2025屆貴州省部分學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又，所以．故選：D.3.在矩形中，，，則矩形的面積為（）A.5 B.10 C.20 D.25【答案】B【解析】由四邊形為矩形，得；由，得，解得，從而，所以，，所以矩形的面積為．故選：B．4.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，所以，解得，因?yàn)椋?，得，所以圓錐的高為，所以圓錐的軸截面的面積是，故選：C.5.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，，，，，成等差數(shù)列，且，，可知首項(xiàng)為4，公差為2，所以.故選：B.6.若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，即對(duì)任意恒成立，即恒成立，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），所以.故選：D7.如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為.故選：B.8.已知圓，點(diǎn)在線段（）上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，以為直徑作圓，則圓的面積的最大值為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，，，，，為銳角，當(dāng)圓的面積取最大值時(shí)最大，而，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段（）上，所以，故，即圓半徑的最大值為，所以圓的面積的最大值為，故選：D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得部分分）9.設(shè)函數(shù)，若在有且僅有5個(gè)極值點(diǎn)，則（）A.在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) B.在有且僅有4個(gè)零點(diǎn)C.的取值范圍是 D.在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】作出的草圖如下：的極值點(diǎn)滿足，即，因?yàn)樵谟星覂H有5個(gè)極值點(diǎn)，所以，則需，且，解得，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，則由圖可知時(shí)，是在0,π上的第一個(gè)極大值點(diǎn)，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖像規(guī)律可知，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)總是交替出現(xiàn)的，時(shí)是的兩個(gè)極大值點(diǎn)，另外兩個(gè)為極小值點(diǎn)，故A正確；如圖可知，在點(diǎn)之前已有4個(gè)零點(diǎn)，也可能落在點(diǎn)的右側(cè)，從而使在0,π上有5個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的周期最小，此時(shí)第一個(gè)極大值點(diǎn)為，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：AD10.已知正方體的棱長(zhǎng)為，經(jīng)過(guò)棱上中點(diǎn)E作該正方體的截面，且，與棱和棱AD的交點(diǎn)分別為F，G，截面將正方體分為，兩個(gè)多面體，則（）A.直線與所成角的正切值為B.截面為五邊形C.截面的面積為D.多面體，內(nèi)均可放入體積為的球【答案】AC【解析】取AD的中點(diǎn)M，連接GM，F(xiàn)M，則，則直線FG與所成角即為直線FG與GM所成角．中，，，則，即直線FG與所成角的正切值為，所以A選項(xiàng)正確；分別取，，的中點(diǎn)H，N，Q，連接EN，NG，GH，HF，F(xiàn)Q，QE，易證正六邊形GNEQFH即為截面，又正方體的棱長(zhǎng)為，所以正六邊形的邊長(zhǎng)為2，所以其面積為，所以B選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性，可知多面體，是兩個(gè)完全相同的多面體，不妨設(shè)多面體內(nèi)能放入最大球的球心為O，則，球O與截面相切于正方體的中心S，且球O也與以C為頂點(diǎn)的三個(gè)面均相切，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD，CB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，解得，，所以，所以不能放入體積為的球，所以D選項(xiàng)不正確．故選：AC．11.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，作拋物線的切線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)在直線上 B.點(diǎn)在直線上的投影是定點(diǎn)C.以為直徑的圓與直線相切 D.的最小值為【答案】BCD【解析】對(duì)于，依題意焦點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2，準(zhǔn)線為直線：，不妨設(shè)Ax1,y1，Bx聯(lián)立與，得，從而，，，，由題意，所以，故拋物線過(guò)點(diǎn)，的切線方程分別為，，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋?，所以，所以，即點(diǎn)在直線上的投影是點(diǎn)（定點(diǎn)），故選項(xiàng)正確；對(duì)于，可證，，因此，即以為直徑的圓與直線相切，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，，從而，令，由函?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，故正確.故選：.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在的展開式中，不含字母的項(xiàng)為_________．【答案】【解析】由條件可知不含字母的項(xiàng)為．故答案為：.13.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍．尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)：，為n的所有正因數(shù)之和，如，則_______；_______．【答案】①.42②.【解析】根據(jù)新定義可得，，因?yàn)檎驍?shù)，所以故答案為：；14.設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為______．【答案】和【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，得，，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，代入得解得或．當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，切線方程為．故答案為：和四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，（2）證明：由（1）得：，，，.16.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）已知，D為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．解：（1）∵，根據(jù)正弦定理得，，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，，，根?jù)余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．17.正四棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為，，為中點(diǎn)，已知點(diǎn)滿足，其中．（1）求證；（2）已知平面與平面所成角的余弦值為，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O為原點(diǎn)，以O(shè)M方向?yàn)閥軸，過(guò)O點(diǎn)平行于AD向前方向?yàn)閤軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直平面ABCD向上方向?yàn)閦軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四棱臺(tái)的高度為h，則有，，，，，，，，，．故，所以．（2）解：設(shè)平面ABCD的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，則有，即，令，則．又題意可得，可得．因?yàn)?，?jīng)過(guò)計(jì)算可得，，．將代入，可得平面的法向量．設(shè)直線DP與平面所成角的為θ．18.已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且M經(jīng)過(guò)點(diǎn)的焦距為4.（1）求M和的方程;（2）如圖，過(guò)點(diǎn)T(0，1)的直線l(斜率大于0)與雙曲線M和N的左、右兩支依次相交于A,B,C,D,若求直線l的方程.解：（1）因?yàn)?的焦距為4,所以，，所以，漸近線相同，可設(shè)為，代入，，所以（2）設(shè)直線l的方程為，由化簡(jiǎn)可得：，，時(shí)，，，時(shí)，，，所以,同理因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)樗运詣t，由，解得：，由可知，,所以直線l的方程為：.19.已知集合，，，若，，或，則稱集合A具有“包容”性．（1）判斷集合和集合是否具有“包容”性；（2）若集合具有“包容”性，求的值；（3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64個(gè)，，試確定集合C．解：（1）集合中的，，所以集合不具有“包容”性．集合中的任何兩個(gè)相同或不同的元素，相加或相減，得到的兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合，所以集合具有“包容”性．（2）已知集合具有“包容”性，記，則，易得，從而必有，不妨令，則，且，則，且，①當(dāng)時(shí)，若，得，此時(shí)具有包容性；若，得，舍去；若，無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，則，由且，可知b無(wú)解，故．綜上，．（3）因?yàn)榧螩的子集有64個(gè)，所以集合C中共有6個(gè)元素，且，又，且C中既有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，其中，，，根據(jù)題意，且，從而或．當(dāng)時(shí)，，并且由，得，由，得，由上可得，并且，綜上可知；②當(dāng)時(shí)，同理可得．綜上，C中有6個(gè)元素，且時(shí)，符合條件集合C有5個(gè)，分別是，，，或．貴州省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又，所以．故選：D.3.在矩形中，，，則矩形的面積為（）A.5 B.10 C.20 D.25【答案】B【解析】由四邊形為矩形，得；由，得，解得，從而，所以，，所以矩形的面積為．故選：B．4.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，所以，解得，因?yàn)椋?，得，所以圓錐的高為，所以圓錐的軸截面的面積是，故選：C.5.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，，，，，成等差數(shù)列，且，，可知首項(xiàng)為4，公差為2，所以.故選：B.6.若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，即對(duì)任意恒成立，即恒成立，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），所以.故選：D7.如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為.故選：B.8.已知圓，點(diǎn)在線段（）上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，以為直徑作圓，則圓的面積的最大值為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，，，，，為銳角，當(dāng)圓的面積取最大值時(shí)最大，而，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段（）上，所以，故，即圓半徑的最大值為，所以圓的面積的最大值為，故選：D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得部分分）9.設(shè)函數(shù)，若在有且僅有5個(gè)極值點(diǎn)，則（）A.在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) B.在有且僅有4個(gè)零點(diǎn)C.的取值范圍是 D.在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】作出的草圖如下：的極值點(diǎn)滿足，即，因?yàn)樵谟星覂H有5個(gè)極值點(diǎn)，所以，則需，且，解得，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，則由圖可知時(shí)，是在0,π上的第一個(gè)極大值點(diǎn)，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖像規(guī)律可知，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)總是交替出現(xiàn)的，時(shí)是的兩個(gè)極大值點(diǎn)，另外兩個(gè)為極小值點(diǎn)，故A正確；如圖可知，在點(diǎn)之前已有4個(gè)零點(diǎn)，也可能落在點(diǎn)的右側(cè)，從而使在0,π上有5個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的周期最小，此時(shí)第一個(gè)極大值點(diǎn)為，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：AD10.已知正方體的棱長(zhǎng)為，經(jīng)過(guò)棱上中點(diǎn)E作該正方體的截面，且，與棱和棱AD的交點(diǎn)分別為F，G，截面將正方體分為，兩個(gè)多面體，則（）A.直線與所成角的正切值為B.截面為五邊形C.截面的面積為D.多面體，內(nèi)均可放入體積為的球【答案】AC【解析】取AD的中點(diǎn)M，連接GM，F(xiàn)M，則，則直線FG與所成角即為直線FG與GM所成角．中，，，則，即直線FG與所成角的正切值為，所以A選項(xiàng)正確；分別取，，的中點(diǎn)H，N，Q，連接EN，NG，GH，HF，F(xiàn)Q，QE，易證正六邊形GNEQFH即為截面，又正方體的棱長(zhǎng)為，所以正六邊形的邊長(zhǎng)為2，所以其面積為，所以B選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性，可知多面體，是兩個(gè)完全相同的多面體，不妨設(shè)多面體內(nèi)能放入最大球的球心為O，則，球O與截面相切于正方體的中心S，且球O也與以C為頂點(diǎn)的三個(gè)面均相切，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD，CB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，解得，，所以，所以不能放入體積為的球，所以D選項(xiàng)不正確．故選：AC．11.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，作拋物線的切線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)在直線上 B.點(diǎn)在直線上的投影是定點(diǎn)C.以為直徑的圓與直線相切 D.的最小值為【答案】BCD【解析】對(duì)于，依題意焦點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2，準(zhǔn)線為直線：，不妨設(shè)Ax1,y1，Bx聯(lián)立與，得，從而，，，，由題意，所以，故拋物線過(guò)點(diǎn)，的切線方程分別為，，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，，所以，所以，即點(diǎn)在直線上的投影是點(diǎn)（定點(diǎn)），故選項(xiàng)正確；對(duì)于，可證，，因此，即以為直徑的圓與直線相切，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)椋?，從而，令，由函?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，故正確.故選：.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在的展開式中，不含字母的項(xiàng)為_________．【答案】【解析】由條件可知不含字母的項(xiàng)為．故答案為：.13.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍．尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)：，為n的所有正因數(shù)之和，如，則_______；_______．【答案】①.42②.【解析】根據(jù)新定義可得，，因?yàn)檎驍?shù)，所以故答案為：；14.設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為______．【答案】和【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，得，，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，代入得解得或．當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，切線方程為．故答案為：和四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，（2）證明：由（1）得：，，，.16.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）已知，D為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．解：（1）∵，根據(jù)正弦定理得，，即，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋?，，根?jù)余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．17.正四棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為，，為中點(diǎn)，已知點(diǎn)滿足，其中．（1）求證；（2）已知平面與平面所成角的余弦值為，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O為原點(diǎn)，以O(shè)M方向?yàn)閥軸，過(guò)O點(diǎn)平行于AD向前方向?yàn)閤軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直平面ABCD向上方向?yàn)閦軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四棱臺(tái)的高度為h，則有，，，，