漢字時(shí)，要注意用不同符號(hào)表示不同數(shù)字這一條件來排除若干可能性；

(4)注意結(jié)合進(jìn)位及退位來考慮；

(5)數(shù)字謎中的文字，字母或其它符號(hào)，只取0?9中的某個(gè)數(shù)字。

(6)數(shù)字謎解出之后，最好臉?biāo)阋槐?

2、數(shù)字迷加減法

(1)個(gè)位數(shù)字分析法；

(2)加減法中的進(jìn)位與退位：

(3)乘除法中的進(jìn)位與退位：

(4)奇偶性分析法。

橫式數(shù)字謎

解決巧填算符的基本方法

(1)湊數(shù)法：根據(jù)所紿的數(shù)，湊出一個(gè)與結(jié)果比較接近的數(shù)，再對(duì)算式中剩下的數(shù)字作適當(dāng)?shù)脑黾踊驕p

少，從而使等式成立。

(2)逆推法：常是從算式的最后一個(gè)數(shù)字開始，逐步向前推想，從而得到等式。

最值問題

(1)橫式轉(zhuǎn)化為豎式數(shù)字謎，乘法轉(zhuǎn)化為除法；

(2)找突破口:末位和首位、進(jìn)位和借位、個(gè)位數(shù)字、位數(shù)的差別等.

(3)采用特殊分析方法：個(gè)位數(shù)字分析法、高位數(shù)字分析法、數(shù)字大小估算分析法、進(jìn)位錯(cuò)位分析法、

分解質(zhì)因數(shù)法、奇偶分析法等.

(4)除了數(shù)字謎問題常用的分析方法外，還會(huì)經(jīng)常采用比較法，通過比較算式計(jì)算過程的各步驟，得到

所求的最值的可能值，再臉證能否取到這個(gè)最值.

(5)數(shù)字謎問題往往綜合了數(shù)字的整除特征、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)、個(gè)位數(shù)字、余數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)

互化、方程、估算、找規(guī)律等題型。

數(shù)陣圖

解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：

第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)(或方格)和關(guān)鍵點(diǎn)(或方格)；

第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)(一般是交叉點(diǎn))上設(shè)置未知數(shù)，計(jì)算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系，

得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍；

第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試.這個(gè)步驟并不是對(duì)所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對(duì)

數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用.

數(shù)獨(dú)

數(shù)獨(dú)游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個(gè)空格所在的三個(gè)單元中已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字（大小數(shù)獨(dú)一個(gè)

空格只位于兩個(gè)單元之內(nèi)，但是同時(shí)多了一個(gè)大小關(guān)系作為限制條件）來縮小可選數(shù)字的范圍。

總結(jié)4個(gè)小技巧：

1、巧選突破口：數(shù)獨(dú)中未知的空格數(shù)目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規(guī)則的限制來

分析每一個(gè)空格的可選數(shù)字的個(gè)數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開始，一般來說，我們會(huì)選

擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數(shù)字；而

大小數(shù)獨(dú)中已知的數(shù)字往往非常少，這個(gè)時(shí)候大小關(guān)系更加重要，我們除了利用已知數(shù)字之外

更加需要考慮大小關(guān)系的限制。

2、相對(duì)不確定法：有的時(shí)候我們不能確定2個(gè)方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中肯

定不會(huì)出現(xiàn)什么數(shù)字，這個(gè)就是我們說的相對(duì)不確定法。舉例說明，A1可以填入1或者2,A2

也可以填入1或者2,那么我們可以確定，1和2必定出現(xiàn)在A1和A2兩者之中，A行其他位置

不可能出現(xiàn)1或者2.

3、相對(duì)排除法：某一單元中出現(xiàn)好幾個(gè)空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個(gè)空格的可選

數(shù)字進(jìn)行對(duì)比分析來確定它們中的某一個(gè)或者幾個(gè)空格。舉例說明，A行中已經(jīng)確定5個(gè)數(shù)字，

還有4個(gè)數(shù)字（我們假設(shè)是1、2、3、4）沒有填入，通過這4個(gè)空格所在的其他單元我們知道

A1可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2、3,A4可以填入1、3,這個(gè)

時(shí)候我們可以分析，數(shù)字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4,我們就可以不用考慮A1,

這樣就可以發(fā)現(xiàn)2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他辦法進(jìn)行確定。

4、假設(shè)法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進(jìn)行假設(shè)，當(dāng)然，假設(shè)也是原則的，我們不能

進(jìn)行無意義的假設(shè)，假設(shè)的原則是：如果通過假設(shè)一個(gè)空格的數(shù)字，可以確定和這個(gè)空格處在

同一個(gè)單元內(nèi)的其它某一個(gè)或者某幾個(gè)空格的數(shù)字，那么我們就以選擇這樣的空格來假設(shè)為佳。

舉例說明，B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,這個(gè)時(shí)候我們

就應(yīng)該假設(shè)B3填入2,這樣就可以確定A3填入3,B4填入1,然后以這個(gè)為基礎(chǔ)進(jìn)行推理。

幻方

⑴適用于所有奇數(shù)階幻方的填法有羅伯法.口訣是：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連.上出框時(shí)往

下填，右出框時(shí)往左填.排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣.

⑵適用于三階幻方的三大法則有：

①求幻和：所有數(shù)的和小行數(shù)（或列數(shù)）

②求中心數(shù)：我們把幻方中對(duì)角線交點(diǎn)的數(shù)叫"中心數(shù)"，中心數(shù)=幻和+3.

③角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對(duì)角線的兩數(shù)和+2.

四、奇數(shù)和偶數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

1、整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類

（1）我們把1,3,5,7,9和個(gè)位數(shù)字是1,3,5,7,9的數(shù)叫奇數(shù).

（2）把0,2,4,6,8和個(gè)位數(shù)是0,2,4,6,8的數(shù)叫偶數(shù).

2、性質(zhì)：

(1)奇數(shù)#偶數(shù).

(2)整數(shù)的加法有以下性質(zhì)：

奇教+奇數(shù)二偶數(shù)：

奇數(shù)+偶數(shù)二奇數(shù)；

偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù).

(3)整數(shù)的減法有以下性質(zhì)：

奇數(shù)-奇數(shù)二偶數(shù)；

奇數(shù).偶數(shù)二奇數(shù)；

偶數(shù)-奇數(shù)二奇數(shù)；

偶數(shù)-偶數(shù)二偶數(shù).

(4)整數(shù)的乘法有以下性質(zhì):

奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)；

奪數(shù)x偶數(shù)=偶數(shù)；

偶數(shù)X偶數(shù)二偶數(shù).

五、幻方起源：

幻方也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方.幻方起源于我國(guó)，古

人還為它編撰了一些神話.傳說在大禹治水的年代，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都

無濟(jì)于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會(huì)爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎

著數(shù)是3列，每塊烏龜殼上都有幾個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰也弄不清這些小點(diǎn)點(diǎn)是什

么意思.一次，大烏龜又從河里爬上來，一個(gè)看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點(diǎn)點(diǎn)不論

橫著加、豎著加還是斜著加，結(jié)果都等于十五！”于是人們趕緊把十五份祭品獻(xiàn)給河神，說來也怪，

河水果然從此不再泛濫了.這個(gè)神奇的圖案叫做"幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三階幻方〃，

這個(gè)相等的和叫做"幻和洛書"就是幻和為15的三階幻方.如下圖：

我國(guó)北周時(shí)期的數(shù)學(xué)家苑鸞在《算數(shù)記遺》里有一段注解：“九客者，二四為肩，六八為足，左

三右七，戴九履一，五居中央.”這段文字說明了九個(gè)數(shù)字的排列情況，可見幻方在我國(guó)歷史悠久.三

階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連：二七

六郎賞月半，周圍十五月團(tuán)圓.〃幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)了解它們.

六、數(shù)獨(dú)簡(jiǎn)介:

數(shù)獨(dú)前身為"九宮格”，最早起源于中國(guó)。數(shù)千年前，我們的祖先就發(fā)明了洛書，其特點(diǎn)較之現(xiàn)在

的數(shù)獨(dú)更為復(fù)雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個(gè)數(shù)字之和等于15,而非簡(jiǎn)單的九個(gè)數(shù)字不能重復(fù)。

中國(guó)古籍《易經(jīng)》中的“九宮圖”也源于此，故稱“洛書九宮圖〃。而“九宮”之名也因《易經(jīng)》在中華文

化發(fā)展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈施?歐拉發(fā)明了一種當(dāng)時(shí)稱作"拉丁方塊"(LatinSquare)的游戲，這個(gè)

游戲是一個(gè)nxn的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復(fù)的n個(gè)數(shù)字或者字母組成的。19世紀(jì)

70年代，美國(guó)的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲雜志《戴爾鉛筆字謎和詞語游戲》(DellPuzzleMagazines)開始刊

登現(xiàn)在稱為"數(shù)獨(dú)”的這種游戲，當(dāng)時(shí)人們稱之為"數(shù)字拼圖"(NumberPlace),在這個(gè)時(shí)候，9x9的81

格數(shù)字游戲才開始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戲雜志《字謎通訊Nikoil》(《八犬兒通信

二口ij》)上出現(xiàn)了"數(shù)獨(dú)"游戲，提出了“獨(dú)立的數(shù)字”的概念，意思就是“這個(gè)數(shù)字只能出現(xiàn)一次”或者

“這個(gè)數(shù)字必須是唯一的"，并將這個(gè)游戲命名為"數(shù)獨(dú)"(sudoku)。

一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂德(WayneGould)在1997年3月到日本東京旅游時(shí)，

無意中發(fā)現(xiàn)了。他首先在英國(guó)的《泰唔士報(bào)》上發(fā)表，不久其他報(bào)紙也發(fā)表，很快便風(fēng)靡全英國(guó)，之

后他用了6年時(shí)間編寫了電腦程式，并將它放在網(wǎng)站上，使這個(gè)游戲很快在全世界流行。從此，這個(gè)

游戲開始風(fēng)靡全球。后來更因數(shù)獨(dú)的流行衍生了首多類似的數(shù)學(xué)智力掰圖游戲，例如：數(shù)和、殺手?jǐn)?shù)

獨(dú)。

中國(guó)大陸是在2007年2月28日正式引入數(shù)獨(dú).2007年2月28日，北京晚報(bào)智力休閑數(shù)獨(dú)俱樂部

(數(shù)獨(dú)聯(lián)盟sudokufederation前身)在新聞大廈舉行加入世界謎題聯(lián)合會(huì)的頒證儀式，會(huì)上謎題聯(lián)合會(huì)秘

書長(zhǎng)皮特-里米斯特和俱樂部會(huì)長(zhǎng)在證書上簽字，這標(biāo)志著北京晚報(bào)智力休閑俱樂部成為世界謎題聯(lián)合

會(huì)的39個(gè)成員之一，這也標(biāo)志著俱樂部走向國(guó)際舞臺(tái)，它將給數(shù)獨(dú)啜好者帶來更多與世界數(shù)獨(dú)愛好

者們交流的機(jī)會(huì)。

【例1】如圖，請(qǐng)?jiān)谟覉D每個(gè)方框中填入一個(gè)不是8的數(shù)字，使乘法豎立成立。

口口8

X8口

口8口口

口8口口

8口口口口

【考點(diǎn)】乘法數(shù)字謎【難度】4星【題型】填空

【解析】

回田8.

X<8<國(guó)

國(guó)8+回㈣

國(guó)8,同色

8.國(guó)國(guó)國(guó)國(guó)

H08-

X,8.國(guó)

~四8?回國(guó)

?8.國(guó)國(guó)

【答案】^0000.

【鞏固】在下面的算式中：abcxcba=acbba,a,b,c,別代表0?9中的三個(gè)不同的數(shù)字，那么，數(shù)字。

是.

【考點(diǎn)】乘法數(shù)字謎【難度】3星【題型】填空

【解析】這是一道數(shù)字謎問題.考察同學(xué)們的推理能力.首先列成豎式：

cbaxa,及乘積為acbb?？?，c=\,所以cb〃xc=Ibaxl=1%.

\ba

xabl

\ba

a\bba

從豎式的十位上看詼x8,的個(gè)住數(shù)字是0.

(1)當(dāng)人工0時(shí)，從十位看詬x。，的個(gè)位數(shù)字必是0,只能是a=5,b是偶數(shù)或8=5,。為偶數(shù).

①若〃一5,人是偶數(shù).從詼工5=5口口及乘積51?5看,b<2,因?yàn)?+0且力是偶數(shù)，所以々一5

時(shí)是無解的.

Ib5

x5ZH

lb5

0

5

5\bb5

②若6=5,。為偶數(shù).從算民的千位看，由于與x5>700,由于不能進(jìn)位，所以7加幾也不能

等于1.所以時(shí)是無解的.

15a

x。51

15。

70|

a155a

(2)當(dāng)b=0時(shí)，從百位看，礪的個(gè)位數(shù)字必是9,十位數(shù)字必是0,那么a=3.此時(shí)於二301.

10a

X6/01

10a

a100。

【答案】301。

［例2］右邊的除法算式中，商數(shù)是。

□□

6口口?

口口7

口□口口

口□口口

【考點(diǎn)】除法數(shù)字謎【難度】3星【題型】填空

【解析】除數(shù)的百位是6,積是一個(gè)三位數(shù)，所以商的十位一定是1,除數(shù)的個(gè)位是7,被除數(shù)個(gè)位是1,所

以商的個(gè)位是3,所以商是3

【答案】3

【鞏固】在右圖的每個(gè)方框中填入一個(gè)數(shù)字，使得除法算式成立.則被除數(shù)應(yīng)是

8口口

口口1口8口□口

/口口8

口8口

口8口

□□

□口

0

【考點(diǎn)】除法數(shù)字謎【難度】3星【題型】填空

【解析】如下圖，我們將空格標(biāo)上字母，以便分析,

8網(wǎng)必

因⑷y-8畫?叵］

/國(guó)國(guó)8___

國(guó)80

回8回

0

由8+10-8=8,得8=6.因?yàn)镠x8=麗，可以得知丫=1或者6.

⑴如果y=l,則8xy沒有進(jìn)生，8xX所得個(gè)位尸必是偶數(shù)，那么，G必是奇數(shù).因?yàn)閃xX=次，

所以，G可能是1、3、5、7、9,其中只有18可以表示成兩個(gè)一位數(shù)的乘積，18=2x9=3x6.所

以G可能是1.如果G=l,得尸=6,那么8xX=^,WxX=18.只能是X=2,W=9,E=\,

而7=RXW=21X9=189.而嬴最大為189,這樣/將為0.不符題意.所以丫=1不成立.

(2)如果丫=6,分別將1至9代入X進(jìn)行計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)X=l、2、3、7、8時(shí)，第一次除

法后得到的余數(shù)都大于除數(shù)方，所以可以排除；

①若X=4,得尸=6,A=E=3t進(jìn)而得到G=l,W=4fH=4,因?yàn)閂x46的結(jié)果是一個(gè)

兩位數(shù)，所以V=1或者2.當(dāng)V=2的時(shí)候，75=92,而C-4沒有借位，所以結(jié)果最大為5,產(chǎn)

生矛盾，故V=l,進(jìn)而推出/=4,C=8,0=6,符合題目要求，被除數(shù)為38686;

②若X=5,由第一次除法可以推出G=3,W只能是6或者7,但是無論W=6還是7,都無法

滿足56xW=衣百，所以排除；

③若X=6,由第一次除法可以推出G=5,W只能是8或者9,但是無論W=8還是7,都無法

滿足66xW=蘢百，所以排除；

④若X=9,由第一次除法可以推出G=l,那么96xW=麗，但是不存在能使這個(gè)等式成立的

整數(shù)W,所以X=9可以排除；

綜上所述，只有X=4,丫=6的時(shí)候滿足題目中的除式，所以被除數(shù)為38686.

【答案】38686

【例3】在方框中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得除法豎式成立.已知商為奇數(shù)，那么除數(shù)為

,□□口aaa

□□□/□□□□□□HH0/HZ]D0D0

]2-9~|[7]2

口。^□o□

口0口口0口

9□□9團(tuán)回

□□口回回一

00

【考點(diǎn)】除法數(shù)字謎【難度】3星【題型】填空

【解析】先看除式的第二、三行，一個(gè)三位數(shù)減去一個(gè)兩位數(shù)，得到一個(gè)一位數(shù)，可得這個(gè)三位數(shù)的前兩

位為1、0,這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為9,個(gè)位不能為0.除數(shù)是一個(gè)三位數(shù)，它與商的百位和個(gè)

位相乘，所得的兩個(gè)三位數(shù)的百位都是9,那么可得商的百位和個(gè)位相同.先將已得出的信息填

入方框中，并用字母來表示一些方框中的數(shù)，如右圖所示.由于商為奇數(shù)，所以e是奇數(shù)，可能

為1、3、7、9（不可能為5）.若為1,則a〃c=9d2,而abcxf=9d2xf為三位數(shù),于是7=1,

又這個(gè)乘積的十位數(shù)字為0,而d不能為0,矛盾.所以e不為1;若為3,則赤=近+3,d可

能為1、4、7,詼相應(yīng)的為304、314、324.當(dāng)嬴為314和324時(shí)/x/所的結(jié)果的十位數(shù)

字不可能為0,不合題意：若正為304,則/可能為1或2,經(jīng)檢瞼/為1和2時(shí)都與豎式不符，

所以e也不能為3;若為7,則詼=荻+7,只有d=5時(shí)滿足，此時(shí)嬴=136,那么/=3.經(jīng)

檢臉滿足題意；若為9,則石=荻+9,d只能為7,此時(shí)次=108,/則只能為1.經(jīng)檢險(xiǎn)也

不合題意.所以只有除數(shù)為136時(shí)豎式成立，所以所求的除數(shù)即為136.

【答案】136o

【鞏固】如下圖所示的算式中，除數(shù)是（），商是（）。

,口?6口

□□

□□口

□□

□□

口口

【考點(diǎn)】除法數(shù)字謎【難度】3星【題型】填空

【解析】106.4+16=6.65,突破口為如圖中的階梯型。

□6□

□□□□

□

□□

口口

【答案】除數(shù)是16,商6.65

［例4］電子數(shù)字0?9如圖所示，有圖是由電子數(shù)字組成的乘法算式，但有一些模糊不清，請(qǐng)將右圖的

電子數(shù)字恢復(fù)，并將它寫成橫式形式：

E1

IE3H5x」

6nH5n?1-

【考點(diǎn)】電子數(shù)字問題【難度】5星【題型】填空

【解析】⑴可以看出乘積的百位可能是2或8,由于被乘數(shù)的十位和乘數(shù)都不能是9,最大可能為8,所

以它們的乘積不超過89x8=712,故乘積的首位不能為8,只能為2;⑵被乘數(shù)的十位和乘數(shù)

要與圖中相符，只能是0、2、6或8,0首先可以排除，所以可能為2、6或8;⑶如果被乘

數(shù)的十位是6或8,那么乘數(shù)無論是2、6或8,都不可能乘出百位是2的三位數(shù).所以被乘數(shù)

的十住是2,相應(yīng)得出乘數(shù)是8;⑷被乘數(shù)應(yīng)大于200+8=25,可能為27、28或29,檢臉得

到符合條件的答案：28x8=224

【答案】28x8=224

【鞏固】電子數(shù)字。?9如圖1所示，圖2是由電子數(shù)字組成的乘法算式，但有一些已經(jīng)模糊不清.請(qǐng)

將圖2的電子數(shù)字恢復(fù)，并將它寫成橫式：：

in

XI

口日q口」_「

【考點(diǎn)】電子數(shù)字問題【難度】6星【題型】填空

b

X

【解析】設(shè)豎式如figt那么各個(gè)字母可以代表的數(shù)如下表

hjk

Itnno

a13456789h268c0268

d268e2356789

f68i01234789808

h268j45689k0489

123489m0235689n2345689o013456789

(D/+;>6+4=10=>Z=/?+l=>力=2或者%=8:(2)若〃=8,那么/=9,并且axd一定是1x8、

1x6或4x2,如果是1x8,那么由于622,所以bxd進(jìn)位，導(dǎo)致〃工8,產(chǎn)生矛盾；如果是1x6,

那么6=2時(shí)硫百位小于8,。之6時(shí)辰百位大于8,也產(chǎn)生矛盾；所以只有可能a=4,d=2,

并可以得到匕=2,考慮到也是三位數(shù)，所以e=2,再根據(jù)g=0或8,得到c=0,所得到的數(shù)

420

x22

式為840.(3)若人=2,則可以得到/=3,4=1,d=2"=2(因?yàn)閎xdvlO)；⑷由于/=6

840

9240

122120

x25x27

或8,所以e=5或者e=7.當(dāng)e=5時(shí)，豎式6I。成立；當(dāng)e=7時(shí)，豎式840成立。

244240

30503240

【答案】122x25=3050或120x27=3240。

［例5］有四個(gè)不同的數(shù)字，用它們組成最大的四位數(shù)和最小的四位數(shù)，這兩個(gè)四位數(shù)之和是11469,那

么其中最小的四位數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】加減法的進(jìn)位與借位【難度】3星【題型】填空

【解析】設(shè)這四個(gè)數(shù)字是a>b>c>d,如果dwO,用它們組成的最大數(shù)與最小數(shù)的和式是

abed

+deb。，由個(gè)位知a+d=9,由于百位最多向千位進(jìn)1,所以此時(shí)千位的和最多為10,

-ii469

ahc0

與題意不符.所以4=0,最大數(shù)與最小數(shù)的和式為+c0ba,由此可得a=9,百往沒

-1~~1469

有向千位進(jìn)位，所以a+c=ll,c=2;b=6-c=4.所以最小的四位數(shù)c成也是2049.

【答案】2049。

【鞏固】面算式由1?9中的8個(gè)組成，相同的漢字表示相同的數(shù)，不同的漢字表示不同的數(shù).那么“數(shù)學(xué)

解題''與"能力”的差的最小值是.

數(shù)學(xué)解題

能力

+展示

2010~

【考點(diǎn)】加減法的進(jìn)位與借位【難度】3星【題型】填空

【解析】為了讓“數(shù)學(xué)解題''與“能力”的差最小，應(yīng)該讓“數(shù)學(xué)解題''盡量小，也就是讓“能力”和“展示”盡量

大，其中較大的應(yīng)是“能力”，那么"數(shù)學(xué)解題''最小應(yīng)該是一千八百多，“能''應(yīng)該是9,“展”應(yīng)該是

7,于是“解題”+"力"+“示"=2010-1800?90?70=50,所以“解”應(yīng)該是4,那么“題”+“力"+“示"=10,

那么只能是2+3+5,為了“數(shù)學(xué)解題''與"能力”的差最小，讓“題”=2,“力”=5,于是“數(shù)學(xué)解題“能

力”=1842-95=1757.

【答案】1757

［例6］右邊的加法算式中，每個(gè)“□”內(nèi)有一個(gè)數(shù)字，所有“口”內(nèi)的數(shù)字之和最大可達(dá)到。

□□□

□□□

+□□口

~2~0_64-

【考點(diǎn)】加減法的進(jìn)位與借位【難度】5星【題型】填空

【解析】末尾和最大24,十位和最大18,百位和最大18,24+18+18=60

【答案】60o

【鞏固】右式中不同的漢字代表/一9中不同的數(shù)字，當(dāng)算式成立時(shí)，“中國(guó)”這兩個(gè)漢字所代表的兩位

數(shù)最大是多少？

中國(guó)

新北京

+新奧運(yùn)

2008

【考點(diǎn)】加減法的進(jìn)位與借位【難度】3星【題型】填空

【解析】“新”必為9,千位才能得2,所以“中''應(yīng)為8."國(guó)"、’‘京"、"運(yùn)’’之和應(yīng)為8或18,但當(dāng)和為18時(shí)，

（“國(guó)”、“京”、“運(yùn)”分別為7,6,5）中”、“北”、“奧”之和最大為15（“中”、“北”、“奧”分別

為8,4,3）,不能進(jìn)位2,所以“國(guó)”、“京”、“運(yùn)”之和只能是8,此時(shí)，“北”、"奧”只能分別為

7和5,則“國(guó)”、“京”、“運(yùn)”分別為4、3、1,為使“中國(guó)”代表的兩位數(shù)最大，"國(guó)'’取4.即“中國(guó)”

這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)最大是84.

【答案】84。

【例7］請(qǐng)將1,2,3,…，10這10個(gè)自然數(shù)填入圖中的10個(gè)小圓圈內(nèi)，使得圖中的10條直線上圓圈

內(nèi)數(shù)字之和都相等.那么乘積Ax8xC=?

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空

【解析】對(duì)于本題，可以通過“10條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等”（實(shí)際上是11條）這一等量關(guān)系，將每

一個(gè)小圓圈中的數(shù)表示出來.由于每一條直線上的數(shù)之和都為4+8+C,可得圖中每一個(gè)小圓

圖中的數(shù)如下圖。

由于中間豎直方向的線段以及從左下角A出發(fā)的只有兩個(gè)數(shù)字的那條線段，它們的數(shù)字和都

是A+8+C,可以得到，A+8+CmB3C@A-,可得4=屏2（,代入得

2B+3c=34—&,即B=6C,只能是C=1,8=6,A=B+2C=8,則

AxBxC8=&lx

【答案】AxBxC=8x6xl=48o

【鞏固】下圖中有11條直線.請(qǐng)招1至11這11個(gè)數(shù)分別填在11個(gè)圓圈里，使每一條直線上所有數(shù)的

和相等.求這個(gè)相等的和以及標(biāo)有*的圓圈中所填的數(shù).

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空

【解析】設(shè)每行的和為S,在左下圖中，除了。出現(xiàn)2次，其他數(shù)字均只出現(xiàn)了1次，并且每個(gè)數(shù)字都出

現(xiàn)了，于是有4s=(1+2+3++11)+。=66+。；

在右上圖中除了〃出現(xiàn)5次，其他數(shù)字均只出現(xiàn)了1次，并且每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)了，于是有

55=(1+2+3++11)+4。=66+4。.

綜合以上兩式，，

考慮到含有*的五條線，有4*+(1+2+3++ll)-r=18x5=90,即4*-f=24.

可見/是4的倍數(shù)，在1?11間可能為4和8,但，為8時(shí)*也為8,重復(fù).所以f=4,*=7.

即每行相等的和為18,標(biāo)有*的圓圈中所填的數(shù)為7.

最終的填法如右下圖.

【例8】右圖是大家都熟悉的奧林匹克五環(huán)標(biāo)志.請(qǐng)將19分別填入五個(gè)圓相互分割的九個(gè)部分，并且

使每個(gè)圓環(huán)內(nèi)的數(shù)字之和都相等.

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空

【解析】設(shè)每個(gè)圓內(nèi)的數(shù)字之和為左，則五個(gè)圓內(nèi)的數(shù)字之和是53它等于19的和45再加上兩兩重疊

處的四個(gè)數(shù)之和.而兩兩重疊處的四個(gè)數(shù)之和最小是1+2+3+4=10,最大是6+7+8+9=30,

所以，5左＜45+30=75,5左之45+10=55,即11〈攵勺5.當(dāng)女二11,13,14時(shí)可得四種填法(見

右下圖).

當(dāng)女=15時(shí)，如右上圖，設(shè)兩兩重疊處的四個(gè)數(shù)分別為a,b,c,d,由上面的分析可知，a,

b,c,d分別為6,7,8,9,由于6+9=15,7+8=15,那么，不論。為多少，最左邊的教

總是會(huì)與h,c,d中的某一個(gè)相同，矛盾.所以當(dāng)2=15時(shí)沒有符合題意的填法.

當(dāng)&=12時(shí)，a+b+c+d=12x5-45=15.如果a,b,c,d中有一個(gè)數(shù)為3,比如a=3,那

么b+c+d=12,這樣與。，c在同一個(gè)圓內(nèi)的那個(gè)數(shù)將與d相同.可見a,b,c,d都不能為

3.如果a,b,c,d中至少有3個(gè)數(shù)大于3,那么它們至少為4,5,6,另一個(gè)數(shù)至少為1,

它們的和將不小于1+4+5+6=16,矛盾.所以。，b,c,d匕至少有2個(gè)數(shù)小于3,這2個(gè)數(shù)

只能為1和2,那么另兩個(gè)數(shù)之和為12.如果這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)為〃或者d,那么最左邊或者最

右邊的數(shù)將與a,b,c,d中的某一個(gè)相同，矛盾；如果這兩個(gè)數(shù)為b和c,那么與6,。在同

一個(gè)圓內(nèi)的那個(gè)數(shù)將只能為0,這也不可能出現(xiàn).所以當(dāng)女=12時(shí)也沒有符合題意的填法.

【答案】當(dāng)〃=11,13,14時(shí)可得四種填法

6

【鞏固】2008年奧運(yùn)會(huì)在北京舉行。“奧”、“運(yùn)”、“會(huì)”、“北"、"京''這五個(gè)漢字代表五個(gè)連續(xù)的自然數(shù),

將其分別填在五環(huán)圖案的五個(gè)環(huán)內(nèi)，滿足“奧”+“運(yùn)”+“會(huì)”="北”+"京。這五個(gè)自然數(shù)的和最大

是。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空

【解析】不妨設(shè)最小一個(gè)數(shù)是x,那么這5個(gè)數(shù)是x,x+1,x+2,x+3,x-4.但無法將它們對(duì)應(yīng)，但無論怎

么樣，列出的方程一定是這個(gè)形式的：(x+a)+(x+b)+(x+c)=(x+d)+(x+e),其中a、b、

c、d、e分別是0、1、2、3、4.方程解得：x=(d+e)-(a+b+c),如果連續(xù)5個(gè)自然數(shù)最大，那

么最小的那個(gè)自然數(shù)也必須取得最大，顯然減號(hào)前是3、4,減號(hào)后0、1、2時(shí)，x取得最大值4,

所以這5個(gè)數(shù)是4、5、6、7、8,和為30

【答案】30。

【例9］請(qǐng)?jiān)谌缬覉D的每個(gè)空格內(nèi)填入1至8中的一個(gè)數(shù)字，使每行、每列、每條對(duì)角線上8個(gè)數(shù)字都

互不相同.

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】4星【題型】填空

【解析】12763845

63547128

47852316

25374681

51486273

38125467

86231754

74618532

從兩條對(duì)角線上的方格為突破口，因?yàn)樗鼈兺瑫r(shí)涉及三條線，所受的限制最嚴(yán)，所能填的數(shù)的空

間也就最小.副對(duì)角線上面已經(jīng)填了2,3,8,6四個(gè)數(shù)，剩下1,4,5和7,這是突破口.觀察

這四個(gè)格，發(fā)現(xiàn)左下角的格所在的行已經(jīng)有5,所在的列已經(jīng)有1和4,所以只能填7.然后，第

六行第三列的格所在的行已經(jīng)有5,所在的列已經(jīng)有4,所以只能填1.第四行第五列的格所在的

行和列都已經(jīng)有5,所以只能填4,剩下右上角填5.再看主對(duì)角線，已經(jīng)填了1和2,依次觀察

剩余的6個(gè)方格，發(fā)現(xiàn)第四行第四列的方格只能填7,因?yàn)榈谒男泻偷谒牧幸呀?jīng)有了5,4,6,8,

3.再看第五行第五列，已經(jīng)有了4,8,3,5,所以只能填6.此時(shí)似乎無法繼續(xù)填主對(duì)角線的格

子，但是，可觀察空格較少的行列，例如第四列已經(jīng)填了5個(gè)數(shù)，只剩下1,2,5,則很明顯第六

格填2,第八格填1,第三格填5.此時(shí)可以填主對(duì)角線的格子了，第三行第三列填8,第二行第

二列填3,第六行第六列填4,第七行第七列填5.繼續(xù)依次分析空格較少的行和列(例如第五列)

可得出結(jié)果.

【答案】12763845

63547128

47852316

25374681

51486273

38125467

86231754

74618532

【鞏固】如圖,請(qǐng)將I個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3,…，7個(gè)7,8個(gè)8填入6x6的表格中，使得相同的數(shù)所在

的方格都連在一起（相連的兩個(gè)方格必須有公共邊）；現(xiàn)在已經(jīng)給出了其中8個(gè)方格中的數(shù),

并且知道A,B,C,D,E,F各不相同；那么，六位數(shù)ABCDEF是

56

ABCDEF

12

34

7S

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】4星【題型】填空

【解析】方格當(dāng)中填3的格子只有3個(gè)且連在一起，所以A、B、C、D、E、產(chǎn)當(dāng)中不可能有格子中填

3,也不可能填1,所以A、B、C、D、E、尸只能是2、4、5、6、7、8,通過嘗試可得

到ABC。石尸=576248.

【答案】576248o

【例10】將1到9填入下圖的空白方塊中，每個(gè)方塊只能填一個(gè)數(shù)字，任何一行，一列或一個(gè)區(qū)塊都是

一個(gè)單元。每個(gè)單元都必須包含全部但不重復(fù)的數(shù)字。

123456789

49563A49563492157683

735B735687243915

5892c5892153869274

571D5741538726491

2947E294726193485\7

9456F9456974518326

6314G6314