2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.2直接證明與間接證明課時(shí)作業(yè)18綜合法與分析法新人教A版選修2-2

PAGE1-課時(shí)作業(yè)18綜合法與分析法學(xué)問(wèn)點(diǎn)一綜合法和分析法的概念1.下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是間接證明法；⑤分析法是逆推法．其中正確的語(yǔ)句有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)答案C解析由綜合法與分析法的定義可知①②③⑤正確．2．要證明eq\r(a)＋eq\r(a＋7)＜eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)可選擇的方法有多種，其中最合理的是()A．綜合法B．類(lèi)比法C．分析法D．歸納法答案C解析用綜合法干脆證明很難入手，由分析法的特點(diǎn)知用分析法最合理．3．命題“函數(shù)f(x)＝x－xlnx在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過(guò)程“對(duì)函數(shù)f(x)＝x－xlnx取導(dǎo)得f′(x)＝－lnx，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＝－lnx＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了________的證明方法．答案綜合法解析證明過(guò)程利用已知條件，通過(guò)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，推導(dǎo)出“f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的結(jié)論，故應(yīng)用的證明方法是綜合法.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二綜合法和分析法的應(yīng)用4.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9.證明要證明eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9，只需證明eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1－a)))≥9，只需證明(a＋1)(2－a)≥9a(1－a)，即證(2a－1)2≥0，∵(2a－1)2≥0成立，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9.5．求證：eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)＜2.證明因?yàn)閑q\f(1,logba)＝logab，所以左邊＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.因?yàn)閘og19360＜log19361＝2，所以eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)＜2.6．設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明：(1)若ab>cd，則eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充要條件．解(1)因?yàn)?eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab>cd得(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2.因此eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).故eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的必要條件．②若eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)，則(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)>c＋d＋2eq\r(cd)，因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因?yàn)閨a－b|<|c－d|.故eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充分條件．綜上，eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充要條件．一、選擇題1．用分析法證明不等式：欲證①A＞B，只需證②C＜D，這里①是②的()A．既不充分也不必要條件B．充要條件C．充分條件D．必要條件答案D解析因?yàn)棰?①，但①不肯定推出②，故選D.2．A，B為△ABC的內(nèi)角，“A＞B”是“sinA＞sinB”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，又A，B為三角形的內(nèi)角，∴sinA＞0，sinB＞0，∴sinA＞sinB?2RsinA＞2RsinB?a＞b?A＞B.3．設(shè)a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有()A．1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2) B.eq\f(a2＋b2,2)＜ab＜1C.eq\f(a2＋b2,2)＜ab＜1 D．a(chǎn)b＜1＜eq\f(a2＋b2,2)答案D解析取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,2)，則a＋b＝2，這時(shí)eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(\f(1,4)＋\f(9,4),2)＝eq\f(5,4)＞1.ab＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,4)＜1.∴ab＜1＜eq\f(a2＋b2,2).4．設(shè)sinα是sinθ，cosθ的等差中項(xiàng)，sinβ是sinθ，cosθ的等比中項(xiàng)，則cos4β－4cos4α的值為()A．－1B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)D．3答案D解析由已知條件，得sinα＝eq\f(sinθ＋cosθ,2)，sin2β＝sinθcosθ.消去θ，得4sin2α＝1＋2sin2β，由二倍角公式，得cos2β＝2cos2α.又cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝2cos22β－1－4(2cos22α－1)＝2cos22β－8cos22α＋3＝2(2cos2α)2－8cos22α＋3＝3，故選D.5．已知a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，則()A.eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d) B.eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(a,b)<eq\f(c,d)C.eq\f(a,b)<eq\f(c,d)<eq\f(a＋c,b＋d) D．以上均可能答案A解析先取特值檢驗(yàn)，∵eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，則eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(2,5)，滿(mǎn)意eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).∴B，C不正確．要證eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)，∵a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，∴只需證a(b＋d)<b(a＋c)，即證ad<bc.只需證eq\f(a,b)<eq\f(c,d).而eq\f(a,b)<eq\f(c,d)成立，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d).同理可證eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).故A正確．二、填空題6．凸函數(shù)的性質(zhì)定理：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的隨意x1，x2，…，xn，有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).已知函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值為_(kāi)_______．答案eq\f(3\r(3),2)解析∵f(x)＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A，B，C∈(0，π)，∴eq\f(fA＋fB＋fC,3)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B＋C,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，∴sinA＋sinB＋sinC的最大值為eq\f(3\r(3),2).7．假如aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，則正數(shù)a，b應(yīng)滿(mǎn)意的條件是________．答案a≠b解析∵aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝a(eq\r(a)－eq\r(b))＋b(eq\r(b)－eq\r(a))＝(eq\r(a)－eq\r(b))(a－b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))．∴只要a≠b，就有aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a).8．已知函數(shù)y＝x＋eq\f(2a,x)在[3，＋∞]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析若y＝x＋eq\f(2a,x)在[3，＋∞)上是增函數(shù)，則y′＝1－eq\f(2a,x2)在[3，＋∞)上大于等于0恒成立，只需x∈[3，＋∞)時(shí)eq\f(2a,x2)≤1恒成立，即2a≤x2，只需2a≤(x2)min＝9，所以a≤eq\f(9,2).三、解答題9．證明函數(shù)f(x)＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)是奇函數(shù)．證明∵eq\r(x2＋1)＞|x|，∴eq\r(x2＋1)＋x＞0恒成立，∴f(x)＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)的定義域?yàn)镽，∴要證函數(shù)y＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)是奇函數(shù)，只需證f(－x)＝－f(x)，只需證log2(eq\r(x2＋1)－x)＋log2(eq\r(x2＋1)＋x)＝0，只需證log2[(eq\r(x2＋1)－x)(eq\r(x2＋1)＋x)]＝0，∵(eq\r(x2＋1)－x)(eq\r(x2＋1)＋x)＝x2＋1－x2＝1，而log21＝0，∴上式成立，故函數(shù)f(x)＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)是奇函數(shù)．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲線(xiàn)y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且在P點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為2.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)≤2x－2.解(1)f′(x)＝1＋2ax＋eq\f(b,x).由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝0，,f′1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＝0，,1＋2a＋b＝2，))解得eq\