江蘇省名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

20242025江蘇省名校協(xié)作體12月高一聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（本卷滿分150分考試時間120分鐘）一?單選題（8*5=40分）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出不等式，根據(jù)交集含義即可.【詳解】，,則.故選：B.2.命題“，使得”的否定是（）A.，均有 B.，均有C.，有 D.，有【答案】B【解析】【分析】依據(jù)命題否定的書寫即可【詳解】根據(jù)命題的否定的書寫，存在量詞變?nèi)Q量詞，后續(xù)結(jié)論相反可知，該命題的否定為“，均有”，故選：B3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先解不等式，然后根據(jù)充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因為，所以或，解得或，所以不等式的解集為或；因為，所以，解得或，所以不等式的解集為或；因為或是或的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再由的值，利用排除法判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故排除B、D；又，故排除C.故選：A5.聲強級，是指聲強x（單位：W/m2）和定值α（單位：W/m2）比值的常用對數(shù)值再乘以10，即聲強級（單位：dB）．已知人與人交談時的聲強級約為45dB，一種火箭發(fā)射時的聲強和人與人交談時的聲強的比值約為109，那么這種火箭發(fā)射的聲強級約為（）A.135dB B.140dB C.145dB D.150dB【答案】A【解析】【分析】根據(jù)人與人交談時的聲強級約為45dB可得，這種火箭發(fā)射的聲強約，代入題目中公式結(jié)合對數(shù)運算處理．【詳解】設(shè)人與人交談時的聲強約為W/m2，則火箭發(fā)射時的聲強約為W/m2，則故選：A．6.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，當時，恒成立，設(shè)則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對稱性可得，再根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】因為當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即.故選：A7.定義運算“”：，則函數(shù)的值域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得函數(shù)為，再分段求值域即可.【詳解】由，可得，所以，當時，，當時，在上單調(diào)遞增，所以，當時，在上單調(diào)遞減，所以，所以的值域為.故選：A.8.已知是定義在上的函數(shù)，的圖象關(guān)于點對稱，對任意，，都有.若，則實數(shù)的取值范圍為（）A.或 B.或C. D.或【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解．【詳解】因為是定義在上的函數(shù)，的圖象關(guān)于點對稱，所以為奇函數(shù)，，因為，即，所以，構(gòu)造函數(shù)，則有，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以為奇函數(shù)，變形，則有，即，所以，解得：或，故選：B．二?多選題（3*6=18分）9.下列說法正確的是（）A.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為B.對應(yīng)，其中，，，則對應(yīng)是函數(shù)C.對于定義在上的函數(shù)，若，則不是偶函數(shù)D.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則在上是增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)即可根據(jù)求解A，根據(jù)函數(shù)的定義即可求解B，根據(jù)偶函數(shù)的定義即可求解C，舉反例即可求解D.【詳解】對于A，根據(jù)題意可得，解得，所以的定義域為，故A正確，對于B,對應(yīng)，其中，，，則對應(yīng)不是函數(shù)，比如，則可取，故不符合函數(shù)定義，B錯誤，對于C，若為偶函數(shù)，則需要對定義域內(nèi)任意的都有，因此對于定義在上的函數(shù)，若，則不是偶函數(shù)，C正確，對于D,函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則在上不一定是增函數(shù)，比如，但在上不是增函數(shù)，故D錯誤，故選：AC10.若正數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式化簡，可判斷各個選項的正誤.【詳解】對于A，，所以，化簡得，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，根據(jù)基本不等式，，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C，因為，所以，所以，又因為，，所以，，，，，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，，同理，，所以，，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選ABD.11.已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當時，，③，則以下說法中正確的是（）A.B.C.在上的最大值是10D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】依題意令，求出，從而判斷A；令得到，再令，，即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；依題意原不等式等價于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，即可判斷D.【詳解】因為，則有，令，則，則，故A正確；令，則，令代，則，即，即，故B錯誤；設(shè)且，則，由，令，則，即，令，，則，即，因為時，，又，故，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為，故C正確；由，即，即，即，又因為，即，所以，即，故，即，解得，即原不等式的解集為，故D正確；故選：ACD.三?填空題（3*5=15分）12.已知函數(shù)（）是偶函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_______________.【答案】【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義求出，再結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，則，即，整理得，而不恒為0，因此，，函數(shù)的定義域為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，易知單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：13.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不同的實數(shù)根，則a的值是__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)作出圖象，結(jié)合圖象性質(zhì)分析即可得結(jié)論.【詳解】因，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由此可知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，又因為關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)根，結(jié)合圖象可得或.故答案為：或.14.已知關(guān)于的不等式（其中）的解集為，若滿足（其中是整數(shù)集），則使得集合中元素個數(shù)最少時的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)開口方向的不同分為三種情況討論，運用基本不等式對集合進行分析.【詳解】當時，原不等式為，解得，此時集合有無窮多個元素，顯然不滿足題意；當時，，則不等式解為或，此時集合有無窮多個元素，顯然不滿足題意；當時，，則不等式的解為，而，則集合至少含有共個元素.綜上所述：集合中元素最少為個，此時且，解得.故答案為：四?解答題（共5小題滿分77分）15.計算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算法則可得答案；（2）由指數(shù)冪的運算法則及平方和，立方差等公式計算可得答案.【小問1詳解】結(jié)合題意可得：;【小問2詳解】結(jié)合題意可得：.16.已知二次函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個公共點，且不等式的解集為.（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）關(guān)于的不等式的解集中恰有一個正整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，可得，是方程的兩個根，寫出解析式，再結(jié)合頂點坐標求解即得.（2）由（1）的結(jié)論，分類求解不等式，進而確定的范圍.（3）依題意可得對，不等式恒成立，令，，則，解得即可.【小問1詳解】由不等式的解集為，得且是關(guān)于的方程的兩個根，因此，所以函數(shù)的圖象開口向上，其對稱軸為，而該圖象與直線有且僅有一個公共點，則圖象的頂點為，于是，解得，所以此二次函數(shù)的表達式為，即.【小問2詳解】由（1）知不等式為，整理得，即，依題意，不等式解集中恰有一個正整數(shù)，則，當時，解得，即不等式的解集為，此時解集中不含正整數(shù)，故舍去；當時，解得，不等式的解集為，要使解集中恰有一個正整數(shù)，則，所以實數(shù)的取值范圍是.【小問3詳解】對，不等式恒成立，即對，不等式恒成立，令，，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.17.某國產(chǎn)車企在自動駕駛技術(shù)方面日益成熟，近期擬推出一款高階智駕新車型，并決定大量投放市場．已知該車型年固定研發(fā)成本為20億元，受到場地和產(chǎn)能等其它因素的影響，該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該車萬臺（）且全部售完，每臺售價20萬元，每年需投入的其它成本為（單位：億元）．（其中，利潤＝銷售收入－總成本）（1）寫出年利潤（億元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（2）當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大，并求出最大年利潤；（3）若該企業(yè)當年不虧本，求年產(chǎn)量（萬臺）的取值范圍．【答案】（1）（2）當年產(chǎn)量為萬臺時，該企業(yè)獲利最大，最大年利潤為億元（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤的計算公式，分別對不同的產(chǎn)量范圍求出利潤函數(shù)的表達式.（2）在每個分段上分別求函數(shù)的最大值，比較得出整個定義域上的最大利潤.（3）對于不虧本的情況，即利潤大于等于，分別在不同分段上求解不等式得出產(chǎn)量的取值范圍.【小問1詳解】當時，銷售收入為億元（每臺售價萬元，萬臺），總成本為固定研發(fā)成本億元加上其他成本億元.根據(jù)利潤=銷售收入總成本，可.當時，銷售收入為億元，總成本為億元.則.所以.【小問2詳解】當時，，圖象開口向下，對稱軸為.但，所以在這個區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，所以億元.當時，根據(jù)基本不等式，有.所以億元，當且僅當，即取等號.因為，所以當年產(chǎn)量為萬臺時，該企業(yè)獲利最大，最大年利潤為億元.【小問3詳解】當時，，即，解得.結(jié)合，知道此時滿足題意.當時，，即，即，令，對稱軸，當時，單調(diào)遞減，且時,.則當，恒成立，即恒成立.綜上所得，該企業(yè)當年不虧本，則年產(chǎn)量（萬臺）的取值范圍為.18.已知定義在上的函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù).為偶函數(shù)，且當時，.（1）當時，求在上的解析式；（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)與的值域相同，若存在，求出所有實數(shù)的值，若不存在，說明理由；（3）令，討論關(guān)于的方程的實數(shù)根的個數(shù).【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）利用為偶函數(shù)即可求解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)求值域，結(jié)合已知即可求的值；（3）分類討論確定零點情況即可.【小問1詳解】當時，時，，當時，則，而為偶函數(shù)，有，所以．【小問2詳解】∵函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，∴，且的值域為，當時，，且為偶函數(shù)，∴的值域為，由題意知：．令，易知在上單調(diào)遞增，且；∴．【小問3詳解】由（2）有，令，①當時，，此時僅有一個零點．②當時，，此時僅有一個零點．③當時，在中，故無零點；在中單調(diào)遞增，而，，∴故此時，使，即僅有一個有，．④當時，在中，零點有，故有兩個零點；在中單調(diào)遞增，而，即無零點；綜上所述，當時，方程有兩個實數(shù)根；當時，方程僅一個實數(shù)根．【點睛】關(guān)鍵點點睛：將方程的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為的零點問題.19.若函數(shù)與滿足：對任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當時，則稱為區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”.（1）判斷是否為區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求的最小值；（3）若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）不是，詳見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）取，根據(jù)“階自伴函數(shù)”的定義判斷；（2）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，得到，從而化簡得到，則，再根據(jù)“1階伴隨函數(shù)”的定義得到，從而有，然后利用基本不等式求解；（3）由是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，得到，且在區(qū)間上的值域必定包含區(qū)間，的值域所對應(yīng)的自變量唯一求解.【小問1詳解】解：，，當時，，則，所以，則，即，但，故不