2024年北京市各區(qū)一?？荚囋囶}分類匯編-四邊形（解析版）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024北京中考數(shù)學(xué)一模分類——四邊形（解析）1．（2024?海淀區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF經(jīng)過點(diǎn)O，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）若E為BC的中點(diǎn)，AE＝3，AC＝4，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，則∠OAF＝∠OCE，而OA＝OC，∠AOF＝∠COE，即可根據(jù)“ASA”證明△AOF≌△COE，得AF＝CE，則四邊形AECF是平行四邊形，因?yàn)锳E＝AF，所以四邊形AECF是菱形；（2）由菱形的性質(zhì)得CE＝AE＝3，所以BE＝CE＝AE＝3，則BC＝2BE＝6，∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，則∠BAC＝90°，即可求得AB=BC2【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵O為AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，在△AOF和△COE中，∠OAF=∠OCEOA=OC∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE＝AF，∴四邊形AECF是菱形．（2）解：∵四邊形AECF是菱形，AE＝3，AC＝4，∴CE＝AE＝3，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝AE＝3，∴BC＝2BE＝6，∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，∴∠BAC＝∠EAC+∠EAB=1∴AB=BC2∴AB的長(zhǎng)是25．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識(shí)，證明△AOF≌△COE是解題的關(guān)鍵．2．（2024?西城區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E在?ABCD的對(duì)角線DB的延長(zhǎng)線上，AE＝AD，AF⊥BD于點(diǎn)F，EG∥BC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DG．（1）求證：四邊形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF=12，AB＝4，求菱形【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出EF＝DF，再證△GEF和△ADF全等，得出GF＝AF，于是根據(jù)對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形推出四邊形AEGD是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得出四邊形AEGD是菱形；（2）分別求出AF、EF的長(zhǎng)，即可得出對(duì)角線AG、ED的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵AE＝AD，AF⊥BD，∴EF＝DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF＝∠ADF，在△GEF和△ADF中，∠GEF=∠ADFEF=DF∴△GEF≌△ADF（ASA），∴GF＝AF，∵EF＝DF，∴四邊形AEGD是平行四邊形，∵AE＝AD，∴四邊形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF＝BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴由勾股定理得，AF=BF=2∵tan∠AEF=1∴AFEF即22∴EF=42∵四邊形AEGD是菱形，∴AG＝2AF=42，ED＝2EF=8∴菱形AEGD的面積42【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，菱形的面積等，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2024?東城區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是菱形．延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使得AE＝AB，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)F，使得AF＝AD，連接BD，DE，EF，F(xiàn)B．（1）求證：四邊形BDEF是矩形；（2）若∠ADC＝120°，EF＝2，求BF的長(zhǎng)．【分析】（1）先證明四邊形BDEF為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得AB＝AD，則BE＝DF，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，再由菱形的性質(zhì)得∠ADB＝60°，AB＝AD，進(jìn)而證明△ABD是等邊三角形，得AB＝AD＝BD＝2，則DF＝2AD＝4，然后由勾股定理求出BF的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：∵AE＝AB，AF＝AD，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∴AE＝AB＝AF＝AD，∴BE＝DF，∴平行四邊形BDEF是矩形；（2）解：由（1）可知，AB＝AD，四邊形BDEF是矩形，∴∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADB=12∠ADC＝60°，AB＝∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝AD＝BD＝2，∴DF＝2AD＝4，∴BF=DF2即BF的長(zhǎng)為23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024?朝陽(yáng)區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，AB＝AC，過點(diǎn)D作AC的平行線與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACDE是菱形；（2）連接CE，若AB＝5，tanB＝2，求CE的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，再證明四邊形ACDE是平行四邊形，進(jìn)而證明CD＝AC，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AD與CE交于點(diǎn)F，證明∠FAC＝∠ACB＝∠B，再由菱形的性質(zhì)得AF＝DF，CF＝EF，AD⊥CE，進(jìn)而由銳角三角函數(shù)定義得CF＝2AF，設(shè)CF＝x，則CF＝2x，然后在Rt△AFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形，∵AB＝AC，∴CD＝AC，∴平行四邊形ACDE是菱形；（2）解：如圖，設(shè)AD與CE交于點(diǎn)F，∵AB＝AC＝5，∴∠B＝∠ACB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACB＝∠B，由（1）可知，四邊形ACDE是菱形，∴AF＝DF，CF＝EF，AD⊥CE，∴∠AFC＝90°，∴tan∠FAC=CFAF=∴CF＝2AF，設(shè)CF＝x，則CF＝2x，在Rt△AFC中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝52，解得：x=5∴CF＝25，∴CE＝2CF＝45，即CE的長(zhǎng)為45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024?豐臺(tái)區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延長(zhǎng)CB至D，使得BD＝CB，過點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，DE∥BA，AE與DE交于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：四邊形ACBE是矩形；（2）連接AD，若AD=52，tan∠BAC=23【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形ABDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AE＝BD，推出四邊形AEBC是平行四邊形，根據(jù)∠C＝90°矩得到結(jié)論；（2）連接AD，設(shè)CB＝2k，AC＝3k，根據(jù)勾股定理即可得到論．【解答】（1）證明：∵AE∥BD，DE∥BA，∴四邊形ABDE是平行四邊形．∴AE＝BD．∵BD＝BC，∴AE＝BC．∵AE∥BC，∴四邊形AEBC是平行四邊形．∵∠C＝90°，∴四邊形AEBC是矩形；（2）解：連接AD，∵CBAC∴設(shè)CB＝2k，AC＝3k．∴CD＝4k．∵AC2+DC2＝AD2，∴(3k)∴k=2∴AC=32【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．6．（2024?石景山區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：四邊形ABED是菱形；（2）連接BD交AE于點(diǎn)F．若∠BCD＝90°，cos∠DBC=63，BD＝26，求【分析】（1）由AB＝AD，AE平分∠BAD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明AE垂直平分BD，則EB＝ED，再證明∠BEA＝∠BAE，則AB＝EB，所以AB＝AD＝EB＝ED，即可證明四邊形ABED是菱形；（2）由BCBD=cos∠DBC=63，求得BC=63BD＝4，由勾股定理求得CD＝22，則（22）2+EC2＝（4﹣【解答】（1）證明：連接BD，∵AB＝AD，AE平分∠BAD，∴AE垂直平分BD，∴EB＝ED，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∴AB＝AD＝EB＝ED，∴四邊形ABED是菱形．（2）解：∵∠BCD＝90°，cos∠DBC=63，BD＝2∴BCBD=cos∠DBC∴BC=63BD=6∴ED＝EB＝4﹣EC，CD=(26)∵CD2+EC2＝ED2，∴（22）2+EC2＝（4﹣EC）2，解得EC＝1，∴EC的長(zhǎng)為1．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的“三線合一”、線段的垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、菱形的判定、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，證明AE垂直平分BD是解題的關(guān)鍵．7．（2024?通州區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，過D點(diǎn)作AB的垂線交BC于點(diǎn)E，在直線DE上截取DF，使DF＝ED，連結(jié)AE、AF、BF．（1）求證：四邊形AEBF是菱形；（2）若sin∠EAF=45，BE＝5，求【分析】（1）先證明四邊形AEBF是平行四邊形，再由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EG⊥AF于點(diǎn)G，由菱形的性質(zhì)得BE＝AE＝5，AF∥BC，再證明四邊形ACEG是矩形，得AC＝EG，CE＝AG，進(jìn)而解直角三角形求出EG＝4，AG＝3，然后由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵DF＝ED，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴四邊形AEBF是菱形；（2）解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AF于點(diǎn)G，∴∠CEG＝90°，∵四邊形AEBF是菱形，∴BE＝AE＝5，AF∥BC，∴EG⊥BC，∴∠GEC＝90°，∴∠CEG＝∠GEC＝∠ACB＝90°，∴四邊形ACEG是矩形，∴AC＝EG，CE＝AG，∵sin∠EAF=EG∴EG=45AE在Rt△AGE中，由勾股定理得：AG=A∴AC＝EG＝4，CE＝AG＝3，∴BC＝BE+CE＝5+3＝8，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2∵點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，∴AD=12AB=12×【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024?大興區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，連接CF，射線AE和線段DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若tan∠BAE=23，DG＝9，求線段【分析】（1）首先推導(dǎo)出AF＝CE，結(jié)合AF∥CE，得到四邊形AECF是平行四邊形；（2）首先推導(dǎo)出∠ECG＝90°，tan∠BAE=tanG=23，在Rt△ADG中，tanG=ADDG=23，得到推導(dǎo)出CG【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝FD，∴AD﹣FD＝BC﹣BE．即AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠BCD＝∠D＝90°，AD＝CD，∴∠BAE＝∠G，∠ECG＝90°，∴tan∠BAE=tanG=2在Rt△ADG中，tanG=ADDG=∴AD＝6，∴CD＝6，∴CG＝3，在Rt△ECG中，tanG=2∴CE＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．9．（2024?房山區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，∠ABD＝∠CBD，過點(diǎn)D作DE∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若OB=3，∠ABC＝60°，求DE【分析】（1）證明∠ADB＝∠ABD，得AB＝AD，再由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得BD＝2OB＝23，∠CBO=12∠ABC＝30°，AC⊥BD，再證明DE⊥BD，然后由銳角三角函數(shù)定義得DE=【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：由（1）可知，四邊形ABCD是菱形，∴BD＝2OB＝23，∠CBO=12∠ABC＝30°，AC⊥∵DE∥AC，∴DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠E＝90°﹣30°＝60°，∴tanE=BDDE=∴DE=33BD=3即DE的長(zhǎng)為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2024?平谷區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別是BC、AB邊的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，使EF＝2DE，連接AF、CE．（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；（2）若∠B＝30°，求證：四邊形ACEF是菱形．【分析】（1）由三角形中位線定理得出DE∥AC，AC＝2DE，求出EF∥AC，EF＝AC，得出四邊形ACEF是平行四邊形，即可得出AF＝CE；（2）由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝60°，AC=12AB＝AE，證出△AEC是等邊三角形，得出AC＝【解答】證明：（1）∵點(diǎn)D，E分別是邊BC，AB上的中點(diǎn)，∴DE∥AC，AC＝2DE，∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四邊形ACEF是平行四邊形，∴AF＝CE；（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，AC=12AB＝∴△AEC是等邊三角形，∴AC＝CE，又∵四邊形ACEF是平行四邊形，∴四邊形ACEF是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．11．（2024?門頭溝區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，射線BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：四邊形BCFD是菱形；（2）若AD＝1，CF＝2，求BF的長(zhǎng)．【分析】（1）證明△BCE≌△FDE（ASA），得BC＝FD，再證明四邊形BCFD為平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得BD＝DF＝CF＝2，則AF＝AD+DF＝3，再由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后由勾股定理求出BF的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠FDE＝∠BCE，∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC，在△BCE與△FDE中，∠BCE=∠FDECE=DE∴△BCE≌△FDE（ASA），∴BC＝FD，∵AD∥BC，∴四邊形BCFD為平行四邊形，又∵BD＝BC，∴平行四邊形BCFD是菱形；（2）解：由（1）可知，四邊形BCFD是菱形，∴BD＝DF＝CF＝2，∴AF＝AD+DF＝3，∵∠A＝90°，∴AB=B∴BF=AB2即BF的長(zhǎng)為23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2024?延慶區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線與邊BC，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，CF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）連接OB，若AF＝4，tan∠AEB=15，求OB【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得OA＝OC，AF＝CF，AE＝CE，證△OAF和△OCE全等得AF＝CE，進(jìn)而得AF＝CF＝AE＝CE，據(jù)此即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，證OH為△ABC的中位線得BH＝CH，則OH為BC的垂直平分線，從而得OB＝OC，由tan∠AEB=ABBE=15得AB=15BE，由勾股定理可求出BE＝1，AB=15，則BC【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC，∵EF是AC的垂直平分線，∴OA＝OC，AF＝CF，AE＝CE，在△OAF和△OCE中，∠OAF=∠OCE∠OFA=∠OEC∴△OAF≌△OCE（AAS），∴AF＝CE，AF＝CF＝AE＝CE，∴四邊形AECF為菱形；（2）解：過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵OA＝OC，∠ABC＝90°，∴OH∥AB，∴OH為△ABC的中位線，∴BH＝CH，∴OH為BC的垂直平分線，∴OB＝OC，∵AE＝4，由（1）可知：AF＝CF＝AE＝CE＝4，在Rt△ABE中，tan∠AEB=AB∴AB=15BE由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，即（15BE）2+BE2＝42，解得：BE＝1，∴AB=15BE=∴BC＝BE+CE＝5，由勾股定理得：AC=A∴OB＝OC=12AC【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，理解矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．13．（2024?順義區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE＝BC，連接AE．（1）求證：四邊形AEBD是平行四邊形；（2）連接OE，若tan∠AEB=12，AC＝2，求【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得到AD∥EB，AD＝EB，即可證明四邊形AEBD是平行四邊形；（2）由菱形的性質(zhì)得到AB＝BC＝BE，OA=12AC＝1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠【解答】（1）