廣西三校玉林高中、國龍外校、柳鐵一中2023屆高三上學期12月聯(lián)合考試數(shù)學（理）試題（解析版）

玉林高中、國龍外校、柳鐵一中2023屆高三年級12月聯(lián)合考試數(shù)學（理科）試卷考試范圍：高考內容全部；考試時間：120分鐘；命題人：蔣鎮(zhèn)林注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.己知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合,再根據(jù)交集的運算法則計算即可．【詳解】解：，，，，故選：A．2.已知復數(shù)z滿足，且，則復數(shù)z的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，由已知條件列方程求解.【詳解】解：設，則有，解得．由，解得或（不合題意，舍去），有，∴．得．故選：D．3.已知向量是單位向量，且，則向量與的夾角是（）A.? B.? C.? D.?【答案】B【解析】【分析】設向量的夾角為，，再利用數(shù)量積的公式和運算化簡已知等式求解.【詳解】設向量的夾角為，，因為為單位向量，，因為，所以，所以.因為，所以.故選：B4.2019年7月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄，標志著中華五千年文明史得到國際社會認可，良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年文明史.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質量隨時間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質量），經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的至，據(jù)此推測良渚古城存在的時期（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.距今約在4011年到5730年之間B.距今約在3870年到11460年之間C.距今約在4011年到11460年之間D.距今約在2005年到5730年之間【答案】A【解析】【分析】由題意，衰變規(guī)律滿足，要想碳14的質量是原來的至，對應得到和，所以得到正確的選項.【詳解】當時，，∴經(jīng)過5730年后，碳14的質量變?yōu)樵瓉淼?，令，則，∴，∴，∴良渚古城存在的時期距今約在4011年到5730年之間，故選：A.5.若拋物線（）上一點P（2，）到其焦點的距離為4，則拋物線的標準方程為（）A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x【答案】D【解析】【分析】由拋物線定義可解答.【詳解】拋物線上一點到焦點的距離等于到其準線的距離，即為4，∴，解得，∴拋物線的標準方程為.故選：D.6.閱讀如圖的程序框圖，并判斷運行結果為（）A.55 B. C.5 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，在從1到10時，若為偶數(shù)，則將賦給；當為奇數(shù)時，賦給，即為求的值，分組求和即得答案.【詳解】根據(jù)程序框圖，在從1到10時，若為偶數(shù)，則將賦給；當為奇數(shù)時，賦給，即為求的值，兩兩結合分組求和即為輸出的值為，故選：D.7.如圖，已知所有棱長均相等的直三棱柱，，分別為和的中點，則下列陳述不正確的是（）A.平面 B.C.與所成角的正切值為 D.與平面所成角的正切值為2【答案】B【解析】【分析】對于A：結合已知條件，構造平行四邊形，然后利用線面平行判定定理即可判斷；對于B：結合空間幾何關系即可判斷；對于CD：通過直線的平行關系，利用異面直線夾角的求法和線面夾角的定義即可判斷.【詳解】分別取，的中點為，，連接，，，，如下圖所示：對于A：由題意可知，，且，所以四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B：因為直三棱柱的棱長均相等，所以，即為等腰三角形，從而與不垂直，因為，，所以與不垂直，故B錯誤；對于C：因為所以與所成角為與所成角，從而，故C正確；對于D：與平面所成角為與平面所成角，由直三棱柱的性質可知，所求角為，故，故D正確.故選：B.8.設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.的最大值為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件分情況討論判斷得，進而可判斷其它選項．【詳解】解：若，，，則與矛盾，若，，，則與矛盾，，故B正確；，則，，故A錯誤；，單調遞增，故D錯誤；，，故C錯誤．故選：B．9.有一個圓錐與一個圓柱的底面半徑相等，圓錐的母線與底面所成角為60°，若圓柱的外接球的表面積是圓錐的側面積的6倍，則圓柱的高是底面半徑的A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】C【解析】【詳解】設圓柱的高為，底面半徑為，圓柱的外接球的半徑為，則.圓錐的母線與底面所成角為60°，∴圓錐的高為，母線長，∴圓錐的側面積為.∴，∴，∴，.選C．【點睛】熟練掌握圓錐的側面積公式（其中是母線長，r是底面半徑）和圓柱的表面積公式（其中是母線長，r是底面半徑）是解本題的鍵．10.已知：，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的公式求出，然后借助指數(shù)函數(shù)的單調性得到，即可得到，構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性得到，整理后即可得到.【詳解】，∵，∴，則，設函數(shù)，則，∵，，且函數(shù)單調遞增，∴只存在一個使，且，在單調遞減，∴，即，所以.故選：B.11.如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的光學性質及雙曲線定義，用表示，再在兩個直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過點，如圖，有，，設，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B【點睛】方法點睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.12.已知，是函數(shù)的兩個極值點，且，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求導由，是極值點，得，進而將不等式恒成立轉化為，構造函數(shù)求得最小值，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得，，，所以，是方程的兩個正根，所以，不等式恒成立，即恒成立；又，則，又，可得，則.令，則，所以在上單調遞減，所以，故.故選：B.【點睛】解決極值點問題，通常求導轉化為導數(shù)根的問題，結合韋達定理可將雙變量問題轉化為單變量問題；而恒成立問題，通常采用參變分離，轉化為函數(shù)最值問題，利用導數(shù)加以解決.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知實數(shù)x，y滿足，設的最大值為a，則____________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)線性約束條件作出可行域，找到最優(yōu)解求出a，再求定積分.【詳解】約束條件滿足條件的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分所以，由圖可知，當取時，可取得最大值，所以故．故答案為：114.在的展開式中含項的系數(shù)為__________．【答案】-40【解析】【分析】由二項式定理求指定項的系數(shù).【詳解】故展開式中含項的系數(shù)為：故答案為：-4015.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個零點，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】直接利用函數(shù)的關系式變換和函數(shù)的圖象的平移變換的應用求出函數(shù)，再利用函數(shù)的零點是方程的根和三角函數(shù)的性質求出的最小值.【詳解】由題意，可知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，所以.因為是函數(shù)的一個零點，所以，即，所以，因此有或，解得或.因為，所以當時，的最小值是；當時，的最小值是.綜上，的最小值是.故答案為：.16.已知正項數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)m、n及正常數(shù)q，當時，恒成立，若存在常數(shù)，使得為等差數(shù)列，則常數(shù)c的值為______【答案】【解析】【分析】可令m＝n﹣1，結合數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，討論q是否為1，結合等差數(shù)列的通項公式和對數(shù)的運算性質，可得所求結論．【詳解】解：因為對任意正整數(shù)n，m，當n＞m時，Sn﹣Sm＝qm?Sn﹣m總成立，所以n≥2時，令m＝n﹣1，得到Sn﹣Sn﹣1＝qn﹣1?S1，即an＝a1qn﹣1＝qn﹣1，當n＝1時，也成立，所以an＝qn﹣1，當q＝1時，Sn＝n，q≠1時，Sn，{lg（c﹣Sn）}為等差數(shù)列，可得q≠1，lg（c）＝lgnlgq﹣lg（1﹣q）為等差數(shù)列，即有c（0＜q＜1），故答案為：c（0＜q＜1）．【點睛】本題考查由數(shù)列的遞推公式求等比數(shù)列的通項，前n項和，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的關系，解題時要注意認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，屬于較難題.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）證明：的面積（2）若，求符合條件的k的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)已知等式運用三角恒等變形，解得，再利用余弦定理和三角形面積公式證明即可；(2)運用（1）中的結論，結合正弦定理和基本不等式求符合條件的k的最小值．【小問1詳解】由題知得：由等式可知，A、B均為銳角，故有．所以，由余弦定理得：，所以的面積.方法2：（1）由題知得：或下同方法1；方法3：由題知去分母得：或下同方法1；【小問2詳解】由（1）可得，，由得，設，則當且僅當時，等號成立，即符合條件的k的最小值為.18.如圖，在四棱柱中，底面為矩形，平面平面，且．（1）證明：平面；（2）若與平面所成角為．求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理求證即可；（2）根據(jù)二面角的平面角與法向量所成角相等或互補求解即可．【小問1詳解】解：由知為等邊三角形，取的中點為E，則，又∵平面平面，為兩垂直平面的交線，平面，平面又平面∴．∵是矩形，又平面∴平面．【小問2詳解】解：由（1）可知，與平面所成的角為，故有．．∴．過D作平面，以D為坐標原點，分別以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，設平面的法向量為，則有，∴，取得，設平面的法向量為，則有，∴，取得，∴．故所求二面角的余弦值為．19.甲、乙兩地教育部門到某師范大學實施“優(yōu)才招聘計劃”，即通過對畢業(yè)生進行筆試，面試，模擬課堂考核這3項程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項程序分別由3個考核組獨立依次考核，當3項程序均通過后即可簽約．去年，該校數(shù)學系130名畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”的具體情況如下表（不存在通過3項程序考核放棄簽約的情況）．性別人數(shù)參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)男生4515女生6010今年，該校數(shù)學系畢業(yè)生小明準備參加兩地的“優(yōu)才招聘計劃”，假定他參加各程序的結果相互不影響，且他的輔導員作出較客觀的估計：小明通過甲地的每項程序的概率均為，通過乙地的各項程序的概率依次為，，m，其中0＜m＜1．（1）判斷是否有90%的把握認為這130名畢業(yè)生去年參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”能否簽約與性別有關；（2）若小明能與甲、乙兩地簽約分別記為事件A，B，他通過甲、乙兩地的程序的項數(shù)分別記為X，Y．當E（X）＞E（Y）時，證明：P（A）＞P（B）．參考公式與臨界值表：，n＝a＋b＋c＋d．0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）沒有90%的把握認為去年該校130名數(shù)學系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”能否簽約與性別有關（2）證明見解析【解析】【分析】(1)依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入，求出后參考臨界值表.(2)分別列出小明參加甲乙程序的分布列，算出E（X）與E（Y），通過E（X）＞E（Y）即可證明：P（A）＞P（B）．【小問1詳解】因為，且，所以沒有90%的把握認為去年該校130名數(shù)學系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”能否簽約與性別有關．小問2詳解】因為小明參加各程序的結果相互不影響，所以，則．Y的可能取值為0，1，2，3．，，，．隨機變量Y的分布列：Y0123P．因E（X）＞E（Y），所以，即，所以，所以P（A）＞P（B）．20.已知橢圓：的離心率為，點，，橢圓的右頂點滿足.（1）求橢圓上一點到點的最小距離；（2）若經(jīng)過點的直線交橢圓于，兩點，證明：當直線的傾斜角任意變化時，總存在實數(shù)，使得.【答案】（1）1（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，可求得，再根據(jù)離心率求得，即可求得橢圓方程，設，根據(jù)兩點之間的距離公式結合二次函數(shù)即可得出答案；（2）分直線傾斜角為和不為兩種情況討論，當直線的傾斜角不為時，設直線方程為，由直線的傾斜角任意變化時，總存在實數(shù)，使得，可得平分，則直線的傾斜角互補，證明即可.【小問1詳解】解：，因為，所以，即，所以，解得，離心率，所以，所以，所以橢圓的標準方程為，設，則，當時，，所以橢圓上一點到點的最小距離為1；【小問2詳解】證明：當直線的傾斜角為時，直線與軸重合，不妨取，則，由，得，所以此時存在實數(shù)，使得，當直線的傾斜角不為時，設直線方程為，則，聯(lián)立，消得，則，.所以直線的傾斜角互補，則平分，所以當直線的傾斜角任意變化時，總存在實數(shù)，使得，綜上所述，當直線的傾斜角任意變化時，總存在實數(shù)，使得.【點睛】本題考查橢圓方程的求法及橢圓上的點到定點距離的最值問題，考查了橢圓中的定值問題，考查了計算能力和化歸與轉化思想，解決本題的第二問關鍵時將索證轉化為平分，有一定的難度.21.已知函數(shù)．（1）當時，如果函數(shù)有唯一的極值點且為極小值點，求實數(shù)a的取值范圍．（2）若直線與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右三個交點的橫坐標依次是，證明成等比數(shù)列．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)分類討論函數(shù)單調性，滿足函數(shù)有唯一的極值點且為極小值點時，確定實數(shù)a的取值范圍；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，作出函數(shù)草圖，數(shù)形結合找到的位置，代入函數(shù)解析式化簡可得結論.【小問1詳解】，，若，由，解得；由，解得，于是在上遞增，在遞減，所以是在上唯一的極大值點，不合題設．若，若，得（?。┊敃r，．；或，在上遞增，在和上遞減故在區(qū)間上在兩個極值點，不合題設．（ⅱ）當時，．；或在上遞增，在和上遞減故在區(qū)間上在兩個極值點，不合題設．（ⅲ）當時，．由；；函數(shù)在區(qū)間遞減，在區(qū)間上遞增，故在上有唯一極小值點．綜上所述，符合題設的實數(shù)a的取值范圍是．方法2：同方法1，若時，在上唯一的極大值點，不合題設．若時，由上述可知，要使有唯一極小值點，則只需要對恒成立∴對時，遞增∴故綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是【小問2詳解】當時，則有，設函數(shù)，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，而，而，如下圖所示：因此曲線的交點只有一個，因此曲線和只有一個交點，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，且當無限接近時，無限接近0，且，圖像如下圖所示，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，且當無限接近時，無限接近0，當無限接近0時，無限接近，圖像如下圖所示，當直線經(jīng)過曲線和唯一的公共點時，直線與兩條曲線恰好有三個不同的交點如上圖所示，則有，且，①對上式同構可得：，∵且函數(shù)在單調遞增，∴②又∵，且函數(shù)在上單調遞減，∴．③由方程②③可得：，再結合方程①可得：．所以成等比數(shù)列．【點睛】1.導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、