2025屆廣東省建文教育集團兩學部高三上學期12月第一次模擬數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省建文教育集團兩學部2025屆高三上學期12月第一次模擬數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】法1：因為，所以，所以.法2：因為，所以，即.故選：C.2.已知命題，，，，則（）A.p和q都是真命題B.p和都是真命題C.和q都是真命題D.和都是真命題【答案】B【解析】當x=1時，命題成立，所以命題p是真命題，命題是假命題；當x=0時，命題不成立，所以命題q是真命題，命題是真命題.故選：B.3.記為非零數列的前項和，若，，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】在非零數列中，，由，，得數列等比數列，，因此，所以.故選：C4.已知函數部分圖象如圖，是相鄰的最低點和最高點，直線的方程為，則函數的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接，與軸交于點，由圖象的對稱性，知點也在函數的圖象上，所以點的坐標為.設，由，得，所以的最小正周期滿足，解得，即，解得，，.因為點是圖象的一個最高點，所以，結合，解得，故選：C.5.眾數?平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據的分布形態(tài)有關.根據某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數據（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數據的眾數為，中位數為，平均數為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現是屬于右邊“拖尾”，所以平均數大于中位數為，由于第一個小矩形面積為，前2個小矩形面積之和為，所以中位數位于之間，故可得，解得，由頻率分布直方圖可知眾數，故，故選：D.6.將函數的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到函數的圖象，則在下列區(qū)間中，函數單調遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，若單調遞減，則，解得；觀察選項可知，只需寫出在上的單調遞減區(qū)間即可，易知當時，單調遞減區(qū)間為，只有，可得為函數單調遞減區(qū)間.故選：C7.已知定義在上的函數滿足為奇函數，且的圖象關于直線對稱，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由為奇函數，知的圖象關于點對稱，則，由，得．由的圖象關于直線對稱，則的圖象關于直線對稱，所以，，綜上，，由上，，得，所以，則4為的一個周期，所以.故選：C8.橢圓的長軸長為6，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為橢圓的長軸長為6，所以橢圓的焦點在軸上，且，所以橢圓的離心率為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.在復平面內，復數對應的向量分別為、，則下列說法不正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】設，則，對于A，當時，，則，故A錯誤；對于B，，，所以，故B正確；對于C，當時，，，滿足，但，故C錯誤；對于D，當時，，而，故D錯誤.故選：ACD.10.已知圓錐的頂點為為底面圓的直徑，，點在圓上，點為的中點，與底面所成的角為，則（）A.該圓錐的側面積為B.該圓錐的休積為C.D.該圓錐內部半徑最大的球的表面積為【答案】BCD【解析】由已知，，，易得等腰三角形的底邊長，，對于A，該圓錐的側面積為，A錯誤；對于B該圓錐的體積為，B正確；對于C，如圖，取中點為，連接，則為與底面所成角為，故，C正確；對于D，當球與圓錐內切時，表面積最大，此時球心在圓錐的高上，設為，球半徑為，過向作垂線，垂足為，則，又，所以，所以，球的表面積為，D正確，故選：BCD11.“”可以看作數學上的無窮符號，也可以用來表示數學上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標原點，上的點到兩定點，的距離之積為定值．則下列說法正確的是（）（參考數據：）A.若，則的方程為B.若上點到兩定點、的距離之積為16，則點在上C.若，點在上，則D.當時，上第一象限內的點滿足的面積為，則【答案】ACD【解析】已知原點在上，則，設為上任意一點，則有，整理得．若，則的方程為，故A正確；若，則，代入方程得，顯然點不在此曲線上，故B錯誤；若，點在上，有，整理得，所以，故C正確；因為，，可得，所以點是曲線和以為直徑的圓在第一象限內的交點，聯立方程，解得，，即，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】4【解析】由，整理得，得，解得，所以.另解：由題知，則，利用基本不等式可得，當且僅當時取等號，解得.故答案為：413.若存在（互不相等），滿足，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】存在（互不相等），滿足，則，不妨設，且是相鄰最值點.當時，則，解得，由，解得，當時，，當時，，當時，，所以，當時，則，解得，由，解得，當時，，當時，，所以，綜上所述，.故答案為：.14.已知函數的最小值為0，則________．【答案】【解析】依題意，對于恒成立，且能取得等號，即對于恒成立，且能取得等號，函數在上單調遞增，不等式為，則，即，因此在上恒成立，且能取得等號，設，于是是函數在上的最小值，求導得，當時，，當時，，函數在上遞減，在上遞增，且，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，a，b，c分別是內角A，B，C對邊，且．（1）若，且的面積為，求A；（2）若，求．解：（1）因為，所以，又，所以，所以的面積，則，因為，所以或．（2）因為，所以，所以.由余弦定理得，因為，所以或，又，所以，所以，所以．16.已知二階行列式，三階行列式，其中分別為的余子式（某個數的余子式是指刪去那個數所在的行和列后剩下的行列式）．（1）計算．（2）設函數．①若的極值點恰為等差數列的前兩項，且的公差大于0，求；②若且，函數，證明：．（1）解：原式．（2）．（i）解：．當或時，；當時，．所以在和上是增函數，在上是減函數，所以的極大值點為，極小值點為1．因為的極值點恰為等差數列的前兩項，且的公差大于0，所以，則公差，所以，所以．（ii）證明：因為，所以在上無零點，在上存在唯一零點，且．令，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，而，所以．令，則．因為在上單調遞誠，所以當時，，即單調遞減，當時，，即單調遞增，所以，而，所以．綜上，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，平面平面為的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：方法一；由，有，，因為為正方形，故，又平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，又平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.方法二；因為為正方形，故，而平面平面交于平面，所以平面，又平面，所以，平面和平面交線平行于.故是平面和平面所成二面角的平面角..有，故平面平面.方法三：取中點為，先證明：，，點為的中點.，而平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，，由已知，建立如圖空間直角坐標系，因為.故，，設平面的一個法向量為，則，即，取，得，設平面的一個法向量為，則，即，取，得，，故，所以，平面平面.（2）解：取中點為.由（1）知，，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，所以，，顯然可知平面的法向量為PD=0,1,-1設平面的一個法向量為，則，，取，得，則，所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為.18.已知函數.（1）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；（2）討論函數的單調性；（3）設，若，求實數的取值范圍.解：（1），當時，，當時，，函數在處的切線方程為.（2）函數的定義域為，①當時，恒成立，令，則，若：若，所以在單調遞減，在單調遞增；②當時，，令，則，（i）當，即時，若或：若，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增.（ii）當，即時，恒成立，在上遞增.（iii）當，即時，若或：若，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，綜上所述，當時，在單調遞減，在單調遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增.（3）由得恒成立因為，即恒成立.設，則，因為，同構可得令因為，所以，下面先證設，于是，令，則，當時，：當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，當且僅當時等號成立.所以，即，所以，即故實數取值范圍為19.設數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）在和之間插入1個數，使成等差數列；在和之間插入2個數，使成等差數列；依次類推，在和之間插入個數，使成等差數列.（i）若，求；（ii）對于（i）中的，是否存在正整數，使得成立？若存在，求出所有的正整數對；若不存在，說明理由.解：（1）當時，得；當時，，兩式相減得，所以是以1為首項，為公比的等比數列.所以.（2）①設，所以，上面兩式相減得，所以所以，所以.②因為都是遞減數列；所以；則，令，即恒成立，所以數列單調遞增，當時，；則所以；當時，；則，所以，，成立，解得，存在；當時，；當時，；不滿足題意，故不存在：綜上所述，當正整數對取和時，成立.廣東省建文教育集團兩學部2025屆高三上學期12月第一次模擬數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】法1：因為，所以，所以.法2：因為，所以，即.故選：C.2.已知命題，，，，則（）A.p和q都是真命題B.p和都是真命題C.和q都是真命題D.和都是真命題【答案】B【解析】當x=1時，命題成立，所以命題p是真命題，命題是假命題；當x=0時，命題不成立，所以命題q是真命題，命題是真命題.故選：B.3.記為非零數列的前項和，若，，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】在非零數列中，，由，，得數列等比數列，，因此，所以.故選：C4.已知函數部分圖象如圖，是相鄰的最低點和最高點，直線的方程為，則函數的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接，與軸交于點，由圖象的對稱性，知點也在函數的圖象上，所以點的坐標為.設，由，得，所以的最小正周期滿足，解得，即，解得，，.因為點是圖象的一個最高點，所以，結合，解得，故選：C.5.眾數?平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據的分布形態(tài)有關.根據某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數據（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數據的眾數為，中位數為，平均數為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現是屬于右邊“拖尾”，所以平均數大于中位數為，由于第一個小矩形面積為，前2個小矩形面積之和為，所以中位數位于之間，故可得，解得，由頻率分布直方圖可知眾數，故，故選：D.6.將函數的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到函數的圖象，則在下列區(qū)間中，函數單調遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，若單調遞減，則，解得；觀察選項可知，只需寫出在上的單調遞減區(qū)間即可，易知當時，單調遞減區(qū)間為，只有，可得為函數單調遞減區(qū)間.故選：C7.已知定義在上的函數滿足為奇函數，且的圖象關于直線對稱，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由為奇函數，知的圖象關于點對稱，則，由，得．由的圖象關于直線對稱，則的圖象關于直線對稱，所以，，綜上，，由上，，得，所以，則4為的一個周期，所以.故選：C8.橢圓的長軸長為6，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為橢圓的長軸長為6，所以橢圓的焦點在軸上，且，所以橢圓的離心率為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.在復平面內，復數對應的向量分別為、，則下列說法不正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】設，則，對于A，當時，，則，故A錯誤；對于B，，，所以，故B正確；對于C，當時，，，滿足，但，故C錯誤；對于D，當時，，而，故D錯誤.故選：ACD.10.已知圓錐的頂點為為底面圓的直徑，，點在圓上，點為的中點，與底面所成的角為，則（）A.該圓錐的側面積為B.該圓錐的休積為C.D.該圓錐內部半徑最大的球的表面積為【答案】BCD【解析】由已知，，，易得等腰三角形的底邊長，，對于A，該圓錐的側面積為，A錯誤；對于B該圓錐的體積為，B正確；對于C，如圖，取中點為，連接，則為與底面所成角為，故，C正確；對于D，當球與圓錐內切時，表面積最大，此時球心在圓錐的高上，設為，球半徑為，過向作垂線，垂足為，則，又，所以，所以，球的表面積為，D正確，故選：BCD11.“”可以看作數學上的無窮符號，也可以用來表示數學上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標原點，上的點到兩定點，的距離之積為定值．則下列說法正確的是（）（參考數據：）A.若，則的方程為B.若上點到兩定點、的距離之積為16，則點在上C.若，點在上，則D.當時，上第一象限內的點滿足的面積為，則【答案】ACD【解析】已知原點在上，則，設為上任意一點，則有，整理得．若，則的方程為，故A正確；若，則，代入方程得，顯然點不在此曲線上，故B錯誤；若，點在上，有，整理得，所以，故C正確；因為，，可得，所以點是曲線和以為直徑的圓在第一象限內的交點，聯立方程，解得，，即，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】4【解析】由，整理得，得，解得，所以.另解：由題知，則，利用基本不等式可得，當且僅當時取等號，解得.故答案為：413.若存在（互不相等），滿足，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】存在（互不相等），滿足，則，不妨設，且是相鄰最值點.當時，則，解得，由，解得，當時，，當時，，當時，，所以，當時，則，解得，由，解得，當時，，當時，，所以，綜上所述，.故答案為：.14.已知函數的最小值為0，則________．【答案】【解析】依題意，對于恒成立，且能取得等號，即對于恒成立，且能取得等號，函數在上單調遞增，不等式為，則，即，因此在上恒成立，且能取得等號，設，于是是函數在上的最小值，求導得，當時，，當時，，函數在上遞減，在上遞增，且，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，a，b，c分別是內角A，B，C對邊，且．（1）若，且的面積為，求A；（2）若，求．解：（1）因為，所以，又，所以，所以的面積，則，因為，所以或．（2）因為，所以，所以.由余弦定理得，因為，所以或，又，所以，所以，所以．16.已知二階行列式，三階行列式，其中分別為的余子式（某個數的余子式是指刪去那個數所在的行和列后剩下的行列式）．（1）計算．（2）設函數．①若的極值點恰為等差數列的前兩項，且的公差大于0，求；②若且，函數，證明：．（1）解：原式．（2）．（i）解：．當或時，；當時，．所以在和上是增函數，在上是減函數，所以的極大值點為，極小值點為1．因為的極值點恰為等差數列的前兩項，且的公差大于0，所以，則公差，所以，所以．（ii）證明：因為，所以在上無零點，在上存在唯一零點，且．令，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，而，所以．令，則．因為在上單調遞誠，所以當時，，即單調遞減，當時，，即單調遞增，所以，而，所以．綜上，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，平面平面為的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：方法一；由，有，，因為為正方形，故，又平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，又平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.方法二；因為為正方形，故，而平面平面交于平面，所以平面，又平面，所以，平面和平面交線平行于.故是平面和平面所成二面角的平面角..有，故平面平面.方法三：取中點為，先證明：，，點為的中點.，而平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，，由已知，建立如圖空間直角坐標系，因為