微專題13 導數(shù)解答題之雙變量問題 -2025年新高考數(shù)學二輪復習微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題13導數(shù)解答題之雙變量問題【秒殺總結(jié)】1、破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果；四是主元法.【典型例題】例1．（2024·浙江溫州·二模）如圖，對于曲線，存在圓滿足如下條件：①圓與曲線有公共點，且圓心在曲線凹的一側(cè)；②圓與曲線在點處有相同的切線；③曲線的導函數(shù)在點處的導數(shù)（即曲線的二階導數(shù)）等于圓在點處的二階導數(shù)（已知圓在點處的二階導數(shù)等于）；則稱圓為曲線在點處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑．(1)求拋物線在原點的曲率圓的方程；(2)求曲線的曲率半徑的最小值；(3)若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：．【解析】（1）記，設(shè)拋物線在原點的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．則，，故，，即，所以拋物線在原點的曲率圓的方程為；（2）設(shè)曲線在的曲率半徑為．則法一：，由知，，所以，故曲線在點處的曲率半徑，所以，則，則，當且僅當，即時取等號，故，曲線在點處的曲率半徑．法二：，，所以，而，所以，解方程可得，則，當且僅當，即時取等號，故，曲線在點處的曲率半徑．（3）法一：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，故，由題意知：

令，則有，所以，即，故．因為，所以，所以，所以．法二：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，有令，則有，則，故，因為，所以，所以有，令，則，即，故，所以，即；法三：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑．故設(shè)，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有，所以，要證，即證，即證

將，下證：當時，有，設(shè)函數(shù)（其中），則，故單調(diào)遞增，，故，所以．法四：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，有，設(shè)．則有，所以當時，當時，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故有，所以，要證，即證，即證．將，下證：當時，有，設(shè)函數(shù)（其中），則，故單調(diào)遞增，故，故，所以．例2．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)有三個極值點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)有三個極值點則有三個不等實根即方程有三個不等實根，令，則，由得，由得或在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以（2）由（1）知，，所以，令，則，令，則令，則，即，，故在上單調(diào)遞增，所以.例3．（2024·四川·一模）已知函數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若有2個零點，證明：．【解析】（1）當，函數(shù)，則，可知當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，則當時，取得極小值，也即為最小值，所以的最小值為；（2）由已知，是的兩個零點，則，，兩式相減，得，整理得，欲證明，只需證明不等式，即證明，也即證明，不妨設(shè)，令，則，只需證明，即證明即可，令，則，又令，則，所以，當時，，即單調(diào)遞減，則，故當時，單調(diào)遞增，則，所以，原不等式成立，故不等式得證．例4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)有3個極值點，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：．【解析】（1）由題意，得，由，得或，所以0是函數(shù)的一個極值點．所以有2個不相等的實數(shù)根，且這2個根均不為0和．令，則．當時，恒成立，故在定義域上是增函數(shù)，不可能有2個零點；當時，由，得，由，得，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，即，所以．又．由零點存在定理可知，在上存在唯一零點．令，則，令得，令得，所以在上遞增，在上遞減，所以，，所以，由零點存在定理可知，在上存在唯一零點．因為所以，綜上，的取值范圍是．（2）證明：由（1）知，0是函數(shù)的一個極值點．不妨設(shè)，所以只要證明．由得，即兩式相除得．令，則．所以，所以．所以要證明，只要證明，即，其中，所以．所以只要證明．令，所以，從而恒成立，所以在上是減函數(shù)，所以．所以在上是增函數(shù)，所以，即證：．另由，知，所以，且為的兩根．記，則，當，，當，故在上遞增，在上遞減．不妨取，所以要證，即要證，只要證，又，故只要證，即要證，也即要證(#)．令，則．而當時，，故在上遞減，故，故在上遞增，故，所以(#)成立，故．例5．（2024·高三·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的一個極值點，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)有兩個極值點，其中，①求實數(shù)的取值范圍；②若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）易知，又是函數(shù)的一個極值點，，即.此時，令，在上單調(diào)遞增，且，當，當，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，即符合題意；因此實數(shù)的值為.（2）①因為，且有兩個極值點，所以方程在上有兩個不同的根，即方程有兩個不同的正數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點，則，令，解得，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，且當時，，故作出的圖象如下：由圖象可得滿足題意，即.即實數(shù)的取值范圍為；②由①知是的兩個根，故，則，不妨設(shè)，又，所以可得，可得，即，所以；故由可得，即，所以；也即，化簡得，由于，所以等價于對任意的恒成立，令，故對任意的恒成立，則，設(shè)，則，（i）當時，單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故，不滿足，舍去；（ii）當時，單調(diào)遞減，故單調(diào)遞增，故，故恒成立，符合題意；（iii）當時，令，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，又，故時，，此時單調(diào)遞減，故，因此當時，，不符合題意，舍去.綜上，實數(shù)的取值范圍為.例6．（2024·高三·甘肅·開學考試）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若有2個極值點，求證：.【解析】（1）法一：因為在上單調(diào)遞增，所以時，即，設(shè)，則，所以時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是；法二：因為，所以，若，則在上單調(diào)遞增；若，令，則，時單調(diào)遞減；時單調(diào)遞增，所以是的極小值點，所以，所以當，即時，在上單調(diào)遞增.綜上，的取值范圍是.（2）由（1）知是方程的兩個不同正根，所以，經(jīng)驗證，分別是的極小值點，極大值點，，下面證明.由，得，兩邊取對數(shù)，得，即，則，設(shè)，則，則要證，即證，即證.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，于是成立，故.例7．（2024·高三·湖南·開學考試）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不相等的根，且的導函數(shù)為，證明：．【解析】（1），則，當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當時，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因為方程有兩個不等的根，且，由（1）知，，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以，又，所以.例8．（2024·高三·河南周口·期末）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)若，求證：；(3)在（2）的條件下，若方程兩個不同的實數(shù)根分別為，，求證：.【解析】（1）由，則，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，即有在上恒成立，即，令，，則，設(shè)，，則，故在上單調(diào)遞減，故，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，有，即，故的取值范圍為；（2）若，則，，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，又，，故在上存在唯一零點，設(shè)該零點為，即有，有時，，時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當時，，即，故在上單調(diào)遞減，當時，有，故，即在上單調(diào)遞增，故時，，又，且定義域為，故為偶函數(shù)，即當時，，故恒成立；（3），有，由（2）可知，若方程兩個不同的實數(shù)根，則，下面證明：，不妨設(shè)，則，要證，只需證明，而，由（2）可知，在上單調(diào)遞減，故只需證明，而，故只需證明，設(shè)，則，即在上單調(diào)遞增，故，故，即，又，故，由（2）得，，當時，，故在上單調(diào)遞增，又，，故.例9．（2024·全國·模擬預測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.【解析】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，無最小值，最大值為.（2），則，又有兩個不同的極值點，欲證，即證，原式等價于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價于求證，即證.令，則，上式等價于求證.令，則，恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，，即，原不等式成立，即.【過關(guān)測試】1．（2024·高三·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．【解析】（1）當時，，得，則，，所以切線方程為，即；（2），當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間，當時，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，綜合得：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3），則，因為是函數(shù)的兩個極值點，即是方程的兩不等正根，所以，得，令，則，得，則，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.2．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，其中.(1)當時，求的極值；(2)當，時，證明：.【解析】（1）由題意，，，所以當時，，，由解得：或，由解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極大值，極小值.（2）由題意，，，要證，只需證，而，，所以只需證，即證①，下面給出兩種證明不等式①的方法：證法1：要證，只需證，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，顯然，所以當時，，因為，所以，即，故.證法2：要證，只需證，即證，令，則，所以只需證當時，，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以成立，即，故3．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個根，，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：．【解析】（1）由題意可得，所以，的定義域為，又，由，得，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，（2）由，得，設(shè)，，由，得，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，又，，且當趨近于正無窮，趨近于，的圖象如下圖，所以當時，方程有兩個根，證明：不妨設(shè)，則，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，又，所以，又，，在上單調(diào)遞減，所以，故.4．（2024·廣東·模擬預測）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個零點，證明：存在三個零點，且(3)在（2）的條件下，證明：．【解析】（1），如果則，所以在R上遞減；如果，則的符號以為分界線，左邊負右邊正，所以在遞減，在遞增；（2）由于有兩個零點，故，而且，也就是，所以，如果或，那么，所以有零點，同時，由于且，所以，而，令，則，令，則，這表明遞增，同時由于，所以在上有一實數(shù)u，滿足，且時，，時，.所以在遞減，在遞增.假設(shè)，就意味著在和上均遞增，所以，矛盾.所以，從而在和上各有一零點，且在和上大于0，在上小于0.那么由于，我們知道，所以上一定還有的零點.綜上所述，存在三個零點，且；（3）設(shè)，，則有：，但，要證，只需要證明：，首先，容易說明當時，，實際上，這也就是說此時，而意味著，上一問已證，同時由于是的零點（可導函數(shù)取極值的必要條件），所以，在這里對某個函數(shù)，我們定義函數(shù)列：，換言之是進行次求導后得到的函數(shù)，從而令，，則，所以時，，所以時，，所以時，，即，所以，又因為，所以，從而，也就是，由于，而在上小于0，在上大于0，故，又由于，，而在上遞減，在上遞增，故，綜上，，從而.證.5．（2024·天津和平·一模）已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)設(shè)在處的切線方程為，求證：當時，；(3)若，存在，使得，且，求證：當時，.【解析】（1）因為，定義域為，令，即，所以遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）因為，所以，而，所以在點處的切線方程為：，當時，令，由，，當時，，當時，，所以在遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，所以，所以，所以在時恒成立，即時，得證.（3）由題意可知，因為時，，令，所以在時單調(diào)遞減，所以，所以在上為減函數(shù)，且，此時，則由（1）有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，此時，由題意，設(shè)，設(shè)與交點的橫坐標為，則，有，因為，且，所以，又，所以，令，則，令，則，所以時，，時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，即，所以，，所以在單調(diào)遞增.在時，，所以，所以.6．（2024·天津·一模）設(shè)函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)（i）當時，取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；（ii）若存在兩個極值點，證明：.【解析】（1），則，所以曲線在點處的切線方程為，即；（2）（i），，∵時，取得極值，∴，解得，∴，令，得或；令，得，∴的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；（ii），∵存在兩個極值點，∴方程，即在上有兩個不等實根.∵，解得，則∴所證不等式等價于，即，不妨設(shè)，即證，令，，則，∴在上遞增，∴，∴成立，∴.7．（2024·青?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)若有兩個零點，，證明：．【解析】（1）由題意可知的定義域為，且，對于，有在上恒成立，即遞減，所以，即在上恒成立，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最大值，，所以，即，所以的取值范圍為；（2）不妨設(shè)，由（1）知，即，令，構(gòu)造，且，所以，令，則，當時，，遞減，故，所以時，單調(diào)遞減，故，即在上，所以，又，所以，即，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，故得證.8．（2024·全國·一模）已知(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)是的兩個零點（），求證：①；②.【解析】（1），設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，注意到，所以當時，，，單調(diào)遞減，當時，，，單調(diào)遞增，所以，若，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為；（2）①由題意不妨設(shè)，則由（1）可知，且，所以，設(shè)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，即，又函數(shù)在上面單調(diào)遞減，所以，所以；②注意到，所以，要證，只需，即只需，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，所以，所以要證，只需，即，不妨設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞增，因為，所以，即，又因為，所以，綜上所述，命題得證.9．（2024·吉林延邊·一模）已知有兩個極值點．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．【解析】（1）由題意可知，因為有兩個極值點，所以有兩個不等根，即有兩個交點，令，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而時，，，，所以，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得極小值，在取得極大值，符合題意，故；（2）由（1）不妨設(shè)：，構(gòu)造，，易知，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，即由（1）知，欲證，可證，構(gòu)造，令，時，易知，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，則在上單調(diào)遞減，所以，即，證畢.10．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)的定義域為區(qū)間值域為區(qū)間，若則稱是的縮域函數(shù).(1)若是區(qū)間的縮域函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)為正數(shù)，且若是區(qū)間的縮域函數(shù)，證明：（i）當時，在單調(diào)遞減;（ii）【解析】（1）若是區(qū)間的縮域函數(shù)，則，；即，解得；可得，則；令，則；當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增.所以，解得，下面證明，即，也即；令，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；因此可得，所以，綜上a的取值范圍為（2）（i）當時,若是區(qū)間的縮域函數(shù)，則，即，進一步，當時，，即，；由（1）可知，當時，，則單調(diào)遞減；所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，（ii）若是區(qū)間的縮域函數(shù)，則；故有，即；設(shè)函數(shù)，則；當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減；因為為正數(shù)且則，又，所以在上單調(diào)遞減，所以；記，設(shè)，且，由的單調(diào)性可知，故；記，則，當時，，單調(diào)遞增；故，即；因為在上單調(diào)遞減，故，即；由，故，所以，又因為，故.11．（2024·高三·江西·開學考試）已知函數(shù)，且的極值點為.(1)求；(2)證明：；(3)若函數(shù)有兩個不同的零點，證明：.【解析】（1）由，則，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以為的極大值點，即.（2）由（1）知，，要證，只需證，即，令，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以，即，所以.（3）因為是的兩個不同的零點，所以，兩式相減并整理，得.設(shè)，由（2）知，所以要證，只需證，即證.設(shè)，下面只需證，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，所以成立，從而.12．（2024·高三·河北·開學考試）已知函數(shù)(1)若、在處切線的斜率相等，求的值；(2)若方有兩個實數(shù)根，試證明：;(3)若方程有兩個實數(shù)根，試證明：.【解析】（1），,又,所以.（2）由（1）知，則令，令時，單調(diào)遞增時，單調(diào)遞減所以因為由差比的性質(zhì)知：，又，則欲證：即證：不妨設(shè)：下證，令下證令所以在上單調(diào)遞增，所以所以（3）不妨設(shè)，下證在處的切線方程為構(gòu)造當時，;時，;所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，設(shè)方程的函數(shù)值為的根，則因為在上單調(diào)遞減，所以，在處的切線方程為,構(gòu)造當時，;時，;所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以所以設(shè)方程的根又，由在上單調(diào)遞增所以又所以.13．（2024·四川涼山·二模）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)，若，證明：．【解析】（1）函數(shù)，求導得，依題意，對任意實數(shù)，恒成立，而，因此，解得：，所以的取值范圍為.（2）函數(shù)的定義域為，由，得，由（1）知，函數(shù)在上是增函數(shù)，不妨令，則，即，亦即，則，于是，則，下面證明：，即證：，即證：，令，即證：，設(shè)，求導得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，即，所以.14．（2024·高三·江蘇·專題練習）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：.【解析】（1）的定義域為，，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，綜合得：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），則，因為是函數(shù)的兩個極值點，即是方程的兩不等正根，所以，得，令，則，得，則，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.15．（2024·江西上饒·一模）已知函數(shù)，若為實數(shù)，且方程有兩個不同的實數(shù)根．(1)求的取值范圍：(2)①證明：對任意的都有；②求證：．【解析】（1），，，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，當時，，且時，．故函數(shù)的圖象如下：因為方程有兩個不同的實數(shù)根，所以；（2）（?。┯?，，則，，設(shè)，則，在上為減函數(shù)，，，存在，使得，時，；時，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又，，；（ⅱ）不妨設(shè)，則，由（1）知，又，，.要證，只要證，記，，，在上為增函數(shù)，，成立，成立.16．（2024·高三·新疆伊犁·階段練習）已知，函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，設(shè)的導函數(shù)為，若恒成立，求證：存在，使得；(3)設(shè)，若存在，使得，證明：.【解析】（1）當時，，，所以當時，，當時，，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間.（2）當時，可得，則，因為恒成立，即恒成立，令，若，則，存在，使得，即，不符合題意，所以，取，則，可得，即存在，使得.（3）由函數(shù)，可得，設(shè)，因為，可得則又由，可得，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，所以，即，設(shè)，可得，所以當時，，即，所以，即，所以，代入可得：，則，所以.17．（2024·高三·廣東·階段練習）設(shè)函數(shù)，其中a為實數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點時，證明：．【解析】（1）的定義域為，，令，得或，時，，時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），由在上有兩個不同的極值點，故有兩個不同的正根，則有，解得，因為，設(shè)，，則，故在上單調(diào)遞增，又，故．18．（2024·高三·山東菏澤·階段練習）已知函數(shù)，，為常數(shù)．(1)求的單調(diào)性；(2)令，若且.證明：．【解析】（1），，當時，為常函數(shù)，當時，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，綜上所述，當時，為常函數(shù)，無單調(diào)性當時，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減；（2），，令，則，因，故有兩個零點，若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，所以，